二阶微分方程组

二阶微分方程组
对于一元函数来说，如果在该方程中出现因变量的二阶导数，我们就称为二阶（常）微分方程，其一般形式为F(x，y，y'，y'')=0。

在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。

一般形式
二阶微分方程的一般形式是
其中，x是自变量，y是未知函数，y'是y的一阶导数，y''是y的二阶导数。

可降阶方程
在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。

具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。

下面介绍三种容易用降阶法求解的二阶微分方程。

[1] 1）y''=f(x)型
方程特点：右端仅含有自变量x，逐次积分即可得到通解，对二阶以上的微分方程也可类似求解。

例1 求方程y''=e2x-cosx的通解。

解：原方程两边积分两次，得通解
其中，C1，C2为任意常数。

2）y''=f(x,y')型
方程特点：右端函数表达式中不含有未知函数y。

由于y'也是x的未知函数，可设p(x)=y'，则原方程可降阶为
这是关于p的一阶微分方程，可求通解。

3）y''=f(y,y')型
方程特点：右端函数表达式中不含有自变量x。

令y'=p(y)，利用复合函数求导法则
原方程变为关于y，p的一阶方程。