S170大学高数06-07第一学期高数

北京林业大学2006--2007学年第1学期考试试卷
试卷名称：高等数学（经济类、A 卷） 课程所在院系：基础学院
一、填空题 (每小题2分，共20分)
1、函数x
x y sin =
的间断点为第一类 可去 间断点。

2、极限=→x
x x 1sin lim 00。

3、极限=+→x
x x )1ln(lim 01。

4、设x y 1sin =，则=x y d d x x
1cos 12-。

5、设x x y ln =，则=x
y d d 1ln +x 。

6、=⎰x x f x d )(d d )(x f 。

8、不定积分⎰=
x x d 2cos C x +2sin 21。

二、计算题（每小题5分，共40分）
1、22020sin 2lim )21sin 1(lim x
x x x x x x x x -+=+-→→（2分） 22
sin 4lim 2cos 41lim 00=-==-+=→→x x x x x x 。

（3分）
2、设)1ln(2x x y ++=，求y d 。

x x
x x x y d 111d 22++++= （3分）x x d 112+= （2分） 3、取对数的方法求函数1
1-+=x x x y 的导数。

)1ln(2
1)1ln(21ln ln --++=x x x y ,（2分） ])
1(21)1(211[11--++-+='x x x x x x y 。

（3分） 4、设x xe y -=，求y ''。

x e x y --=')1(,（2分） x e x y --='')2(。

（3分）
5、求不定积分⎰
++x x x d 3212。

⎰++x x x d 3
212=⎰++x x d 2)1(12 （2分） C x ++=2
1arctan 。

（3分） 6、求不定积分x x e I x d cos ⎰=。

⎰⎰⋅==x x e x x x e I d cos d cos =⎰⋅+x x e x x e d sin cos （3分） ⎰-+=x e x e x e x x x d cos sin cos ，
x x e x d cos ⎰∴]sin cos [2
1x e x e x x +=。

（2分） 7、求定积分⎰π
0d cos x x 。

⎰
⎰⎰-=2/02/0d cos d cos d cos ππππx x x x x x （2分） 2sin 2d cos 22
/02/0===⎰
ππx x x 。

（3分）
8、求定积分⎰
+e x x x 1d ln 1。

⎰⎰⋅+=+e e x x x x
x 11)d(ln ln 1d ln 1（2分） )122(3
2)ln 1(3212/3-=+=e x 。

（3分） 三、综合题（每小题6分，共24分）
1、设0,0>>b a ，且函数⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>+=<=0,)1(0,20
,sin )(1x bx x x x ax x f x 在),(+∞-∞内
处处连续，求b a ,的值。

a x ax x f x x ==--→→sin lim )(lim 0
0，b x x x e bx x f =+=++→→/100)1(lim )(lim ，（4分） 2)(lim )(lim 00==+
-→→x f x f x x ，2ln ,2==b a 。

（2分） 2、求函数212x
x y +=单调增加的区间。

222)
1()1(2x x y +-='，（2分） ⇒>'0y 11<<-x 。

（4分）
3、设函数)(x y y =是由方程42ln arctan )ln(22π-+=+x y y x 确定的隐函数，求)(x y y =在)1,1(处的切线方程。

2222122:d d ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-'=+'+x y x y
y x y x y x x ，x y x y y +-='22，（3分） 3
1)1,1(-='y ，切线方程 )1(311--=-x y ，043=-+y x 。

（3分）
4、求曲线2x y =与曲线2y x =所围图形的面积。

⎰-=102d )(x x x A （3分）
3
1)3132(1023/2=-=x x 。

（3分） 四、证明题（每小题5分，共10分）：
1、证明：当0>x 时，x x x arctan )1ln()1(>++。

证明：设x x x x f arctan )1ln()1()(-++=，（2分）
01)1ln()(2
2
>+++='x x x x f ，)(x f 单调增加，0)0()(=>f x f 。

（3分） 2、设函数)(x f 在]1,0[上连续，且)1()0(f f =，
证明：一定存在)1,0(∈ξ，使得)2
1()(+=ξξf f 。

证明：设)2
1()()(+-=x f x f x F ，（2分） )21()0()0(f f F -=，),0()1()2
1()21(F f f F -=-= )(x F 在]2
1,0[连续且在端点异号，由连续函数介值定理， )2
1()(),1,0()21,0(+=⊂∈∃ξξξf f 。

（3分） 五、（6分）若函数)(x f 满足1d )2(0-=-⎰x x e t t x f t ，且1)1(=f ，求⎰21d )(x x f 。

⎰⎰--========--x x x
s s f s x s t x t t x f t 02d )()2(2d )2(（2分） 1d )(d )(222-=-=⎰⎰
x x x x
x e s s f s s s f x 两边求导数：22()d ()x x x f s s x f x e -⋅=⎰
，（3分） 取1=x ，2
11()d 2
e f x x +=⎰。

（1分）。