函数极限二及导数定义
考研数学-专题5 导数的概念及应用
f (x), x 0;
F
(
x)
0, x 0;
f (x), x 0;
若 f (0) 1, 则
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x
x0
x
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0)
x0
x
x0
x
lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x0
则
lim ln[ f (x) ex ] ln 2
x0
x
从而 lim ln[ f (x) ex ] 0, lim f (x) f (0) 0,
x0
x0
当 x 0 时， ln[ f (x) ex ] ln[1 f (x) ex 1] ~ f (x) ex 1
则 lim ln[ f (x) ex ] lim f (x) ex 1 f (0) 1 ln 2
1
【例 2】已知 f (x) 在 x 0 处连续，且 lim[ f (x) ex ]x 2, 则 f (0) （ ） x0
(A)不存在
(B)等于 e2 ,
(C)等于 2,
(D)等于 1 ln 2
1
ln[ f ( x)e x ]
【解】 由于 lim[ f (x) ex ]x lim e x 2
3
f (x0 n ) f (x0 ) f (x0 )n n
（其中 lim 0 ） n
f
( x0
n ) f (x0 n n
n)
f
(
x0
)
n n
n n
n n n n
n n n n n n
0
则 lim n
高等数学 第二章 极限和导数2-9导数的概念
例1 已知f ( 3) 2, 求
(1)
f ( 3 h) f ( 3) lim h0 2h
1 f [ 3 ( h)] f ( 3) 解 原式 lim ( ) 2 ( h) h 0
h x
1 f ( 3 x ) f ( 3 ) ( ) lim 2 x 0 x
2°导数的其它形式
f ( x0 x ) f ( x0 ) x x 0 x h lim f ( x0 h) f ( x0 ) h h 0 x x0 x f ( x ) f ( x0 ) lim . x x0 x x0
f ( x0 ) lim
3°在一点的导数是因变量 在点 x0处的变化率,
它反映了因变量随自变量的变化 而变化的 快慢程度.
运动质点的位置函数 s f (t ) 在 t0时刻的瞬时速度
f ( t 0 )
曲线 C : y f ( x ) 在 M 点处的 切线斜率
f ( x0 )
此外在经济学中, 边际成本率, 边际劳动生产率 和边际税率等，从数学角度看就是导数.
证 设
从而 故
在点 x 0处可导, 即
y f ( x0 ) ， 其中 x
x 0
函数 f ( x )在点 x0连续 .
x 1, 例9 讨论 f ( x ) x 1,
解
x 0
x0 x0
在 x 0处的可导性.
y
O x
f (0 ) lim ( x 1) 1 f (0 ) lim ( x 1) 1
h 0
∴
定理成立.
例2 讨论函数 f ( x ) x 在点x 0处的可导性.
函数的极限与导数的关系
函数的极限与导数的关系函数的极限以及导数是微积分中两个重要的概念，它们之间存在着紧密的联系和相互依赖的关系。
本文将探讨函数的极限与导数之间的联系，并说明它们在数学中的重要性。
一、函数的极限的定义与性质函数的极限是研究函数在某一点处的趋势及其极限值的一种方法。
设函数f(x)在点x=a的某一去心邻域内有定义，如果存在一个常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ(不论它多么小，但大于0)，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立，那么就称函数f(x)在x=a处有极限A（或说f(x)的极限为A），记作lim {x→a} f(x) = A。
函数的极限具有唯一性和局部有界性的性质。
即在一个点的左右两侧的极限值相等，且函数在该点的邻域内有界。
二、导数的定义与性质导数是用来描述函数的变化率的概念，它表示函数在某一点上的斜率，也可以理解为函数图像在该点处的切线斜率。
对于函数y=f(x)，在点x=a处，若极限lim {h→0} [f(a+h)-f(a)]/h存在，那么称该极限为函数f(x)在点x=a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|{x=a}。
导数具有唯一性和几何意义的性质。
例如，对于导函数f'(x)存在的函数f(x)，f'(x)就代表了f(x)在x点处的切线斜率。
三、函数的极限与导数之间存在着重要的联系，可以说导数的概念是由极限引出的。
1. 极限为导数的特殊情况若函数f(x)在点x=a处的极限lim {h→0} [f(a+h)-f(a)]/h存在，那么该极限值就是f(x)在x=a处的导数f'(a)。
此时，函数的极限值和导数值是相等的。
2. 导数的连续性若函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)存在，且f(x)在点x=a处连续，那么可以得出结论：函数f(x)在点x=a处的极限lim {x→a} f(x)存在。
3. 极限的重要性极限是导数存在的前提，它为导数的计算提供了基础。
MBA数学辅导：极限、连续、导数、积分的概念
MBA数学辅导：极限、连续、导数、积分的概念极限的概念是整个微积分的基础，需要深刻地理解，由极限的概念才能引出连续、导数、积分等概念。
极限的概念首先是从数列的极限引出的。
对于任意小的正数E，如果存在自然数M，使所有N》M时，|A(N)-A|都小于E，则数列的极限为A。
极限不是相等，而是无限接近。
而函数的极限是指在X0的一个临域内(不包含X0这一点)，如果对于任意小的正数E，都存在正数Q，使所有(X0-Q，X0+Q)内的点，都满足|F(X)-A|《E，则F(X)在X0点的极限为A。
很多求极限的题目都可以用极限的定义直接求出。
例如F(X)=(X^2-3X+2)/(X-2), X=2不在函数定义域内，但对于任何X不等于2，F(X)=X-1，因此在X无限接近2，但不等于2时，F(X)无限接近1，因此F(X)在2处的极限为1。
连续的概念。
如果函数在X0的极限存在，函数在X0有定义，而且极限值等于函数值，则称F(X)在X0点连续。
以上的三个条件缺一不可。
在上例中，F(X)在X=2时极限存在，但在X=2这一点没有定义，所以函数在X=2不连续;如果我们定义F(2)=1，补上“缺口”，则函数在X=2变成连续的;如果我们定义F(2)=3，虽然函数在X=2时，极限值和函数值都存在，但不相等，那么函数在X=2还是不连续。
由连续又引出了左极限、右极限和左连续、右连续的概念。
函数值等于左极限为左连续，函数值等于右极限为右连续。
如果函数在X0点左右极限都存在，且都等于函数值，则函数在X=X0时连续。
这个定义是解决分段函数连续问题的最重要的、几乎是唯一的方法。
如果函数在某个区间内每一点都连续，在区间的左右端点分别左右连续(对闭区间而言)，则称函数在这个区间上连续。
导数的概念。
导数是函数的变化率，直观地看是指切线的斜率。
略有不同的是，切线可以平行于Y轴，此时斜率为无穷大，因此导数不存在，但切线存在。
导数的求法也是一个极限的求法。
导数极限定义公式
导数极限定义公式导数是微积分中的一个重要概念，而极限则是理解导数的基础。
咱们今天就来好好聊聊导数极限定义公式。
记得我当年上高中的时候，有一次数学老师在课堂上讲导数极限定义公式，那场景我至今都忘不了。
老师在黑板上龙飞凤舞地写着各种式子，同学们都瞪大了眼睛盯着黑板，可脸上却写满了迷茫。
我当时也是一头雾水，心里想着：“这都是啥呀？怎么这么复杂！”咱们先来说说什么是导数。
导数简单来说，就是函数在某一点的变化率。
比如说，一辆汽车在行驶过程中，速度随时间的变化率就是加速度，而加速度就是速度这个函数的导数。
那导数极限定义公式到底是啥呢？假设我们有一个函数 f(x) ，在点x₀处的导数可以用极限来定义为：f'(x₀) = lim (Δx→0) [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx 。
这个公式看起来是不是有点让人头疼？别慌，咱们来一步步拆解。
先看分子 [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] ，这其实就是函数在 x₀到 x₀ + Δx 这一小段的变化量。
而Δx 就是这一小段的长度。
当Δx 越来越小，接近于 0 的时候，这个变化量与长度的比值就越来越接近函数在 x₀处的瞬时变化率，也就是导数。
就拿一个简单的例子来说吧。
比如函数 f(x) = x²，我们来求它在 x = 1 处的导数。
f(1 + Δx) = (1 + Δx)² = 1 + 2Δx + (Δx)² ，f(1) = 1 。
所以[f(1 + Δx) - f(1)] = 1 + 2Δx + (Δx)² - 1 = 2Δx + (Δx)² 。
那么f'(1) = lim (Δx→0) [2Δx + (Δx)²] / Δx 。
分子分母同时除以Δx ，就得到lim (Δx→0) (2 + Δx) ，当Δx 趋近于0 时，结果就是 2 。
所以函数 f(x) = x²在 x = 1 处的导数就是 2 。
导数的定义与性质
导数的定义与性质导数是微积分中的核心概念之一，它是用来描述一个函数的变化趋势的。
导数被广泛应用于物理、工程、经济和生物等领域，因此理解导数的定义和性质是非常重要的。
一、导数的定义导数的定义是函数在某一点处的切线斜率。
这个定义是通过极限的概念来实现的。
假设f(x)是定义在R上的一个函数，如果它在x=a处可导，那么导数f’(a)的定义如下：f’(a) = lim [f(x) - f(a)] / (x - a)其中x是趋向于a的一个实数。
这个极限表达式表示当x接近a时，f(x)和f(a)之差除以x-a的商会趋向于一个特定的实数，这个实数就是导数。
注意，这个定义只能在限定的点上使用。
对于连续的函数，可以求得每个点的导数，从而知道函数整体的单调性，极值等重要信息。
二、导数的性质导数具有许多有用的性质。
以下是其中一些：1. 导数的可加性如果f(x)和g(x)都在x=a处可导，那么(f(x)+g(x))在x=a处也可导，且有：[f(x)+g(x)]’|x=a = f’(a) + g’(a)这个性质表明如果一个函数可以写成两个函数的和，那么它的导数是两个函数的导数之和。
2. 导数的乘法规则如果f(x)和g(x)都在x=a处可导，那么(f(x)g(x))在x=a处也可导，且有：[f(x)g(x)]’|x=a = f’(a)g(a) + f(a)g’(a)这个性质是求导时最常用的，它叫做导数的乘法规则。
它表明如果一个函数可以写成两个函数的乘积，那么它的导数可以通过这两个函数及其导数的乘积来计算。
3. 链式法则如果f(x)和g(x)都在x=a处可导，那么f(g(x))在x=a处也可导，且有：[f(g(x))]’|x=a = f’(g(a))g’(a)这个性质是一个很重要的求导方法，叫做链式法则。
它表明如果一个函数有一个内部函数，那么它的导数可以通过内部函数的导数和外部函数的导数的乘积来计算。
4. 高阶导数如果f(x)在x=a处具有导数，那么f(x)也可以在x=a处具有二阶导数、三阶导数等。
导数的定义和求导规则
导数的定义和求导规则一、导数的定义1.1 极限的概念：当自变量x趋近于某一数值a时，函数f(x)趋近于某一数值L，即称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L1.2 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记作f’(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在某一点的瞬时变化率。
定义如下：二、求导规则2.1 常数倍法则：如果u(x)是可导函数，c是一个常数，则cu(x)也是可导函数，且(cu(x))’ = c*u’(x)。
2.2 幂函数求导法则：如果u(x) = x^n，其中n为常数，则u’(x) = n*x^(n-1)。
2.3 乘积法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)。
2.4 商法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，且v(x)≠0，则(u(x)/v(x))’ =(u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))^2。
2.5 和差法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x)，(u(x) - v(x))’ = u’(x) - v’(x)。
2.6 链式法则：如果y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。
2.7 复合函数求导法则：如果y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)。
2.8 高阶导数：如果f’(x)是f(x)的一阶导数，则f’‘(x)是f’(x)的一阶导数，以此类推。
2.9 隐函数求导法则：如果方程F(x,y) = 0表示隐函数，则y关于x的导数可以表示为(dy/dx) = -F_x / F_y，其中F_x和F_y分别是F(x,y)对x和y的偏导数。
三、导数的应用3.1 函数的单调性：如果f’(x) > 0，则f(x)在区间内单调递增；如果f’(x) < 0，则f(x)在区间内单调递减。
2导数的基本概念
Chap2 导数产生:①光滑曲线()y f x =在点(,)P x y 处的切线.根据正切角α,从通过P 点的所有直线中选择一条,知道该点的邻域性质即可; ②非匀速速度。
应用：几何,力学,光学中的最优化问题；极大和极小值问题.割线的极限位置.曲线上的两点间连线的极限,和其它直线的不同：这个方向是唯一的。
什么方向呢?与x ∆引起的y ∆有关,而其余的方向与y ∆无关.隅点和尖点没有唯一的方向:该点是不同曲线的交点,所以在不同方向有不同的y ∆. 一导数概念的三个理解1切线是割线的导数----因变量增量与自变量增量的关系1α是割线PP 1同正x 轴构成的夹角，α是切线同正x 轴构成的夹角，则11lim p pαα→=。
Y=f(x)图2-1 导数的定义 可得：11111()()tan y y f x f x x x x xα--==--，则极限过程的表达式 11111()()limlim tan tan x xx x f x f x x xαα→→-==- def2.1.1(函数的差商)表达式1111()()f x f x y y yx x x x x--∆==--∆，称为函数()y f x =的差商，其中y ∆和x ∆分别表示函数()y f x =和自变量x 之差分。
α的正切，即曲线的“斜率”，等于函数()y f x =的差商当1x x →时所趋向的极限。
Def2.1 （函数在某一点的导数）将这个差商的极限称为函数()y f x =在点x 处的导数，''()y f x =是导数的拉格朗日（Lagrange ）表示法，(),,()dy df x d f x dx dx dx ⎛⎫⎪⎝⎭是莱布尼茨表示法。
说明：''()y f x =称为导函数，表示导数本身是x 的函数，因为所考虑的区间上的每一个x 值都对应一个'()f x 的值。
用导函数，导曲线强调这个事实，并不表示导数是一种特殊类型的函数，在初等函数之外的新型函数，而是表示与()y f x =的关系是导数与函数的关系。
导数的概念
三 导数的应用 （一）利用导数判断函数单调性及求解单调区间。
1.导数和函数单调性的关系： (1)若 f ¢ (x)>0 在(a，b)上恒成立，则 f(x)在(a，b)上是增函数， f ¢ (x)>0 的解集与定义域的 交集的对应区间为增区间； (2)若 f ¢ (x)<0 在(a，b)上恒成立，则 f(x)在(a，b)上是减函数， f ¢ (x)<0 的解集与定义域 的交集的对应区间为减区间。 2.利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
f (x0 ) )处的切线方程为 y -
f (x0 ) =
f
(x )(x - x ) / 0
0
新疆 王新敞
奎屯
2.导数的物理意义： 导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。
（三）概念部分题型：
1.利用定义求函数 y = f (x) 的导数
主要有三个步骤：
(1)求函数的改变量 Dy
=
f (x + Dx) -
x= x0
，即
f
/
(x0 )
=
lim
Dx®0
f (x0
+ Dx) Dx
f (x0 )
2 导函数的定义：如果函数 y = f (x) 在开区间 (a, b) 内的每点处都有导数，此时对于每
一个 x Î (a,b) ，都对应着一个确定的导数 f / (x) ，从而构成了一个新的函数 f / (x) , 称这
（二）导数的四则运算
1．和差： (u±v)¢ =u¢±v¢
2．积： (uv)¢ = u¢v + uv¢
3．商：
(u )¢ v
=
《导数定义与极限》课件
利用导数求函数的极值
总结词
利用导数等于0的点，确定函数的极值点。
详细描述
如果函数在某点的导数等于0，且该点两侧 的导数符号相反，则该点为函数的极值点。
利用导数求曲线的切线方程
要点一
总结词
要点二
详细描述
利用导数求曲线在某点的切线斜率。
函数在某点的导数值即为该点处切线的斜率。再根据点斜 式方程，结合切点坐标，即可求出切线方程。
详细描述
在物理学中，导数常用于描述物体的运动状态和变化规律。例如，物体的速度和加速度可以通过对时间求导来获 得。导数在物理学的各个领域都有着广泛的应用。
02 导数的计算
导数的四则运算
总结词
掌握导数的四则运算规则，包括加、减、乘、除等运算。
详细描述
导数的四则运算法则是导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法等运算。这些运算法则可以帮 助我们简化复杂的导数表达式，从而更好地理解和分析函数的单调性、极值等性质。
详细描述
极限是研究函数的重要工具，通过研究函数在不同点处的极限行为，我们可以了解函数的性质，如连 续性、可导性、单调性等。例如，利用极限研究函数的连续性和间断点，或者利用极限研究函数的极 值和最值等。
谢谢聆听
无穷小与无穷大的关系
无穷小是无穷大的反义词，两者在一定条件 下可以相互转化。
06 极限的应用
利用极限证明等式或不等式
总结词
通过极限，我们可以证明一些数学中的等式或不等式 。
详细描述
在数学中，有些等式或不等式可能难以直接证明，但通 过求极限，我们可以得到一些有用的性质和结论，从而 证明这些等式或不等式。例如，利用极限证明一些函数 的等价无穷小关系，或者利用极限证明函数的单调性等 。
极限导数知识点总结
极限导数知识点总结一、极限导数的定义极限导数，即导数的计算可以通过极限的方式来进行。
在函数 f(x) 在 x=a 处可导的条件下，函数 f(x) 在 x=a 处的导数定义如下：若极限：lim (x→a) [f(x)-f(a)] / (x-a)存在，记为 f'(a)，则称此极限为函数 f(x) 在 x=a 处的导数，又称为 f(x) 在 x=a 处的切线斜率。
二、极限导数的求解1. 基本导数公式：(1)常数函数的导函数: f(x) = C , 其中C为常数, f'(x) = 0(2)幂函数的导函数: f(x) = x^n, f'(x) = nx^(n-1), (n ≠ 0)(3)指数函数的导函数: f(x) = a^x, f'(x) = a^x * ln(a)(4)对数函数的导函数: f(x) = ln(x), f'(x) = 1/x(5)三角函数的导函数: f(x) = sin(x), f'(x) = cos(x)f(x) = cos(x), f'(x) = -sin(x)(6)反三角函数的导函数: f(x) = arcsin(x), f'(x) = 1 / √(1-x^2)f(x) = arccos(x), f'(x) = -1 / √(1-x^2)f(x) = arctan(x), f'(x) = 1 / (1+x^2)2. 导数存在与连续函数导数存在的条件：对于函数 f(x) 在 x=a 处可导，必须满足两个条件：(1)函数 f(x) 在 x=a 处存在；(2)函数 f(x) 在 x=a 处的左、右导数相等。
3. 导数的运算法则导数的运算法则包括：四则运算法则、复合函数的导数法则、反函数的导数法则以及隐函数求导法则等。
4. 导数的应用导数的应用包括但不限于：切线方程与法线方程的求解、极值点与拐点的判定、函数图像的凹凸性判定、最值问题和最优化问题等。
二阶及高阶导数的概念及计算
其中Rn(x)＝
(n + 1)!
x
(ξ在0与x之间)
上式称为函数f(x)在x＝0点附近关于x的泰勒展 开式简称泰勒公式。式中的Rn(x)叫做拉格朗日余项。
x2 xn e x = 1 + x + + L + + O( x n ) 2! n!
在上式中，令x＝1，可得求e的近似公式
1 1 e = 1+1+ +L + 2! n!
例4.20 求函数f(x)＝sinx在x＝0点的泰勒展开式 解：∵f'(x)＝cosx，f"(x)＝-sinx，f"'(x)＝-cosx f(4)(x)＝sinx，… ∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝0，f"'(x)＝－1 f(4)(0)＝0，… f(2n－1)(0)＝(－1)n－1，f(2n)(0)＝0 于是，sinx在x＝0点的泰勒展开式为：
例4.15 求曲线y＝x3－4x＋4的凹凸区间和拐点 解：y'＝x2－4，y"＝2x,令2x＝0，得x＝0 当x＜0时，y”＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的， 当x＞0时，y"＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。 在x＝0的左右两侧，y”由正变负，所以(0,4)为曲 线上的拐点。 例4.16 讨论曲线y＝x4－1的凹凸性和拐点 解：∵f"(x)＝12x2 ∴当x≠0时，f"(x)＞0，而f"(0)＝0 因此曲线y＝x4－1在(－∞,＋∞)内都是凹的， 点(0,－1)不是拐点。
二阶导用极限的定义
二阶导用极限的定义
二阶导数极限是指在某函数中，当变量接近某点时，函数的第二阶偏导数所取
得值所趋于的极限。
一般情况下，如果函数f(x)在x=a处可以二阶微分，那么，
当x临近a时，就可以定义函数二阶导数极限了。
二阶导数极限是一种重要的函数变化率的测量手段，有时也称为形变率的测量
手段，它利用函数二阶导数极限来表达函数变化率中的变化具体形式。
当函数二阶导数极限为正时，表示函数增长率缓慢；当函数二阶导数极限为负时，表示函数增长率快。
函数二阶导数极限在微积分和数学物理中均有重要的应用。
在微积分领域，它
可以用来预测函数变化的趋势，检查函数的表现是单增还是单减，以及求解函数的泰勒展开；在物理学中，函数二阶导数极限的形变率常常被用于研究一维单元的变形，分析材料微观损伤以及加速度场的构建等。
二阶导数极限在社会发展过程中具有重要意义，它可以用来表达社会学习环境
建设、资源分配、交通运输以及经济转型等改变过程中的历史变化趋势。
换句话说，借助函数二阶导数极限，可以得出社会发展各个方面的具体变化形态，从而引导社会有效发展。
综上所述，二阶导数极限是一个重要的概念，它是随着函数变量接近某点时，
函数第二阶偏导数所取值所趋于的极限。
二阶导数极限在微积分和物理学中具有重要应用，它还可用于表达社会发展历史变化趋势，并引导社会有效发展。
导数的定义与性质
导数的定义与性质导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率。
在实际应用中，导数往往帮助我们了解函数的趋势、寻找最值以及解决各种实际问题。
本文将介绍导数的定义和性质，并探讨导数在不同领域的应用。
首先，我们来定义导数。
对于一个函数f(x)，其在点x处的导数可以用极限的概念表示为：$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$其中h为趋近于0的实数，表示两个点在x轴上的距离。
导数表示函数在该点处的瞬时变化率，即函数曲线在该点处的切线的斜率。
接下来，我们来讨论导数的性质。
导数具有以下几个基本性质：1. 可导性：如果函数f(x)在某一点x处可导，那么该点必须存在极限$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$同时，如果函数在某一区间内的每一个点都可导，那么函数在这个区间内是可导的。
2. 关于导函数的连续性：在某一点x处可导等价于该点处的导函数f'(x)存在。
3. 导数的加减法规则：设函数f(x)和g(x)都可导，则它们的和、差和常数倍均可导，且有如下公式：$$(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)$$$$(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$$其中c为常数。
4. 导数的乘法法则：设函数f(x)和g(x)都可导，则它们的乘积也可导，且有如下公式：$$(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$5. 导数的链式法则：设函数f(x)和g(x)都可导，则复合函数h(x) = f(g(x))也可导，且有如下公式：$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$这条法则非常重要，可以用来求复合函数的导数。
微积分中的二阶及高阶导数的概念及计算
ex 1 x x2 xn O(xn )
2!
n!
在上式中，令x＝1，可得求e的近似公式
e 11 1 1
2!
n!
例4.20 求函数f(x)＝sinx在x＝0点的泰勒展开式 解：∵f'(x)＝cosx，f"(x)＝-sinx，f"'(x)＝-cosx
f(4)(x)＝sinx，… ∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝0，f"'(x)＝－1
f(4)(x)＝cosx，… ∴f(0)＝1，f'(0)＝0，f"(0)＝－1，f"'(x)＝0
f(4)(0)＝1，… f(2n－1)(0)＝0，f(2n)(0)＝(－1)n 于是，cosx在x＝0点的泰勒展开式为：
cos x 1 x2 x4 (1)n x2n O(x2n1)
例4.13 判定曲线y＝1 的凹凸性
x
解：∵y＝ 1 ∴f'(x)＝－ 1 ，f"(x)＝ 1 ，
x
x2
x3
无拐点但有间断点x＝0
当x＜0时，f”(x)＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的，
当x＞0时，f"(x)＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。
例4.14 判定曲线y＝cosx在(0,2π)的凹凸性
例4.16 讨论曲线y＝x4－1的凹凸性和拐点 解：∵f"(x)＝12x2
∴当x≠0时，f"(x)＞0，而f"(0)＝0 因此曲线y＝x4－1在(－∞,＋∞)内都是凹的， 点(0,－1)不是拐点。
4.7 函数图象的描绘 利用函数的一、二阶导数的性质，我们可以较准
确地用描点法描绘函数的图象。 一般步骤为：
浅谈高等数学中两类二阶导数的计算
浅谈高等数学中两类二阶导数的计算【摘要】高等数学中的二阶导数是一个重要的概念，对于理解函数的性质和变化趋势具有重要意义。
本文从极限定义出发，介绍了计算二阶导数的基本原理和方法。
通过利用高阶导数的性质，简化了计算过程，同时探讨了二阶导数的几何解释和特殊函数的计算方法。
还探讨了二阶导数在微分方程中的应用，展示了它在实际问题中的重要性。
总结了两类二阶导数的计算方法及其重要性，并展望了未来高等数学中二阶导数的研究方向。
通过本文的讨论，读者可以更深入地了解高等数学中二阶导数的计算方法和应用领域，为进一步学习和研究打下基础。
【关键词】高等数学、二阶导数、计算、极限定义、高阶导数、几何解释、特殊函数、微分方程、重要性、研究方向。
1. 引言1.1 介绍高等数学中二阶导数的重要性高等数学中二阶导数的重要性非常显著，它在数学和科学领域中扮演着重要角色。
一阶导数可以描述函数的变化率，而二阶导数则可以描述函数的曲率和凹凸性，更加深入地揭示了函数的性质。
通过计算二阶导数，我们能够更好地理解函数的形态和特性，从而为求解数学问题和解决实际应用奠定基础。
在微积分中，二阶导数可以帮助我们找到函数的最值点，判断函数的凸凹性，解决优化问题等。
在物理学中，二阶导数可以描述物体的加速度，速度和位移之间的关系，为物理问题的建模和预测提供重要参考。
在工程学和经济学中，二阶导数也有着广泛的应用，如控制系统设计、股票市场预测等。
二阶导数在数学和科学领域中扮演着至关重要的角色，对理解和解决问题都具有不可替代的作用。
深入研究和掌握二阶导数的计算方法对于培养学生的数学思维能力和提高科学研究水平有着重要意义。
.1.2 说明二阶导数计算的基本原理在高等数学中，二阶导数的计算是一个重要且基础的部分。
在计算二阶导数时，我们需要理解其基本原理，以便准确地求解各种函数的二阶导数。
二阶导数表示的是函数的变化率的变化率。
也就是说，二阶导数反映了函数的曲率或凹凸性。
通过计算二阶导数，我们可以更加深入地了解函数在不同点的曲率情况。
导数与函数的可导性
导数与函数的可导性在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具，它与函数的可导性密切相关。
本文将探讨导数的概念及其与函数可导性的关系。
一、导数的定义导数是函数在某一点上的变化速率，可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。
设函数 f(x) 在点 x 处可导，其导数记为 f'(x) 或 dy/dx。
导数可以通过极限求解，其定义为：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗其中Δx 表示自变量 x 的增量。
二、函数的可导性函数的可导性是指函数在某一点上存在导数。
若函数在某一点处导数存在，则称该函数在该点可导。
函数的可导性与其在该点的连续性密切相关，连续函数在其定义域内均可导。
三、导数与函数的关系1. 导数表示函数的局部变化率导数可以表示函数在某一点上的变化速率。
若导数为正，表示函数在该点上递增；若导数为负，表示函数在该点上递减；若导数为零，表示函数在该点上取得极值。
2. 导数决定函数的增减性与凸凹性函数在其定义域内可导时，导数的正负决定了函数的增减性。
若导数恒大于零，函数在该区间上递增；若导数恒小于零，函数在该区间上递减。
此外，导数的二阶导数（即导数的导数）可决定函数的凸凹性。
若函数的二阶导数恒正，函数在该区间上为凸函数；若二阶导数恒负，函数为凹函数。
3. 导数与函数的切线和法线导数可以确定函数曲线在某一点上的切线方程。
若函数 f(x) 在点x=a 处可导，则该点上的切线方程为：y-f(a) = f'(a)(x-a)此外，切线的斜率等于导数。
四、函数可导性的判定函数是否可导需要通过导数的存在性来判定。
以下介绍函数可导的常见情况：1. 多项式函数在其定义域内均可导。
2. 正弦函数、余弦函数在其定义域内均可导。
3. 幂函数及其组合函数在其定义域内均可导。
4. 绝对值函数在其定义域内除了 x=0 外均可导。
需要注意的是，函数的可导性与其在某一点的连续性不同。
函数的极值与拐点
函数的极值与拐点函数的极值与拐点是数学中常见的概念，它们与函数的变化趋势密切相关。
通过研究函数在某个区间上的增减性、单调性以及二阶导数的符号等，我们可以确定函数的极值点和拐点。
本文将详细讨论函数的极值与拐点的定义、判定方法及其在实际问题中的应用。
一、函数的极值首先，我们来定义函数的极值。
对于函数f(x)，如果在某个点x=a 处，存在一个邻域，使得在这个邻域内，函数值f(x)小于或大于f(a)，那么我们称f(a)为函数的极大值或极小值，简称极值。
极大值和极小值的统称为极值。
那么如何判定函数的极值呢？我们给出以下定理：定理1：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且在(x=a)和(x=b)处的导数值不为0，则：1. 当导数恒大于0时，函数在[a,b]上单调递增，且在x=a处取得极小值，x=b处取得极大值；2. 当导数恒小于0时，函数在[a,b]上单调递减，且在x=a处取得极大值，x=b处取得极小值。
以上定理提供了一种判定函数极值的方法，但并不是所有函数的极值都可以通过导数来求解。
对于二次函数、三次函数等特殊函数，可以通过求解导数为0的方程来找到极值点。
二、函数的拐点接下来，我们来定义函数的拐点。
对于函数f(x)，如果在某个点x=a处，左极限f(a-)和右极限f(a+)存在且相等，且在该点左右两侧函数的凹凸性改变，那么我们称a为函数的拐点。
如何判定函数的拐点呢？我们给出以下定理：定理2：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，则：1. 当二阶导数f''(x)恒大于0时，函数在[a,b]上凹，且拐点位于(a,b)内；2. 当二阶导数f''(x)恒小于0时，函数在[a,b]上凸，且拐点位于(a,b)内；3. 当二阶导数f''(x)为0时，函数存在可能的拐点。
以上定理意味着，函数的凹凸性与二阶导数的符号有直接关系。
通过求解二阶导数为0的方程，我们可以找到可能的拐点，然后进一步确定拐点是否存在。
二阶导计算公式
二阶导计算公式二阶导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数曲线的曲率变化。
在本文中，我将介绍二阶导数的计算公式及其应用。
一、二阶导数的定义在微积分中，函数f(x)的二阶导数表示为f''(x)，它是函数f(x)的一阶导数f'(x)的导数。
换句话说，二阶导数是函数的斜率的变化率。
二、二阶导数的计算公式1. 使用极限定义法计算二阶导数：根据极限定义法，函数f(x)的二阶导数可以通过以下公式计算：f''(x) = lim [f'(x + h) - f'(x)] / h，其中h趋近于0。
2. 使用链式法则计算二阶导数：对于复合函数，我们可以使用链式法则来计算二阶导数。
假设y = f(g(x))，其中f(u)和g(x)分别是函数，那么二阶导数可以通过以下公式计算：y''(x) = f''(g(x)) * [g'(x)]^2 + f'(g(x)) * g''(x)三、二阶导数的应用1. 函数的凹凸性分析：二阶导数可以帮助我们分析函数的凹凸性。
如果f''(x) > 0，那么函数在x处是凹的；如果f''(x) < 0，那么函数在x处是凸的。
2. 极值点的判断：通过二阶导数可以判断函数的极值点。
如果f''(x) > 0且f'(x) = 0，那么函数在x处有一个局部最小值；如果f''(x) < 0且f'(x) = 0，那么函数在x处有一个局部最大值。
3. 曲线的拐点分析：二阶导数可以帮助我们分析函数曲线的拐点。
如果f''(x) > 0，那么函数在x处有一个拐点，曲线从凹向凸；如果f''(x) < 0，那么函数在x处有一个拐点，曲线从凸向凹。
4. 泰勒展开：在数值计算中，二阶导数也可以用于泰勒展开的计算中。
导数与函数的数列极限与级数
导数与函数的数列极限与级数在微积分学中，导数与函数的数列极限与级数是两个核心概念。
导数描述了函数在某一点上的变化率，而数列极限与级数则涉及了数列和无穷级数的性质与收敛性。
本文将深入探讨这两个概念以及它们之间的关联。
一、导数与函数导数是描述函数变化率的概念。
对于函数y=f(x)，在某一点x处的导数用f'(x)或dy/dx表示，表示函数在该点的瞬时变化率。
具体地，导数可以通过函数的极限来定义。
对于函数f(x)，x的增量为Δx时，其相应的函数增量为Δy=f(x+Δx)-f(x)。
当Δx趋近于0时，如果这个极限存在，就称函数在x处可导。
此时，导数f'(x)等于这个极限值。
导数的存在保证了函数在某一点的光滑性，反映了函数在该点的局部变化情况。
导数在数学和物理中都有广泛的应用，例如曲线的切线斜率、速度和加速度等。
通过导数的计算，我们可以推导函数的最值、拐点和凹凸性等重要信息。
二、函数的数列极限与级数数列极限是数列中每一个项趋近于某个值（可以是实数、无穷大或无穷小）的过程。
如果对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，数列的项a_n与极限L的距离小于ε，则称该数列收敛于L，记作lim(a_n)=L。
数列极限的性质包括唯一性、有界性和保号性等。
此外，数列的收敛性还可以通过逐项比较判别法、夹逼准则和拉链定理等方法来判断。
级数是由数列的项所组成的无穷和。
设有数列a_n，级数S_n=a_1+a_2+...+a_n。
如果数列S_n的部分和有极限，即lim(S_n)=S存在，则称级数收敛于S。
否则，级数发散。
常见的级数包括等比级数和调和级数。
等比级数是由等比数列的项所组成的级数。
当公比|r|<1时，等比级数收敛于a_1/(1-r)；当|r|>=1时，等比级数发散。
调和级数是由倒数数列的项所构成的级数。
调和级数发散，即无穷大。
三、导数与数列极限和级数的关联导数与数列极限和级数之间存在着紧密的联系。
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若 lim k C 0 , 则称 是关于 的 k 阶无穷小; 若 lim 1, 则称 是 的等价无穷小, 记作 ~ 或 ~
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定理2 . 设
且
存在 , 则
lim
证:
lim lim lim lim lim lim
利用和差代替与取大规则
说明
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内容小结
1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 0
是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小
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第一章
x 2
2
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2.
推广形式： lim (1 x) e
x0
1 x
1 ) ( x ) e , 则 说明 ：若利用 lim (1 ( x)
( x )
原式 lim (1
x
1 ) x 1 x
e 1
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例6. 求
例如,
2x 2 tan 2 x lim lim x 0 5 x 5 x 0 sin 5 x
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说明: 设对同一变化过程 , , 为无穷小 , 由等价
无穷小的性质, 可得简化某些极限运算的下述规则.
(1) 和差取大规则: 若 = o() , 则 ~ 1 x sin x lim 例如, lim 3 3 x 0 3 x x 0 x 3 x (2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且 与 不等价 , lim . 则 ~ , 且 lim
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2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,
若 lim 0 , 则称 是比 高阶的无穷小, 记作 o( ) 若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小; 若 lim C 0 , 则称 是 的同阶无穷小;
第七节 目录
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6、无穷小的比较
2
第一章
引例 . x 0 时 , 3 x , x , sin x 都是无穷小, 但
sin x 1 x lim , 0, lim x 0 3 x 3 x 0 3 x sin x lim 2 , x 0 x
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
lim ( x) lim ( x) 1 1 lim arcsin x sin lim x sin 0 x 0 x x 0 x
tan x sin x 例3. 求 lim . 3 x 0 x
解: 原式
xx 原式 lim 3 x 0 x
lim
2 x 1 x 2 x 0
第一章
5、两个重要极限
5.1、
5.2、
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5.1、 两个重要极限
O C A
1 x
B D
第一种重要极限的推广形式
注
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例2. 求
tan x sin x 1 解: lim lim x 0 x x 0 x cos x sin x 1 lim 1 lim x 0 x x 0 cos x
解: 令 t x , 则
t t lim (1 1 ) t
lim
1
t
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例7. 求
解: 原式 =
1 ) 2 ]2 lim [(sin 1 cos x x x
x 2
x
lim (1 sin 2 ) x
x
(1 sin 2 ) x
1 sin 2 x
例3. 求
解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
t 原式 lim t 0 sin t
sin t t
1
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例4. 求
解: 原式 = lim
x 2 sin 2 2 2
x 0
x
1 2 sin 1 lim x 1 2 2 x0 2
7、函数的连续性与间断点
7.1、 函数连续性的定义 7.2、 函数的间断点
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7.1、 函数连续性的定义
定义: 设函数 在 的某邻域内有定义 , 且 则称函数 f ( x) 在 x0 连续. 可见 , 函数 (1) (2) 极限 (3) 在点 在点 x0 连续必须具备下列条件:
有定义 , 即
存在 ;
存在 ;
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若
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 上的连续函数的集合记作 C [ a , b ]. ( 有理整函数 ) 在 上连续 .
x3
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(1 1 . 例4. 求 lim x 0 cos x 1
解:
1 x2 )3
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例5. 证明: 当
证:
时,
ln(1 x) ~ x
ln( 1 x ) ln(1 ( x )) ~ ( x ) ln( 1 x ) 与ln(1 x)不等价
2x x tan 2 x sin x lim 1 例如, lim 2 1 x 1 x 0 x x 0 2
(见下页例3) 注意 ~ 时此结论未必成立！
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(3) 因式代替规则: 若 ~ , 且 ( x) 极限存在或有 界, 则 例如,
e
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例8. 求
例9. 求
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2. 两个重要极限
或
注: 代表相同的表达式
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思考与练习
填空题 ( 1～4 ) sin x 0 ; 1. lim _____ x x 1 0 ; 3. lim x sin ____ x 0 x
1 1 2. lim x sin ____ ; x x 1 n e 1 4. lim (1 ) ____ ; n n