山东省沂水县高考数学一轮复习函数系列之函数综合之定义域和值域学案

函数综合之定义域与值域
【知识网络】
1．函数的定义域；
2．函数的值域．
【典型例题】
例1．（1）函数)13lg(13)(2
++-=x x
x x f 的定义域是________ 提示：由10310x x ->⎧⎨+>⎩解得113x -<<． （2）已知()f x =
1
1+x ，则函数(())f f x 的定义域是_________ 提示：11(())1()111f f x f x x =+++＝，∴ 11101x x ≠-⎧⎪⎨+≠⎪+⎩，解得12x x ≠-≠-且 （3
）函数＝y R ，则k 的取值范围是________ 提示：∵2680kx x k -++≥恒成立， 0k ≤显然不符，
∴ 0364(8)0k k k >⎧⎨∆+≤⎩
＝－， 解得：1k ≥ （4）下列函数中,最小值是2的是__③_(正确的序号都填上). ①(12)y x x x =+>
；②2y
1y =+-；④x x y cot tan +=． （5）若的最大值是则y x y x 43,122-=+_____5____ 提示：设cos ,sin x y θθ==，则343cos 4sin 5sin x y θθθϕ-=-=（＋），其最大值为5．
例2．（1）求下列函数的定义域：x x x x x x f +-++-=0
2)1(65)(的定义域．
（2）已知函数()f x 的定义域是(,)a b ，求函数()(31)(31)F x f x f x =-++的定义域． 解：由函数解析式有意义，得 ⇒⎪⎩
⎪⎨⎧>+≠-≥+-0010652x x x x x 321011230x x x x x x x ≥≥⎧⎪≠⇒<<<≤≥⎨⎪>⎩或或或 故函数的定义域是),3[]2,1()1,0(+∞ ．
(2）由11313331113
3a b x a x b a x b a b x ++⎧<<⎪<-<⎧⎪⇔⎨⎨<+<--⎩⎪<<⎪⎩ ． ∵ 函数的定义域不可能为空集，∴ 必有1133
a b +-<，即2b a -> 此时，1133
a b x +-<<，函数的定义域为（3131-+b a ，）；
例3．求下列函数的值域：
（1
）4y =； （2
）y x =+
（3）221223
x x y x x -+=-+； （4
）y ； 解：（1
）4y =
∵ 20(1)44x ≤--+≤， ∴
02≤
∴244≤- ∴所给函数的值域为[2，4]
（2
t (0t ≥)，则x=2
12
t -． ∴ 2
12t y t -=+21(1)12
t =--+，当1t =时，max 1y = ∴所给函数的值域为(－∞,1].
（3）由已知得：2(21)(21)(31)0y x y x y ---+-=…………（*）
①当210y -=时，12y =，代入（*）式，不成立，∴12
y ≠． ②当210y -≠时，则：
211312231102(21)4(21)(31)010
2y y y y y y y ⎧⎧≠⎪≠⎪⎪⇒⇒≤<⎨⎨⎪⎪≤≤∆=----≥⎩⎪⎩ ∴ 所给函数的值域为31[,)102
． （4）530
503≤≤⎩⎨⎧≥-≥-x x x 得由 ∴函数定义域为
[3,5]
222y =++又当4x =时，2
max 4y
=，当35x =或时，2min 2y = ∴ 224y ≤≤ 0y >
2y ≤
∴
所给2]函数的值域为
例4．已知函数2()3y f x x ax ==++在区间[-1，1]上的最小值为-3，求实数a 的值． 解：4
3)2()(2
2a a x x f y -++== （1）min 12(1)432
a a y f a -
<->=-=-=-当，即时，，解得：7a = （2）当112
a -≤-≤，即22a -≤≤时，2
min ()3324a a y f =-=-=-
，解得a =± （3）当12a ->，即2a <-时，min (1)43y f a ==+=-，解得：7a =-． 综合（1）（2）（3）可得：a=±7．
【课内练习】
1．函数23)(x x x f -=的定义域为_________
提示：由230x x -≥得：03x ≤≤
2．函数251x y x =
+的值域为_________ 提示：y ＝)15(5252+-x , ∵)15(52+x ≠0, ∴ y ≠5
2 3．若函数()f x 的定义域为[,]a b ，且0b a >->，则函数()()()g x f x f x =--的定义域是___________
提示：由(0)a x b b a a x b <<⎧>->⎨<-<⎩得：(0)a x b b a b x a <<⎧>->⎨-<<-⎩
即a x a -<< 4．函数2
211x y x
-=+的值域为_______ 提示：由2211x y x
-=+得：2101y x y -=≥+，解得：11y -<≤． 5．函数31--+=x x y 的值域是[4,4]-
提示：作出函数的图象，得值域为[4,4]-．
6．函数248136(1)
x x y x ++=+ (1x >-)的值域是[2,)+∞ 提示：24(1)923(1)26(1)32(1)
x y x x x ++==++≥++， 当且仅当123(1)32(1)x x x >-⎧⎪⎨+=⎪+⎩即12x =时取等号．又函数无最大值，故函数值域为[2,)+∞． 7．若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为2y x =、值域为{1,4}的“同族函数”共有 9 个.
提示：设函数2
y x =的定义域为D ，其值域为{1,4}，D 的所有情形的个数，即是同族函数的个数，D 的所有情形为：{1,2},{1,2},{1,2},{1,2},{1,1,2},{1,1,2},-------{1,2,2},{1,2,1}---， {1,1,2,2}--共9个，答案为9．
8．求下列函数的定义域： （1
）y = （2
）y =． 解：（1）由 ⎩⎨⎧≠--≥-0
1|1|032x x x , 得⎩⎨⎧≠≠≤≤2030x x x 且, 即：0223x x <<<≤或 ∴ 函数的定义域是(0, 2)∪(2, 3] ．
（2）由12
log (2)0x ->，得：021x <-< ，即：12x <<，∴ 函数的定义域为(1,2)．
9．求下列函数的值域：
（1）2
42(14)y x x x =-+-≤≤；（2）x x y sin 2sin 2+-=；（3）22436x x y x x ++=+-． 解：（1）2(2)2y x =--+
∵ 14x ≤≤，∴ 当2x =时，max 2y =，当4x =时，min 2y =-
∴ 所给函数的值域为[2,2]-．
（2）由x
x y sin 2sin 2+-=解得：22sin 1y x y -=+，由|sin |1x ≤得22||11y y -≤+ 两边平方后整理，得：231030y y -+≤，解得：1
33
x ≤≤， 故所给函数的值域为1
[,3]3
．
（3）由已知得2(1)(4)(63)0y x y x y -+--+= (*)
① 若1y =，代入（*）式390x --=，∴3x =-， 此时原函数分母26x x +-的值为0，∴y ≠1；
② 若y ≠1，则2(4)4(1)(63)01y y y y ⎧∆=-+-+≥⎨≠⎩2(52)01
y y ⎧-≥⇒⎨≠⎩1y ⇒≠ 但当25y =时，代入(*)得：3x =-，∴25
y ≠ ∴函数的值域为：2{|,1}5
y y R y y ∈≠≠且． 评注：本题中需要检验的原因是：函数22436
x x y x x ++=+-可化简为1(3)2x y x x +=≠--． 10．已知函数12)(2++=ax x x f 在区间[1,2]-上的最大值为4，求a 的值．
解：22()()1y f x x a a ==++-
（1）当12
a -≤，即12a ≥-时，在2x =时函数有最大值， (2)544f a =+=，解得14
a =-，适合； （2）当12a ->，即12
a <-时，在1x =-时函数有最大值， (1)224f a -=-=，解得1a =-，适合． 综上所述：14
a =-或1a =-．
作业1
1．设I ＝R ，已知2()lg(32)f x x x =-+的定义域为F ，函数()lg(1)lg(2)g x x x =-+-的定义域为G ，那么GU I C F 等于__________
提示：由2320x x -+>得：21x x ><或，∴ F =(－∞，1)(2，＋∞)，I C F ＝[1，2]，
又由 1020x x ->⎧⎨->⎩
得2x >，∴ G ＝(2，＋∞) ∴ GU I C F ＝[1，＋∞] 2．已知函数)(x f 的定义域为[0，4]，求函数)()3(2x f x f y ++=的定义域为__________ 提示：由题意有⎩
⎨⎧≤≤≤+≤404302x x 解得 12≤≤-x ，故此函数的定义域为[－2，1] 3．若a ＞1, 则 1
1-+a a 的最小值是_________
提示：11111311a a a a +
=-++≥=--． 当且仅当1111
a a a ⎧-=⎪-⎨⎪>⎩，即2a =时取等号，∴ 2a =时，11-+a a 的最小值是为3． 4
．函数y 的值域为[0,2]
提示：y =2)1(4+-x , ∴ 02y ≤≤
5．函数|1||2|y x x =++-的值域为[3,)+∞
提示：作出函数的图象，可以看出函数值域为[3,)+∞
6．求函数222231
x x y x x -+=-+的值域 解：222231
x x y x x -+=-+, 得 (y ―2)x 2―(y ―2)x ＋y －3＝0 当y ≠2时, △＝(y ―2)2―4(y ―2)(y ―3)≥0, 解得2<y ≤
310； 当y ＝2时, （*）不成立．
综上所述：2<y ≤
310． . ∴ 函数的值域为10(2,]3 7．求函数x x y cos lg 252--=的定义域．
解：由⎩⎨⎧>≥-0cos 0252x x 得：⎪⎩
⎪⎨⎧∈+<<-≤≤-)(222255Z k k x k x ππππ
函数的定义域为33[5,)(,)(,5]2222
ππππ--⋃-⋃． 8．已知函数2()23f x x x =-+在[0,]a (0)a >上的最大值为3，最小值为2，求实数a 的取值范围．
解：2()(1)2f x x =-+，
（1）当
12a ≥，即2a ≥时，2(1)2()233f f a a a =⎧⎨=-+=⎩，解得：20(a a ==或舍）； （2）当12a a <≤，即12a ≤<时，(1)2(0)3f f =⎧⎨=⎩
，适合题意； （3）当1a <时，2(0)3()232
f f a a a =⎧⎨=-+=⎩，解得：1a =（舍）．
综上所述：12a ≤≤
作业2
1．若函数()f x 的定义域为[－2，2]
，则函数f 的定义域是________
提示：f
()f x 中的x
，则22-，∴ 04x ≤≤
2．已知函数1()lg
1x f x x +=-的定义域为A ，函数()lg(1)lg(1)g x x x =+--的定义域为B ，则下述关于A 、B 的关系中，正确的个数为______ ①A B ②A ∪B=B ③A ∩B=B ④B ≠A 提示：由
101x x +>-得：11x -<<， ∴{|11}A x x =-<<，由1010x x +>⎧⎨->⎩
得：11x -<<， ∴{|11}A x x =-<<, ∴A B = 故3个
3．下列结论中正确的个数是______个。

①当2x ≥时，1x x
+的最小值为2 ②02x ≤≤时，22x x --无最大值 ③当0x ≠时，12x x
+≥ ④当1x >时，1lg 2lg x x +≥ 提示：①中，12x x +≥，但12
x x x ⎧=⎪⎨⎪≥⎩无解；②中，22x x --为增函数，2x =时可取得最大值； ③中，0x <时不成立；④为真，答案为1个．
4．函数(63)(02)y x x x =⋅-<<的值域是[0,3] 提示：2(2)3(2)3[]32x x y x x +-=⋅-≤=，当且仅当022x x x
<<⎧⎨=-⎩，即1x =时取等号 又0y >，故函数的值域为[0,3]．．
5．已知函数2
2(1)1x y ax a x -=-+-的定义域是R , 则实数a
提示：对x ∀，2(1)10ax a x -+-≠恒成立，0a =时，显然不符合题意；
∴ 20(1)40
a a a
≠⎧⎨∆=
++<⎩，解得：33a --<-+6．已知函数22()lg[(1)(1)1],f x a x a x =-+++若()f x 的值域为(,)-∞+∞，求实数a 的取值范围。

解：设22(1)(1)1t a x a x =-+++,
()(,)f x ∈-∞+∞, ∴(0,)t ∈+∞
即t 只要能取到(0,)+∞上的任何实数即满足要求。

由右图 若2(1)0a -≠，则22210513(1)4(1)0a a a a ⎧->⎪⇒<≤⎨∆=+--≥⎪⎩
； 若210a -=，则1a =±，
当1
,21a t x ==+时满足要求 当1,1a t =-
=时（不合，舍去）．
综上所述：513
a ≤≤．
7．已知()f x 的值域是34[,
]89
，试求函数()()y g x f x ==的值域． 解：∵ 34()89f x ≤≤
∴1112()94f x ≤-≤
∴1132
≤
11()32t t ≤≤，则21()(1)2
f x t =- ∴2211(1)(1)122
y t t t =-+=--+ ∴min max 17173928
t y t y ====当时，，当时， ∴77[,]98
y ∈ 8．已知二次函数2()(0,)f x x bx c b c R =++≥∈．若()f x 的定义域为[1,0]-时，值域也是
[1,0]-，符合上述条件的函数()f x 是否存在？若存在，求出()f x 的解析式；若不存在，请说明理由．
解：假设符合条件的()f x 存在 函数图像的对称轴是2
b x =-，又0b ≥，∴02b -≤ （1）当1022b -<-≤时，即01b ≤<，函数当2
b x =-时，有最小值1-，则 22()1,1242(1)010
b b b f
c f b c ⎧⎧-=--+=-⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-=-+=⎩⎩0,4,().13b b c c ==⎧⎧⇒⎨⎨=-=⎩⎩或舍去 （2）当1122b -<-
≤-时，即12b ≤<时，则 2,2,()1,().200(1)0
b b b f
c c f ⎧==--=-⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨==⎩⎩⎪-=⎩或都舍去 （3）当12
b -
≤-，即2b ≥时，函数在[1,0]-上单调递增，则 (1)1,2(0)00f b f c -=-=⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩
综上所述，符合条件的函数有2个：22()1()2f x x f x x x =-=+或．。