山东省济南莱芜市第一中学2021-2022高二数学下学期第一次质量检测试题(含解析).doc

山东省济南莱芜市第一中学2021-2022高二数学下学期第一次质量检
测试题（含解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，答题时间120分钟． 注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的级部、班级、姓名、准考证号、写在答题纸密封线外，并将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．考试结束后将答题卡交回．
第I 卷（选择题共60分）
一、单项选择题．本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知i 是虚数单位，复数12i
z i
-=，则z 的虚部为（ ） A. i - B. 1
C. i
D. 1-
【答案】D 【解析】 【分析】
由题得2z i =--即得z 的虚部. 【详解】由题得12(12)2
21
i i i i z i i i i --+=
===--⨯-， 所以z 的虚部为1-. 故选：D.
【点睛】本题主要考查复数的除法运算和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2.下列求导运算正确的是（ ）
A. sin cos 66ππ'⎛⎫= ⎪⎝
⎭
B. ()33
3
log x
x
e '
=
C. ()
x x e e --'=-
D.
22sin cos x x x x
'⎛⎫= ⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，逐项求解，即可得到答案. 【详解】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，可得：
A 中，sin 06π'⎛⎫= ⎪⎝
⎭，所以不正确； B 中，()
33ln 3x x '=，所以不正确；
C 中，()
()x x x e x e e ---'⋅-'==-，所以是正确的；
D 中，222222
()sin (sin )2sin cos sin sin sin x x x x x x x x x
x x x '''⎛⎫-+== ⎪⎝⎭
，所以不正确. 故选：C.
【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记基本初等函数的导数公式和导数的运算法则是解答的关键，意在考查运算与求解能力. 3.已知随机变量(
)2
2X N σ~，，若()10.32P X <=，则()23P X <<=（ ）
A. 0.32
B. 0.68
C. 0.18
D. 0.34
【答案】C 【解析】 【分析】
由随机变量(
)2
2X N σ
~，，得到正态分布曲线关于2x =对称，结合对称性，即可求解.
【详解】由题意，随机变量(
)2
2X N σ
~，，可得2μ=，即正态分布曲线关于2x =对称，
根据正态分布曲线的对称性，可得()12(1)120.32
230.1822
P X P X -<-⨯<<===.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了正态分布的概率的计算，其中解答中熟记正态分布的性质，以及合理应用正态分布曲线的对称性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
4.设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()f x '的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】
先根据函数()f x 的图像判断单调性，从而得到导函数的政府情况，最后可得答案.
【详解】解：原函数的单调性是：当0x <时，单调递增，当0x >时，单调性变化依次为增、减、增，故当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()f x '的符号变化依次为“+、-、+”. 故选：C.
【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，属于基础题.
5.2019年6月7日，是我国的传统节日“端午节”．这天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅．小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为（ ） A.
17
B.
13
C.
37
D.
310
【答案】B 【解析】 【分析】
设事件A 为“取出两个粽子为同一种馅”，事件B 为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，计算P （A ）、()P AB 的值，从而求得(|)P B A 的值．
【详解】由题意，设事件A 为“取出两个粽子为同一种馅”， 事件B 为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，
则P （A ）22
34273
7
C C C +=
=， 23271()7
C P AB C ==， ()1
(|)()3
P AB P B A P A ∴=
=． 故选B ．
【点睛】本题主要考查古典概型和条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
6.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面
11A D M 所成角的正弦值是（ ）
A.
215
B.
25
C.
35
D.
45
【答案】B 【解析】 【分析】
通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦值.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系， 则1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)2
A D M B
11(1,0,0)=-A D ，11(0,1,)2=-D M ，11
(1,0,)2
=MB
设平面11A D M 的法向量为(,,)m x y z =
则1110=01
002x A D m y z D M m -=⎧⎧⋅⎪⎪
⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎩⎪⎩
令1y =可得2z =，所以(0,1,2)=m 设直线1B M 与平面11A D M 所成角为θ，
11
2sin 55
52
θ⋅=
=
=
⋅⨯
m MB m MB
故选：B
【点睛】本题考查了空间中的角——线面角的求法，考查了空间想象能力和数学运算技能，属于一般题目.
7.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好
40
20
60
由2
222
()110(40302030),7.8()()()()60506050
n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯=
=≈++++⨯⨯⨯算得 附表：
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】A 【解析】
【详解】由27.8 6.635K ≈>，而(
)
2
6.6350.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A 8.定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且当(),0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数，若()()0.3
0.3
3
3a f =⋅，()()log 3log 3b f ππ=⋅，
3311log log 99c f ⎛
⎫⎛
⎫=⋅
⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A. c a b >>
B. a c b >>
C. a b c >>
D.
c b a >>
【答案】A 【解析】 【分析】
构造函数()()=F x xf x ，可知函数为偶函数且在()0+∞，
上单调递增，a ，b ，c 可转化为()0+∞，
的三个数的函数值，比较三个数的大小，利用函数的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系.
【详解】()()=F x xf x ，则()'()()'0=+<F x f x xf x ， 当(),0x ∈-∞，()F x 单调递减
又因为()f x 为R 上奇函数，所以()F x 为偶函数，
当()0+x ∈∞，
，()F x 单调递增. 0.331
(3),(log 3),(log )=(2)(2)9
π===-=a F b F c F F F
其中，0.30.51332<<<，0log 3log 1πππ<<=
0.323log 3π∴>>
0.3(2)(3)(log 3)π∴>>F F F
所以c a b >> 故选：A
【点睛】本题考查了不等关系与不等式、函数的奇偶性以及函数的单调性等基本知识，考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题.
二、多项选择题．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9.下列命题正确的是（ ）
A. 回归直线一定过样本点()11x y ，中的某个点
B. 残差的平方和越小，回归方程的拟合效果越好
C. 若1z ，2z C ∈，且22
12
0z z +=，则120z z == D. 复数sin 2cos2z i =+在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】BD 【解析】 【分析】
根据回归直线的性质及回归分析判断AB ，根据复数的运算及复数的几何意义判断CD ； 【详解】解：对于A ，回归直线一定过样本中心但不一定过()11,x y ，故A 错误；
对于B ，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故B 正确；
对于C ，1z ，2z C ∈，且22120z z +=，显然当11z i =+，21z i =-时22
120z z +=，故C 错误；
对于D ，复数sin 2cos2z i =+在复平面内对应的点为()sin 2,cos2，因为22
π
π<<，所
以sin20>，cos20<，故点()sin 2,cos2位于第四象限，即D 正确； 故选：BD
【点睛】本题考查回归分析及复数的运算与复数的几何意义，属于基础题. 10.关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若对空间中任意一点O ，有111
632
OP OA OB OC =
++，则P ，A ，B ，C 四点共面 C. 设{}
,,a b c 是空间中的一组基底，则{}
,,a b b c c a +++也是空间的一组基底 D. 若0a b ⋅<，则,a b 是钝角 【答案】ABC 【解析】 【分析】
根据共线向量的概念，可判定A 是正确的；根据空间向量的基本定理，可判定B 是正确的；根据空间基底的概念，可判定C 正确；根据向量的夹角和数量积的意义，可判定D 不正确. 【详解】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；
对于B 中，若对空间中任意一点O ，有111
632
OP OA OB OC =
++，根据空间向量的基本定理，可得,,,P A B C 四点一定共面，所以是正确的；
对于C 中，由{}
,,a b c 是空间中的一组基底，则向量,,a b c 不共面，可得向量,a b b c ++，c a +也不共面，所以{}
,,a b b c c a +++也是空间的一组基底，所以是正确的； 对于D 中，若0a b ⋅<，又由,[0,]a b π∈，所以,(,]2
a b π
π∈，所以不正确
故选：ABC.
【点睛】本题主要考查了空间的向量的共线定理、共面定理的应用，基底的概念与判定，以及向量的夹角的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
11.A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ） A. 若A 、B 两人站在一起有24种方法 B. 若A 、B 不相邻共有72种方法 C. 若A 在B 左边有60种排法 D. 若A 不站在最左边，B 不站最右边，
有78种方法 【答案】BCD 【解析】 【分析】
对于A 利用捆绑法求解；对于B 利用插空法求解；对于C 利用倍分法求解；对于D 利用特殊元素优先法求解
【详解】解：对于A ，先将A,B 排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全
排列，由分步原理可知共有24
2448A A =种，所以A 不正确；
对于B ，先将A,B 之外的3人全排列，产生4个空，再将A,B 两元素插空，所以共有32
3
472A A =种，所以B 正确；
对于C ，5人全排列，而其中A 在B 的左边和A 在B 的右边是等可能的，所以A 在B 的左边的排法有
5
51602
A =种，所以以C 正确； 对于D ，对A 分两种情况：一是若A 站在最右边，则剩下的4人全排列有4
4A 种，另一个是A 不在最左边也不在最右边，则A 从中间的3个位置中任选1个，然后B 从除最右边的3个位
置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类加法原理可知共有41134
33378A A A A +=种，所
以D 正确， 故选：BCD
【点睛】此题考查排列、组合的应用，利用了捆绑法、插空法、倍分法，特殊元素优先法等，属于中档题.
12.已知函数3
()x
f x e x =⋅，则以下结论正确的是（ ） A. 3x =-是()f x 的极大值点 B. 方程()1f x =-有实数解
C. 函数()y f x =有且只有一个零点
D. 存在实数k ，使得方程()f x kx =有
4个实数解 【答案】BCD 【解析】 【分析】
函数求导2)(3)(x
f x e x x '=+,利用单调性，得到函数图象，由图象可得答案.
【详解】
23)(()x f x x x e =+'，令2(3)0()x f x e x x +'>=解得3x >-
所以3
()x f x e x =⋅在(,3)-∞- 单减，在(3+)-∞，
单增，且(0)0f =作出函数图象，则 ()f x 在3x =- 取得极小值，无极大值，故A 错误;
因为极小值3
(3)271f e
--=-<-，方程()1f x =-有实数解，故B 正确；
因为0x <时，()0f x <，因为0x >时，()0f x >，只有(0)0f =，故C 正确； 由图象可得正确.(也可由3x kx e x =⋅，得0x =或2x k e x =，令2
()x
h x e x =，求导
()(2)0x h x e x x '=+<，则20x -<< ，故2()x h x e x =在(2,0)-上单减，在(,2)-∞-和(0,+)∞上单增，由图知存在实数k ，使得2x k e x =有三个实根，故存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解)
故选：BCD
【点睛】本题考查了函数的图象、函数的单调性和函数的零点问题以及导数的应用问题，还考查了分类讨论、数形结合和转化与化归的数学思想.
第Ⅱ卷
二、填空题．把答案写在答题纸上．
13.甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为______ ． 【答案】0.58 【解析】
由题意可得：两人是否击中目标是相互独立的， 因为两人击中目标的概率分别是0.6和0.7， 所以两人都击中目标的概率为：0.6×0.7=0.42， 所以甲、乙至多一人击中目标的概率为：1−0.42=0.58. 故答案为0.58.
14.设离散型随机变量X 的概率分布如下，
X
0 1 2
P
1
6 13
p
若随机变量Y 满足21Y X =-，，则()E Y =______()D Y =______． 【答案】 (1). 53 (2). 20
9
【解析】 【分析】
由分布列的性质，列出方程求得12p =，进而得到45
(),()39
E X D X ==，再结合21Y X =-，进而求得(),()E Y D Y ，得到答案.
【详解】由离散型随机变量的分布列的性质，可得11163p ++=，解得1
2
p =， 所以22211144141415
()012,()(0)(1)(2)63233633329
E X D X =⨯+⨯+⨯==-⨯+-⨯+-⨯=，
又因为21Y X =-， 所以45()2()12133E Y E X =-=⨯-=，2520
()2()499
D Y D X =⨯=⨯=. 故答案为：
53;20
9
. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及数学期望与方差的计算，其中解答中熟记分布列的期望与方差的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 15.疫情期间，某医院科室要从6名男医生、5名女医生中选派三人去支援武汉，要求至少有男女医生各一名，则不同的选法有______种． 【答案】135 【解析】 【分析】
根据题意分两类进行分析：1男2女和2男1女，然后由分类计数原可得. 【详解】解：根据题意分两类进行分析：
（1）1男2女，有12
6560C C =种选法；
（2）2男1女，有21
6575C C =种选法，
则不同的选取方法有6075135+=种， 故答案为：135
【点睛】此题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题. 16.已知函数f (x )=1a x x ⎛⎫-
⎪⎝⎭-2lnx (a ∈R )，g (x )=a
x
-，若至少存在一个0[1,]x e ∈，使得f (x 0)>g (x 0)成立，则实数a 的范围为_______.
【答案】()0,∞+ 【解析】
【详解】由题意得不等式1()2ln a a x x x x -->- 在[1，e ]上有解,即min 2ln (
)x
a x
> 令min 2
2ln 22ln ,[1,]0,1,0,0x x
y x e y x y a x x -=
∈∴=≥==∴'∴>. 故答案为：()0,∞+
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 三．解答题．要求写出主要的证明、解答过程．
17.（1）在()1n
x +的展开式中，若第3项与第6项系数相等，求n ．
（2）
n
⎛
⎝
的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则求展开式中的有理项． 【答案】（1）7；（2）12
,28x x . 【解析】 【分析】
（1）根据二项式()1n x +的通项公式，结合组合数的性质进行求解即可；
（2）根据二项式
n
⎛
⎝展开式奇数项的二项式系数之和公式，结合二项式
n
⎛
⎝
的通项公式进行求解即可. 【详解】（1）二项式()1n
x +的通项公式为：11r n r r r r
r n n T C x C x -+=⋅⋅=⋅，
因为第3项与第6项系数相等，
所以25
527n n C C n n =⇒=-⇒=；
（2）因为
n
⎛
⎝
的展开式奇数项的二项式系数之和为128，所以有135
128n n n C C C +++⋅⋅⋅=，即12128n -=，解得8n =，
而二项式8
⎛ ⎝的通项公式为： (721186188r
r
r
r r r T C C x --+=⋅⋅=⋅，
当7211(08,)r r r N -≤≤∈是6的倍数时，即0,6r =时，二项式8
⎛
⎝
展开式中第一项和第7项时，是有理项，分别为：012128C x x ⋅=，6
828C x x ⋅=，
所以展开式中的有理项为：12
,28x x .
【点睛】本题考查了二项式通项公式的应用，考查了二项式展开式的有理项问题，考查了二项式展开式二项式系数和的性质，考查了数学运算能力. 18.已知函数3
2
()5f x x ax bx =+++.
（1）若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为3，且2
3
x =时()y f x =有极值，求函数()f x 的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数()f x 在[4,1]-上的最大值和最小值. 【答案】（1）a=2,b=-4（2）最大值13，最小值-11 【解析】 【详解】 【分析】 试题分析：
(1)由题意求解关于实数a ,b 的方程组可得函数的解析式为()3
2
245f x x x x =+-+；
(2)由题意对函数求导，结合导函数研究原函数的单调性 ，据此可得函数()f x 在[]
4,1-上的最大值是13，最小值是-11. 试题解析：
(1) 由f'(1)=3, f'()=0 得a =2,b =-4 ，经检验，符合题意，所以函数的解析式为
()32245f x x x x =+-+.
(2)由f (x )=x 3+2x 2-4x +5 得f'(x )=(x +2)(3x -2) ，f'(x )=0得 x 1=-2 ,x 2= 变化情况如表：
x -4 (-4,-2) -2 (-2,) (,1) 1
f'(x ) + 0 - 0 + f (x )
递增 极大值 递减 极小值 递增 函数值 -11
13
4
所以f (x )在[-4，1]上的最大值13，最小值-11
点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使
f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD//QA ，
2
PDA π
∠=
，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且22AD PD QA ===．
（1）求证：//QB 平面PDC ； （2）求二面角C PB Q --的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）
56
π
.
【解析】 【分析】
根据面面垂直的性质定理，可以建立以DA ，DC ，DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向空间直角坐标系.
（1）根据线面平行的判定定理，结合空间向量的数量积运算进行证明即可； （2）根据空间向量夹角公式，结合二面角的性质进行求解即可.
【
详解】∵平面ADPQ ⊥平面ABCD ，平面ADPQ ⋂平面ABCD AD =，
PD ⊂平面ADPQ ，PD AD ⊥，∴直线PD ⊥平面ABCD ．
由题意，以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 的方向为x 轴，
y 轴，z 轴的正向建立如图空间直角坐标系，
则可得：()0,0,0D ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，
()2,0,0A ，()2,0,1Q ，()002P ,,．
（1）因为四边形ABCD 是正方形，所以CD AD ⊥，
又因为2
PDA π
∠=，所以PD AD ⊥，
而,,PD
DC D PD DC =⊂平面PDC ，
所以AD ⊥平面PDC ，
因此()2,0,0AD =-是平面PDC 的一个法向量， 又()0,2,1QB =-，∴0QB AD ⋅=，即QB AD ⊥， 又∵直线QB ⊄平面PDC ，∴//QB 平面PDC ； （2）设()1111,,n x y z =为平面PBC 的法向量， ∵()2,2,2PB =-，()0,2,2PC =-
则11
00n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩．
不妨设11z =，可得()10,1,1n =． 设()2222,,n x y z =为平面PBQ
法向量，
又∵()2,2,2PB =-，()2,0,1PQ =-，
则2200
n PQ n PB ⎧⋅=⎪
⎨
⋅=⎪⎩，即22222202220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩．
不妨设22z =，可得()21,1,2n =． ∴121
2222222
12
3
cos ,011112n n n n n n ⋅=
=
=
⋅++⨯++， 又二面角C PB Q --为钝二面角， ∴二面角C PB Q --的大小为
56
π．
【点睛】本题考查了用空间向量证明线面平行、面面垂直的性质定理、线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，以及利用空间向量求解二面角大小问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.
20.2021年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过800元（含800元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
（1）若两个顾客均分别消费了800元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
【答案】（1）1
14400
（2）顾客选择第一种抽奖方案更合算.
【解析】 【分析】
（1）选择方案一可以免单，但需要摸出三个红球，利用古典概型求出摸出三个红球的概率，再利用两个相互独立事件同时发生的概率应该是两事件的概率乘积可求得两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）分别写出两种方案下付款金额的分布列，再求出期望值，利用期望值的大小，进行合理选择．
【详解】解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单
优惠为事件A ，则()3
33101
120
C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为
()()1
14400
P P A P A =⋅=
.
（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，
1000.()3331010120C P X C ===，()21373107
60040C C P X C ===，()12373
102170040C C P X C ===，()373107
100024
C P X C ===，
故X 的分布列为，
所以()17217
06007001000120404024E X =⨯
+⨯+⨯+⨯17646
=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得
3~3,10Y B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，故()3931010E Y =⨯=，所以()()1000200E Z E Y =-=
()1000200820E Y -=（元）.
因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.
【点睛】本题考查了古典概率的
计算，并运用期望来选择合理方案，解题关键是能够熟练运用公式进行求解，并能计算正确，本题较为基础.
21.2021年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺
()2019,19CoronaVirusDisease COVID -，简称“新冠肺炎”右图是2020年1月15日至1
月24日累计确诊人数随时间变化的散点图．
为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y 与时间变量t 的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量1的值依次1，2，…，10）建立模型y c dt =+和 1.5t y a b =+⋅．
（1）根据散点图判断，y c dt =+和 1.5t y a b =+⋅哪一个适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题： 时间 1月25日 1月26日
l 月27日
1月28日
l 月29日
累计确诊人数
的真实数据 1975
2744
4515
5974
7111
当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？
附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ⋅⋅⋅，其回归直线v a u β=+的斜率和截距的最小
二乘估计分别为()()()
1
12
2
211
n
n
i
i i i i i n
n
i
i
i i u
u v v
u v nuv
u
u
u
nu
β====---=
=
--∑∑∑∑ ，v u αβ=+
参考数据：其中 1.5i
t i ω=，10
1
110i i ωω==∑．
【答案】（1） 1.5t y a b =+⋅适宜；（2）10201.5t y =+⋅；（3）回归方程可靠. 【解析】 【分析】
（1）直接由散点图得结论；
（2）设 1.5t ω=，则y a b ω=+，，求出b 与a 的值，则可得回归方程； （3）在（2）中求得的回归方程中，分别取11,12,13t =求得y ，再比较误差与0.1的大小
得结论.
详解】（1）根据散点图可知：
1.5t y a b =+⋅适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型；
（2）设 1.5t ω=，则y a b ω=+，
()()()1010
1110102222111015470010193902076401019
10i i i i
i i i i i i y y y y b ωωωωωωωω====----⨯⨯====-⨯--∑∑∑∑， 390201910a y b ω=-=-⨯=，∴10201.5t y =+⋅；
（3）11t =时，2010y =，20101975
0.11975-<，
当12t =时，3010y =，30102744
0.12744-<，当13t =时，4510y =，45104515
0.14515-<，
所以（2）的回归方程可靠
.
【点睛】此题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，属于中档题.
22.已知函数，()2
ln ,f x ax x a R =-∈. （1）讨论函数()
f x 的单调性；
（2）若函数()f x 有2个不同的零点，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）当0a ≤时()f x 在()0,∞+上单调递减，当0a >时，()f x 在⎫+∞⎪⎪
⎭
上单调递增，()f x 在⎛ ⎝上单调递减.（2）10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】
【分析】
（1）分0,0a a ≤>两种情况讨论导数的符号后可得函数的单调区间.
（2）根据（1）可知0a >且()min 0f x f =<，后者可得实数a 的取值范围为
102a e <<
，再根据()10f a =>，111ln 0f a a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭结合零点存在定理可知当102a e
<<时函数确有两个不同的零点. 【详解】（1）解：因为()()120f x ax x x
'=->， ①当0a ≤时，总有()0f x '<，
所以()f x 在()0,∞+上单调递减.
②当0a >时，令120ax x ->
，解得x >
故x >()0f x '>，所以()f x
在⎫+∞⎪⎪⎭
上单调递增. 同理120ax x -
<时，有()0f x '<，所以()f x
在⎛ ⎝上单调递减. （2）由（1）知当0a ≤时，()f x 单调递减，
所以函数()f x 至多有一个零点，不符合已知条件，
由（1）知当0a >时，(
)2min 1ln 2f x f a ==-=11ln 22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()min 0f x <当时，解得12a e
<，从而102a e <<. 又10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，有11a
<<，因为()10f a =>，111ln f a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令()ln ,2g t t t t e =->，则()10t g t t -'=
>， 所以()g t 在()2,e +∞为增函数，故()()2ln 20g t e e >->， 所以10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，根据零点存在定理可知： ()f x
在⎛ ⎝内有一个零点，在1a ⎫⎪⎪⎭
，内有一个零点， 故当函数()f x 有2个零点时，a 的取值范围为10,2e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明．取点时要依据函数值容易计算、与极值点有明确的大小关系这两个原则，讨论所取点的函数值的正负时，可构建新函数，通过导数讨论函数的最值的正负来判断.。