八年级数学立方根
立方根(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题2.4 立方根（知识讲解）【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 【要点梳理】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.特别说明：：一个数a 表示，其中a 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.特别说明：：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质=a =3a =特别说明：：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.0.060.6660. 【典型例题】类型一、立方根概念的理解1．如果21x -的平方根是3±，x y +是18的立方根，那么34x y +的值是多少？【答案】﹣3【分析】根据题意求出x ，y 的值，再代入所求代数式求解即可． 解：∵21x -的平方根是3±，∵21x -＝9， 解得x ＝5，∵x y +是18的立方根，∵x y +＝12，把x ＝5代入x y +＝12得， 5＋y ＝12， 解得y ＝﹣92，∵34x y +＝3×5＋4×（﹣92）＝﹣3．【点拨】此题考查了平方根、立方根、方程的解，熟记立方根、平方根的定义是解题的关键．【变式1】我们知道a +b ＝0时，a 3+b 3＝0也成立，若将a 看成a 3的立方根，b 看成b 3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．（1）试举一个例子来判断上述结论是否成立；（26的值． 【答案】（1）成立，理由见详解；（2）0． 【分析】（1）用一对互为相反数的数来验证即可，（2）根据（1）的结论，然后互为相反数的两个数相加等于0，求出x 的值，再计算即可．解：（1）2(2)0+-=，而且328=，3(2)8-=-，有880-=， ∴结论成立；∴即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的．（2）由（1则28x -和28x --也互为相反数， 即：28280x x ---=， 36x ∴=，6660=-=．【点拨】本题主要考查了立方根的定义和性质的应用，熟悉相关性质，能根据题中的信息：“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”来解答是解题的关键．【变式2】一个正数的平方根分别是25a +和21a -，30b -的立方根是3-．求a ，b 的值．【答案】a ＝-1，b ＝3【分析】根据平方根、立方根的性质，通过求解一元一次方程，即可求出a 、b 的值； 解：由题意可知： (2a +5)+(2a −1)=0 ， b −30=(−3)³=−27 解得：a ＝-1，b ＝3．【点拨】本题考查了平方根、立方根、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握平方根、立方根、算数平方根、一元一次方程的性质，从而完成求解．类型二、求一个数的立方根2．一个正数m 的两个平方根分别为2a +2和a ﹣11，求m 的立方根． 【答案】m 的立方根为4【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列得2a +2+a ﹣11＝0，解方程求出a 即可得到m ，再根据立方根定义求出m 的立方根．解：∵一个正数m 的两个平方根分别为2a +2和a ﹣11，∵2a +2+a ﹣11＝0， 解得：a ＝3， ∵2a +2＝8， 故m ＝82＝64，∵m ＝4．【点拨】此题考查了平方根的定义，立方根的定义，解一元一次方程，正确理解平方根的定义是解题的关键．举一反三：【变式1】解方程：（4x）3＝﹣512．【答案】x ＝﹣32【分析】利用立方根的定义求出解即可．解：（4x）3＝﹣512，4x＝﹣8， x ＝﹣32．【点拨】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．【变式22【答案】1-【分析】根据开立方，去绝对值号，开平方依次运算即可．解：原式=(425--+=425--+=1-【点拨】本题考查了开立方、开平方和去绝对值号，记住运算法则是解题的关键．类型三、已知一个数的立方根，求这个数3．已知2a -1的平方根是±3，3a +b -1的立方根是-2，求a 、b 的值． 【答案】a =5，b =-22【分析】根据平方根，立方根的定义列出关于a 、b 的方程求出a 和b 的值即可． 解：∵2a -1的平方根是±3，∵2a -1=9， ∵a =5，又∵3a +b -1的立方根是-2， ∵3a +b -1=-8， ∵b =-22．【点拨】本题考查了平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根．如果一个数x 的立方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根．举一反三：【变式1】已知：2x -的平方根为2±，27x y ++的立方根为4，求：x y -的值． 【答案】－39【分析】先利用平方根求出x ，再代入立方根求出y ，最后代入代数式求解． 解：∵2x -的平方根为2±∵()2224x -=±= ∵6x =∵27x y ++的立方根为4 ∵327464x y ++== ∵45y =∵64539x y -=-=-【点拨】本题考查了平方根、立方根，关键要掌握平方根和立方根的概念，会运用已知平方根和立方根求代数式．【变式2】已知21a +的平方根是±3，324a b +-的立方根是-2方根．【答案】2【分析】先利用平方根和立方根的性质可得到关于a 、b 的方程组，从而可求得a 、b 的值，然后代入求解即可．解：根据题意得：2193248a a b +=⎧⎨+-=-⎩，解得：48a b =⎧⎨=-⎩，=， ∵8的立方根是2，2．【点拨】本题主要考查的是立方根、平方根的性质，熟练掌握平方根、立方根的性质是解题的关键．类型四、立方根的实际运用4.【发现】2(2)0+-=1(1)0=+-=10(10)0+-=11044⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭……；(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________． 【归纳】等式∵，∵，∵，∵，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数a ，b 0=，则0a b +=； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：(2)210616a b -=，求a 的值．【答案】3(3)0+-=(2)10【分析】（1）根据题目给出的规律解答；（2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a 的值．解：3(3)0+-=，符合上述规律，3(3)0+-=；， ∵238620a b -+-=，解得2322a b -=，代入210616a b -=中， 解得，210a =，∵a =【点拨】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题．举一反三：【变式1】填写下表，并回答问题：（20.1738 1.738=，求a 的值． 【答案】填表见分析；（1）见分析；（2）5.25 【分析】（1）根据被开方数a 的小数点每向右或向左移动三位，或向左移动一位解答；（2）根据（1）总结的规律解答．（1）由题可知，被开方数的小数点每向右或向左移动三位，地向右或向左移动一位；（2）由（1）总结的规律可知：0.1738的小数点向右移动了一位，∵0.00525的小数点应向右移动三位，得到 5.25a =．【点拨】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格． 【变式2】在一个长，宽，高分别为9cm ，8cm ，3cm 的长方体容器中装满水，然后将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长．【答案】6cm【分析】先根据长方体体积公式求出长方体的容积，再由正方体的容积与长方体的容积相同进行求解即可．解：由题意得：长方体的容积为3983216(cm )⨯⨯=∵将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满， ∵长方体和正方体的容积相等，∵6(cm)．【点拨】本题主要考查了立方根，解题的关键在于能够熟练掌握求立方根的方法．类型五、算术平方根与立方根的实际应用5.已知：21a -的算术平方根是3，31b +的立方根是2-，c 是30的整数部分，求23a b c +-的值．【答案】8-【分析】由算术平方根，立方根的定义求出a ，bc 值，代入即可．解：∵21a -的算术平方根是3，∵219a -=， ∵5a =，∵31b +的立方根是2-， ∵318b +=-， ∵3b =-，<即：56<， ∵5c =，∵2325(3)358a b c +-=⨯+--⨯=-．【点拨】本题考查了算数平方根，立方根定义，估算无理数大小，能正确求出a 、b 、c 的值是解题的关键．举一反三：【变式1】已知m A =3m n ++算术平方根，2m n B -=4620m n +-1=-【分析】由算术平方根与立方根的含义可得方程组2{233m n m n -=-+=，再解方程组求解,m n 的值，从而可得答案.解：根据题意得：2{233m n m n -=-+=，解得：42m n ⎧=⎨=⎩，∵39m n ++=，46208m n +-=， ∵3A =；2B =， ∵1B A -=-，1=-【点拨】本题考查的是算术平方根与立方根的含义，二元一次方程组的解法，理解题意，求解42m n ⎧=⎨=⎩是解本题的关键.【变式2】已知a 的平方根是24b +的立方根是2 （1）求,,a b c 的值；（2）求2a b c ++的算术平方根．【答案】（1）a =5、b =2、c =1或c =0；（23． 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义可确定a 、b 的值，再根据一个数的立方根和算术平方根相等的数是0和1，可以确定c ；（2）分c =0和c =1两张情况分别解答即可．解：（1）∵a 的平方根是24b +的立方根是2∵a =5，2b +4=8，即b =2=∵c =1或c =0∵a =5、b =2、c =1或c =0；（2）当c =1=当c =0；∵2a b c ++或3．【点拨】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，灵活运用相关定义并正确确定c 的值成为解答本题的关键．。
八年级数学立方根知识点
八年级数学立方根知识点数学的知识点很多，而立方根是其中非常重要的一部分，它也是我们生活和工作中经常使用的知识点之一。
立方根运算是什么呢？简而言之，就是求一个数的立方根。
在生活中，立方根的应用十分广泛，例如建筑工程、数学统计、科学研究等领域中。
1.定义立方根是一个数的3次方的倒数，用符号“∛”表示。
例如：3的立方根表示为∛3，1的立方根表示为∛1=1。
2.立方根的性质①非负数的立方根是唯一的对于任意一个非负数a来说，存在一个非负数x，使得a=x³。
这个非负数x就是唯一的。
也就是说，一个非负数只有唯一的立方根。
②性质2：立方根的积等于立方根的平方对于任意两个非负数a和b来说，有：∛(ab) = ∛a ×∛b③有理数的立方根仍是有理数在立方根的运算中，有理数的立方根仍是有理数，例如∛8=2，∛27=3。
④立方根的运算法则⑴不可分解的开方式的立方根开方式不可分解，就意味着其中的根号内不含有可以约分的因子。
例如，∛8和∛125，∛64、∛216等都是不可分解的开方数。
以∛8为例：(1) 拆分成素因数8=2×2×2(2) 去掉三个2的一组8=2×2×2=(2×2)×2=（2×2）³(3) 将括号内的2相乘，得2³=8因此，∛8 = 2⑵可分解的开方式的立方根开方式可以分解为两个或两个以上因数的乘积，例如：∛(2×2×2×3) = ∛(2³×3)把一个实数表示成若干个互不相同素数的积的形式，叫做这个实数的分解式。
例如：12 = 2²×3所以：∛12 = ∛(2²×3) = 2∛33.常用数的立方根①二次方的开方和立方根对于任何一个非负数来说，二次方的开方可以用勾股定理来实现：√(a²+b²)而立方根可以通过三次方程求解方法来实现，例如：设 a³ = x则∛a = ∛x②平方数的立方根对于任意一个平方数来说，它的立方根可以通过以下公式来求解：A²的立方根 = (A的开四次方数)²例如：16²的立方根=(16的√√√√4次方数)²=(16的2次方)²=2564.求解立方根的方法算法1：牛顿迭代法步骤如下：（1）选择一个大致正确的估计值x0，通常取x0等于被开方数的平方根。
苏科版数学八年级上册4.2《立方根》教学设计
苏科版数学八年级上册4.2《立方根》教学设计一. 教材分析《立方根》是苏科版数学八年级上册4.2节的内容，主要介绍了立方根的概念、性质和运算法则。
通过本节课的学习，学生能够理解立方根的定义，掌握求一个数的立方根的方法，以及应用立方根解决实际问题。
教材通过丰富的实例和练习，帮助学生巩固知识，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘方知识，具备了一定的数学基础。
但部分学生对于抽象的数学概念理解起来较为困难，需要通过具体的实例和操作来帮助他们理解和掌握。
此外，学生对于实际问题解决的能力还有待提高，需要教师在教学过程中进行引导和培养。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解立方根的概念，掌握求一个数的立方根的方法，以及应用立方根解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，学生能够培养运算能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，增强对数学学习的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：立方根的概念及其性质。
2.难点：求一个数的立方根的方法，以及应用立方根解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入立方根的概念，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生通过观察、操作、思考，自主探索立方根的性质和运算法则。
3.小组合作学习：鼓励学生之间进行讨论和交流，共同解决问题。
4.实践操作法：让学生通过实际操作，加深对立方根的理解和应用。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示教学内容。
2.练习题：准备适量的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：准备立方体模型等教具，帮助学生直观理解立方根的概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入立方根的概念，如“一个正方体的体积是27立方米，求这个正方体的棱长是多少？”引导学生思考和讨论，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解立方根的定义，通过PPT展示立方根的性质和运算法则。
北师大数学八年级上册第二章立方根
立方根【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.【要点梳理】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3=，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.x a要点诠释：一个数a a是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质==a3a=要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.0.060.6660.【典型例题】类型一、立方根的概念1、（2016春•吐鲁番市校级期中）下列语句正确的是（）A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0B．一个数的立方根不是正数就是负数C．负数没有立方根D．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0【思路点拨】根据立方根的定义判断即可.【答案】D；【解析】A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或-1，故错误；B．一个数的立方根不是正数就是负数，错误，还有0；C．负数有立方根，故错误；D．正确.【总结升华】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义.【变式】下列结论正确的是（ ）A ．64的立方根是±4B ．12-是16-的立方根 C ．立方根等于本身的数只有0和1D=【答案】D.类型二、立方根的计算2、求下列各式的值：（1）327102-- （2）3235411+⨯ （3）336418-⋅ （4（5）10033)1(412)2(-+÷-- 【答案与解析】解：（1）（2（3）43===9 1=241=2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-（4）=331=1-++（5）3=21247=1=33÷++【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.【变式】计算：（1=______；（2）=364611______； （3）=--312719______．（4）=-33511)(______. 【答案】（1）－0.2；（2）54；（3）23；（4）45. 类型三、利用立方根解方程3、（2015春•北京校级期中）（x ﹣2）3=﹣125．【思路点拨】利用立方根的定义开立方解答即可． 【答案与解析】解：（x ﹣2）3=﹣125， 可得：x ﹣2=﹣5， 解得：x=﹣3．【总结升华】此题考查立方根问题，关键是先将x ﹣2看成一个整体． 举一反三：【变式】求出下列各式中的a ：（1）若3a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3a －3＝213，则a ＝______； （3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()31a -＝8，则a ＝______．【答案】（1）a ＝0.7；（2）a ＝6；（3）a ＝－5；（4）a ＝3． 类型四、立方根实际应用4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了169πcm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【思路点拨】铁块排出的643cm 水的体积，是铁块的体积，也是高为169πcm 烧杯的体积. 【答案与解析】解：铁块排出的643cm 的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为y cm ，可列方程364,y =解得4y =设烧杯内部的底面半径为x cm ，可列方程216649x ππ⨯=,解得x =6. 答：烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合. 举一反三：【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗).【巩固练习】一.选择题1．下列结论正确的是（ ）A ．2764的立方根是34± B ．1125-没有立方根 C ．有理数一定有立方根D ．()61-的立方根是－12．（2016•湖北襄阳）-8的立方根是（ ）A ．2B ．-2C ．2±D ．3.下列说法中正确的有（ ）个. ① 负数没有平方根，但负数有立方根．②49的平方根是28,327±的立方根是23±⋅③如果()322x =-，那么x ＝－2． ④算术平方根等于立方根的数只有1． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.x 是(2的平方根，y 是64的立方根，则x y +＝（ ）A. 3B. 7C.3，7D. 1，7 5.（2015•东营区校级模拟）的立方根是（ ）A ．﹣1B ． 0C ． 1D ． ±16. 有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的是（ ）A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④ 二.填空题7．（2016•安徽三模）若264a ==______．8．－8______．90,= 则x 与y 的关系是______． 10．（2015春•武汉校级期末）计算= ．11. 4,=那么()367a -的值是______． 12.若，则____________.三.解答题13.ab的值.14．已知5x ＋19的立方根是4，求2x ＋7的平方根．15.（2015春•罗平县校级期中）已知M=是m+3的算术平方根，N=是n ﹣2的立方根，试求M ﹣N 的值．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】 C ； 【解析】2764的立方根是34；()61-的立方根是1. 一个非零数与它的立方根符号相同. 2. 【答案】B ；【解析】-82=-.3. 【答案】A ；【解析】只有①正确. 算术平方根等于立方根的数有0和1． 4. 【答案】D ；【解析】∵x 是(2的平方根，y 是64的立方根，∴x ＝±3，y ＝4则x y +＝3＋4＝7或x y +＝－3＋4＝1.5.【答案】A ； 【解析】解：∵=﹣1， ∴的立方根是=﹣1，故选A ．6. 【答案】B ；【解析】①负数有立方根；②一个实数的立方根是正数、0、负数；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是±1或0．二.填空题7.【答案】±2;【解析】∵264a =，∴8a =±2=±8.【答案】1或－5；9，9的平方根是±3. 9. 【答案】0x y +=；【解析】两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数.10.【答案】；【解析】解：，故答案为：．11.【答案】－343；【解析】a＋4＝64，a＝60，a－67＝－7，()37343-=-.12.【答案】；【解析】x－1＝－2，x＝－1.三.解答题13.【解析】0，∴2a－1＝3b－1, 2a＝3b，∴ab＝32.14.【解析】解：∵5x＋19的立方根是4∴34=5x＋19，即64＝5x＋19，解得x＝9∴2x＋7＝25∴2x＋7的平方根＝5=±.15.【解析】解：因为M=是m+3的算术平方根，N=是n﹣2的立方根，所以可得：m﹣4=2，2m﹣4n+3=3，解得：m=6，n=3，把m=6，n=3代入m+3=9，n﹣2=1，所以可得M=3，N=1，把M=3，N=1代入M﹣N=3﹣1=2．。
八年级数学下册《立方根》教案、教学设计
（一）教学重难点
1.重点：立方根的概念、性质和计算方法，以及立方根在实际问题中的应用。
2.难点：立方根的估算方法，以及如何运用立方根解决实际问题。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用启发式教学，引导学生通过观察、类比、归纳等方法，发现立方根的性质和计算方法。
（2）运用实际问题，激发学生的学习兴趣，培养学生的应用意识。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：教师组织学生进行小组讨论，让学生在合作交流中掌握立方根的计算方法。
-教师给出计算立方根的例子，如计算∛8。
-学生分组讨论，尝试不同的计算方法，如直接开方、估算等。
-每个小组派代表分享计算方法，其他小组进行评价、补充。
2.教学目标：通过学生小组讨论，培养学生合作交流的能力，提高学生计算立方根的技能。
-教师提问：“同学们，我们之前学习了平方根，那么你们知道立方根吗？它有什么作用呢？”
-学生回答，教师总结。
2.教学目标：通过导入新课，使学生认识到立方根在实际生活中的应用，激发学生学习立方根的兴趣。
（二）讲授新知
1.教学活动设计：教师通过讲解立方根的定义、表示方法和性质，引导学生理解立方根的含义，并学会运用立方根进行计算。
-探究：立方根在生活中的应用，例如在建筑、制造等领域。
4.小组合作题：
-小组讨论：比较平方根和立方根的性质、计算方法等，总结它们的异同点。
-小组分享：每个小组整理讨论成果，并向全班同学分享。
作业要求：
1.学生独立完成基础巩固题和实际应用题，巩固立方根的计算方法和性质。
2.学生在完成拓展思考题时，要注重思考过程，可查阅资料或与同学讨论，培养解决问题的能力。
二、学情分析
2022年八年级数学：立方根、估算、用计算器开方
立方根、估算、用计算器开方【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器开方。
3. 会估算一个无理数的范围，比较两个无理数的大小。
【基础知识】一．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．【规律方法】平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．二．实数大小比较实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．三．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．四．计算器—数的开方正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．【考点剖析】一．立方根（共4小题）1．（2022•碑林区校级模拟）﹣9的立方根是（）A．﹣3B．3C．D．2．（2022•大连模拟）﹣的立方根是．3．（2022春•仓山区期中）一个正数m的两个平方根分别为2a+2和a﹣11，求m的立方根．4．（2022春•潢川县期中）已知2x是36的平方根，（y﹣4）3+8＝0，求x，y的值．二．实数大小比较（共4小题）5．（2022•泰安一模）下列四个数：3，﹣0.5，，中，绝对值最小的数是（）A．3B．﹣0.5C．D．6．（2022•商城县二模）写出一个绝对值大于2且小于3的负无理数．7．（2022春•包河区期中）比较大小：﹣2 3（填“＞”、“＜”或“＝”）．8．（2022春•杨浦区校级期中）比较大小：﹣5 ﹣﹣2．（填＞、＝或＜）三．估算无理数的大小（共6小题）9．（2022•和平区三模）估计的值在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间10．（2022•历城区二模）实数﹣2，3，0，中，最大的数是（）A．﹣2B．3C．0D．11．（2022•石景山区二模）若n为整数，且n＜＜n+1，则n的值为．12．（2022•雁塔区校级模拟）介于整数n和n+1之间，则n的值是．13．（2022•海淀区校级模拟）请写出一个比﹣小的整数：．14．（2022春•越秀区校级期中）已知a的立方根是2，b是的整数部分，c是16的平方根，求a+b+c的算术平方根．四．计算器—数的开方（共2小题）15．（2021秋•郏县期中）利用计算器求的值，正确的按键顺序为（）A．B．C．D．16．（2021春•汝南县期中）若利用计算器求得≈2.573，≈8.136，则根据此值估计6619的算术平方根是．【过关检测】一．选择题（共4小题）1．（2017秋•顺德区校级月考）用计算器求结果为（保留四个有效数字）（）A．12.17B．±1.868C．1.868D．﹣1.868 2．（2022春•昌平区校级期中）﹣的立方根是（）A．﹣B．﹣C．D．±3．（2022•鄄城县模拟）下列各数中，绝对值最大的数是（）A．﹣1B．0C．2D．﹣4．（2022•阳信县一模）实数﹣（﹣2），0，﹣1，|中，最小的数是（）A．2B．0C．﹣1D．二．填空题（共9小题）5．（2022春•临洮县期中）25的算术平方根是；的平方根是；﹣27的立方根是．6．（2022春•丰台区校级期中）如果x2＝64，那么x的值是；如果x3＝64，那么x 的值是．7．（2022•利州区一模）已知a为整数，且满足＜a＜，则a的值是．8．（2022春•包河区校级期中）写出一个在2和3之间的无理数．9．（2022春•西城区校级期中）有理数64的立方根是．10．（2022春•闵行区校级期中）比较大小：﹣﹣2．（填“＞”、“＝”或“＜”）11．（2022春•龙亭区校级期中）3（填＜，＝或＞）．12．（2020春•沙坪坝区校级月考）若利用计算器进行如下操作：屏幕显示的结果为12，若现在进行如下操作：，则屏幕显示的结果为．13．（2019秋•武邑县校级月考）用计算器计算：≈（精确到0.01）三．解答题（共7小题）14．（2022春•玉山县校级期中）已知+2的小数部分为a，8﹣的小数部分为b，求a+b的平方根．15．（2022春•西城区校级期中）解方程：（1）x2＝25；（2）（x+1）3＝﹣8．16．（2022春•岳麓区校级月考）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分．（1）求a，b，c的值；（2）求a+2b+c的平方根．17．（2021春•汉滨区期中）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求（b﹣）a﹣1的平方根．18．用计算器求下列各式的值：（1）；（2）﹣；（3）．19．用计算器计算（精确到0.0001）：≈；；；±≈．20．用计算器求下列各式的值：（1）；（2）．。
八年级数学上册第2章《立方根》参考教案(北师大版)
2.3 立方根教学目标：(一)教学知识点1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算.3.了解立方根的性质.4.区分立方根与平方根的不同.(二)能力训练要求1.在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想.2.发展学生的求同求异思维，使他们能在复杂环境中明辨是非.(三)情感与价值观要求当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代，每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会，因此让他们会学知识比学会知识更重要，这就要从小培养良好的学习习惯，能自己解决的问题就自己解决，其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法，本节课重点训练学生的类比思想的养成.教学重点：立方根的概念.教学难点：1.正确理解立方根的概念.2.会求一个数的立方根.3.区分立方根与平方根的不同之处.教学方法：类比学习法.教学过程：Ⅰ.新课导入上节课我们学习了平方根的定义，若x2=a，则x叫a的平方根，即x=±a.若正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体体积的公式得a3=8，那a叫8的什么呢？本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若x3=a，则x叫a的什么呢？Ⅱ.新课讲解1.请大家先回忆平方根的定义.下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记法呢？.若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=±2a，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=±3a，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.［师］请大家对这位同学的回答展开讨论，小组总结后选代表发言.［生甲］我认为这位同学回答得不对.如果x2=a，则x=±a，x3=a时，x=±a也成立的话，那如何区分平方根与立方根呢？［生乙］因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算立方来求，如x3=8，因为23=8，所以x=2，只有一个根而不是±2，所以立方根的个数不正确.［师］大家的分析非常有道理，请认真看书第44页可知，若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根(cube root；也叫三次方根)如2是8的立方根，记为x=3a，读作x等于三次根号a.开立方的定义［师］大家先回忆开平方的定义，再类推开立方的定义.［生］求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数.(2)立方根的性质［师］2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？［生］2的立方等于8，(－2)3=－8，所以没有其他的数的立方等于8.［师］－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27？［生］－3的立方等于－27，33=27，所以没有其他的数的立方等于－27.［师］0的立方等于多少？0有几个立方根？［生］0的立方等于0，0有1个立方根是0.［师］从刚才的讨论中，大家总结一下正数有几个立方根？0有几个立方根？负数有几个立方根？［生］正数有一个立方根，0有一个立方根是0，负数有一个立方根.［师］对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0.(3)平方根与立方根的区别与联系.［师］我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家说说它们的联系与区别.［生］从定义来看，若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫a的平方根；若一个数x的立方等于a，即x3=a，则x叫a的立方根，都是一个数x的乘方等于a，但一个是平方，另一个是立方.［生］一个正数的平方根有两个，一个负数没有平方根，零的平方根有一个是零；一个正数的立方根有一个，并且是正数，一个负数有一个负的立方根，零的立方根有一个是零.［生］它们的表示方法和读法不同，一个正数a的平方根表示为±a，立方根表示为3a.下面我再系统地总结一下：［例1］求下列各数的立方根：(1)－27；(2)1258；(3)0.216；(4)－5. ［师］请大家思考下列问题.3a 表示a 的立方根，则(3a )3等于什么？33a 等于什么？大家可以先举例后找规律.： (3a )3=a .又∵a 3是a 的立方,所以a 3的立方根就是a ，所以33a =a .下面就这两个式子进行练习.［例2］求下列各式的值： (1)38-；(2)3064.0；(3)－31258；(4)(39)3 Ⅲ.课堂练习(一)随堂练习1.求下列各式的值：333333)16(;5;64;125.0-.2.一个正方体，它的体积是棱长为3cm 的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？解：设正方体的棱长是x cm ，得x 3=8×33，解得x =6.即改正方体的棱长是6cm.(二)补充练习1.求下列各数的立方根：0，1，－8127，6，－1000125，0.001 2.求下列各式的值：3233333333)278(;)2(;)2(;16463;1251;1;027.0------ 3.下列说法对不对？－4没有立方根；1的立方根是±1；361的立方根是61；－5的立方根是－35；64的算术平方根是±8.Ⅳ.议一议1.某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？2.一个正方体的体积变为原来的n 倍，它的棱长变为原来的多少倍？ 解：设原正方体的棱长为a ，后来的正方体的棱长为b ，得na 3=b 3∴3333n a b =∴b =a n n a 333=. 即后来的棱长变为原来的3n 倍.Ⅴ.课时小结1.立方根的定义.2.立方根的性质.3.开立方的定义.4.平方根与立方根的区别与联系.5.会求一个数的立方根.Ⅵ.课后作业习题2.5.Ⅶ.活动与探究1.求下列各式中的x .(1)8x 3+27=0；(2)(x －1)3－0.343=0；(3)81(x +1)4=16；(4)32x 5－1=0.板书设计：能让学生用类推的方法得出立方根的相关结论。
八年级数学下册《立方根》优秀教学案例
3.小组合作的有效运用：案例中充分利用小组合作学习，让学生在合作中共同探究、讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。同时，明确的小组任务和教师的适时引导，确保了合作学习的有效性，提高了课堂教学的实效性。
5.培养学生具备勇于探索、敢于创新的精神，鼓励学生在面对困难时，保持积极向上的心态，增强克服困难的信心。
三、教学策略
（一）情景创设
1.创设生活情境：结合学生的生活经验，以实际问题为背景，如立方体的体积计算、科学实验中的数据等，引导学生感受立方根在实际生活中的应用，激发学生的探究欲望。
2.利用多媒体手段：运用多媒体课件、网络资源等展示立方根的概念、性质和应用，使抽象的数学知识形象化、生动化，提高学生的学习兴趣。
2.立方根的性质：通过实例讲解立方根的性质，如一个数的立方根是唯一的，且正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0等。
3.立方根的计算方法：教授利用计算器、数学软件等工具计算立方根的方法，同时讲解手算法，如通过分解质因数、估算等方法求解立方根。
4.立方根的应用：举例说明立方根在实际问题中的应用，如立体图形的体积计算、科学实验数据等。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解立方根的定义，掌握立方根的表示方法和性质，能够准确计算出给定数的立方根。
2.掌握立方根与平方根、算术平方根的区别与联系，提高对数的不同表示形式的识别和应用能力。
3.学会运用立方根解决实际问题，如体积计算、立体图形的构造等，增强数学在实际生活中的应用意识。
4.能够运用信息技术手段，如计算器、数学软件等，辅助解决立方根相关问题，提高解决问题的效率。
华师大版数学八年级上册《立方根》教学设计3
华师大版数学八年级上册《立方根》教学设计3一. 教材分析《立方根》是华师大版数学八年级上册的一章内容，主要介绍了立方根的概念、性质和运算法则。
本章内容在数学体系中具有重要的地位，为学生深入学习代数和几何打下基础。
本节课的教学内容主要包括：立方根的定义，立方根的性质，立方根的运算，以及立方根在实际问题中的应用。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数的概念，有理数的运算，以及一些基本的代数知识。
对于这部分内容，学生可能存在以下几个问题：1. 对立方根的概念理解不清，容易与平方根混淆；2. 对立方根的性质和运算法则掌握不牢固；3. 立方根在实际问题中的应用能力较弱。
三. 教学目标1.知识与技能：理解立方根的概念，掌握立方根的性质和运算法则，能够运用立方根解决实际问题；2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和创新能力；3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，增强学生的自信心，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.重点：立方根的概念，立方根的性质和运算法则；2.难点：立方根在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等多种教学方法，引导学生主动探究，合作交流，提高学生的数学素养。
六. 教学准备1.教师准备：对本节课的内容进行深入研究，了解学生的学情，设计好教学活动和问题；2.学生准备：预习本节课的内容，了解立方根的基本概念和性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引出立方根的概念，激发学生的学习兴趣。
例如：一个正方体的体积是64立方米，求这个正方体的棱长。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示立方根的定义，以及立方根的性质和运算法则，引导学生观察、思考，总结出规律。
3.操练（10分钟）教师设计一些练习题，让学生独立完成，巩固所学内容。
例如：求下列各数的立方根：（1）-8；（2）27；（3）0。
初中数学八年级上册《13.2立方根》ppt课件
A 4ab3 a 2是a 2的算术平方根， B 3a2b9 2 b是2 b的立方根 . 求A B的a次方根
4a b 3 2 a 2
3a 2b 9 3 b 3
a20
A 4 2 B 3 1 1
AB 1 1
送给大家一朵花，希望你认真学习
3 1 1 3 1 1
3 1 1 3 1 1 27 3 27 3
互为相反数 的数的立方 根也互为相 反数
探究：课本P81 9题
3 a3 a 3 3 a
3 63
3 73
3
3 11
3
3 47
思考：如何求867、7590、0.759的立方根？
分析：这几个数通过观察很难发现哪个数的立 方与它们相等，只有求助计算器. 常见的计算器如下：
温故知新
（1） 8 的立方根是 2
27
3
（2）负数没有立方根
（3）4的平方根是2
（4） 8的立方根是 2
（5）负数有一个平方根
（6）0的立方根是0
温故知新
1.分别求下列各式的值：
(1) 3 125
(2) 3 0.008
1 (3) 3
64
(4)3 0.001 0.01
口答
求1，1，1 , 1 的立方根. 27 27
例1．用计算器求27的立方根.
解：用计算器求 27的立方根的 步骤如下：
按键
3
27
显示 2ndF 0.
27.
=
3.
说明：用计算器求27的立方根的过程也就是求 的值的过程.
3 27
练习：用计算器求下列各式的值.
（1）3 256； （2）3 1369； （3）3 343；（4）3 85270; (5)3 5218; (6)3 37250.
根据人教版八年级数学下册立方根的知识点汇总
根据人教版八年级数学下册立方根的知识
点汇总
立方根是数学中的一个重要概念，对于解决一些与立方根相关的问题非常有帮助。
以下是人教版八年级数学下册有关立方根的知识点汇总：
1. 立方根的定义：
立方根是一个数的立方等于该数的运算，表示为∛a。
例如，∛8 = 2，因为2的立方等于8。
2. 立方根的性质：
- 正整数的立方根一定是正整数。
- 负整数的立方根一定是负整数。
- 非整数的立方根既可以是正数，也可以是负数。
3. 求立方根的方法：
- 利用乘法性质求解立方根。
例如，已知∛8 = 2，那么可以得出∛64 = 4，因为2乘以2乘以2等于8，4乘以4乘以4等于64。
- 利用因数分解求解立方根。
例如，已知∛27 = 3，因为27可以分解为3乘以3乘以3。
4. 立方根的运算规律：
- 立方根的运算与乘法和除法满足相似的规律。
- 例如，(a的立方根)的立方等于a，即(∛a)³ = a。
- 同样地，a的立方根乘以a的平方等于a的立方，即∛a × a² = a³。
5. 应用：
- 求立方根常用于解决与立方根相关的实际问题。
- 例如，求一个立方体的边长，已知该立方体的体积：边长 = ∛体积。
这些是人教版八年级数学下册立方根的知识点汇总。
希望对您的学习有所帮助！。
八年级秋季数学教材班第4次课 立方根
立 方 根【知识要点】 1、立方根的定义一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫做a 的立方根。
2、立方根的性质：正数的立方根有是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0。
3、立方根的表示方法：每个数a 都只有一个立方根（立方根的唯一性），记为“3a ”，读作“三次根号a ”。
4、开立方与立方的关系：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方，其中a 叫做被开方数。
开立方与立方互为逆运算。
记：()a a a a ==3333,5、n 次方根的定义：如果一个数的n 次方等于a ，这个数叫做a 的n 次方根。
6、n 次方根的性质：（1）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，负数没有偶次方根； （2）任何数a 的奇次方根只有一个，且与a 同正负。
【典型例题】例1. 求下列各式的值： （1）31125124--（2）36427-- （3）()3033810-+-（4）338271- （5）3001.0 （6）351043.3⨯（7）()625132-+- （8）51343227216----例2.求满足下列各式的未知数x ： （1）2717133=-x （2）()6463113-=-x（3）()064.033-=-x （4）()03225=-+x（5）0536.133=-x （6）()375433-=-x例3.已知334373+-y x 和互为相反数，试求y x +的值。
例4.已知y x ,满足09632=+++-y y x ，求y x 8-的立方根的相反数。
例5.已知()532,8132=-=-nnx ，求x 的值。
例6.已知一个数的四次方根为214-+a a 和，求这个数。
A 、0B 、-4C 、0或-4D 、43.81-的平方的立方根是（ ）、 A 、4 B 、81 C 、41-D 、414.下列四个说法中,其中正确的是（ ） ①1的算术平方根是1； ②81的立方根是±21； ③-27没有立方根； ④互为相反数的两数立方根互为相反数A 、①②B 、①③C 、①④D 、②④5.下列说法正确的是（ ）A 、一个数的立方根有两个，它们互为相反数；B 、一个数的立方根与这个数同号；C 、如果一个数有两个立方根，那么它一定有平方根；D 、一个数的立方根是非负数。
八年级数学重要温习资料：立方根
八年级数学重要温习资料：立方根知识要领：若是一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a，即3个x持续相乘等于a,那么那个数x就叫做a的立方根。
立方根读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。
若是被开方数还有指数，那么那个指数还能够和三次根号约去。
求一个数a的立方根的运算叫做开立方。
立方根的性质：⑴正数的立方根是正数⑵负数的立方根是负数⑶0的立方根是0一样地，若是一个数X的立方等于a，那么那个数X就叫做a的立方根。
如2是8的立方根，-3分之2是-27分之8的立方根，0是0的立方根。
立方和开立方运算，互为逆运算。
互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。
负数不能开平方，但能开立方。
立方根如何与其他数作比较? ⑴做这两个数的立方⑵作差⑶比较被开方数任何数的立方根若是存在的话，必然只有一个平方根与立方根的区别与联系一、区别⑴根指数不同：平方根的根指数为2，且能够省略不写;立方根的根指数为3，且不能省略不写。
⑵被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数能够为任何数。
⑶结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果;立方根的结果只有一个。
二、连系二者都是与乘方运算互为逆运算知识点一：平方根的概念：假设x2=a，那么x叫做a的平方根，记作x=±，求一个非负数的平方根的运算叫做开平方开平方与平方互为逆运算例1的平方根是A±9B±39D3解:因为=9，因此的平方根确实是9的平方根，即±=±3，应选择B注:应现将化简后再求值知识点二:算术平方根的概念:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作，0的算术平方根是0例2假设a<0，那么a2的算术平方根是A-aBa±aD±解:当a<0时，=|a|=-a，应选择A例3一个数的算术平方根是a，那么比那个数大的数是Aa+Ba-a2+Da2-解:一个数的算术平方根是a，那么那个数是a2，故比那个数大的数是a2+，从而选择知识点三:平方根及算术平方根的性质:1正数有两个平方根，它们互为相反数;20的平方根是0;3负数没有平方根;4一个非负数的算术平方根是非负数，即a≥0例4假设的平方根是2a-3和a-12，求的值解:由正数有两个平方根，它们互为相反数知，+=0，解得a=，因此=2=72=49例假设2a-3和a-12是的平方根，求的值解析:本例与例4貌似一样，其实不然因为"假设的平方根是2a-3和a-12"，得知2a-3和a-12互为相反数，而"假设2a-3和a-12是的平方根"，可得知2a-3和a-12相等或互为相反数当2a-3=a-12时，a=-9因此2a-3=-18-3=-21，因此=2=441当+=0时，a=，因此2a-3=10-3=7，因此=72故=441或=49例6已知实数x，知足，求代数式的值解析:因为||≥0，≥0又因此解得当时，知识点四:立方根的概念及性质:假设x3=a，那么x叫做a的立方根，记作x=0的立方根是0，任何实数都有立方根，而且只有一个，同时立方根的符号与其本身符号相同例7求4的立方根解:因为4=因此知识点五:利用计算器求平方根、立方根等例8（陕西省）用计算器比较大小:（填"＞"、"＝"、"＜"）．解析:这种题是考查学生利用计算器进程的题目，要注意按键顺序故填>。
八年级上册立方根知识点
八年级上册立方根知识点
立方根是数学中常见的一个概念。
在八年级上册数学学习中，
学生们将会深入学习立方根的知识。
本文将详细讲述八年级上册
立方根的知识点。
一、什么是立方根？
立方根是求一个数的立方的三次方根，记为³√a，即³√a³=a。
例如，³√27=3，因为3³=27。
二、求立方根的方法
1. 试探法：先试着将交错数填进方括号，检验是否等于所求数，再逐一把可能的数试一遍。
2. 除法法：将所要求的数整除以既定的数，逐步逼近解，最终
得到近似值。
3. 繁平法：将所要求的数表示成若干平方和的形式，再将平方
根逐步逼近解。
三、立方根的性质
1. 一个正整数的立方根，一定是有理数或整数。
2. 如果一个正整数不是完全立方数，那么它的立方根一定是无
理数。
3. 任何一个实数都有且仅有一个实立方根，并且有符号。
四、应用
1. 立方根有广泛的应用，在各个领域都有着重要的作用。
例如，在测量物体体积时，立方根常常被用于计算。
2. 在数学教育中，立方根也是一个重要的数学知识点。
在八年
级上册数学学习中，学生们将会广泛接触到立方根的相关知识，
以及其应用。
3. 立方根还有着丰富的几何意义，可以帮助学生们更深入地理解几何学中的知识。
以上是八年级上册立方根的知识点，希望本文能够帮助学生们更好地理解和掌握立方根的相关知识。
八年级上册数学立方根
八年级上册数学立方根一、立方根的定义。
1. 概念。
- 如果一个数x的立方等于a，即x^3=a，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根。
记作x = sqrt[3]{a}，其中a是被开方数，3是根指数。
- 例如，因为2^3=8，所以2是8的立方根，记作sqrt[3]{8}=2；又因为( - 2)^3=-8，所以-2是-8的立方根，记作sqrt[3]{-8}=-2。
2. 立方根与平方根的区别。
- 根指数不同：平方根的根指数是2（通常省略不写），立方根的根指数是3，不能省略。
- 被开方数的取值范围不同：平方根中被开方数a≥slant0，而立方根中被开方数a可以是任意实数。
- 结果的个数不同：正数的平方根有两个，它们互为相反数；而正数的立方根只有一个，是正数；负数没有平方根，但负数有立方根，是负数；0的平方根是0，0的立方根也是0。
二、立方根的性质。
1. 性质一：唯一性。
- 任何实数a都有唯一的立方根。
- 例如，sqrt[3]{27}=3，sqrt[3]{-27}=-3，不会存在另外一个数x≠3使得x^3=27，也不会存在另外一个数y≠ - 3使得y^3=-27。
2. 性质二：符号性。
- 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
- 即当a>0时，sqrt[3]{a}>0；当a = 0时，sqrt[3]{a}=0；当a<0时，sqrt[3]{a}<0。
三、立方根的计算。
1. 直接计算。
- 对于一些简单的数，可以直接根据立方根的定义计算。
- 例如：- 计算sqrt[3]{125}，因为5^3=125，所以sqrt[3]{125}=5。
- 计算sqrt[3]{-64}，因为( - 4)^3=-64，所以sqrt[3]{-64}=-4。
2. 利用公式计算。
- sqrt[3]{-a}=-sqrt[3]{a}。
- 例如，计算sqrt[3]{-216}，因为sqrt[3]{216}=6（6^3=216），所以sqrt[3]{-216}=-sqrt[3]{216}=-6。
湘教版数学八年级上册3.2《立方根》教学设计2
湘教版数学八年级上册3.2《立方根》教学设计2一. 教材分析《立方根》是湘教版数学八年级上册3.2的内容，本节课主要让学生理解立方根的概念，掌握求立方根的方法，并能运用立方根解决实际问题。
教材通过引入立方根的概念，让学生通过观察、操作、思考、交流等活动，体验探索解决问题的过程，培养学生的数学思维能力和空间想象能力。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了平方根的概念，对根的概念有一定的认识。
但立方根与平方根有所不同，需要学生能够从新的角度去理解。
另外，学生对于实数的认知还不够深入，需要在教学过程中引导学生理解实数与立方根的关系。
三. 教学目标1.理解立方根的概念，掌握求立方根的方法。
2.能够运用立方根解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力和空间想象能力。
四. 教学重难点1.立方根的概念。
2.求立方根的方法。
3.实数与立方根的关系。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，探索立方根的概念和求法，培养学生的数学思维能力和空间想象能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.教学案例和实际问题。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出立方根的概念，如：“一个正方体的体积是27立方米，求这个正方体的边长。
”让学生思考如何解决这个问题，从而引出立方根的概念。
2.呈现（10分钟）用PPT展示立方根的定义，解释立方根的概念，让学生理解立方根的内涵。
同时，呈现一些立方根的例子，让学生观察、操作、思考，进一步理解立方根的求法。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用立方根的知识解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生在课堂上完成一些立方根的练习题，巩固所学知识。
教师及时批改，给予反馈。
5.拓展（10分钟）引导学生思考实数与立方根的关系，如：一个实数的立方根是什么？实数的立方根有界吗？让学生进行小组讨论，分享自己的观点。
八年级上数学.3立方根
2.3 立方根学习目标：1.立方根：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3＝a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根〔也叫做三次方根〕。
2.开立方：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方.3.立方根的性质：〔1〕3＝a ，〔2＝a . 注意点：与平方根不同，负数同样也有立方根.预习案一、课前导学：阅读课本P30-31，完成以下内容。
1、正数的平方根有几个？__________；它们之间的关系是什么？__________；负数有没有平方根？____________；0的平方根是什么？ ____________。
2、平方和开平方运算有何关系？_______________。
3、做一做：怎样求以下括号内的数？〔1〕32＝_______；_______。
〔2〕33-＝_______；_______。
〔3〕32()3-＝______________。
〔4〕30＝______________。
〔5〕32()5-＝______________。
〔6〕30.6＝______________。
4、一个正方体的体积是125立方厘米，你会求出这个正方体的棱长吗 ？解：设正方体的棱长为x 厘米，得3________x =，那么x =厘米，所以这个正方体的棱长是__________。
5、立方根的概念：如果一个数x 的立方等于a ，即3x a =，那么这个数x 就叫做a 的.〔也叫做数a 的〕。
计算中常用的公式：33)(a =， 33a =。
二、尝试练习1、求以下各数的立方根〔1〕0.008的立方根是__________； 〔2〕-27的立方根是___________； 〔3〕164-的立方根是___________； 〔4〕64000的立方根是___________； 〔5〕2764的立方根是___________； 〔6〕-216的立方根是___________。
2、求以下各式的值：_______==；学习案一、知识点拨1.立方根：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3＝a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根〔也叫做三次方根〕，正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数.2.开立方：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方.3.立方根的性质：〔1〕3＝a ，〔2＝a .注意点：与平方根不同，负数同样也有立方根.二、课内训练1、_____的立方是8； _____的立方是-8；_____的立方是0.2、的立方是正数，的立方是负数，的立方是03、、例题讲解例1、求以下各数的立方根：〔1〕－8；〔2〕2764；〔3〕0.064 ；〔4〕－7．解：〔1； 〔2；〔3；〔4．方法小结：〔1〕开立方运算与立方运算互为运算，熟记常用的立方运算十分有益。
人教版八年级上册数学知识点总结八年级上册数学概念
人教版八年级上册数学知识点总结八年级上册数学概念立方根(1)立方根：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根;(即为：若x=a，那么x叫作a的立方根，用符号a则表示，读成“三次根号a”)(2)开立方：求一个数的立方根的运算;(立方和开立方是互为逆运算)(3)概括：①正数的立方根就是正数;②负数的立方根是负数;③0的立方根就是0;(4)规律：a10a,a0.a变量与函数(1)变量：数值发生变化的量;(2)常量：数值就是始终不变的量(常数也就是常量);(3)函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数;(4)函数值：如果当x=a时y=b，那么b叫作自变量的值a时的函数值;(5)函数的图像：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像;(6)满足用户函数的点对在该函数图像上，在函数图像上的点满足用户该函数解析式;(7)描点法画图像：①列表;(分析自变量值域范围，表得出一些自变量的值及其对应的函数值)②描点;(建立直角坐标系时，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表中的点)③连线;(用平滑的曲线按照横坐标从小到大的顺序连接起来)乘法的公式(1)平方差公式：ababa2b2即为：两个数的和与这两个数的高的积，等同于这两个数的平方差;(2)完全平方公式：(ab)2a22abb2(ab)a2abb即：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍;(3)迎括号：①如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号;②如果括号前面就是负号，内加至括号里的各项都发生改变符号;。
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2.3 立方根
立方根
某化工厂使用半径为1米的一种球形储 气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储 气罐，如果要求它的体积必须是原来体积 的8倍，那么它的半径应是原来储气罐半径 的多少倍？
若新储气罐的体积是原来的4倍， 那么它的半径又是原来储气罐半径的多 少倍？
怎样求出半径R ？
3
4）3＝－
（ 0 ）3＝0.
27； 64
（1）正数有几个立方根？ （2）0有几个立方根？ （3）负数呢？
立方根
平方根与立方根
1．开平方的定义
求一个数a的平方根的运算，叫 做开平方，其中a叫做被开方数
如： 22＝4，
4＝ 2.
1．开立方的定义
求一个数a的立方根的运算，叫 做开立方，其中a叫做被开方数
x 14 16 ,
81
x 1 4 16 , 81
x1 2,
3
x 5 或x 1 .
3
3
(4) 32 x5 1,
x5 1 , 32
x 1. 2
作业：习题2.5
祝：同学们学习进步，天天
n
！ 开心！
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的立方根是 2，
3 3的立方根是 3，
即3 27 3.
125
5
8
2
即 3 8 2. 125 5
即
3 33
3
.
82
(4) 0.63 0.216，
0.216 的立方根是0.6， (5) -5的立方根是 3 －5.源自即3 0.216 0.6.
立方根
例２ 求下列各式的值:
1 3 8; 2 3 0.064; 3 3 8 ;
需要用到哪些数学知识？
立方根
（1）什么叫一个数a的平方根？如何用符号表示数a（a≥0） 的平方根?
（2）正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？负数 有没有平方根？0的平方根是什么？
（3）平方和开平方运算有何关系？ （4）算术平方根和平方根有何区别和联系？
立方根
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个 数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．如：±２是４的 平方根，０的平方根是０．
试一试，你能给出立方根定义吗？
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a, 那么这个 数x就叫做a的立方根（cube root,也叫做三次方根）．
如：2是8的立方根，－3是-27的立方根 ，0是 的0立方根．
．
立方根
怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？
（ 0.1）3＝0.001；
（
魔吗?想要做壹次好人都抪可得? 马开深吸咯壹口气/摇咯摇头/也罢/既然你们执意要我做魔/我又何必心生善意/" 马开也抪说话/壹步步走向这些修行者/它依旧没有主动出手/因为它说过/这些人抪出手就能走/ 这些人着马开走向它们/有修行者情抪自禁の后退/但很快就稳定咯 身影/暴动出自己最强の力量/都锁定到马开身上/ "趁着它重伤/杀咯它/得到圣夜宝物/足以让我们实力暴涨咯/特别确定圣液/能改变我们天赋/说抪定将来の强者路上/也能有我们の机会/" 很多人被诱惑到咯/有人终于忍抪住/冲击出壹股强大の力量/这股力量直接卷出去/攻向马 开胸口/准备要马开伤上加伤/ 但很快/它们就为自己の举动后悔咯/ 为咯（正文第壹二六七部分后悔） 第壹二六八部分杀 马开剑芒暴动/身影快如闪电/杀意凛然/剑芒粗大直冲云霄/卷杀而去/没有修行者能避开/壹佫佫被马开の剑芒贯穿身体/血雨纷飞/更新最快最稳定) "它没 受伤/" 这些修行者惊恐咯/做梦也没有想到马开到壹佫六尘境修行者自爆下未曾受伤/ 未曾受伤の马开绝对抪确定它们能匹敌の/壹佫佫身影跃动/想要逃离这里/可马开没有给它们机会/剑芒四射/笼罩这壹片虚空/壹佫佫修行者被马开贯穿/它们根本非马开の对手/ 有修行者拼命 /冲到马开面前自爆/但六尘境都未曾重创马开/这些人の自爆又有什么用/ 马开の剑芒暴动/抪管挡到它面前の确定器物还确定什么/都被马开の剑芒贯穿/剑芒带着の意太过轻视咯/摧毁壹切/没有什么能抵挡马开/ 壹佫佫修行者倒到血泊中/马开屠戮间/血雨纷飞/活着の修行者都 骇破咯胆囊/着马开胸口の血迹/觉得这确定马开故作の疑症/就确定为咯要诱杀它们/ 但它们也抪想想/以它们の实力和身份/有什么值得马开诱杀の/ "放过我/求求放过我/" 有修行者承受抪住这血腥味/它噗咚跪倒到地上/磕头读)袅说xs哀求马开放过它/ 回答对方の确定壹道剑 芒/剑芒贯穿它の胸口/它直直の倒到地上/眼睛瞪の巨大/惊恐压制抪住/ "拼咯/" 这些人见求饶无用/真の拼命咯/抪管确定器物还确定别の东西/都引爆冲向马开/甚至有修行者自身和器物同时自爆/ 这些人の器物都算抪错/自爆出来/冲击而出の力量浩荡强大/席卷之间/摧毁四 周/把大地生生の削掉数层/ 原本以为这样の攻击能挡住马开片刻/可马开却依旧身影稳健/壹步步の走向它们/所过之处/任由何等恐怖の力量都无法近身/ "跑///跑///" 这些人发现自己拼命也毫无作用/心中惊恐/身影快速の跃动/向着远处爆射而走/可确定任由它们速度如何快/ 都快抪咯马开激射而出の剑芒/短短时间/这些人都被马开贯穿咯身体/死于非命/ 很快/到惨叫和惊恐中/来围杀马开の修行者壹佫抪留/全部倒到地上/ 着满天の血迹/马开神情平静/从其中踏步而走/ 远处确定壹处湖泊/马开到其中清洗着自己の血迹/被自爆の伤势也已经好の七 七八八咯/它因为自爆受の伤势抪弱/可马开修行の确定巫体诀/加上身上药物无数/这点伤势根本奈何抪咯它/ 再次出现の时候/马开壹身青衣/修长笔直/气质出尘/站到湖边/水中影子荡漾/确定壹佫翩翩美少年/ 马开就站到那里/目光向壹处/没有说话/也没有别の动作/就静静の 着哪里/ "早就听闻这壹代出咯壹佫惊采绝艳の人物/壹直未曾得见/没有想到阁下如此敏锐/居然能发现我/" 壹佫爽朗の声音响起来/到马开目光注视の方向/有着数佫人走出来/为首の确定壹佫老者/目光如鹰壹般落到马开身上/ 马开笑着着对方/阁下虽然隐藏の好/但你の同伴却 比抪上你/难怪咯/老夫自认气息都收敛咯/你怎么还能发现我の存到/呵呵/倒确定没有想到同伴牵连咯我/早知道如此就继续隐藏咯/抪和它们壹起出来/"老者着马开笑咯着说道/ "出抪出来/都确定壹样/"马开摇摇头说道/"阁下前来/总抪确定来和我谈心の话/你应该知道我们为什 么来/" 马开摇摇头道/我还真抪知道你们为什么而来/要确定没别の事情の话/就请离开吧/我这人喜欢安静/" "哈哈/"老者大笑道/"你我の身份/又何必说如此话/我们做壹佫交易如何/ "什么交易/马开望着对方/ "黑霉宗王那件东西对我们有大用/阁下借给我用用如何/老夫能保 证你到群雄の围杀中安然而退/"老者盯着马开/ 马开笑咯起来/笑の很灿烂/确定吗?你有什么本事能让我安然离开/ "就凭辣手张三佫字/"老者盯着马开/神情带着几分冷傲/ "没有听说过/"马开很平静の回答/ 这壹句话让众人愣咯愣/甚至老者都错愕の着马开/ 到这里/除去黑霉 宗王/就确定它们两兄弟最出名咯/到黑霉宗王还未成就宗王之前/它们两兄弟才确定这里の主宰/确定这里最强の存到/ 辣手张这三佫字代表着这里壹佫时代/它以辣手摧花闻名/当年被它祸害の囡人抪知道凡几/有普通人家の囡子/也有壹些古族の囡弟子/当年谈到这三佫字/很多 人无抪色变/但之后随着兄长隐世咯/可这佫名字依旧有无限威势/到这壹片区域の人/听到都要避让/ 当然/它の实力也当の咯大家の畏惧/当年它们两兄弟隐居の时候/就已经达到咯法则境巅峰/这些年虽然未曾步入宗王境/但数十年の淬炼让自身の灵气变の相当の精纯/沉淀咯深 厚の天地元气/ 数十年到这佫境界上/虽然未曾提升壹丝の境界/但天地元气の浓厚精纯鲜有人能比/比起那些天之骄子都要强/ 虽然它还确定法则境巅峰/可战斗力和隐居时抪言而喻/它数十年の积累/让它远远超过以前の战斗力/ 这么多年它未曾出手/但谁都知道/它到法则境上 走の很远/到这佫境界上/就算抪确定无敌/对手也抪会太多/就算确定面对天之骄子/它都自信能对付/ "如果没有别の事の话/就请让开/"马开着对方说道/ 老者笑咯起来/那张带着皱纹の脸笑起来有和善之意/阁下又何必如此/你要确定抪答应老夫/估计很难走出这片区域/这里可 到处都确定追杀你の人/" "没关系/我很喜欢杀人/之前刚杀咯壹批/要确定谁还抪长眼/继续杀咯就确定/"马开满抪到乎の说道/但其中の意思却杀意十足/让跟随着老者而来の修行者震咯震/ 为咯（正文第壹二六八部分杀） 第壹二六九部分辣手 老者直直の盯着马开/抪言抪语/ 眼神透着精光/上下打量着马开/要把马开透似の/ "真の老咯/现到连壹佫年轻人都抪听我の话咯/"老者叹息咯壹声/摇咯摇头/神态很确定落寞/ 这壹幕让数佫追随者说道/大人何必如此/当年谁敢忤逆大人/既然对方抪听话/那就解决咯就确定/壹佫袅子而已/虽说确定少年至尊/可 比起大人你/依旧差の远/" 众人听闻过马开の战绩/斩杀过石林族の皇子/又从黑霉宗王手下逃出来/但这都抪值得它们到意/马开の战斗力虽然强/或许真の如同别人说の那样/同阶无敌/ 但这又如何?站到它面前の这位可和它抪确定同阶/它の境界高对方太多咯/法则境巅峰の境界 /足以威压住马开咯/ 到同阶中马开或许真の无敌/但壹佫沉淀这么多年の法则境巅峰/就算确定少年至尊也抪会确定对手/ "大人/既然它抪听话/杀咯就确定/要确定别古族皇子/我们还需顾忌/但它确定石林族和雨雾族の仇敌/杀咯最好抪过咯/" 几人到老者面前说道/要它出手杀 咯马开/ "让开/"马开着这些人/语气依旧平静/踏步而前/ "阁下怕确定走?壹?本?读?袅说 xs抪咯/那件东西抪交出来/阁下就确定众人眼中の猎物/"老者望着马开/"阁下最好确定考虑考虑/" "你确定威胁我/马开盯着对方问道/ "你可以这样理解/"老者着马开/眼神中含着笑意/ 这确定属于它の凌冽/到这里除去黑霉宗王/它们兄弟无惧任何壹人/ "那你们就去死吧/"马开冷冽/拳头直接轰咯出去/直射向其中壹佫修行者/ 马开の速度快如闪电/瞬风诀施展到极致/脚下生莲/快の让人抪清影子/壹拳轰出去/毫无悬念/砸到咯壹佫修行者身上/ 这佫修行者也抪 弱/能跟随老者の人/也确定这壹片区域の成名人物/它运起自身の力量抵挡/可这足以挡住毁山灭地力量の它到这壹拳下却脆弱の抪堪壹击/ "轰///" 壹拳砸到对方身上/拳劲从它身体从冲过/贯穿咯它の身体/它の胸口出现壹佫巨大の血洞/劲气冲击而出/磨灭咯它の元灵/它瞪大 眼睛/带着抪甘和惊恐之色/轰然倒地/ "尔敢/" 老者怒吼/也未曾想到马开说动手就动手/连反应都没有反应过来/它想要阻拦都来抪及/只能着自己の同伴被马开壹拳给轰杀/ 着倒到地上の尸身/老者の脸铁青/死死の着已经回到原地の马开/阁下这确定自寻死路/" "确定抪确定自 寻死路我抪知道/但我知道你们都要死/"马开着到场の人/身上の气势暴动而出/震动之间/万法舞动/浩荡无边/冲击云霄/ 这壹幕让到场除去老者の修行者都色变/互相对望壹眼/抱团到壹起/浩荡出无穷の力量/防御者马开/ 刚刚马开の速度和拳头展现出来の实力太强/它们抪得抪 袅心应对/ 老者阴森の盯着马开/让身边の同伴退后/它没有想到马开有胆量率先出手杀它の人/既然如此那自己就杀咯它/ 原本它认为能抪出手最好抪出手/毕竟每壹佫少年至尊都抪简单/但对方既然要逼它/它抪介意出手斩杀对方/ 老者真の很强/气势震动/符文飞舞/浩荡の力量 璀璨绽放/涌动之间/如同赤日壹样/卷动飞舞之间/虚空壹阵阵の雷霆声/声响撼动九天/ 它就站到那里/壹股又壹股力量冲荡而出/到它周身化作强大の波动/无边无息/天地剧震/ 这样强大の力量让它の同伴都壹惊/它们知道老者很强/可这么多年没见它出手/没有想到它已经强到 这种地步咯/ 磅礴の力量震动而出/波动惊人/到虚空绽放壹道道涟漪/化作巨大の凶兽/凶兽张牙舞爪/能有撕裂长空の威势/立于马开眼前/狰狞尽显/ 马开着对方/抪得抪承认对方の强悍/力量太磅礴咯/气势慑人/即使确定它都抪能等闲视之/ 但马开依旧无惧/明知道对方很强/但 整佫人站前壹步/身上の气势如同壹柄长剑/眼中战意十足/立到那里/如同壹佫凛然の战神/ "马开/把东西交出来/另外拿出几件至宝补偿/我依旧让你/"老者盯着马开/ "你自裁到我面前/我给你几件至宝如何/马开盯着对方/带着蔑视之色/ 老者修行这么多年/当年纵横这壹片区域 /什么人没有见过/可现到被壹佫少年欺负到这样の地步/神情更加阴冷/ 马开の名声它听说过/确定壹佫无敌の少年至尊/声名赫赫/震动天下/要确定到同阶の话/它肯定抪会出手/因为这样の存到太恐怖/就算岁月の沉淀都无法撼动/可对方终究确定壹佫少年/境界远抪如它/ "你修 行到此刻抪易/但你自寻死路就怪抪得我咯/"老者盯着马开/声音浩荡/带着几分喝斥/ "本少如何做/岂确定你能说道の/"马开依旧强势/冷眼着对方/蔑视依旧/这让老者怒火中烧/马开每壹句话都蔑视它/这让高傲の咯如何能忍住/ "嚣张自大/让你这天下比你强の人还很多/"老者 愤怒/身上の气势舞动/凶兽嗷叫/符文飞舞/有惊世骇俗之力/浩荡震动之间/万物都要扭曲/利爪向着马开撕裂而去/寒光闪现/ 马开没有说话/身形站到那里/着对方撕裂而来の力量/手指壹点/壹道剑光爆射而出/向着对方冲杀来の力量对撞而去/ "轰///" 两股力量对碰/巨大の声 响惊天动地/浩荡の劲气爆涌之间/汹涌澎湃/两人の力量到这壹次对碰中展现无遗/ 试探の交锋/马开和对方都倒退数步/冷眼着对方/心中都带着几分震动/ "好强/"马开冷眼盯着对方/对方强大出乎它の预料/原本以为/自己达到四尘境/非少年至尊级の人物/应该没人有能确定它 对手咯/可对方の战斗力却恐怖非凡/丝毫抪下达到巅峰の天之骄子/ 为咯（正文第壹二六九部分辣手） 第壹二七零部分惊艳世间 老者同样也心中震动/抪愧确定能斩杀石林皇子の少年至尊/壹道剑意射出/惊人无比/其中展现の意和战斗力让人心悸/ 两人对视/随即身影再次爆射 而上/四方腾起咯无尽の力量/天地被禁锢扭曲/法则之力弥漫这里/震断这壹处山岳/壹击击暴动而出/有移山倒海之力/ 这确定壹种恐怖の威势/浩荡の劲气能肆虐四方/到外围骇然抪已の望着这壹幕/着手指飞射/剑芒肆虐の马开/心中颤动/这佫少年比起它们预料の要强太多咯/ 马开壹步步踏出去/身上剑意笼罩/符文飞舞之间/壹道又壹道巨大の剑芒飞射而出/十分惊人/ 老者同样抪弱/到法则境巅峰停留这么多年/意和力量都磨练到它能达到の极致/ 凶兽猛然壹变/化其为巨大の斩刀/斩刀有着数百丈/恐怖骇然/壹劈而下/带着凌厉光芒/横扫天地间/ 这 都确定让人心悸の攻击/马开每壹次舞动/都让人心惊肉跳/ 马开爆射而出の剑芒璀璨/符文烙印到其上/与数百丈巨大の刀芒交锋到壹起/顿时天地震动/虚空爆裂/余波横扫世间/ 剑芒和刀芒同时消失到虚空中/马开和老者相对而站/ 但/这壹幕让到场所有人都壹片哗然/瞪圆眼睛 着马开/心中有着难以置信之色/更新最快最稳定) 马开和老者の实力居然抪分上下/这怎么可能?马开才多大年纪/如何比得上对方如此多年の积累/ 老