2015高考数学一轮配套课件：8-1 第1课时 直线的方程

公式．
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直线的倾斜角与斜率的关系 (1)斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有 倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线 无斜率． (2)①求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对 斜率存在与不存在加以讨论．②在用截距式时，应先判断截距 是否为0，若不确定，则需分类讨论．
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则 B 点坐标为kk＋ ＋72，4kk＋－22. 由已知kk＋ ＋72－12＋4kk＋－22＋12＝52， 解得 k＝－34，∴y＋1＝－34(x－1)， 即 3x＋4y＋1＝0. 综上可知，所求直线的方程为 x＝1 或 3x＋4y＋1＝0.
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第1课时 直线的方程
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(一)考纲点击 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率
的计算公式． 2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的三种形式
(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关 系．
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(2)设所求直线的斜率为 k，依题意 k＝－14×3＝－34. 又直线经过点 A(－1，－3)， 因此所求直线方程为 y＋3＝－34(x＋1)， 即 3x＋4y＋15＝0.
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下列说法正确的是
对点演练
A．直线的倾斜角是α，则此直线的斜率为k＝tan α B．直线的斜率为k＝tan α，则此直线的倾斜角是α C．若直线的倾斜角是α，则sin α＞0 D．任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率
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【解】 由题可设 A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)，则直线 l 的方程 为ax＋by＝1， ∵l 过点 P(3,2)，∴3a＋2b＝1， b＝a2－a3且 a＞3，b＞2.
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如图，设点 P(x，y)，因为 x，y 满足 2x＋y＝8，且 2≤x≤3，所以 点 P(x，y)在线段 AB 上移动，并且 A，B 两点的坐标分别是 A(2,4)， B(3,2)． 因为yx的几何意义是直线 OP 的斜率，且 kOA＝2，kOB＝23，所以yx的 最大值为 2，最小值为23.
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4．线段的中点坐标公式
若点 P1、P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，线段 P1P2 的中点 M
的坐标为(x，y)，则xy＝ ＝yx11＋＋22 yx22， ，
此公式为线段 P1P2 的中点坐标
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【归纳提升】 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的 形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直 线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线， 截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时， 若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用 点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
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2．直线的斜率 (1)定义：当 α≠90°时，一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这 条直线的斜率，斜率通常用小写字母 k 表示，即 k＝tan α，倾 斜角是 90°的直线，其斜率不存在． (2)经过两点的直线的斜率公式： 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k ＝yx11－ －yx22.
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【解】 (1)设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a，若 a＝0，即 l 过 点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为 y＝23x，即 2x－3y＝0. 若 a≠0，则设 l 的方程为ax＋ay＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a＋2a＝1， ∴a＝5，∴l 的方程为 x＋y－5＝0， 综上可知，直线 l 的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0.
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(3)过点 A(1，－1)与 y 轴平行的直线为 x＝1. 解方程组x2＝x＋1，y－6＝0， 求得 B 点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5， 即 x＝1 为所求．
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(二)命题趋势 1．从考查内容看，对本节的考查主要体现在直线的概念(如倾
斜角、斜率、截距)与在不同条件下的直线方程，且常与圆、 圆锥曲线结合在一起命题． 2．从考查形式看，多以选择题、填空题的形式出现，属中低 档题．
ax＋by＝1(ab≠0)
不含垂直于坐标轴 和过原点的直线
Ax＋By＋C＝0(A、 平面直角坐标系内
一般式
B 不同时为零)
的直线都适用
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(1)已知直线 l 经过点 P(－对2点,5演)，练且斜率为－34，则直线 l 的方程为
33或
y＝－
33x－
3 3
C．y＝x＋1 或 y＝－x－1
D．y＝ 2x＋ 2或 y＝－ 2x－ 2
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解析：|AB|＝ cos α＋12＋sin2α＝ 2＋2cos α＝ 3，所以 cos α＝ 12，sin α＝± 23，所以 kAB＝± 33，即直线 AB 的方程为 y＝± 33(x＋ 1)，所以直线 AB 的方程为 y＝ 33x＋ 33或 y＝－ 33x－ 33，选 B. 答案：B
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设过 A(1，－1)且与 y 轴不平行的直线为 y＋1＝k(x－1)， 解方程组2y＋x＋1y＝－k6x＝－01 ， 得两直线交点为yx＝＝4kkk＋ ＋k＋－7222；. (k≠－2，否则与已知直线平行)．
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两点式
方程
适用范围
y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于 x 轴的直线
y＝kx＋b
不含垂直于 x 轴的直线
yy2－－yy11＝xx2－－xx11 (x1≠x2，y1≠y2)
不含垂直于坐标轴的 直线
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截距式Leabharlann 基础知识整合典例重点突破
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题型一 直线的倾斜角与斜率
直线 xsin a－y＋1＝0 的倾斜角的变化范围是( )
A.0，2π C.－π4，π4
B．(0，π) D.0，π4∪34π，π
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【解析】 直线 x·sin α－y＋1＝0 的斜率是 k＝sin α， 又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k≤1， 当 0≤k≤1 时，倾斜角的范围是0，4π 当－1≤k＜0 时，倾斜角的范围是34π，π. 【答案】 D
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(2)过点 M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为 ________． 解析：∵kMN＝－m2－－4m＝1，∴m＝1. 答案：1
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3．直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式
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1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与 直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角，当直线l 与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的取值范围：[0°，180°)．
()
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解 析 ： 对 于 A ， 当 α ＝ 90° 时 ， 斜 率 不 存 在 ； 对 于 B ， 只 有 当 0°≤α＜180°时，α才是直线的倾斜角；对于C，当直线与x轴平 行时，有sin α＝0；故选D. 答案：D
A．3x＋4y－14＝0
B．3x－4y＋14＝0
()
C．4x＋3y－14＝0
D．4x－3y＋14＝0
解析：由 y－5＝－34(x＋2)，得：
3x＋4y－14＝0，故选 A.
答案：A
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(2)过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 为________． 答案：x＋y＋1＝0或4x＋3y＝0
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题型三 直线方程的综合应用 已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于
A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直 线l的方程．
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针对训练
1．(2014·河南商丘一模)已知实数 x，y 满足 2x＋y＝8，当 2≤x≤3 时，则yx的最大值为______；最小值为______． 解析：本题可先作出函数 y＝8－2x(2≤x≤3)的图象，把yx看成 过点(x，y)和原点的直线的斜率进行求解．
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针对训练 2．(2014·北京海淀一模)已知点 A(－1,0)，B(cos α，sin α)，且|AB|
＝ 3，则直线 AB 的方程为
A．y＝ 3x＋ 3或 y＝－ 3x－ 3
()
B．y＝
33x＋
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对点演练 (1)直线过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为
2 A. 3 C．－23 答案：C
3 B. 2 D．－32
()
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答案：2
2 3
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题型二 求直线的方程
求适合下列条件的直线方程： (1)经过点 P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点 A(－1，－3)，斜率是直线 y＝3x 的斜率的－14； (3)过点 A(1，－1)与已知直线 l1：2x＋y－6＝0 相交于 B 点且|AB| ＝5.
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【归纳提升】 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切 函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，π2与 π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当 α∈0，2π时， 斜率 k∈[0，＋∞)；当 α＝2π时，斜率不存在；当 α∈2π，π时，斜 率 k∈(－∞，0)．