2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-2等差数列及其前n项和 Word版含解析

[课 时 跟 踪 检 测]
[基 础 达 标]
1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14
解析：由题知3a 1＋3×2
2d ＝12，因为a 1＝2，解得d ＝2，又a 6＝a 1＋5d ，所以a 6＝12.故选C.
答案：C
2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝6，则S 9为( ) A ．45 B ．54 C ．63
D ．27
解析：解法一：∵S 9＝
9(a 1＋a 9)
2
＝9a 5＝9×6＝54.故选B. 解法二：由a 5＝6，得a 1＋4d ＝6，
∴S 9＝9a 1＋9×8
2d ＝9(a 1＋4d )＝9×6＝54.故选B. 答案：B
3．已知等差数列{a n }，且3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，则数列{a n }的前13项和为( )
A ．24
B ．39
C ．104
D ．52
解析：因为{a n }是等差数列，所以3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝6a 4＋6a 10＝48，所以a 4＋a 10＝8，其前13项的和S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×8
2＝52.
故选D.
答案：D
4．在等差数列{a n }中，a 9＝1
2a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11＝( ) A ．24
B ．48
C ．66
D ．132
解析：解法一：由a 1＋8d ＝1
2(a 1＋11d )＋6，得a 1＋5d ＝12， 所以a 1＝12－5d .
又S 11＝11a 1＋11×10
2d ＝11a 1＋55d ＝11(12－5d )＋55d ＝132. 解法二：由a 9＝1
2a 12＋6，得2a 9－a 12＝12.
由等差数列的性质得a 6＋a 12－a 12＝12，a 6＝12，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 6
2＝
132.
答案：D
5．(2018届沈阳教学质量监测)设等差数列{a n }满足a 2＝7，a 4＝3，S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得S n >0成立的最大的自然数n 是( )
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12 解析：由题可得数列{a n }的公差d ＝
3－74－2
＝－2，a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，
则{a n }是递减数列，且a 5>0>a 6，a 5＋a 6＝0，于是S 9＝2a 5
2×9>0，S 10＝a 5＋a 62×10＝0，S 11＝2a 6
2×11<0，故选A.
答案：A
6．(2017届陕西省五校模拟)等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )
A ．297
B ．144
C ．99
D ．66
解析：由等差数列的性质可知，2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)＝39＋27＝66，
所以a 2＋a 5＋a 3＝33，
所以数列{a n }前9项的和为66＋33＝99. 答案：C
7．在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )
A ．S 15
B ．S 16
C ．S 15或S 16
D ．S 17
解析：解法一：设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 1＝29，S 10＝S 20，
所以10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×19
2d ，解得d ＝－2，
所以S n ＝29n ＋n (n －1)
2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.所以当n ＝15时，S n 取得最大值．
解法二：∵S 10＝S 20，
∴在对称轴n ＝10＋20
2＝15处取最大值． 答案：A
8．(2018届江西质检)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＞0，且S 9＜0，则S 1、S 2、…、S 9中最小的是( )
A ．S 5
B ．S 6
C ．S 7
D ．S 8
解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 8＞0，且S 9＜0，a 5＋a 6＞0,9a 1＋9×8
2d ＜0，即a 5＜0，∴a 6＞0，∴d ＞0，则S 1、S 2、…、S 9中最小的是S 5.故选A.
答案：A
9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，S n ＝324，最后6项和为180(n >6)，则数列的项数n ＝________.
解析：由题意可知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①
a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180.②
①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，所以a 1＋a n ＝36.
又S n ＝n (a 1＋a n )
2＝324，所以18n ＝324，n ＝18.
答案：18
10．已知等差数列{a n }中，S n 是前n 项的和，a 1＝－2 017，S 2 0172 017－S 2 015
2 015＝2，则S 2 019的值为________．
解析：S 2 0172 017－S 2 015
2 015＝a 1 009－a 1 008＝2. 即{a n }的公差d ＝2，又a 1＝－2 017， 所以S 2 019＝2 019×(－2 017)＋2 019×2 018
2
×2＝2 019.
答案：2 019
11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则正整数m 的值为________．
解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3， 所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，数列的公差d ＝1，a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，即2a 1＋2m －1＝5，
所以a 1＝3－m .由S m ＝(3－m )m ＋m (m －1)
2×1＝0，
解得正整数m 的值为5. 答案：5
12．(2018届湖北省襄阳市四校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a 2＝－2，S 6＝6.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和T n .
解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋d ＝－2，6a 1
＋6×52d ＝6，解得⎩⎨⎧
a 1＝－4，
d ＝2，
所以a n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6. (2)由(1)得S n ＝
(－4＋2n －6)n 2
＝n 2
－5n ，
①当n ＜3时，a n ＜0，此时T n ＝－S n ＝5n －n 2；
②当n ≥3时，a n ≥0，此时T n ＝－a 1－a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n ＝－2(a 1＋a 2)＋(a 1＋a 2＋…＋a n )＝－2(－4－2)＋S n ＝n 2－5n ＋12，
综上T n ＝⎩⎨⎧
5n －n 2
，n ＜3，
n 2－5n ＋12，n ≥3
或
T n ＝⎩⎨⎧
4，n ＝1，6，n ＝2，
n 2－5n ＋12，n ≥3.
13．(2017届广东梅州一检)已知数列{a n }中，a 1＝3，满足a n ＝2a n －1＋2n －
1(n ≥2)．
(1)求证：数列⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫a n －12n 为等差数列；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n .
解：(1)证明：由定义a n －12n －a n －1－12n －1＝2a n －1＋2n －22n －a n －1－1
2
n －1＝1.
故⎩⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪⎫a n －12n 是以a 1－12＝1为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)知a n －1
2n ＝n ，∴a n ＝n ·2n ＋1. 令T n 为{n ·2n }的前n 项和，则 T n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，① 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，②
①－②得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2， ∴T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.故S n ＝(n －1)2n ＋1＋n ＋2.
14．(2017届山西五校联考)已知等差数列{}a n 的公差d >0，且a 1·a 6＝11，a 3
＋a 4＝12.
(1)求数列{}a n 的通项公式；
(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫a n ＋1－2a n 2n ＋1
的前n 项和T n .
解：(1)因为a 1＋a 6＝a 3＋a 4＝12，
所以a 1，a 6是方程x 2－12x ＋11＝0两根，且a 1<a 6， 解得a 1＝1，a 6＝11，所以a 6－a 1＝5d ＝10，即d ＝2， 所以a n ＝2n －1. (2)解法一：因为
a n ＋1－2a n 2n ＋1＝a n ＋12
n ＋1－a n
2n ， 所以T n ＝a 222－a 121＋a 323－a 2
22＋…a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝a n ＋12n ＋1－a 121＝2n ＋12n ＋1－12.
解法二：因为
a n ＋1－2a n 2n ＋
1
＝－12×2n －32n ， 所以T n ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋122＋3
23＋…＋2n －32n ， 所以12T n ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋123＋3
24
＋…＋2n －32n ＋1， 所以 12T n ＝－1
2×
⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋222＋223＋224＋…＋22n －2n －32n ＋1＝14
－122－1
2n ＋1
1－12＋
12×2n －3
2n ＋1，所以T n ＝2n ＋12n ＋1－1
2
. [能 力 提 升]
1．(2017届东北三校联考)已知正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n a n ＋1＋
a n
a n －1＝2，则a 12＝________.
解析：因为a n a n ＋1＋a n a n －1＝2，所以1a n ＋1＋1
a n －1
＝2
a n ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且
首项为1a 1＝12，公差为1a 2－1a 1＝12，所以1a n ＝12＋(n －1)×12＝n 2，所以a n ＝2
n ，所以
a 12＝1
6.
答案：1
6
2．在等差数列{a n }中，公差d ＝1
2，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 6＋…＋a 99＝________.
解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝9
10，a 1＋a 99＝a 1＋a 100
－d ＝2
5，
则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×2
5＝10. 答案：10
3．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取最大值，则d 的取值范围为________．
解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧
d <0，a 8>0，a 9<0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，
解得－1<d <－7
8.
答案：⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1，－78
4．已知数列{a n }满足，a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； (2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)解法一：∵数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd .
由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n －3， ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3，
即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－1
2. 解法二：在等差数列{a n }中，由a n ＋1＋a n ＝4n －3， 得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1，
∴2d ＝a n ＋2－a n ＝(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝4n ＋1－(4n －3)＝4，∴d ＝2. 又∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝4×1－3＝1，∴a 1＝－1
2. (2)由题意，①当n 为奇数时， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n
＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －1
2 ＝2n 2－3n ＋52
；
②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7) ＝2n 2－3n 2.。