1983年高考数学试题

1983年高考数学试题
1983年高考数学试题是中国高考历史上的一道数学试题。

本题是当时中国高考数学科目中的一道典型题目，考察了学生的代数运算和方程解题能力。

题目描述如下：
已知一元二次方程ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根是 x₁和 x₂，且满足 x₁ - x₂ = 1。

试证明 b² = 4ac - 1。

解析：
首先，我们需要明确一元二次方程的根与系数的关系。

根据韦达定理，一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的两个根的和为 -b/a，两个根的乘积为 c/a。

根据题目的条件，我们可以列出方程组：
x₁ + x₂ = -b/a （1）
x₁ * x₂ = c/a （2）
x₁ - x₂ = 1 （3）
由于题目要求证明 b² = 4ac - 1，我们需要通过已知的方程组来推导。

首先，我们可以通过方程组（1）和（3）来解出 x₁和 x₂的具体值：
x₁ = (1 - b/a)/2
x₂ = (-1 - b/a)/2
将 x₁和 x₂的值代入方程（2）中，我们可以得到：
(1 - b/a)/2 * (-1 - b/a)/2 = c/a
整理得：
(1 - b/a)(-1 - b/a) = 4c/a
化简得：
1 - b/a + b/a - (b/a)² = 4c/a
去除相同项得：
1 - (b/a)² = 4c/a
进一步变形得：
(b/a)² = 1 - 4c/a
移项得：
(b/a)² - 4c/a + 1 = 0
将 b²/a²替换 b²/a，并将 b²/a²乘以 a²得到：
b² - 4ac + a² = 0
因为a ≠ 0，所以a² ≠ 0，我们可以除以 a²得到：
(b/a)² = 4ac - 1
因此，我们证明了 b² = 4ac - 1。

总结：
通过推导，我们证明了当已知一元二次方程的两个根满足 x₁ - x₂ = 1 时，b² = 4ac - 1。

这道题考察了学生对一元二次方程根与系数的关系的理解，以及对方程的代数运算和推导能力的应用。

在解答过程中，需要运用韦达定理和方程组的求解方法，灵活运用数学知识进行推导。

通过解析这道题目，我们可以更好地理解高考数学试题的设计思路和解题方法，提高数学解题的能力和水平。