陕西省延安中学2015届高三第五次月考数学理试题 Word版含答案

延安中学2015届第五次月考试题
数 学（理科）
（本卷满分150分，时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的（每小题5分，共60分） 1.已知集合{}0,1A =,{}1,0,2B a =-+,若A B ⊆，则a 的值为( )
A ．-2
B ．-1
C ．0
D ．1
2. 命题“若a >－3，则a >－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3. 已知等差数列{a n }中，a 5＋a 9－a 7＝10，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 13的值为( )
A ．260
B ．156
C ．168
D ．130 4. 由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( )
A.
112 B.14 C.13
D.7
12
5. 已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2)的部分图像如图所
示，则( )
A ．ω＝1，φ＝π6
B ．ω＝1，φ＝－π
6
C ．ω＝2，φ＝π6
D ．ω＝2，φ＝－π
6
6. 若函数3
(),()f x x bx b R =-∈在区间(1,2)上有零点，则b 的取值范围是（ ）
A ．(4,)+∞
B ．(1,4)
C ．(4,1)--
D ．(,1)-∞
7.设O 为坐标原点，点M 的坐标为(1,1)，若点N (x ，y )的坐标满足3
200x y x y y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
则OM ON 的
最大值为 ( )
A ． 2
B ．2
C ．3
D ．23 8.若()f x 为奇函数且在(0,)+∞上递增，又(2)0f =，则()()
0f x f x x
-->的解集是（ ）
A ．(2,0)(0,2)-
B ．(,2)(2,)-∞-+∞
C ．(2,0)
(2,)-+∞ D ．(,0)
(0,2
-∞ 9.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（ ）
A
．B
C
D
10.若双曲线22221x y a b -=与椭圆22
221x y m b
+=(0,0)a m b >>>的离心率之积大于1，则以
,,a b m 为边长的三角形一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．上选项都有可能 11.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，则sin sin B C +的最大值为 ( )
A B ．1 C.
1
2
12.若函数1()(0,0)ax
f x e a b b
=-
>>图像在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是（ ）
A ．4
B ．2 2
C.2
D.2
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）
13.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝______． 14.已知点(),1A a 和曲线C:2
2
0x y x y +--=，若过点A 的任意直线都与曲线C 至少有一个
公共点，则实数a 的取值范围是 ．
15.已知二次函数)R (4)(2
∈+-=x c x ax x f 的值域为)0[∞+，，则
a
c 9
1+的最小值为 .
16.将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A 班，那么不同的分配方案种数是________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共70分）
17 ．（本题满分12分） 已知函数()2sin(),12
f x x x R π
=-
∈
（Ⅰ）求函数()f x 的值域； （Ⅱ）若4cos ,(0,)52πθθ=
∈，求(2)6
f π
θ-.
18 ．（本题满分12分）
设数列{}n a 是公比为正数的等比数列，.4,2231+==a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n S 。

19 ．（本题满分12分）
如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，1AD DC CB ===，060ABC ∠=，四边形ACFE
为矩形，1CF =，平面ACFE ⊥平面ABCD . （Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACFE ；
（Ⅱ）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 的夹角为θ，试求cos θ的取值范
围.
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1
2
，右焦点到右顶点的距离为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得
22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知向量m (ln ,1ln )x a x =-，n (,())x f x =，m ‖n ，()f x '为函数()f x 的导函数. （Ⅰ）若函数()f x 在(1,)+∞上单调递减，求实数a 的最小值；
（Ⅱ）若存在2
12,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得12()()f x f x a '≤+，求实数a 的取值范围.
请考生从第22、23、24题中任选一题做答，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修1—4：几何证明选讲 已知：如图，在Rt △ABC 中，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交
AC 于点D ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，连接EA 交⊙O 于点F.
求证：(I)DE 是⊙O 的切线；
(II)BE ·CE=EF ·EA .
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
将圆2
2
1x y +=每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C ． （Ⅰ）写出Ｃ的参数方程；
（Ⅱ）设直线l ：220x y +-=与Ｃ的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，求以线段12PP 为直径的圆的极坐标方程． 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为m ． （Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）若c b a ,,是正实数，且满足m c b a =++，求证：3222≥++c b a ．
延安中学2015届第五次月考试题答案
数 学（理科）
一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B
B
D
A
D
B
C
B
D
C
B
D
二、填空题:
13. 2 13.01a ≤≤ 15. 3 16. 24 三、解答题：
17.解：（Ⅰ）因为()2sin(),12
f x x x R π
=-∈
所以函数()f x 的值域为[]2,2-
（Ⅱ）因为4cos ,(0,)52
π
θθ=∈
所以3sin 5
θ=
， 所以24sin 22sin cos 25θθθ==
，227cos 2cos sin 25
θθθ=-= 所以(2)6
f π
θ-=2sin(2)612ππθ--
2sin(2)4
π
θ=- 2sin 2cos cos 2sin 44ππθ-θ⎛
⎫= ⎪⎝⎭
)sin 2cos2θ-θ=
25
=
18.解：（Ⅰ）设q 为等比数列{a n }的公比，
则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0， 解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2. 所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)．
（Ⅱ）2222
)
1(121)21(221-+=⨯-+⨯+--=+n n n n S n n n .
19．解：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，
∵AB ∥CD ,1,AD DC CB ===
60ABC ︒∠=,∴2AB =,∴2222cos 603AC AB BC AB BC ︒=+-⋅⋅=, ∴222AB AC BC =+,∴BC AC ⊥,
∴平面ACFE ⊥平面ABCD ,平面ACFE 平面ABCD AC =,BC ⊂平面ABCD , ∴BC ⊥平面ACFE .
（Ⅱ）由（I ）可建立分别以直线,,CA CB CF 为轴轴轴，z y x ,的如图所示空间直角坐标系，
令)30(≤≤=λλFM ，则)0,0,3(),0,0,0(A C ，()()1,0,,0,1,0λM B , ∴ ()
()1,1,,0,1,3-=-=λBM AB . 设()z y x n ,,1=为平面MAB 的一个法向量，
由⎩⎨⎧=⋅=⋅0
011BM n AB n ，得⎩⎨⎧=+-=+-003z y x y x λ,
取1=x
，则()
λ-=3,
3,11n ，
∵ ()0,0,12=n 是平面FCB 的一个法向量,
∴
1212||cos ||||
n n n n θ⋅=
=
=⋅ ∵
0λ≤≤∴ 当0λ=时，θcos
， 当λ=时，θcos 有最大值1
2,∴ 1cos 2θ⎤∈⎥⎦.
20.解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22
221x y a b
+=(0)a b >>，半焦距为c
由题意1
2
c e a =
=，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=。

解得2,1a c ==。

所以222
3b a c =-=
所以椭圆C 的标准方程为22
143
x y +
=。

（Ⅱ）存在直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立。

理由如下：
由22143y kx m
x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩
得222(43)84120k x kmx m +++-=
222(8)4(43)(412)0kmx k m =-+->，化简得2243k m +>
设1122(,),(,)A x y B x y ，则122843km x x k +=-+，212241243
m x x k -=+
若22OA OB OA OB +=-成立，
即2
2
22OA OB OA OB +=-，等价于0OA OB ⋅=．所以12120x x y y +=．
1212()()0x x kx m kx m +++=
221212(1)()0k x x km x x m ++++= 22
2
22
4128(1)04343
m km k km m k k -+-+=++ 化简得2271212m k =+
将227112k m =
-代入2243k m +>中，22734(1)12m m +->解得234
m > 又22)7121212m k =+≥
，212
7
m ≥
所以7m ≥
或7
m ≤-
所以实数m 的取值范围是221
(,,)⎡-∞+∞⎢⎦⎣。

21．解：(Ⅰ)由题意得ln ()(1ln )x f x a x x ⋅=-⋅
()(1)ln x
f x ax x x
∴=
-≠． ()f x 在(1,)+∞上是减函数， ∴等价于2ln 1()0(ln )x f x a x -'=
-≤在(1,)
+∞上恒成立max 2
ln 1
()(ln )x a x -⇔≥． 222
ln 1111111
()()(ln )ln ln ln 244x x x x x -=-+=--+≤， 当且仅当
11
ln 2
x =即2x e =时取到最大值． ∴1
=
4
a ． （Ⅱ）题意等价于min max 1
()(())4
f x f x a '≤+=．
由(Ⅰ)知2111
()()ln 24f x a x '=--+-．
2e x e ≤≤，∴11
12ln x
≤≤．
∴()f x '在2
,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增，且()f x '的值域为1,4a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
． 1 当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在2
,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增，
min 1()()4f x f e e ae ==-≤
1
1-04a e
⇒≥>与前提矛盾，无解． 2 当14
a ≥时，()0f x '≤，()f x 在2
,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上单调递减， 22
2min
1()()24e f x f e ae ==-≤2111
244
a e ⇒≥->．
∴211
24a e
≥
-． 3 当1
04
a <<时， ()y f x '=存在唯一零点20(,)x e e ∈，且
[]0,x e x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减，(20,x x e ⎤∈⎦时，()0f x '>，()f x 单调递增，
0min 0001()()ln 4x f x f x ax x ∴==
-≤00
11
ln 4a x x ⇒≥-
． 设211
()()ln 4h x e x e x x =
-<<，2111()(
)(ln )4h x x x x
'∴=--， 211(,1)(ln )4x ∈，2
111
(,)444x e e ∈211()0()(ln )4h x h x x x
'>∴<∴单调递减． 222111111111()ln 4ln 424244
h x x x e e e ∴=
->-=->-=． 00111ln 44
a x x ⇒≥
->与前提矛盾，无解． 综上所述，实数a 的取值范围是211,24e ⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
．
22. (Ⅰ)连接OD
OD OA = ODA OAD ∴∠=∠
又AB BC = OAD C ∴∠=∠
ODA C ∴∠=∠ D O B C
∴ 又DE BC ⊥ DO DE ∴⊥ 所以DE 是o 的切线。

（Ⅱ）连接BD
AB 是o 的直径 90BDA ∴∠= 90BDC ∴∠=
DE BC ⊥ 2
D E B E C E
∴= 又因为DE 切o 于点D ，EFA 是o 的割线. 所以2DE EF BA =
BE CE EF BA ∴=
23. (Ⅰ)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )， 依题意，得⎩⎨⎧x ＝x 1，y ＝2y 1
，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫y 22＝1，
即曲线C 的方程为x 2
＋y 2
4
＝1.
故C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos t ，
y ＝2sin t (t 为参数)．
（Ⅱ）由⎩⎪⎨⎪⎧x 2
＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，
解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，
y ＝2.
不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，1，12PP =则以线段12
PP 为直径的圆的标准方程为22
15()(1)24
x y -+-= 化为极坐标方程，并整理得cos 2sin ρθθ=+
24. (Ⅰ)因为12x x ++-≥(1)(2)3x x +-= 当且仅当-1≤x ≤2时，等会成立， 所以()f x 的最小值等于3即3m =
（Ⅱ）由(Ⅰ)知3a b c ++=，又,,a b c 是正实数， 所以222222()(111)a b c ++++≥2()9a b c --=
222a b c ++≥3
法2：212a a +≥，212b b +≥，212c c +≥ 三式相加即得。

当1a b c ===时取等号。