高中数学“一诊”模拟考试数学(理科)试题
高三数学一诊模拟考试试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校外国语2021届高三一诊模拟考试数学〔理〕试题一、选择题.，集合，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：化简集合，先求，再求.详解：，，，应选A.点睛：此题主要考察集合的交、并、补运算，属于送分题，解题时注意先将参与运算的集合化到最简形式，再按照要求进展运算.，〔为虚数单位〕，假设为纯虚数，那么〔〕A.1B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用纯虚数得到答案．【详解】∵z1=2+ai〔a∈R〕，z2=1﹣2i，∴，由为纯虚数，那么，解得a=1，应选：A．【点睛】此题考察了复数代数形式的乘除运算，考察了纯虚数的定义，是根底题．中,，那么〔〕A.5B.8C.10D.14【解析】试题分析：设等差数列的公差为，由题设知，，所以，所以，应选B.考点：等差数列通项公式.4.“〞是“直线的倾斜角大于〞的〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，那么.假设，得，可知倾斜角大于；由倾斜角大于得，或者，即或者，所以“〞是“直线的倾斜角大于〞的充分而不必要条件，应选A.5.，那么〔〕A.1B.-1C.D.0【答案】D【解析】.应选D.6.某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．【详解】解：由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．∴该几何体的体积.应选：D．【点睛】此题考察了三棱台的三视图的有关知识、圆柱与四棱锥的体积计算公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．7.如下列图，在中，，点在线段上，设，，，那么的最小值为〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】用，表示，由，，三点一共线得出，的关系，消去，得到关于的函数，利用导数求出的最小值．【详解】解：．∵，，三点一共线，∴．即．由图可知．∴．令，得，令得或者〔舍〕．当时，，当时，．∴当时，获得最小值.应选：D．【点睛】此题考察了平面向量的根本定理，函数的最值，属于中档题．，，的零点依次为，，，那么以下排列正确的选项是〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可．【详解】函数，，的零点依次为，，，在坐标系中画出，，与的图象如图：可知，，，满足．应选：B．【点睛】此题考察了函数的零点的断定理，数形结合的应用，属于根底题.9.是定义域为的奇函数，满足．假设，那么〔〕A.50B.2C.0D.-2021【答案】B【解析】【分析】由题意可得，为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和．【详解】解：是定义域为的奇函数，可得，即有，即，进而得到，为周期为4的函数，假设，可得，，，那么，可得.应选：B．【点睛】此题考察抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考察转化思想和运算才能，属于中档题．：的右顶点作轴的垂线，与的一条渐近线相交于点．假设以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过，两点〔为坐标原点〕，那么双曲线的方程为〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据圆的性质，求出圆心坐标，即求出的坐标，代入圆的方程进展求解即可．【详解】解：∵以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过，两点〔为坐标原点〕，∴半径，那么圆的HY方程为，，，即，那么，即，即，即，那么，，那么双曲线的方程为，应选：D．【点睛】此题主要考察双曲线方程的求解，根据圆的性质先求出半径是解决此题的关键．属于简单题.中，，．那么满足的最大正整数的值是〔〕A.10 B.11 C.12 D.13【答案】C【解析】【分析】由，，结合等比数列的通项公式可求及，然后根据不等式及等比数列的求和公式可得关于的不等式，解不等式可求．【详解】解：∵正项等比数列中，，，∴.∵，解可得，或者〔舍〕，∴，∵，∴.整理可得，，∴，经检验满足题意，应选：C．【点睛】此题主要考察了等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的性质等知识的简单综合应用，属于中档试题．的不等式有且仅有两个正整数解〔其中为自然对数的底数〕，那么实数的取值范围是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】化简不等式可得me x＜，根据两函数的单调性得出正整数解为1和2，列出不等式组解出即可．【详解】当x＞0时，由x2﹣mxe x﹣me x＞0，可得me x＜〔x＞0〕，显然当m≤0时，不等式me x＜〔x＞0〕，在〔0，+∞〕恒成立，不符合题意；当m＞0时，令f〔x〕=me x，那么f〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增，令g〔x〕=，那么g′〔x〕==＞0，∴g〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增，∵f〔0〕=m＞0，g〔0〕=0，且f〔x〕＜g〔x〕有两个正整数解，那么∴，即，解得≤m＜．应选：D．【点睛】此题考察了不等式整数解问题，考察函数与方程思想，数形结合思想，属于中档题.二、填空题。
高三数学一诊模拟试题理试题
叙州区第二中学2021届高三数学一诊模拟试题 理制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
第I 卷(选择题 一共60分〕一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每个小题所给出的四个选项里面，只 有一项是哪一项符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的规定的正确位置.〕 1．全集为R ，集合{}1,0,1,2,3A =-，201x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，那么A B 元素个数为A ．1B ．2C ．3D ．42．设121iz i i+=--，那么||z = A ．0B ．1C ．5D ．33．α，β是两个不重合的平面，直线a α⊂，:p a β，:q αβ，那么p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，那么21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．516B ．54C ．52D ．55．设0.30.2a =，0.3log 0.2b =，0.20.4c =，那么A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c << 6．以下图可能是以下哪个函数的图像A ．()221x x y x -=- B ．()2ln 1x x y x -=- C ．2ln 1y x x =- D ．()tan ln 1y x x =⋅+7．曲线1:2C y x =，2:sin 2cos 2C y x x =+，那么下面结论正确的选项是 A ．把曲线1C 向右平移8π个长度单位得到曲线2C B ．把曲线1C 向左平移4π个长度单位得到曲线2C C ．把曲线2C 向左平移4π个长度单位得到曲线1C D ．把曲线2C 向右平移8π个长度单位得到曲线1C8．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于A ．B ．CD ．9．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，假设直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，那么椭圆的离心率为A 1B C ．2D 10．2019年5月22日具有“国家HY 〞意义的“长三角一体化〞会议在举行；长三角城群包括：以及、、三局部城，简称“三一〞. 现有4 名高三学生准备高考后到、、、四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 那么恰有一个地方未被选中的概率为 A ．2764B ．916C ．81256D ．71611．()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，假设存在实数1x 、2x ，使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立，那么12A x x -的最小值为 A ．2019πB ．42019πC ．22019πD ．4038π12．定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，那么不等式()xf x e <的解集为 A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．()4,e-∞D ．()4,e +∞第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分〕13．随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.88X P ≤=，那么()04P X <<=_____________14．假设二项式62313x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ，那么213=mx dx ⎰______.15．如图，求一个棱长为2的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体ABCD ，其三对棱长分别为5,13,10AB CD AD BC AC BD ======，那么此四面体的体积为_______；16．在四边形ABCD 中，M 是AB 边上的点，且1MA MB MC MD ====，120CMD ∠=︒，假设点N 在线段CD 上，那么NA NB ⋅的取值范围是______.三、解答题〔一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须答题，第22、23题为选考题，考生根据要求答题.〕 17.〔12分〕在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC △的面积为1315,2,cos 4b c A -==-． (1) 求a 和sin C 的值； (2) 求cos(2)6A π+的值．18．〔12分〕某老师为了分析所任教班级某次考试的成绩，将全班同学的成绩作成统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 [50，60) 3[60，70) m[70，80) 13n [80，90)pq[90，100] 9总计t1(1)求表中t ，q 及图中a 的值；(2)该老师从这次考试成绩低于70分的学生中随机抽取3人进展谈话，设X 表示所抽取学生中成绩低于60分的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．〔12分〕在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面1AC ⊥平面ABC ，12AA a=，1AC CA AB a ===，AB AC ⊥，D 是1AA 的中点．〔1〕求证：CD ⊥平面1AB ；〔2〕在侧棱1BB 上确定一点E ，使得二面角11E AC A --的大小为3π．20．〔12分〕A 为圆22:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足2.BP BA =〔1〕求动点P 的轨迹方程；〔2〕设Q 为直线:3l x =上一点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求POQ ∆面积的最小值. 21．〔12分〕函数22()2(1)xf x axex -=--，a R ∈.〔1〕当4a =-时，讨论函数()f x 的单调性；〔2〕当01a <<时，求证：函数()f x 有两个不相等的零点1x ，2x ，且122x x +>.〔二〕选考题：一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题.假如多做，那么按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]〔10分〕在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以一样的长度单位建立极坐标系，直线l 的极cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为 2 acos ρθ=，a 0>〔l 〕设t 为参数，假设12y t =-，求直线l 的参数方程； 〔2〕直线l 与曲线C 交于P ，Q 设M(0,1)-，且2|PQ |4|MP ||MQ |=⋅，务实数a 的值. 23．选修4-5：不等式选讲 函数()23f x x x =-++. 〔1〕求不等式()15f x ≤的解集；〔2〕假设2()x a f x -+≤对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.叙州区第二中学高2021届一诊模拟考试理科数学试题参考答案1．B 2．B3．B4．A5．B6．C7．D8．B9．A10．B 11．C12．B14．12415．216．3[,0]4-17．〔1〕△ABC 中,由1cos ,4A =-得15sin ,4A =由1sin 3152bc A =,得24,bc =又由2,b c -=解得6, 4.b c ==由2222cos a b c bc A=+-sin sin a c A C =,得15sin 8C =. 〔2〕()2πππ3cos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 6662A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,157316-= 18．解：(1)由表格可知，全班总人数t ＝＝50，那么m ＝50×0.10＝5，n ＝＝0.26，所以a ＝＝0.026，3＋5＋13＋9＋p ＝50， 即p ＝20，所以q ＝＝0.4.(2)成绩在[50，60)内的有3人，[60，70)内的有5人． 由题意得X 可能的取值为0，1，2，3，P (X ＝k )＝，所以P (X ＝0)＝，P (X ＝1)＝，P (X ＝2)＝，P (X ＝3)＝.随机变量X 的分布列如下：X 0 1 2 3 P数学期望EX ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.19．〔1〕证：∵面11ACC A ⊥面ABC ，AB AC ⊥,∴AB ⊥面11ACC A ，即有AB CD ⊥； 又1AC A C =，D 为1AA 中点，那么1CD AA ⊥.∴CD ⊥面11ABB A .〔2〕如下图以点C 为坐标系原点，CA 为x 轴，过C 点平行于AB 的直线为y 轴,CA 1为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，那么有(),0,0A a ，(),,0B a a ，()10,0,A a ，()10,,B a a ，()1,0,C a a -， 设(),,E x y z ，且1BE BB λ=，即有()(),,,0,x a y a z a a λ--=-， 所以E 点坐标为()()1,,a a a λλ-.由条件易得面11A C A 的一个法向量为()10,1,0n =. 设平面11EA C 的一个法向量为()2,,n x y z =，由2111{n A C n A E⊥⊥可得()()0{110ax ax ay az λλ-=-++-=，令1y =，那么有210,1,1n λ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，那么1212•cos3n n n n π==()212111λ=+-，得31λ=所以，当1313BEBB =-11E AC A --的大小为3π. 20．解：〔1〕 设(),P x y ，由题意得：()()1,,0,A x y B y ，由2BP BA =，可得点A 是BP 的中点，故102x x +=，所以12x x =，又因为点A 在圆上，所以得2214x y +=，故动点P 的轨迹方程为2214x y +=.〔2〕设()11,P x y ，那么10y ≠，且221114x y +=，当10x =时，11y =±，此时()33,0,2POQ Q S ∆=；当10x ≠时，11,OPy k x = 因为OP OQ ⊥,即11,OQ x k y =-故1133,x Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，OP ∴=OQ == 221111322POQx y S OP OQ y ∆+==⋅①， 221114x y +=代入① 2111143334322POQy S y y y ∆⎛⎫-=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭()101y <≤设()()4301f x x x x=-<≤ 因为()24f x 30x'=--<恒成立， ()f x ∴在(]0,1上是减函数， 当11y =时有最小值，即32POQ S ∆≥,综上：POQ S ∆的最小值为3.221．〔1〕当4a =-时，()()22421x f x xe x -=---，得()()()2'411xf x x e -=--，令()'0f x =，得1x =或者2x =.当1x <时，10x -<，210x e -->，所以()'0f x <，故()f x 在(),1-∞上单调递减； 当12x <<时，10x ->，210x e -->，所以()'0f x >，故()f x 在()1,2上单调递增； 当2x >时，10x -<，210x e --<，所以()'0f x <，故()f x 在()2,+∞上单调递减；所以()f x 在(),1-∞，()2,+∞上单调递减，在()1,2上单调递增. 〔2〕证明：由题意得()()()2'14xf x x ae-=-+，其中01a <<，由()'0f x >得1x <，由()'0f x <得1x >，所以()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.∵()10f ae =>，()020f =-<，()222f a =- ()210a =-<， ∴函数()f x 有两个不同的零点，且一个在()0,1内，另一个在()1,2内. 不妨设()10,1x ∈，()21,2x ∈， 要证122x x +>，即证122x x >-，因为21021x x <-<<，且()f x 在()0,1上是增函数， 所以()()122f x f x >-，且()10f x =，即证()220f x -<.由()()()()()22222222222221210x x f x a x e x f x ax e x ⎧-=---⎪⎨=--=⎪⎩，得()22f x a -= ()222222x x x e x e -⎡⎤--⎣⎦， 令()()2xg x x e =- 2x xe --，()1,2x ∈，那么()()'1g x x =- 22x xe e e-. ∵12x <<，∴10x ->，220x e e -<，∴()1,2x ∈时，()'0g x <，即()g x 在()1,2上单调递减， ∴()()10g x g <=，且∴()()2g x af x =-，01a <<， ∴()20f x -<，即∴()220f x -<，故122x x +>得证. 22．〔1〕直线lcos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即1x y -=， 因为t为参数，假设12y =-+，代入上式得x =，所以直线l的参数方程为212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩〔t 为参数〕〔2〕由2(0)acos a ρθ=>，得22cos (0)a a ρρθ=>，由cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得222x y ax += (0)a > 将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得)2110t a t ++=.〔*〕那么)2140a ⎤∆=+->⎦且)121t t a +=+，121t t =，设点P ，Q 分别对应参数1t ，2t 恰为上述方程的根. 那么1MP t =，2MQ t =，12PQ t t =-， 由题设得212124t t t t -=.那么有()212128t t t t +=，得1a =或者3a =-.因为0a >，所以1a =23：〔1〕因为()21,35,3221,2x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，所以当3x <-时，由()15f x ≤得83x -≤<-； 当32x -≤≤时，由()15f x ≤得32x -≤<； 当2x >时，由()15f x ≤得27x -<≤. 综上，()15f x ≤的解集为[]8,7-.〔2〕〔方法一〕由()2x a f x -+≤得()2a x f x ≤+，因为()()()235f x x x ≥--+=，当且仅当32x -≤≤取等号， 所以当32x -≤≤时，()f x 获得最小值5， 所以当0x =时，()2x f x +获得最小值5，故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞.日期：2022年二月八日。
高三数学一诊模拟试题 理含解析 试题
叙州区第二中学2021届高三数学一诊模拟试题 理〔含解析〕第I 卷(选择题一共60分〕一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每个小题所给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的规定的正确位置.〕R ，集合{}1,0,1,2,3A =-，201x B xx ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，那么A B 元素个数为 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】求出集合B ，利用交集的定义求出A B ，即可得到A B 元素个数【详解】由201x B xx ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，可得：()[)B=,12,-∞-⋃+∞，所以{}=2,3A B ⋂，即A B 元素个数为2，故答案选B【点睛】此题考察分式不等式的解法以及集合交集的定义，属于根底题．121iz i i+=--，那么||z =〔〕A. 0B. 1D. 3【答案】B 【解析】 【分析】先将z 分母实数化，然后直接求其模．【详解】11122=2=211121i i i iz i i i i i i i z +++=---=---+=（）（）（）（） 【点睛】此题考察复数的除法及模的运算，是一道根底题．α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β〞是“αβ〞的〔 〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公一共点，∴，即能得到；∴“〞是“〞的必要不充分条件．应选B ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考察线面平行的定义，线面平行的断定定理，面面平行的定义，面面平行的断定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于根底题；并得不到，根据面面平行的断定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，那么21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭〔〕A.516B.54C.52D. 5【答案】A 【解析】【分析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值.【详解】22221114log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222244416log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22216log 516log 5log 116522161615log 0,log 2255216f⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫>∴====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 应选A.【点睛】此题考察分段函数和对数运算，属于根底题. 0.30.2a =，0.3log 0.2b =，0.20.4c =，那么〔〕A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b ac <<【答案】B 【解析】 【分析】运用中介值“1 〞，和指数的同指或者同底时的大小比拟得解. 【详解】0.30.3log 0.2log 0.31b =>=,0.30.20.20.20.20.41a =<<<,b c a ∴>>应选B.【点睛】此题考察指数、对数的大小比拟，属于中档题. 6.以下图可能是以下哪个函数的图像〔〕A. ()221x x y x -=- B. ()2ln 1x x y x -=-C. 2ln 1y x x =- D. ()tan ln 1y x x =⋅+【答案】C 【解析】 【分析】可考虑用排除法，从函数的定义域和特殊点的函数的正负着手.【详解】由图像可知，()tan ln 1y x x =⋅+在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故可排除D ；当13x =时，A 、B 选项里面的0,y >C 选项里面的0,y < 应选C.【点睛】此题考察函数的定义域和特殊点的函数值区分图像，属于根底题.1:22C y x =，2:sin 2cos 2C y x x =+，那么下面结论正确的选项是〔〕A. 把曲线1C 向右平移8π个长度单位得到曲线2C B. 把曲线1C 向左平移4π个长度单位得到曲线2C C. 把曲线2C 向左平移4π个长度单位得到曲线1C D. 把曲线2C 向右平移8π个长度单位得到曲线1C【答案】D 【解析】 【分析】将2:sin 2cos 2C y x x =+通过合一公式化为2:)4C y x π=+向右平移8π就可以得到1C ．【详解】2:sin 2cos 2)4C y x x x π=+=+，把曲线2C 向右平移8π个长度单位得))]284y x x ππ=-+=即为1C ，应选D ．【点睛】此题考察函数的平移变换，是一道根底题．(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于〔 〕A. B. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为〔a ，-2〕，再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，那么可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为〔a,-2〕，那么r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P 〔1，-2〕.又直线过定点Q 〔-2，0〕，当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长∴直线20x ay ++=被圆截得的弦长为 应选B ．C ：22221x y a b+=〔0a b >>〕的左，右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆C 的中心，且与C 在第一象限交于点P ，假设直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，那么C 的离心率为〔 〕1B.12C.2D.【答案】A 【解析】 【分析】利用条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可.【详解】椭圆C ：22221x y a b+=〔0a b >>〕的左，右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆C 的中心，且与C 在第一象限交于点P ，假设直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ， 可得222(2)4a c c c -+=，可得2222a ac c += 所以2220,(0,1)e e e +-=∈解得212e -+== 应选A【点睛】此题考察利用椭圆的定义以及性质求离心率，属于中档题.10.2021年5月22日具有“国家HY 〞意义的“长三角一体化〞会议在举行；长三角城群包括：以及、、三局部城，简称“三一〞. 现有4 名高三学生准备高考后到、、、四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 那么恰有一个地方未被选中的概率为〔 〕 A.2764B.916C.81256D.716【答案】B 【解析】 【分析】根据排列组合的知识分别求解出恰有一个地方未被选中的情况和所有情况，利用古典概型计算可得结果.【详解】4名同学去旅游的所有情况有：44256=种恰有一个地方未被选中一共有：2113424322144C C C A A ⋅⋅=种情况 ∴恰有一个地方未被选中的概率：144925616p == 此题正确选项：B【点睛】此题考察古典概型计算概率的问题、排列组合中的分组分配问题；关键是可以利用排列组合的知识准确求解出恰有一个地方未被选中的情况种数；易错点是忽略了分组分配中的平均分配问题. 11.()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，假设存在实数1x 、2x ，使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立，那么12A x x -的最小值为〔 〕 A.2019πB.42019πC.22019πD.4038π 【答案】C 【解析】 【分析】先化简()2sin 20193f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得2A =，根据题意即求半个周期的A 倍． 【详解】解：依题意()sin2019coscos2019sincos2019cossin2019sin6633f x x x x x ππππ=+++cos2019x x =+,2sin 20196x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2A ∴=，22019T π=， 12||22019min T x x π∴-==，12A x x ∴-的最小值为22019π，应选C ．【点睛】此题考察了正弦型三角函数的图像与性质，考察三角函数恒等变换，属中档题．R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，那么不等式()x f x e <的解集为〔 〕A .(,0)-∞B. (0,)+∞C. ()4,e-∞D.()4,e +∞【答案】B 【解析】 【分析】由题意构造函数()()x f x g x e=，由()()f x f x '<可得()0g x '<在R 上恒成立，所以函数()()x f x g x e=在R 为上单调递减函数，由()2f x +为偶函数，()41f =，可得(0)1f =，故要求不等式()xf x e <的解集等价于()()1x f xg x e =<的解集，即可得到答案.【详解】由题意构造函数()()x f x g x e =()x R ∈，那么()()()xf x f xg x e''-=， 定义R 在上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足()()f x f x '<∴()0g x '<在R 上恒成立，函数()()xf xg x e =在R 上为单调递减函数； 又()2f x +为偶函数，那么函数(2)(2)f x f x -=+ ，即()f x 关于2x =对称，∴(0)(4)1f f == ，那么0(0)(0)1f g e ==， 由于不等式()xf x e <的解集等价于()()1x f xg x e=<的解集，根据函数()()x f x g x e=在R 上为单调递减函数，那么()1()(0)0g x g x g x <⇔<⇔>，故答案选B【点睛】此题考察函数的构造，利用导数研究函数的单调性、利用函数单调性解不等式、函数的奇偶性以及对称性的综合应用，属于较难题．第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分〕X 服从正态分布()22,N σ且()40.88X P ≤=，那么()04P X <<=_____________【答案】 【解析】 【分析】由条件可知数据对应的正态曲线的对称轴，根据对称性即可得到结果. 【详解】随机变量X 服从正态分布()22,N σ,那么曲线的对称轴为2X =，()20.5P X ≤=，由()40.88X P ≤=可得()40.880.0825.3P X ==<-<， 那么()()204240.76P P X X <=<<<=故答案为0.76．【点睛】此题考察根据正态曲线的对称性求在给定区间上的概率，求解的关键是把所求区间用区间表示；正态曲线的主要性质是：〔1〕正态曲线关于x μ=对称；〔2〕在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1.621x ⎫+⎪⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ，那么213=mx dx ⎰______.【答案】124 【解析】 【分析】先根据二项展开式求得常数项项数，即得常数项，再根据定积分得结果.【详解】因为6621231661rrrr rr r T C x C x x ---+⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以由1230r -=得2464,5r m C ===⎝⎭,因此1122335533|51=1241m x dx x dx x ⎰=⎰==-. 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可根据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出值即可. (2)展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.15.的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体ABCD，其三对棱长分别为AB CD AD BC AC BD ======_______；【答案】2 【解析】 【分析】设四面体ABCD 所在的长方体棱长分别为a ，b ，c ，5、1310a ，b ，c 的值，长方体截去四个角，即可求出四面体的体积．【详解】设四面体ABCD 所在的长方体棱长分别为a ，b ，c ，那么22222251310a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以四面体的体积11142323V abc abc abc =-⨯⨯==，故答案为2. 【点睛】此题运用类比的方法，考察锥体的体积求法，考察学生逻辑推理，计算化简的才能，难点在于根据题意，类比出四面体体积的求法，即长方体截去四个角后得到的体积，属根底题．ABCD 中，M 是AB 边上的点，且1MA MB MC MD ====，120CMD ∠=︒，假设点N 在线段CD 上，那么NA NB ⋅的取值范围是______. 【答案】3[,0]4- 【解析】 【分析】根据平面向量的加法的几何意义, 可得,,NA NM MA NB NM MB =+=+计算出NA NB ⋅的表达式,最后根据NM 的大小,可以求出NA NB ⋅的取值范围.【详解】2()()NA NB NM MA NM MB NM NM MB MA NM MA MB ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅， 2()NA NB NM NM MB MA MA MB ⇒⋅=+⋅++⋅，M 是AB 边上的点，1MA MB ==，所以0,1MB MA MA MB +=⋅=-，因此21NA NB NM ⋅=-，°120,1MC C D D M M =∠==∴在等腰CMD ∆中,点M 到线段CD 上的一点N 的间隔最大值为1,取最小值时,N 为CD 的中点,此时°1cos cos602MN CMN CM CM =∠⋅=⋅=, 所以21NA NB NM ⋅=-的取值范围为: 3[,0]4-.【点睛】此题考察了平面向量数量积的取值问题,利用平面向量的加法的几何意义是解题的关键.三、解答题〔一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题，第22、23题为选考题，考生根据要求答题.〕ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC 的面积为12,cos 4b c A -==-．(1) 求a 和sin C 的值； (2) 求cos(2)6A π+的值．【答案】〔1〕8a =，sin 8C =〔2〕16【解析】 【分析】〔1〕由面积公式可得24,bc =结合2,b c -=可求得解得6, 4.b c ==再由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC 的值;〔2〕直接展开求值.【详解】〔1〕△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin ,4A =由1sin 2bc A =,得24,bc =又由2,b c -=解得6, 4.b c ==由2222cos a b c bc A =+-,可得a=8.由sin sin a cA C=,得sin 8C =. 〔2〕)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=【点睛】此题主要考察三角变换及正弦定理、余弦定理等根底知识,考察根本运算求解才能.18.某老师为了分析所任教班级某次考试的成绩，将全班同学的成绩作成统计表和频率分布直方图如下：(1)求表中t，q及图中a的值；(2)该老师从这次考试成绩低于70分的学生中随机抽取3人进展谈话，设X表示所抽取学生中成绩低于60分的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】〔1〕t=50，q=0.4，a=0.026 〔2〕详见解析【解析】【分析】〔1〕利用频率计算公式、频率分布直方图的性质即可得出；〔2〕由表格可知：区间[50，60〕中有3人，区间[60，70〕中有5人．由题意可得：X＝0，1，2，3．那么P〔X＝k〕33538k k-=，即可得出随机变量X 的分布列和数学期望．【详解】解：(1)由表格可知，全班总人数t＝＝50，那么m＝50×0.10＝5，n ＝＝0.26，所以a＝＝0.026，3＋5＋13＋9＋p＝50，即p＝20，所以q＝＝0.4.(2)成绩在[50，60)内的有3人，[60，70)内的有5人．由题意得X可能的取值为0，1，2，3，P(X＝k)＝，所以P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.随机变量X的分布列如下：X 0 1 2 3P数学期望EX ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.【点睛】本小题主要考察频率分布直方图的性质、超几何分布列及其数学期望，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．111ABC A B C -中，侧面1AC ⊥平面ABC ，12AA a =，1AC CA AB a ===，AB AC ⊥，D 是1AA 的中点．〔1〕求证：CD ⊥平面1AB ；〔2〕在侧棱1BB 上确定一点E ，使得二面角11E AC A --的大小为3π． 【答案】〔1〕见解析;〔2〕3π. 【解析】试题分析: 〔1〕因为面11ACC A ⊥面ABC ，AB AC ⊥,由面面垂直的性质定理可得:AB ⊥面11ACC A ，即有AB CD ⊥,由1AC A C =，D 为1AA 中点，根据等腰三角形三线合一可得1CD AA ⊥,结合线面垂直的断定定理可得CD ⊥面11ABB A ;(2)建立空间直角坐标系,由1BE BB λ=，可得E 点坐标为()()1,,a a a λλ-,求出面11A C A 的一个法向量为1n 和面11EA C 的一个法向量为2n ,根据二面角11E AC A --的大小为3π,构造方程组,解出λ可得E 点坐标.试题解析:〔1〕证：∵面11ACC A ⊥面ABC ，AB AC ⊥, ∴AB ⊥面11ACC A ，即有AB CD ⊥； 又1AC A C =，D 为1AA 中点，那么1CD AA ⊥. ∴CD ⊥面11ABB A . 〔2〕如下图以点C 为坐标系原点，CA 为x 轴，过C 点平行于AB 的直线为y 轴,CA 1为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，那么有(),0,0A a ，(),,0B a a ，()10,0,A a ，()10,,B a a ，()1,0,C a a -，设(),,E x y z ，且1BE BB λ=，即有()(),,,0,x a y a z a a λ--=-， 所以E 点坐标为()()1,,a a a λλ-.由条件易得面11A C A 的一个法向量为()10,1,0n =. 设平面11EA C 的一个法向量为()2,,n x y z =，由2111{n A C n A E⊥⊥可得()()0{110ax ax ay az λλ-=-++-=，令1y =，那么有210,1,1n λ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，那么1212•cos3n n nn π==12=，得13λ=-.所以，当113BEBB =-时，二面角11E AC A --的大小为3π. 20.A 为圆22:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足2.BP BA =〔1〕求动点P 的轨迹方程；〔2〕设Q 为直线:3l x =上一点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求POQ ∆面积的最小值.【答案】(1) 2214x y += (2) 3.2【解析】 【分析】〔1〕设出A 、P 点坐标，用P 点坐标表示A 点坐标，然后代入圆方程，从而求出P 点的轨迹；〔2〕设出P 点坐标，根据斜率存在与否进展分类讨论，当斜率不存在时，求出POQ ∆面积的值，当斜率存在时，利用点P 坐标表示POQ ∆的面积，减元后再利用函数单调性求出最值，最后总结出最值.【详解】解：〔1〕 设(),P x y ， 由题意得：()()1,,0,A x y B y ， 由2BP BA =，可得点A 是BP 的中点， 故102x x +=， 所以12xx =， 又因为点A 在圆上，所以得2214x y +=，故动点P 的轨迹方程为2214x y +=.〔2〕设()11,P x y ，那么10y ≠，且221114x y +=，当10x =时，11y =±，此时()33,0,2POQ Q S ∆=； 当10x ≠时，11,OP y k x = 因为OP OQ ⊥, 即11,OQ x k y =-故1133,x Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，OP ∴=OQ ==221111322POQx y S OP OQ y ∆+==⋅①， 221114x y +=代入① 2111143334322POQy S y y y ∆⎛⎫-=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭()101y <≤设()()4301f x x x x=-<≤ 因为()24f x 30x '=--<恒成立， ()f x ∴在(]0,1上是减函数，创作；朱本晓 2022年元月元日 当11y =时有最小值，即32POQ S ∆≥,综上：POQ S ∆的最小值为3.2【点睛】此题考察了点的轨迹方程、椭圆的性质等知识，求解几何图形的长度、面积等的最值时，常见解法是设出变量，用变量表示出几何图形的长度、面积等，减元后借助函数来研究其最值.22()2(1)x f x axe x -=--，a R ∈.〔1〕当4a =-时，讨论函数()f x 的单调性；〔2〕当01a <<时，求证：函数()f x 有两个不相等的零点1x ，2x ，且122x x +>. 【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析 【解析】试题分析：〔1〕讨论函数单调区间即解导数大于零求得增区间，导数小于零求得减区间〔2〕函数有两个不同的零点，先分析函数单调性得零点所在的区间，()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.∵()10f ae =>，()020f =-<，()222f a =-()210a =-<，∴函数()f x 有两个不同的零点，且一个在()0,1内，另一个在()1,2内.不妨设()10,1x ∈，()21,2x ∈，要证122x x +>，即证122x x >-，()f x 在()0,1上是增函数，故()()122f x f x >-，且()10f x =，即证()220f x -<. 由()()()()()22222222222221210x x f x a x e x f x ax e x ⎧-=---⎪⎨=--=⎪⎩，得()22f x a -= ()222222x x x e x e -⎡⎤--⎣⎦， 令()()2xg x x e =- 2x xe --，()1,2x ∈，得()g x 在()1,2上单调递减，∴()()10g x g <=，且∴()()2g x af x =-，01a <<，∴()20f x -<，即∴()220f x -<，故122x x +>得证解析：〔1〕当4a =-时，()()22421x f x xe x -=---，得()()()2'411xf x x e-=--，创作；朱本晓 2022年元月元日令()'0f x =，得1x =或者2x =.当1x <时，10x -<，210x e -->，所以()'0f x <，故()f x 在(),1-∞上单调递减； 当12x <<时，10x ->，210x e -->，所以()'0f x >，故()f x 在()1,2上单调递增； 当2x >时，10x -<，210x e --<，所以()'0f x <，故()f x 在()2,+∞上单调递减； 所以()f x 在(),1-∞，()2,+∞上单调递减，在()1,2上单调递增. 〔2〕证明：由题意得()()()2'14xf x x ae-=-+，其中01a <<，由()'0f x >得1x <，由()'0f x <得1x >，所以()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.∵()10f ae =>，()020f =-<，()222f a =- ()210a =-<， ∴函数()f x 有两个不同的零点，且一个在()0,1内，另一个在()1,2内. 不妨设()10,1x ∈，()21,2x ∈， 要证122x x +>，即证122x x >-，因为21021x x <-<<，且()f x 在()0,1上是增函数， 所以()()122f x f x >-，且()10f x =，即证()220f x -<.由()()()()()22222222222221210x x f x a x e x f x ax e x ⎧-=---⎪⎨=--=⎪⎩，得()22f x a -= ()222222x x x e x e -⎡⎤--⎣⎦， 令()()2xg x x e =- 2x xe --，()1,2x ∈，那么()()'1g x x =- 22x xe e e-. ∵12x <<，∴10x ->，220x e e -<，∴()1,2x ∈时，()'0g x <，即()g x 在()1,2上单调递减， ∴()()10g x g <=，且∴()()2g x af x =-，01a <<， ∴()20f x -<，即∴()220f x -<，故122x x +>得证.〔二〕选考题：一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题.假如多做，那么按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以一样的长度单位建立极坐标系，直线lcos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为 2 acos ρθ=，a 0>〔l 〕设t为参数，假设1y =-，求直线l 的参数方程； 〔2〕直线l 与曲线C 交于P ，Q 设M(0,1)-，且2|PQ |4|MP ||MQ |=⋅，务实数a 的值.【答案】〔1〕212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩〔t 为参数〕；〔2〕1【解析】【分析】〔1〕由直线lcos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求得1x y -=，进而由12y t =-+，代入上式得x =，得到直线的参数方程； 〔2〕根据极坐标与直角坐标的互化，求得222x y ax +=，将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，利用根据与系数的关系，列出方程，即可求解.【详解】〔1〕直线lcos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即1x y -=， 因为t为参数，假设12y t =-+，代入上式得2x t =，所以直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩〔t 为参数〕〔2〕由2(0)acos a ρθ=>，得22cos (0)a a ρρθ=>，由cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得222x y ax += (0)a >将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得)2110t a t ++=.〔*〕那么)2140a ⎤∆=+->⎦且)121t t a +=+，121t t =， 设点P ，Q 分别对应参数1t ，2t 恰为上述方程的根. 那么1MP t =，2MQ t =，12PQ t t =-， 由题设得212124t t t t -=. 那么有()212128t t t t +=，得1a =或者3a =-.因为0a >，所以1a =【点睛】此题主要考察了极坐标方程与直角坐标方程，以及普通方程与参数方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.23.选修4-5：不等式选讲 函数()23f x x x =-++.〔1〕求不等式()15f x ≤的解集；〔2〕假设2()x a f x -+≤对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】〔1〕[8,7]-〔2〕(,5]-∞【解析】试题分析：〔1〕由，根据解析式中绝对值的零点〔即绝对值等于零时x 的值〕，将函数的定义域分成假设干段，从而去掉绝对值号，再分别计算各段函数的相应不等式的解集，从而求出原不等式的解集；〔2〕由题意，将不等式转化为()2a x f x ≤+，可构造新函数()()2g x x f x =+，那么问题再转化为()min a g x ≤，由〔1〕可得()()min 05g x g ==，即5a ≤，从而问题可得解.试题解析：〔1〕因为()21,35,3221,2x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，所以当3x <-时，由()15f x ≤得83x -≤<-；当32x -≤≤时，由()15f x ≤得32x -≤<；当2x >时，由()15f x ≤得27x -<≤.综上，()15f x ≤的解集为[]8,7-.〔2〕〔方法一〕由()2x a f x -+≤得()2a x f x ≤+， 因为()()()235f x x x ≥--+=，当且仅当32x -≤≤取等号，所以当32x -≤≤时，()f x 获得最小值5，所以当0x =时，()2x f x +获得最小值5， 故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞.〔方法二〕设()2g x x a =-+，那么()()max 0g x g a ==， 当32x -≤≤时，()f x 获得最小值5，所以当0x =时，()2x f x +获得最小值5， 故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高三数学 一诊 模拟测试题 理含解析 试题
渝中区巴蜀中学2021届高三数学“一诊〞模拟测试题 理〔含解析〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项满足题目要求的()131i i z i-=+，那么其一共轭复数z 的虚部为〔 〕A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘法、除法运算化简z ，由此求得z 的一共轭复数z ，进而求得z 的虚部. 【详解】依题意()()()()3134221112i i i iz i i i i +-+-====-++-，故2z i =+，其虚部为1. 应选：B.【点睛】本小题主要考察复数乘法、除法的运算，考察一共轭复数的概念，考察复数虚部，属于根底题.1|0x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，集合(){}|lg 21B x y x ==-，那么A B =〔 〕A. (]0,1B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦D. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式求得集合A ，求函数定义求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由10x x -≥解得01x <≤，由210x 解得12x >，故1,12A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦， 应选：C.【点睛】本小题主要考察交集的概念和运算，考察分式不等式的解法，考察对数函数的定义域，属于根底题.a ，e 均为单位向量，当a ，e 的夹角为23π时，a 在e 方向上的投影为〔 〕A. B. 12-C.12【答案】B 【解析】 【分析】根据向量投影计算公式，计算出所求的投影. 【详解】a 在e 上的投影为21cos ,cos 32a a e π<>==-， 应选：B.【点睛】本小题主要考察向量投影的概念和运算，考察单位向量，属于根底题.{}n a 满足3243a =a ，那么数列{}n a 中一定为零的项是〔 〕A. 6aB. 7aC. 8aD. 9a【答案】A 【解析】 【分析】将条件转化为1,a d 的形式，由此判断出一定为零的项.【详解】设公差为d ，由3243a =a 得15a d =-，∴6150a a d =+=， 应选：A.【点睛】本小题主要考察等差数列的根本量计算，属于根底题.5.新高考方案规定，普通高中学业程度考试分为合格性考试〔合格考〕和选择性考试〔选择考〕.其中“选择考〞成绩将计入高考总成绩，即“选择考〞成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进展排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2021年参加“选择考〞总人数是2021年参加“选择考〞总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考〞的程度情况，统计了该校2021年和2021年“选择考〞成绩等级结果，得到如以下图表：针对该校“选择考〞情况，2021年与2021年比拟，以下说法正确的选项是〔〕A. 获得A等级的人数减少了B.C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数一样【答案】B【解析】【分析】设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项. 【详解】设2016年参加考试x人，那么2018年参加考试2x人，根据图表得出两年各个等级的人数如以下图所示：年份 A B C D E2021 0.28x0.32x0.30x0.08x0.02x2021 0.48x0.8x0.56x0.12x0.04x由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.【点睛】本小题主要考察图表分析，考察数据分析与处理才能，属于根底题.6.执行如下图的程序框图，输出的结果为()A. 201921-B. 201922-C. 202022-D. 202021-【答案】C 【解析】 【分析】由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，由于()2019232019202021222222212S -=+++⋯+==--．应选：C ．【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题．()23cos 2sin 232f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，将函数()f x 的图像向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图像，假设()g x 为偶函数，那么ϕ的最小值是〔 〕 A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】A【解析】 【分析】利用诱导公式、辅助角公式化简()f x ，求得()f x 向左平移ϕ个单位后的()g x 的解析式，根据()g x 为偶函数，求得ϕ的表达式，由此求得ϕ的最小值. 【详解】()πππcos 2cos 2sin 2cos 2626f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦12cos 22x x =+sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移()0ϕϕ>，得()sin 226g x x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，又()g x 为偶函数，令π2π62k πϕ+=+，得26k ππϕ=+，由于0ϕ>，k Z ∈，∴ϕ最小值为6π，应选：A.【点睛】本小题主要考察诱导公式、辅助角公式，考察三角函数图像变换，考察根据三角函数的奇偶性求参数，属于中档题.{}n a 的前n 项和为n S ，满足()112n n n n S a =-+，那么135S S S ++=〔 〕 A. 0 B.564 C.1764D.2164【答案】D 【解析】 【分析】根据题目所给条件，求得135,,S S S 的值，进而求得它们的和.【详解】()()()11122nn n n n S S S n -=--+≥，假设n 为偶数，那么112n nS -=，∴112k k S +=〔k 为奇数〕. 那么135111214166464S S S ++=++=，应选：D.【点睛】本小题主要考察()12n n n a S S n -=-≥的运用，属于根底题.C ：()220y px p =>，过其焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，记AOB ∆的面积为S ，且满足3AB FB ==，那么p =〔 〕A.12B. 1C.32D. 2【答案】D 【解析】 【分析】结合抛物线的定义，计算出三角形OAB 的面积S ，由此列方程，解方程求得p 的值. 【详解】设FB a =， ()()1122,,,A x y B x y ，那么211122AOB S p y y ∆=⨯⨯-，根据抛物线的定义可知()222122y y AB AF BFa -=--=.依题意3232AB FB S ==， 那么3211322222a p a =⨯⨯⨯，∴2p =， 应选：D.【点睛】本小题主要考察抛物线的定义，考察与抛物线有关的三角形面积的计算，考察方程的思想，属于根底题.10.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外接球的体积为〔 〕287 287C.2127D.28219【答案】C 【解析】 【分析】将三视图复原为原图，几何体是底面为边长为2的等边三角形，高为2的三棱锥.根据等边三角形外接圆的半径，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.【详解】将三视图复原为原图如图，可得几何体是底面为边长为2的等边三角形，高为2的三棱锥.等比三角形的外接圆半径为1223π33sin 3==，所以其外接球的222237133R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，213R =.那么342821327V R ππ==球，应选：C.【点睛】本小题主要考察三视图复原为原图，考察三棱锥外接球体积有关计算，属于根底题.()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，那么k 的取值范围是( ) A. 13(,)34B. 13(,)24C. 1(,1)3D. 1(,1)2【答案】D 【解析】 【分析】根据对称关系可将问题转化为()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点；利用导数研究()f x 的单调性从而得到()f x 的图象；由直线1y kx =--恒过定点()0,1A -，通过数形结合的方式可确定(),AC AB k k k -∈；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得AC k 和AB k ，进而得到结果.【详解】()1g x kx =-关于直线1y =-对称的直线方程为：1y kx =--∴原题等价于()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点由1y kx =--可知，直线恒过点()0,1A - 当0x >时，()ln 12ln 1f x x x '=+-=-()f x ∴在()0,e 上单调递减；在(),e +∞上单调递增由此可得()f x 图象如以下图所示：其中AB 、AC 为过A 点的曲线的两条切线，切点分别为,B C由图象可知，当(),AC AB k k k -∈时，()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点 设(),ln 2C m m m m -，0m >，那么ln 21ln 10AC m m m k m m -+=-=-，解得：1m =1AC k ∴=-设23,2B n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，0n ≤，那么23132220AB n n k n n ++=+=-，解得：1n =- 31222AB k ∴=-+=-11,2k ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，那么1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭此题正确选项：D【点睛】此题考察根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是可以通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进展求解.ABC ∆中，A 、B 、C 为其三内角，满足tan A 、tan B 、tan C 都是整数，且A B C >>，那么以下结论中错误的选项是〔 〕 A. 25A π>B. 3B π>C. 49A π<D. 512B π<【答案】A 【解析】 【分析】首先判断出,,A B C 均为锐角，根据tan A 、tan B 、tan C 都是整数，求得tan A 、tan B 、tan C 的值，进而判断出结论错误的选项.【详解】由于0C B A π<<<<，所以B 、C 都是锐角，又tan B 、tan C 都是正整数，这样()ta ta n tan 0tan tan n 1tan B CA CBC B +=+-->=，可见A 也是锐角.这时，tan 1C ≥，tan 2B ≥，tan 3A ≥.有tan tan tan 1tan tan 1A BC A B +=≥-，即()()tan 1tan 12A B --≤.但是tan 12A -≥，tan 11B -≤，比拟可知只可能tan 3A =，tan 2B =，tan 1C =.由tan B >3B π>，选项B 是正确的.至于选项C 和D ，由5tan 2tan 12A π=>，可知512A π<，又54129ππ<，应选项C 正确； 又由512A B π>>，选项D 正确、A 选项错误. 应选：A.【点睛】本小题主要考察两角和的正切公式，考察三角形内角和定理，考察分析、考虑与解决问题的才能，属于中档题.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分 13.()()()()52501252111x a a x a x a x +=+++++++，那么2a =______.【答案】10 【解析】 【分析】将二项式等价变形为()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，根据变形后的二项式展开式的通项公式，求得2a 的值.【详解】()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，其通项公式为()151r r r T C x +=+，故()22351T C x =+，所以22510a C ==.故答案为：10【点睛】本小题主要考察二项式展开式的通项公式，考察化归与转化的数学思想方法，属于根底题.C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆交C 的一条渐近线于点P 〔P 在第一象限内〕，假设线段1PF 的中点Q 在C 的另一条渐近线上，那么C 的离心率e =______.【答案】2【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质和渐近线的性质，求得1260FOQ POQ POF ∠=∠=∠=︒，由此求得3ba=，进而利用21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭计算出双曲线的离心率. 【详解】由图可知，OQ 是线段1F P 的垂直平分线，又OP 是12Rt F PF ∆斜边的中线，∴OP c =，且1260FOQ POQ POF ∠=∠=∠=︒，∴tan 603ba=︒=，所以2e =. 故答案为：2【点睛】本小题主要考察双曲线离心率的求法，考察双曲线的渐近线，考察数形结合的数学思想方法，属于根底题.15.中国光谷〔〕某科技公司消费一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，假设元件1或者元件2正常工作，且元件3正常工作，那么该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命〔单位：小时〕均服从正态分布()210000,10N ，且各个元件能否正常工作互相HY.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况〔各部件能否正常工作互相HY 〕，那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台.【答案】375 【解析】 【分析】先求得元件1和2并联电路正常工作的概率，乘以元件3正常工作的概率，由此求得部件正常工作超过10000小时的概率.利用二项分布均值计算计算公式，计算出1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值.【详解】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12，那么部件正常工作超过10000小时的概率为21131228⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为310003758⨯=台. 故答案为：375【点睛】本小题主要考察互相HY 事件概率计算，考察二项分布的识别和二项分布期望的计算，属于根底题.1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为体对角线1BD 上的一点，且()()10,1BP BD λλ=∈，现有以下判断：①11A D C P ⊥；②假设1BD ⊥平面PAC ，那么13λ=；③PAC ∆周长的最小值是假设PAC ∆为钝角三角形，那么λ的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中正确判断的序号为______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用线面垂直证明线线垂直，由此判断①正确.在直角三角形中，利用射影定理求得13PB BD =1ABD ∆和1CBD ∆展开成平面，由此求得AP CP +的最小值，进而求得三角形PAC ∆APC ∆为直角三角形时λ的值，由此确定λ的取值范围【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，1A D ⊥平面11ABC D ，又1C P ⊂平面11ABC D ，故11A D C P ⊥，①正确；由1BD ⊥平面PAC ，在1Rt ABD ∆中，212,AB AD BD ===由于1BD AP ⊥，由射影定理得21AB BP BD =⋅,即4PB PB =⋅=13PB BD ==,可得13λ=，故②正确；将1ABD ∆和1CBD ∆展开，可得AP CP +，又AC =利用1BD ⊥平面11AC D ，可得当APC ∆为直角三角形时，23λ=，故当APC ∆为钝角三角形时，λ的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，④正确. 所以正确判断为①②④. 故答案为：①②④【点睛】本小题主要考察正方体中的线线、线面垂直有关命题真假性判断，考察间隔 和的最值的求法，考察空间想象才能和逻辑推理才能，属于中档题.三、解答题：解容许写岀文字说明、证明过程或者演算步骤ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的内角平分线，点D 在线段BC 上，且2BD CD =.〔1〕求sin B 的值；〔2〕假设1AD =，求ABC ∆的面积. 【答案】〔1〕5sin 5B =；〔2〕98ABC S ∆=【解析】 【分析】〔1〕利用正弦定理列方程，求得1sin cos 2B B =，两边平方后利用同角三角函数的根本关系式求得sin B 的值.〔2〕首先求得cos B 的值，利用两角和的正弦公式求得sin BDA ∠，然后求得AB ，进而求得AC ，从而求得三角形ABC 的面积.【详解】〔1〕在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD AD BAD B =∠，即sin 45sin BD ADB︒=，在ACD ∆中，由正弦定理得()sin sin 90CD AD CAD B =∠︒-，即sin 45cos CD AD B=︒，两式相除得sin 1cos 2B CD B BD ==，即1sin cos 2B B =， ∴()22211sin cos 1sin 44B B B ==-，即21sin 5B =，又0B π<<，所以sin 0B >，故5sin 5B =. 〔2〕由90BAC ∠=︒，得B 是锐角，于是25cos 5B =， 所以()sin sin 45sin cos45cos sin 45BDA B B B ︒︒∠=+=+︒31010=， 在ABD ∆中，由正弦定理得sin 32sin 2BDA AB ADB ∠==，于是32tan 4AC AB B ==， 所以113232922248ABC S AB AC ∆=⋅=⋅⋅=. 【点睛】本小题主要考察正弦定理解三角形，考察三角形的面积公式，考察同角三角函数的根本关系式，考察两角和的正弦公式，属于根底题.18.如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置〔P ∉平面ABCE 〕.〔Ⅰ〕证明：AE PB ⊥；〔Ⅱ〕假设直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的余弦值. 【答案】〔I 〕见解析；〔II 〕5-. 【解析】【分析】〔I 〕先证明AE POB ⊥平面，再证明AE PB ⊥；〔II 〕在平面POB 内作PQ⊥OB,垂足为Q ， 证明OP⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角A PE C --的余弦值.【详解】〔I 〕证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ， ∵AB||CE,AB=CE，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE， ∴△ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=，23DAB ABC π∠=∠=, ∴在等腰ADB ∆中，6ADB ABD π∠=∠=∴2362DBC πππ∠=-=,即BD⊥BC， ∴BD⊥AE，翻折后可得：OP⊥AE,OB⊥AE，又,,OP POB OB POB OP OB O ⊂⊂=平面平面，AE POB ∴⊥平面，,PB POB AE PB ⊂∴⊥平面；〔II 〕解：在平面POB 内作PQ⊥OB,垂足为Q ， 因为AE⊥平面POB ，∴AE⊥PQ，因为OB ⊂平面ABCE, AE ⊂平面ABCE,AE ∩OB=O∴PQ⊥平面ABCE ，∴直线PB 与平面ABCE 夹角为4PBQ π∠=，又因为OP=OB ，∴OP⊥OB，∴O、Q 两点重合，即OP⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为3131313(0,0,(,0,0),(0,(,0,),(,2222222P E C PE EC ∴=-=,设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =，那么11130022,,013022x z PE n EC n x y ⎧-=⎪⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪+=⎪⎩ 设3x =，那么y=-1,z=1， ∴1(3,-1,1)n =，由题意得平面PAE 的一个法向量2(0,1,0)n =， 设二面角A-EP-C 为α，1212||15|cos |=5||||5n n n n α⋅==.易知二面角A-EP-C 为钝角，所以5cos =-5α.【点睛】此题主要考察空间几何元素位置关系的证明，考察二面角的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和空间想象转化分析推理才能.233,33M ⎛ ⎝⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，且点M 到C 的左、右焦点的间隔 之和为22〔1〕求C 的方程；〔2〕设O 为坐标原点，假设C 的弦AB 的中点在线段OM 〔不含端点O ，M 〕上，求OA OB ⋅的取值范围.【答案】〔1〕2212x y +=；〔2〕45,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】〔1〕根据椭圆的定义和椭圆上点的坐标，求得椭圆的HY 方程.〔2〕设出,A B 的坐标，求得AB 中点的坐标，由OM 的斜率得到()12122x x y y +=+，利用点差法求得AB 的斜率，设出直线AB 的方程并代入椭圆方程，写出判别式以及韦达定理，利用平面向量的坐标运算，化简求得OA OB ⋅的取值范围.【详解】〔1〕由条件知2241133a b +=，2a =，所以a =1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.〔2〕设点A 、B 的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，那么AB 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭在线段OM 上，且12OM k =， ∴()12122x x y y +=+，又221112x y +=，222212x y +=，两式相减得()()()()1212121202x x x x y y y y -++-+=，易知120x x -≠，120y y +≠，所以()1212121212y y x xx x y y -+=-=--+，即1AB k =-.设AB 方程为y x m =-+，代入2212xy +=并整理得2234220x mx m -+-=.由()2830m∆=->解得23m<，又由12223x x m +⎛=∈ ⎝，∴0m <<由韦达定理得1243m x x +=，()212213m x x -=，故()()12121212OA OB x x y y x x x m x m ⋅=+=+-+-+()()22221212414233m m x x m x x m m-=-++=-+243m =-.而0m <<OA OB ⋅的取值范围是45,33⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考察椭圆的定义和HY 方程，考察直线和椭圆的位置关系，考察点差法，考察向量数量积的坐标运算，考察运算求解才能，属于中档题.20.有“九通衢〞之称，也称为“江城〞，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.〔1〕为理解“五·一〞劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：现从年龄在[]42,52内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在[]47,52内的人数为ξ，求()3P ξ=；〔2〕为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心方案在2021年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A X 〔单位：万人〕都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表： 劳动节当日客流量X 13X <<35X ≤≤5X >频数〔年〕 244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量互相HY.该游船中心希望投入的A 型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A 型游船最多使用量〔单位：艘〕要受当日客流量X 〔单位：万人〕的影响，其关联关系如下表： 劳动节当日客流量X13X <<35X ≤≤5X >A 型游船最多使用量123假设某艘A 型游船在劳动节当日被投入且被使用，那么游船中心当日可获得利润3万元；假设某艘A Y 〔单位：万元〕表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y 的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2021年劳动节当日应投入多少艘A 型游船才能使其当日获得的总利润最大？【答案】〔1〕()4353P ξ==；〔2〕投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大 【解析】 【分析】〔1〕首先计算出在[)42,47，[]47,52内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出()3P ξ=.〔2〕分别计算出投入1,2,3艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量.【详解】〔1〕年龄在[)42,47内的游客人数为150，年龄在[]47,52内的游客人数为100；假设采用分层抽样的方法抽取10人，那么年龄在[)42,47内的人数为6人，年龄在[]47,52内的人数为4人.可得()31464103435C C C P ξ===. 〔2〕①当投入1艘A 型游船时，因客流量总大于1，那么()3E Y =〔万元〕. ②当投入2艘A 型游船时，假设13X <<，那么30.5 2.5Y =-=，此时()521132105P Y P X ⎛⎫==<<== ⎪⎝⎭； 假设3X ≥，那么326Y =⨯=，此时()()()463555P Y P X P X ==≤≤+>=； 此时Y 的分布列如下表：此时()142.56 5.355E Y =⨯+⨯=〔万元〕. ③当投入3艘A 型游船时，假设13X <<，那么312Y =-=，此时()()21213105P Y P X ==<<==； 假设35X ≤≤，那么320.5 5.5Y =⨯-=，此时()()25.5355P Y P X ==≤≤=；假设5X >，那么339Y =⨯=，此时()()2955P Y P X ==>=； 此时Y 的分布列如下表：此时()1222 5.59 6.2555E Y =⨯+⨯+⨯=〔万元〕. 由于6.2 5.33>>，那么该游船中心在2021年劳动节当日应投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大.【点睛】本小题主要考察分层抽样，考察超几何分布概率计算公式，考察随机变量分布列和期望的求法，考察分析与考虑问题的才能，考察分类讨论的数学思想方法，属于中档题.21()(1)2,2x f x x e ax ax a R =+++∈.(1)讨论()f x 极值点的个数；(2)假设00(2)x x ≠-是()f x 的一个极值点，且-2(2)>e f -，证明: 0()<1f x .【答案】(1) 当2a e -=-时，()f x 无极值点；当0a ≥时，()f x 有1个极值点；当2a e -<-或者20e a --<<时，()f x 有2个极值点；(2)证明见解析【解析】 【分析】〔1〕求导得到()()()2xf x x e a '=++；分别在0a ≥、2a e -<-、2a e -=-和20e a --<<四种情况下根据()f x '的符号确定()f x 的单调性，根据极值点定义得到每种情况下极值点的个数；〔2〕由〔1〕的结论和()22f e -->可求得()2,a e-∈-∞-，从而得到()0ln xa =-，代入函数解析式可得()0f x ；令()()ln 2,t a =-∈-+∞可将()0f x 化为关于t 的函数()g t ，利用导数可求得()g t 的单调性，从而得到()1g t ≤，进而得到结论.【详解】〔1〕()()()()222xxf x x e ax a x e a '=+++=++①当0a ≥时，0x e a +>∴当(),2x ∈-∞-时，()0f x '<；当()2,x ∈-+∞时，()0f x '>()f x ∴在(),2-∞-上单调递减；在()2,-+∞上单调递增2x ∴=-为()f x 的唯一极小值点，无极大值点，即此时()f x 极值点个数为：1个②当0a <时，令()0f x '=，解得：12x =-，()2ln x a =- ⑴当2a e -<-时，12x x <()1,x x ∴∈-∞和()2,x +∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<()f x ∴在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减1x x ∴=为()f x 的极大值点，2x x =为()f x 的极小值点，即()f x 极值点个数为：2个⑵当2a e -=-时，12x x =，此时()0f x '≥恒成立且不恒为0()f x ∴在R 上单调递增，无极值点，即()f x 极值点个数为：0个⑶当20e a --<<时，12x x >()2,x x ∴∈-∞和()1,x +∞时，()0f x '>；()21,x x x ∈时，()0f x '<()f x ∴在()2,x -∞，()1,x +∞上单调递增；在()21,x x 上单调递减2x x ∴=为()f x 的极大值点，1x x =为()f x 的极小值点，即()f x 极值点个数为：2个综上所述：当2a e -=-时，()f x 无极值点；当0a ≥时，()f x 有1个极值点；当2a e -<-或者20e a --<<时，()f x 有2个极值点〔2〕由〔1〕知，假设()002x x ≠-是()f x 的一个极值点，那么()()22,,0a e e--∈-∞-⋃-又()2222f e a e ---=-->，即2a e -<- ()2,a e-∴∈-∞-02x ≠- ()0ln x a ∴=-()()()()()()()()ln 22011ln 1ln 2ln ln 2ln 222a f x a e a a a a a a a -⎡⎤∴=-++⋅-+-=-+--⎣⎦令()()ln 2,t a =-∈-+∞，那么t a e =- ()()21222t g t e t t ∴=-+-，()2,t ∈-+∞那么()()()2114422t t g t e t t t t e '=-+=-+ 当2t >-时，40t +>，0t e >∴当()2,0t ∈-时，()0g t '>；当()0,t ∈+∞时，()0g t '<()g t ∴在()2,0-上单调递增；在()0,∞+上单调递减()()max 01g t g ∴==，即()1g t ≤ ()01f x ∴≤【点睛】此题考察导数在研究函数中的应用问题，涉及到利用导数讨论函数极值点的个数、证明不等式的问题；此题中证明不等式的关键是可以通过换元的方式将()0f x 转化为关于t 的函数，利用导数求得函数最值之后即可证得结论；易错点是换元时忽略自变量的取值范围，导致定义域错误.请考生在第22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分xOy 中，曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 〔1〕求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；〔2〕设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．【答案】〔1〕22193x y +=，10x y -+=；〔2〕2. 【解析】【分析】(1)利用三角恒等式消参得到曲线C 的普通方程，利用极坐标公式得到直线l 的直角坐标方程；〔2〕先证明点P 在直线l 上，再利用直线参数方程t 的几何意义解答.【详解】〔1〕因为曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕， 所以曲线C 的普通方程为22193x y +=.因为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=.所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.〔2〕由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l的参数方程为122x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆的方程得2280t -=，所以1212+402t t t t ==-<，所以12|PA|+|PB|=||2t t -==. 【点睛】此题主要考察参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考察直线参数方程t 的几何意义，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.()()210f x x a x a =++->.〔1〕当1a =时，求不等式()4f x >的解集；〔2〕假设不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.【答案】〔1〕5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；〔2〕()5,+∞【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法去绝对值，将不等式()4f x >转化为不等式组来求解得不等式()4f x >的解集. 〔2〕化简不等式()42f x x >-为2x a +>，由此得到2a x >-或者2a x <--，结合恒成立知识的运用，求得a 的取值范围.【详解】〔1〕当1a =时，()121f x x x =++-， 故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或者1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或者1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或者53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.〔2〕当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->， 即2x a +>，即2a x >-或者2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立.又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞.又0a >，所以5a >，综上，a 的取值范围为()5,+∞.【点睛】本小题主要考察绝对值不等式的解法，考察含有绝对值的不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
四川省绵阳市2024届高三一模数学(理)试题含解析
2021级高三一诊模拟考试数学（理）试题（三）（答案在最后）一、单选题1.已知集合{}21,Z A x x k k ==-∈，{}41,Z B x x k k ==+∈，则（）A.A B A =B.A B B ⋃=C.()R B A ⋂=∅ðD.()R A B ⋂=∅ð【答案】C 【解析】【分析】通过推理得到B 是A 的真子集，从而根据交集，并集和补集的概念进行计算，对四个选项一一进行判断正误.【详解】{}{}{}21,Z 41,Z 41,Z A x x k k x x k k x x k k ==-∈==+∈⋃=-∈，故B 是A 的真子集，故A B B = ，A B A ⋃=，()R B A ⋂=∅ð，(){}41,Z R A B x x k k ⋂==-∈≠∅ð，故A ，B ，D 均错误，C 正确.故选：C.2.已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是（）A.ab >acB.c (b －a )<0C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )>0【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件，求得,c a 的正负，再结合b c >，则问题得解.【详解】由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0.由b >c ，得ab >ac 一定成立，即A 正确；因为0,0c b a <-<，故()0c b a ->，故B 错误；若0b =时，显然不满足22cb ab <，故C 错误；因为0,0ac a c -，故()0ac a c -<，故D 错误.故选：A .【点睛】本题考查不等式的基本性质，属简单题.3.若等比数列{}n a 满足232a a +=，246a a -=，6a =（）．A.32-B.8- C.8D.64【答案】A 【解析】【分析】根据条件先求出数列的首项和公比，即可求出.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，2231132411+26a a a q a q a a a q a q ⎧+==⎨-=-=⎩，解得2q =-，11a =，()55611232a a q ∴==⨯-=-.故选：A.4.下列命题正确的是（）A.命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题B.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题C.若0x 使得函数()f x 的导函数()00f x '=，则0x 为函数()f x 的极值点；D.命题“0x ∃∈R ，使得20010x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++<”【答案】B 【解析】【分析】根据复合命题的真假判断A ，根据四种命题的关系判断B ，根据极值的定义判断C ，根据命题的否定判断D ．【详解】对于A ：命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 至少有一个假命题，故A 错误；对于B ：命题“若x y =，则sin sin x y =”显然为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，故B 正确；对于C ：若0x 使得函数()f x 的导函数()00f x '=，如果两侧的导函数的符号相反，则0x 为函数()f x 的极值点；否则，0x 不是函数()f x 的极值点，故C 错误；对于D ：命题“存在0R x ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是：“对任意R x ∀∈，均有210x x ++≥”．故D错误.故选：B ．5.设0.70.362,log 4,4a b c ===，则（）A.c a b >>B.a c b>> C.b c a>> D.b a c>>【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得；【详解】解：因为()0.30.320.6422==，00.60.71212222=<<<=，所以1a c >>因为66610log log 4g 1lo 6=<<=所以01b <<，所以ac b >>．故选：B6.若向量a ，b 满足2a = ，()26a b a +⋅=，则b 在a 方向上的投影为（）A.1 B.12C.12-D.－1【答案】B 【解析】【分析】先利用向量数量积的运算求得a b ⋅ ，再利用投影的定义求解即可.【详解】因为2a = ，()26a b a +⋅=，所以226a b a +⋅= ，即2622a b +⋅= ，则1a b ⋅= ，故b 在a 方向上的投影1cos ,2a b b a b a ⋅==.故选：B .7.函数()()100ln 0e exxx f x x -=≠-的大致图象是（）A. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证即可【详解】因为()100ln 100ln ()e ee exxxxx x f x f x ---==-=---，所以()f x 为奇函数，所以函数图象关于原点对称，所以排除CD ，因为(1)0f =，1111eeee1100ln 1100e0e e ee ef ---⎛⎫==< ⎪⎝⎭--，所以排除B ，故选：A8.已知角α的终边落在直线2y x =-上，则22cos2sin23sin ααα++的值为（）A.25-B.25C.±2D.45【答案】B 【解析】【分析】根据角α终边的位置得到tan 2α=-，然后将22cos 2sin 23sin ααα++转化为2222tan tan 1tan ααα+++再代入求值即可.【详解】角α的终边落在直线2y x =-上，所以tan 2α=-，2222222cos 2sin 2sin cos 3sin 2cos 2sin 23sin cos cos αααααααααα-++++=+22222cos 2sin cos sin cos sin αααααα++=+2222tan tan 1tan ααα++=+24414-+=+25=.故选：B.9.函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（）A .向左平移6π个单位长度B.向左平移12π个单位长度C.向右平移6π个单位长度D.向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象得到()f x 、()g x 的解析式，然后利用图象平移的结论进行图象平移即可.【详解】根据图象可得2A =，周期T π=，因为2T πω=，所以2ω=，()()2sin 2f x x ϕ=+，将,23π⎛⎫⎪⎝⎭代入()f x 可得()2222sin 2332k k πππϕϕπ⎛⎫=+⇒+=+∈ ⎪⎝⎭Z ，解得()26k k πϕπ=-+∈Z ，因为0πϕ-<<，所以6πϕ=-，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2sin 2g x x =，因为()2sin 212f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 向左平移12π个单位长度即可得到()g x 的图象.故选：B.10.过点()3,0作曲线()e xf x x =的两条切线，切点分别为()()11,x f x ，()()22,x f x ，则12x x +=（）A.3-B.C.D.3【答案】D【解析】【分析】求出函数的导函数，设切点坐标为()000,ex x x ，即可得到切线方程，依题意关于0x 的方程200330x x -++=有两个不同的解1x 、2x ，利用韦达定理计算可得.【详解】因为()e x f x x =，所以()()1e xf x x '=+，设切点坐标为()000,e x x x ，所以()()0001e xf x x '=+，所以切线方程为()()00000e1e x x y x x x x -=+-，所以()()00000e1e 3x x x x x -=+-，即()02033e 0x x x -++=，依题意关于0x 的方程()20033e0x x x -++=有两个不同的解1x 、2x ，即关于0x 的方程200330x x -++=有两个不同的解1x 、2x ，所以123x x +=.故选：D11.已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()f x m =在[0,)π上有两个实根a ，b ，且||3a b π->，则实数m 的取值范围是（）A.1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由题设可得()sin(26f x x π=+，将问题转化为在132[,)666t x πππ=+∈上sin y t =与y m =有两个交点且交点横坐标之差2||3a b t t π->，应用数形结合确定m 的取值范围.【详解】由题设，2T ππω==，则2ω=，即()sin(2)6f x x π=+，又()f x m =在[0,)π上有两个实根a ，b ，且||3a b π->，[0,)π上，132[,)666t x πππ=+∈，则sin y t =的图象如下：∴要使||3a b π->，则对应2||2||3a b t t a b π-=->，∴当1122m -<<时，()f x m =有两个交点且||3a b π->.故选：D12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-.若函数()()sin F x f x x π=-在区间[]1,m -上有10个零点，则实数m 的取值范围是（）A.[)3.5,4 B.(]3.5,4 C.(]5,5.5 D.[)5,5.5【答案】A 【解析】【分析】根据题意可知()f x 和()sin πx 都是周期为2的周期函数，因此可将()()()sin πF x f x x =-的零点问题转换为()f x 和()sin πx 的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m 的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.【详解】由()()()()()2022f x f x f x f x f x -+=⇒=--=-得()f x 是一个周期为2的奇函数，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，因此211log 122f ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，()10f =因为()f x 是奇函数，所以()00f =，112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ，()10f -=且()()sin πg x x =的周期为2π2πT ==，且()10g -=，112g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()00g =，112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g =求()()()sin πF x f x x =-的零点，即是()f x 与()g x 的交点，如图：为()f x 与()g x 在[]1,1-区间的交点图形，因为()f x 与()g x 均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知()F x 的零点周期为12，若在区间[]1,m -上有10个零点，则第10个零点坐标为()3.5,0，第11个零点坐标为()4,0，因此3.54m ≤<.故选：A【点睛】思路点睛：函数的零点问题，往往可以转化为常见函数的交点的个数问题，而图象的刻画需结合函数的奇偶性、周期性等来处理.二、填空题13.若x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则23z x y =-的最小值为______．【答案】5-【解析】【分析】先作出可行域，将目标函数23z x y =-化为2133y x z =-，要求z 的最小值，则需求直线2133y x z =-在y 轴上的截距的最大值，由图可得答案.【详解】由x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩作出可行域,如图由2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得()1,1A -由210x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭由2100x y x y ++=⎧⎨-=⎩，解得11,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭将目标函数23z x y =-化为2133y x z =-，则z 表示直线2133y x z =-在y 轴上的截距的13-倍.要求z 的最小值，则需求直线2133y x z =-在y 轴上的截距的最大值.由图可知，当目标函数过点()1,1A -时，直线2133y x z =-在y 轴上的截距的最大值.此时z 的最小值为()21315z =⨯--⨯=-故答案为：5-14.当7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数23sin 2cos y x x =--的值域为________．【答案】728⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求得1sin [,1]2x ∈-，化简2172(sin )48y x =-+，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】因为7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得1sin [,1]2x ∈-，又由222173sin 2cos 3sin 2(1sin )2(sin 48y x x x x x =--=---=-+，当1sin 4x =，取得最小值min 78y =；当1sin 2x =-或sin 1x =，取得最大值min 2y =，即函数的值域为728⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故答案为：728⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【点睛】本题主要考查了函数的值域的求解，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和正弦函数的性质，以及二次函数的图象与性质是解答的关键，属于基础题.15.已知函数()()2e ,1lg 2,1x x f x x x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，则不等式()11f x +<的解集为______．【答案】()0,7【解析】【分析】分别在11x +≤和11x +>的情况下，结合指数和对数函数单调性可解不等式求得结果.【详解】当11x +≤，即0x ≤时，()()2111e e 1x x f x -+-+==<，10x ∴-<，解得：1x >（舍）；当11x +>，即0x >时，()()1lg 31f x x +=+<，0310x ∴<+<，解得：37x -<<，07x ∴<<；综上所述：不等式()11f x +<的解集为()0,7.故答案为：()0,7.16.数列{}n a 的前n 项和为n S ，23nn n a S +=，数列{}n b 满足()()211332n bn n a a n N *++=-∈，则数列{}n b 的前10项和为______．【答案】65【解析】【分析】由,n n a S 的递推式可得121323n n n a a +++-=⨯，结合已知条件有1n b n =+，即可求数列{}n b 的前10项和.【详解】由23nn n a S +=知：11123n n n a S ++++=，则1112233n n n n n n a S a S ++++--=-，得1323nn n a a +-=⨯，∴121323n n n a a +++-=⨯，而()()211332n bn n a a n N *++=-∈，∴1n b n =+，故数列{}n b 的前10项和为1010(211)652T ⨯+==，故答案为：65.【点睛】关键点点睛：,n n a S 递推式的应用求条件等式中因式213n n a a ++-的表达式，进而求数列{}n b 的通项，最后求{}n b 前10项和.三、解答题17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()2,1m b = ，()2,cos n a c C =- ，且//m n．（1）求角B 的大小；（2）若点M 为BC 中点，且AM AC =，求sin BAC ∠．【答案】（1）π3B =；（2）sin 7BAC ∠=.【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示，再利用正弦定理边化角及和角的正弦公式求解作答.（2）取CM 中点D ，连接AD ，利用直角三角形边角关系及正弦定理求解作答.【小问1详解】向量()2,1m b = ，()2,cos n a c C =- ，且//m n，于是2cos 2b C a c =-，在ABC 中，由正弦定理，得2sin cos 2sin sin B C A C =-，即2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C =+-=+-，整理得2cos sin sin B C C =，又sin 0C ≠，因此1cos 2B =，而0πB <<，所以π3B =．【小问2详解】取CM 中点D ，连接AD ，由AM AC =，得AD CM ⊥，令CD x =，而点M 为BC 中点，则3BD x =，由（1）知π3B =，于是AD =，AC =，在ABC中，由正弦定理知4πsin sin 3x BAC =∠，所以sin 7BAC ∠=．18.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，其前n 项和为n S ，数列{}n b 前n 项和为n T ，从①1a ，2a ，5a 成等比数列，2n n T b -=，②53253S S -=，1122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，这两个条件中任选一个作为已知条件并解答下列问题.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n M .【答案】（1）条件选择见解析；21n a n =-，112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=；（2）()2323nn M n =-⋅+.【解析】【分析】（1）选条件①：设数列{}n a 的公差为d ，根据等比中项的性质建立方程，解之可求得公差d ，由等差数列的通项公式求得n a ，再由2n n T b -=，112n n T b --=-两式相减得数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列，根据等比数列的通项公式求得n b ；选条件②：由已知得等差数列{}n a 的公差为2d =，由等差数列的通项公式求得n a ，再由1112n n n n b T T --⎛⎫=-= ⎪⎝⎭求得n b ，注意1n =时是否满足；（2）由（1）可得：()1212n nna nb -=-⋅，由错位相减法可求得n M .【详解】解：（1）选条件①：设数列{}n a 的公差为d ，由1a ，2a ，5a 成等比数列，可得：2215a a a =，即()2114d d +=+，解得：2d =或0d =（舍），所以()12121n a n n =+-=-，∵2n n T b -=，∴112n n T b --=-，2n ≥，两式相减整理得：112n n b b -=，2n ≥，又当1n =时，有112T b =-，解得：11b =，∴数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列，∵112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=；选条件②：∵5332253S S a a -=-=，∴等差数列{}n a 的公差为2d =，又11a =，∴()12121n a n n =+-=-，又∵1122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴当2n ≥时，有1112n n n n b T T --⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又当1n =时，有111T b ==，也适合上式，∵112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=；（2）由（1）可得：()1212n nna nb -=-⋅，∴·()0121123252212n n M n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，又()()12121232232212n n n M n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，两式相减得：()()()21232121222212121212n n n nn M n n ---=+++⋅⋅⋅+--⋅=+--⋅-整理得：()2323nn M n =-⋅+.19.设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫==⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）ABC ∆面积的最大值为234+【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；（Ⅱ）首先由02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭结合（Ⅰ）的结果，确定角A 的值，然后结合余弦定理求出三角形ABC ∆面积的最大值.试题解析：解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=-由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-=⎪⎝⎭得1sin 2A =由题意知A 为锐角，所以cos 2A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：2212b c bc+=+≥即：2bc ≤当且仅当b c =时等号成立.因此12sin 24bc A +≤所以ABC ∆面积的最大值为24考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.20.已知()()3223,f x x ax bx aa b R =+++∈.（Ⅰ）若()f x 在=1x -时有极值0，求a ，b 的值；（Ⅱ）若()()6xg x f x b a e '=-+⋅⎡⎤⎣⎦，求()g x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，9b =；（Ⅱ）答案见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出导函数()f x '，由题意可得2310630a ab b a ⎧+--=⎨-+=⎩，解方程组求出a ，b 的值，再验证是否在=1x -是否取得极值即可.（Ⅱ）由题意求出()()()322xg x x x a e '=++⋅，讨论1a =、1a >或1a <，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.【详解】解：（Ⅰ）由题意得()236f x x ax b '=++，则2310630a ab b a ⎧+--=⎨-+=⎩，解得：13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩，经检验当1a =，3b =时，函数()f x 在=1x -处无极值，而2a =，9b =满足题意，故2a =，9b =；（Ⅱ）()()()26322xxg x f x b a e x ax a e'=-+⋅=++⋅⎡⎤⎣⎦故()()()322xg x x x a e '=++⋅，故1a =时，()0g x '≥，函数()g x 在R 上递增，当1a >时，函数()g x 在(),2-∞-a 递增，在()2,2a --递减，在()2,-+∞递增，当1a <时，函数()g x 在(),2-∞-递增，在()2,2a --递减，在()2,a -+∞递增．21.已知函数()ln f x x x =-.（1）求证：()1f x ≤-；（2）若函数()()()0ex xg x af x a =+>有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）10ea <<【解析】【分析】（1）求出()1xf x x-'=，讨论其符号后可得函数的单调性，结合原函数的最值可得不等式成立.（2）求出()g x '，讨论其符号后可得函数的单调性，根据零点的个数可得最值的符号，从而可得a 的取值范围，注意利用零点存在定理验证.【小问1详解】()1xf x x-'=，则当01x <<时，()0f x ¢>，当1x >时，()0f x ¢<，故()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上减函数，故()()max 11f x f ==-即()1f x ≤-.【小问2详解】()ln e x x g x a x ax =-+，故()()()1111e e xx a x x a g x x x x --⎛⎫'=+=-+ ⎪⎝⎭，因为0,0a x >>，故10ex a x +>，所以当01x <<时，()0g x ¢>，当1x >时，()0g x ¢<，故()g x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上减函数，因为函数()g x 有两个零点，故()()max 110e g x g a ==-+>即10ea <<，又当10ea <<时，对任意10e a x -<<，有：ln ln ln 10ex xa x ax a x x a x -+<+<+<，故此时()g x 在()0,1上有且只有一个零点.下证：当e x >时，总有2ln x x >成立，设()2ln S x x x =-，则()20x S x x-'=>，故()S x 在()e,+∞上为增函数，故()()e e 20S x S >=->，即2ln x x >成立.故当e x >时有2e x x >.由（1）可得ln e e x xx x a x ax a -+≤-+，故当11(e)x a a >>时，11ln 0e x x axa x ax a x x--+<-+=<，故此时()g x 在()1,+∞上有且只有一个零点.综上，当()g x 有两个零点时，10ea <<.22.数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线:sin3()C ρθρ=∈R 被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）．（1）当[0,)θπ∈，求以极点为圆心，22为半径的圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；（2）设点P 是由（1）中的交点所确定的圆M 上的动点，直线:cos 24l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求点P 到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）2223211,,,,,2122424212ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）322.【解析】【分析】（1）由sin 322ρθρ=⎧⎪⎨=⎪⎩可得2sin 32θ=，然后解出θ的值即可；（2）将圆M 和直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程，然后可求出答案.【详解】（1）由sin 322ρθρ=⎧⎪⎨=⎪⎩可得2sin 32θ=，所以324k πθπ=+或()3324k k Z πθπ=+∈所以2312k ππθ=+或()234k k Z ππθ=+∈因为[0,)θπ∈，所以311,,,124412ππππθ=所以交点的极坐标为2223211,,,,,,,2122424212ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由（1）可得圆M 的极坐标方程为22ρ=，转化为直角坐标方程为2212x y +=直线:cos 24l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的直角坐标方程为2x y -=所以点P 到直线l 23222+=23.已知函数()|1||2|f x x x =-++.（1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）若不等式()21f x x ax ≥-+的解集包含[]1,1-，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[] 3,2-；(2)[]1,1-.【解析】【分析】（1）分类讨论，求解不等式即可；（2）将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题，列出不等式组即可求得.【详解】（1）当2x ≤-时，()5f x ≤等价于215x --≤，解得[]3,2x ∈--；当21x -<<时，()5f x ≤等价于35≤，恒成立，解得()2,1x ∈-；当1x ≥时，()5f x ≤等价于215x +≤，解得[]1,2x ∈；综上所述，不等式的解集为[]3,2-.（2）不等式()21f x x ax ≥-+的解集包含[]1,1-，等价于()21f x x ax ≥-+在区间[]1,1-上恒成立，也等价于220x ax --≤在区间[]1,1-恒成立.则只需()22g x x ax =--满足：()10g -≤且()10g ≤即可.即120,120a a +-≤--≤，解得[]1,1a ∈-.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，以及二次函数在区间上恒成立的问题，属综合基础题.。
2024届绵阳中学高三数学(理)上学期一诊模拟卷(五)附答案解析
2024届绵阳中学高三数学（理）上学期一诊模拟卷（五）2023.10（试卷满分150分；考试时间120分钟）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合{1,22x U x y A x ⎧⎫===>⎨⎬⎩⎭，则U A =ð（）A ．(],1-∞-B ．[)2,1--C ．[]2,1--D ．[)2,-+∞2．实数a ，b 满足a b ≥，则下列不等式成立的是（）A ．1a b ≥B ．tan tan a b ≥C ．21a b -≥D ．()ln 0a b -≥3．已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边，命题p ：若222a b c +<，则ABC 为钝角三角形，命题q：若a b <，则cos cos A B <.下列命题为真命题的是（）A ．p q∧B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q⌝∨4．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入2x =，2n =，依次输入a 的值为1，2，3，则输出的s =（）A ．10B ．11C ．16D ．175．如图，在平行四边形ABCD 中，23BE BC =，34DF DE=，若AF AB AD λμ=+ ，则λμ-=（）A ．32B ．112-C ．112D ．06．等差数列{}n a 中，1472120a a a ++=，则746S a -=（）A ．60B ．30C ．10D ．07．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率v 与时间t （月）近似地满足关系tv a b=⋅（其中,a b 为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为5%，经过10个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月.（参考数据：lg20.3≈）A ．20B ．27C ．32D ．408．函数()()3π3πe e 2sin ,22x x f x x x x -⎛⎫⎛⎫=--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像大致是（）A．B ．C．D．9．定义：{},max ,,,a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩函数(){}max sin ,cos f x x x =，下列选项正确的是（）A ．函数()f x 为偶函数B ．函数()f x 不是周期函数C ．函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 的图像关于9π4x =对称10．若α，β为锐角，且π4αβ+=，则tan tan αβ+的最小值为（）A．2B1C．2D111．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a+⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（）A ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦12．函数()f x 和()g x 的定义域均为R ，且()33y f x =+为偶函数，()32y g x =++为奇函数，对x ∀∈R ，均有()()21f xg x x +=+，则()()77f g =（）A ．615B ．616C ．1176D ．2058第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知()1,2AB =- ，点()()2,0,3,1C D -，则向量AB 在CD 方向上的投影为．14．若πtan 9α=，则7πcos()18πsin()9αα+=+.15．已知函数()22e ,1e ,1x xx x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()()220f x af x -=⎡⎤⎣⎦有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是．16．已知正整数数列{}n a 满足：11,1,,nn n n n a n a na a a n a n +->⎧==⎨+≤⎩，则2022a =三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第．22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，已知函数()y f x =的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点π,08M ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.(1)求()f x 的单调区间；(2)求不等式()1f x -≤≤的解集.18．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，11,,22,.nn n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数(1)证明：{}22n a -是等比数列；(2)求满足20n S >的所有正整数n.19．如图，在平面四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，2AD CD ==.(1)当四边形ABCD 内接于圆O 时，求角C ；(2)当四边形ABCD 面积最大时，求对角线BD 的长.20．已知函数322()2f x x ax a x m =+++在1x =处取得极小值．(1)求实数a 的值；(2)若()f x 有3个零点，求实数m 的取值范围．21．已知函数()()2e 2x f x ax a =-∈R ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()sin cos 0e x x xf x -+≥对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），直线l 的参数方程为cos sin x t y t ββ=⎧⎨=⎩（t 为参数，0πβ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且2216OA OB +=，求β的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()2f x x =-．(1)解不等式()()216f x f x ++≥；(2)对()1,0a b a b +=>及R x ∀∈，不等式()412f x m x a b ----≤+恒成立，求实数m 的取值范围．1．C【分析】因为集合,U A 的代表元素都是x ，所以分别解关于x 的不等式可得集合,U A ，进而求出U A ð.【详解】由20x +≥得2x ≥-，由122x >得122x ->，即1x >-，所以{}{}2,1U x x A x x =≥-=>-，所以[]2,1U A -=-ð.故选：C.2．C【分析】举反例即可判定ABD ，由a b ≥，得出0a b -≥，利用指数函数的性质即可判定C.【详解】取1,1a b ==-,满足a b ≥,但1ab =-,所以A 错误；取3ππ,44a b ==,满足a b ≥,但tan 1tan 1a b =-<=，所以B 错误；若a b ≥，则0a b -≥,0221a b-≥=,所以C 正确；取1e a b -=,则()1ln ln 1e a b -==-,所以D 错误.故选:C.3．B【分析】分别判断两个命题的真假，再根据选项判断复合命题的真假.【详解】因为222a b c +<，所以222cos 02a b c C ab +-=<，则p 为真命题.因为a b <，所以A B <，又cos y x=在[]0,π上是减函数，所以cos cos A B >，则q 为假命题，只有()p q ∧⌝为真命题.故选：B4．B【分析】根据循环结构，令1,2,3a =依次进入循环系统，计算输出结果.【详解】解：∵输入的2x =，2n =，当输入的a 为1时，1S =，1k =，不满足退出循环的条件；当再次输入的a 为2时，4S =，2k =，不满足退出循环的条件；当输入的a 为3时，11S =，3k =，满足退出循环的条件；故输出的S 值为11．故选：B 5．D【分析】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解．【详解】在平行四边形ABCD 中，23BE BC =，34DF DE =，所以()3344AF AD DF AD DE AD DC CE=+=+=++ 31334344AD AB AD AB AD⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，若AF AB AD λμ=+ ，则34λμ==，则0λμ-=．故选：D ．6．B【分析】本题可由等差数列的性质即中项公式来求解.【详解】 等差数列{}n a 中，1472120a a a ++=,∴44120a =即430a =,∴()1774444470763662a a S a a a a a +-=-==-=.故选：B.7．B【分析】根据v 和t 的两组值求出,a b ，再根据100%1v ==求出t 即可得解.【详解】依题意得5105%10%a b a b ⎧=⋅⎨=⋅⎩，解得152b =， 2.5%a =，则152.5%2v =⋅，这种垃圾完全分解，即分解率为100%，即152.5%21t v =⋅=，所以15240=，所以21log 405t =，所以25lg 405log 40lg 2t ==5(lg 41)5(2lg 21)lg 2lg 2++==55101027lg 20.3=+≈+≈.故选：B8．A【分析】根据函数的奇偶性和特殊值，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】由()()()()()e e 2sin e e 2sin xxxxf x x x x x f x ---=-+-=--=，又3π3π,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可知()f x 为偶函数，排除B ；因为()π0f =，可排除D ，又由1(1)(e2)sin10ef=--⋅>，可排除C.故选:A 9．D【分析】利用正弦曲线、余弦曲线确定(){}max sin,cosf x x x=的图像.【详解】因为(){}max sin,cosf x x x=，所以()f x的图像如下：由图可知，A，B，C错误，D正确.故选：D.10．A【分析】利用两角和的正切公式进行转化，结合基本不等式求得tan tan2αβ++≥，从而求得tan tanαβ+的最小值.【详解】因为()tan tantan11tan tanαβαβαβ++==-，所以()()1tan1tan1tan tan tan tanαβαβαβ++=+++()11tan tan tan tan2αβαβ=+-+=，所以()()21tan1tan1tan1tan2αβαβ+++⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤，即2≤()2tan tan24αβ++，得()2tan tan28αβ++≥，由于α，β为锐角，所以tan tan20αβ++>，所以tan tan2αβ++≥，当且仅当tan tan1αβ==时等号成立，所以tan tanαβ+的最小值为2-．故选：A11．D【分析】推导出sin4d＝1，由此能求出d，可得函数解析式，利用在23xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论．【详解】∵{an}为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a52k π≠（k ∈Z ），sin2a3+2sina5•cosa5＝sin2a7，∴2sina5cosa5＝sin2a7﹣sin2a3＝2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sina5cos2d•2cosa5sin2d ，∴sin4d ＝1，∴d 8π=．∴f （x ）8π=cosωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调∴23ππω≥，∴ω32≤；又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，所以f （x ）在（0，23π）上存在零点，即223ππω＜，得到ω34＞．故答案为33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦故选D【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．12．B【分析】由题意可以推出()()6f x f x =-，()()46g x g x =---，再结合()()21f xg x x +=+可得函数方程组，解出函数方程组后再代入求值即可.【详解】由函数()33f x +为偶函数，则()()3333f x f x +=-，即函数()f x 关于直线3x =对称，故()()6f x f x =-；由函数()32g x ++为奇函数，则()()3232g x g x ++=--+-，整理可得()()334g x g x ++-+=-，即函数()g x 关于()3,2-对称，故()()46g x g x =---；由()()21f xg x x +=+，可得()()266(6)1f xg x x -+-=-+，所以()()24(6)1f x g x x --=-+，故()()()()2214(6)1f x g x x f x g x x ⎧+=+⎪⎨--=-+⎪⎩，解得()()2621,620f x x xg x x =-+=-，所以()()27672128,67202277f g =-⨯+==⨯-=，所以()()772822616f g =⨯=.故选：B.13．2-【分析】根据投影的计算公式即可求解.【详解】由点()()2,0,3,1C D -，得()1,1CD =-，所以向量AB在CD方向上的投影为：cos ,2AB CD AB AB CD CD⋅⋅==-．故答案为:322-.14．3-##3-+【分析】利用和角的正余弦公式化简，再利用诱导公式及齐次式求法求解即可.【详解】πtan 9α=，则7π7π7ππππcos()cos cos sin sin cos sin sin cos tan tan 181818999ππππππsin()sin cos cos sin sin cos cos sin tan tan999999αααααααααααα+---===++++3=-=.故答案为：315．222e e ,,e 82⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】利用导数研究()f x 的单调性和极值，作出()f x 的图像；由关于x 的方程2[()]2()0f x af x -=有两个不相等的实数根，得到函数()y f x =与2y a =有一个交点，利用图像法求解．【详解】对于函数()22e ,1e ,1x xx x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩．当()2()e 1x f x x x =<时，2()(2)e x f x x x '=+．令()0f x '>，解得：<2x -或01x <<；令()0f x '<，解得：20x -<<；所以()f x 在(,2)-∞-上单调递增，在(2,0)-上单调递减，在(0,1)上单调递增．而<2x -，()0f x >；24(2)e f -=，(1)e f =．当()2e ()1x f x x x =≥时，24e ()(2)x f x x x x '=-．令()0f x '<，解得：12x <<；令()0f x '>，解得：2x >；所以()f x 在(1,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增．而()1e f =；2e (2)4f =，2x >，()0f x >．作出()f x的图像如图所示：解关于x 的方程2[()]2()0f x af x -=有两个不相等的实数根,即关于x 的方程()[()2]0f x f x a -=有两个不相等的实数根，()0f x =只有一个实数根0x =，所以关于x 的方程()20f x a -=有一个非零的实数根，即函数()y f x =与2y a =有一个交点，横坐标0x ≠．结合图像可得：224e 2e4a <<或2a e >，所以a 的取值范围是222e e ,,e 82⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．16．630【分析】根据已知条件，易得到数列的初值，根据初值，可以进行归纳，得到1k n a =中项数满足的递推关系，然后使用数列归纳法进行推导论证，得到1213(21)k k n n ++=+的递推公式，然后通过构造等比数列求解出k n 的表达式，结合2022所满足的关系代入合适的关系式求解即可.【详解】由11,1,,nn n n n a n a na a a n a n +->⎧==⎨+≤⎩可得：n1234567891011121314na 1241510411312213114我们可以看到1k n a =的下标：1231,4,13,,n n n === 它们满足的递推关系：131,1,2,3k k n n k +=+=①，对k 归纳：1,2k =时已经成立，设已有1k n a =，则由条件，11k n k a n +=+，222k n k a n +=+，3k n ka n +=，423k n k a n +=+，归纳易得：212,1,2,3,,1k n m k k a n m m n +-=+-=+ ，221,1,2,3,,k n m k ka n m m n +=++= ，②于是，当1k m n =+时，312(1)1k n k k a n n +=+-+=，因此，131,(1,2,3,)k k n n k +=+= 即①式成立，根据①式，1213(21)k k n n ++=+，令21k kn x +=，所以13k kx x +=，13x =，所以3kk x =，因此312k k n -=，1,2,3,k = ，而773110932n -==，883132802n -==，则782022n n ＜＜，7202224651n =+- ，故由②式可得，20227246510932465630a n =+-=+-=故答案为：630.17．(1)单调递增区间：3πππ,π8282k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，无递减区间(2)ππππ,42242k k x x k ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 【分析】（1）根据函数周期性，结合函数图象过的点的坐标，代值计算即可求得参数，则解析式可求；利用整体法代换法，即可求得函数的单调区间；（2）根据（1）中所求解析式，利用正切函数的单调性，即可解得不等式.【详解】（1）由题意知，函数f(x)的最小正周期为T ＝2π，即2ππω=，因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan(2x ＋φ)，因为函数y ＝f(x)的图象关于点M ,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以2×8π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋φ＝2k π，k ∈Z ，即φ＝2k π＋4π，k ∈Z.因为0<φ<2π，所以φ＝4π，故f(x)＝tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.令－2π＋kπ<2x ＋4π<2π＋kπ，k ∈Z ，得3244k x k k Zππππ-+<<+∈，，即38282k k x k Zππππ-+<<+∈所以函数的单调递增区间为3,8282k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，无单调递减区间．（2）由（1）知，f(x)＝tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由－1≤tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭得2443k x k k πππππ-+≤+≤+∈，Z ，即42242k k x k ππππ-+≤≤+∈，Z所以不等式－42242k k x x k ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣，.18．(1)证明见解析(2)正整数n 为1，2【分析】（1）由定义能证明数列{}22n a -是等比数列；（2）由1211222n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，得21218432nn n a a n -⎛⎫+=--⋅ ⎪⎝⎭，从而()()()22123421233123222nnn n S a a a a a a n -⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++=--++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；由求和式子由此能求出满足20n S >的所有正整数n 的值．【详解】（1）由已知得()222122111214211222n n n n a a n a n n a ++=++=-++=+，所以()2221222n n a a +-=-，其中232a =，21202a -=-≠，所以{}22n a -是以12-为首项，12为公比的等比数列；（2）由（1）知1211222n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，所以2122n n a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，1211642n n a n --⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以21218432nn n a a n -⎛⎫+=--⋅ ⎪⎝⎭，所以()()()21234212n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++()2211118412326332222n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=-+-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦233123222nn ⎛⎫⎛⎫=--++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当2n ≥时，{}2n S 单调递减，其中252S =，474S =，6218S =-，所以满足20n S >的所有正整数n 为1，2.19．(1)π3C =【分析】（1）根据πA C +=，结合余弦定理求解即可；（2）将四边形ABCD 的面积拆成两个三角形的面积之和，由余弦定理和三角形面积公式结合三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得：222222cos 12212cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯，222222cos 32232cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯，所以54cos 1312cos A C -=-.又四边形ABCD 内接于圆O ，所以πA C +=，所以()54cos 1312cos C Cπ--=-，化简可得1cos 2C =，又()0,πC ∈，所以π3C =.（2）设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A BC CD C =+=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅△△，又222222cos 2cos BD AB AD AB AD A BC CD BC CD C =+-⋅⋅=+-⋅⋅，所以2222111223221221223223S sinA sinC cosA cosC ⎧=⨯⨯+⨯⨯⎪⎨⎪+-⨯⨯=+-⨯⨯⎩，即3,23,S sinA sinC cosC cosA =+⎧⎨=-⎩平方后相加得24106sin sin 6cos cos S A C A C +=+-，即()266cos S A C =-+，又()0,2πA C +∈，所以πA C +=时，2S 有最大值，即S 有最大值.此时，πA C =-，代入23cos cos C A =-得1cos 2C =.又()0,πC ∈，所以π3C =在BCD △中，可得：22222π2cos 23223cos73BD BC CD BC CD C =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，即BD 所以，对角线BD.20．(1)1-(2)4,027⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）求得22()34f x x ax a '=++，根据题意得到2(1)340f a a '=++=，求得a 的值，再利用函数极小值的定义，进行判定，即可求解；（2）由（1）得到函数的()f x 单调性和极值，结合题意，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）解：由题意，函数322()2f x x ax a x m =+++，可得22()34f x x ax a '=++，因为()f x 在1x =处取得极小值，所以2(1)340f a a '=++=，解得3a =-或1a =-．①当3a =-时，2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--'．令()0f x '>，解得1x <或3x >；令()0f x '<，解得13x <<．所以()f x 在(,1)-∞，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减，此时()f x 在1x =处取得极大值，不合题意，舍去．②当1a =-时，2()341(31)(1)f x x x x x '=-+=--．令()0f x '>，解得13x <或1x >；令()0f x '<，解得113x <<．所以()f x 在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，此时()f x 在1x =处取得极小值，符合题意．综上可知，1a =-．（2）解：由（1）知，当1a =-时，函数32()2f x x x x m =-++，且()f x 在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，要使()f x 有3个零点，只需112132793f m ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭且(1)1210f m =-++<，解得4027m -<<．故实数m 的取值范围为4,027⎛⎫- ⎪⎝⎭．21．(1)答案见解析(2)(],2-∞【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论0a ≤与0a >即可得解；（2）构造函数()2sin cos e 2e x x x xh x ax -=-+，利用导数得到()h x '的单调性，从而分类讨论2a >与2a ≤，结合()00h =的特性进行分析即可得解.【详解】（1）因为()2e 2x f x ax=-，所以()()222e 22e x x f x a a'=-=-，当0a ≤时，2e 0x a -≥，即()0f x '≥，所以()f x 在R上单调递增；当0a >时，令2e 0xa -=，得1ln 2x a =，令()0f x '<，得1ln 2x a <；令()0f x ¢>，得1ln 2x a >；所以()f x 在1,ln 2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；()f x 在1ln ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在1,ln 2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；()f x 在1ln ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）因为()2e 2x f x ax=-，所以由()sin cos 0e x x x f x -+≥，得2sin cos e 20e x x x x ax --+≥在[)0,∞+上恒成立，令()()2sin cos e 20e x x x x h x ax x -=-+≥，则()22cos 2e 2e xx x h x a '=-+，()00h =，令()()2cos e 0e x x x x a x ϕ=-+≥，则()22πsin cos 42e 2e e e x xx x x x x x ϕ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭'=+=-，因为0x ≥，则e 1x≥，2e 1x ≥，π4x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则π4e x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤所以2π42e 20e x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-≥>，则()0x ϕ'>在[)0,∞+上恒成立，所以()x ϕ在[)0,∞+上单调递增，则()h x'在[)0,∞+上单调递增，令()()32e 2e 0x x m x x x =-≥，则()()()326e 21e 2e 3e 1x x x x m x x x '=-+=--，令()()23e 10x n x x x =--≥，则()26e 10x n x '=-≥在[)0,∞+上恒成立，所以()n x 在[)0,∞+上单调递增，则()()00n x n ≥>，即()0m x '>，所以()m x 在[)0,∞+上单调递增，则()()02m x m ≥=，则32e 2e 2cos 22cos 0x xx x x -+≥-≥，故22cos 2e 20e x x xx -+≥，所以当2a >时，()002cos002e 2420e h a a '=-+=-<，()22cos 2e 20e a aah a a '=-+≥，所以()h x'在(]0,a 上必存在0x ，使得()00h x '=，又()h x '在[)0,∞+上单调递增，故当00x x <<时，()00h x '<，所以()h x 在()00,x 上单调递减，而()()00h x h <=，不满足题意；当2a ≤时，()()002cos 002e 22420e h x h a ''≥=-+≥-+=，所以()h x 在[)0,∞+上单调递增，故()()00h x h ≥=，满足题意；综上：2a ≤，即a 的取值范围为(],2-∞.【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用导数求得当2a >时，存在()00,x x ∈使得()0h x <，从而排除2a >的情况，由此得解.22．(1)24cos 4sin 40ρρθρθ--+=(2)π12β=或5π12β=【分析】（1）首先将曲线C 的参数方程化为普通方程，再根据转化公式，化为极坐标方程；（2）首先将直线的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程，利用韦达定理表示22OA OB+，即可求解.【详解】（1）曲线C 的直角坐标方程：224440x y x y +--+=，根据公式直角坐标与极坐标转化公式，222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以C 的极坐标方程：24cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）直线l 的极坐标方程：()R θβρ=∈，代入C 的极坐标方程得：()24cos sin 40ρββρ-++=，124cos 4sin ρρββ∴+=+，124ρρ=，()222221212122816sin 216OA OB ρρρρρρβ+=+=+-=+=，1sin 22β∴=，0πβ≤<，π26β∴=或5π12，即π12β=或5π12β=，23．(1)(,1][3,)-∞-+∞ ；(2)135m -≤≤.【分析】（1）写出()()21f x f x ++的分段函数的形式，分类讨论即可求得不等式的解集.（2）利用均值不等式，根据1a b +=，求得41a b +的最小值，再结合绝对值三角不等式，即可将问题转化为关于m 的不等式，则问题得解.【详解】（1）依题意，133,21()(21)2211,2233,2x x f x f x x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪++=-+-=+≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，当12x <时，由336x -≥，解得1x ≤-，则1x ≤-；当122x ≤≤时，16x +≥，解得5x ≥，无解；当2x >时，由336x -≥，解得3x ≥，则3x ≥，所以不等式()()216f x f x ++≥的解集为(,1][3,)-∞-+∞ .（2）由1(,0)a b a b +=>，得41414()559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即223a b ==时取等号，则当223a b ==时，min 41(9a b +=，依题意，R x ∀∈，|2||2|9x m x -----≤，而当x ∈R 时，|2||2||(2)(2)||4||4|x m x x m x m m -----≤--+--=--=+，当且仅当(2)(2)0x m x ----≤，且|2||2|x m x --≥--时取等号，因此|4|9m +≤，解得135m -≤≤，所以135m -≤≤.。
一模理科数学试题及答案
一模理科数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为：A. -1B. 1C. 3D. 5答案：B2. 已知向量a = (3, -1)，向量b = (2, 4)，则向量a与向量b的点积为：A. 8B. 10C. 2D. -2答案：C3. 函数y = sin(x)在区间[0, π/2]上是：A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 先增后减函数答案：A4. 已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，则该数列的第5项为：A. 486B. 81C. 243D. 729答案：D5. 以下哪个选项不是椭圆的方程：A. x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1B. x^2 + y^2 = 1C. x^2/a^2 + y^2/b^2 = 0D. x^2/a^2 + y^2/b^2 = 2答案：C6. 已知双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a > 0，b > 0，则该双曲线的渐近线方程为：A. y = ±(b/a)xB. y = ±(a/b)xC. y = ±xD. y = ±√2x答案：A7. 以下哪个函数是奇函数：A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^4D. y = 1/x答案：B8. 已知直线l的方程为y = 2x + 3，点P(1, 2)到直线l的距离为：A. √5B. √10C. √13D. √17答案：A9. 已知圆心为(2, 3)，半径为2的圆的方程为：A. (x-2)^2 + (y-3)^2 = 4B. (x-2)^2 + (y-3)^2 = 9C. (x+2)^2 + (y-3)^2 = 4D. (x-2)^2 + (y+3)^2 = 4答案：A10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)的值为：A. 3x^2 - 6xB. x^3 - 3x^2 + 2C. 3x^2 - 6x + 2D. x^3 - 3x^2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f'(x) = ______。
高三数学试卷一模理科
高三数学试卷一模理科一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确选项的字母填在题后的括号内。
）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，下列说法正确的是（）A. 函数的图像开口向下B. 函数的图像开口向上C. 函数的图像关于y轴对称D. 函数的图像关于x=1/2对称2. 若a, b, c是等差数列，且a + b + c = 9，b = 3，则a + c的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 123. 已知集合A = {1, 3, 5}，B = {2, 4, 6}，则A∪B = （）A. {1, 2, 3, 4, 5, 6}B. {1, 3, 5}C. {2, 4, 6}D. {1, 2, 3, 5, 6}...10. 已知直线y = 2x + 3与抛物线y = x^2 - 4x + 5相交于点P和Q。
则|PQ|的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
请将答案直接写在题后的横线上。
）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x) = ______。
12. 已知等比数列的前三项分别为2, 2q, 2q^2，且公比q > 0，求q 的值 = ______。
13. 已知向量a = (1, 2)，b = (3, -4)，求向量a与向量b的点积 = ______。
14. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，求圆心坐标 = ______。
15. 已知函数y = ln(x + √(1 + x^2))，求函数在x = 1处的导数值= ______。
三、解答题（本题共5小题，共40分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）16. （本题满分8分）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求函数的最小值。
17. （本题满分8分）已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，求数列的前n项和Sn。
高三数学一诊模拟考试(理科)
高三数学一诊模拟考试（理科）第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}3,4,5M =，{}1,3,6N =，则集合{}2,7等于（ ）A 、M NB 、M NC 、()U C M ND 、()()U U C M C N2、抛物线220x y +=的焦点坐标是（ ）A 、1(0,)8-B 、1(0,)4-C 、1(,0)4-D 、1(,0)2-3、在等比数列{}n a 中，首项10a <，则{}n a 是递增数列的充要条件是公比q 满足（ ）A 、1q >B 、1q <C 、0q <D 、01q <<4、以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程是（ ）A 、221090x y x +++=B 、221090x y x +-+=C 、221090x y x +--=D 、221090x y x ++-=5、在锐角ABC ∆中，若tan 1,tan 1A t B t =+=-，则t 的取值范围是（ ）A 、)+∞B 、(1,)+∞C 、D 、(1,1)-6、关于x 的方程1lg 21lg x a a+=-有负实数解，则实数a 的取值范围是（ ） A 、(0,1)(10,)+∞ B 、1(,1)10 C 、(0,1) D 、1(,10)107、已知椭圆22142x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 且倾角为45的直线l 交椭圆于A ，B 两点，对以下结论：①2ABF ∆的周长为8；②83AB =；③在椭圆上不存在相异两点关于直线l 对称；其中正确的结论有（ ）个A 、3B 、2C 、1D 、08、若单调函数(1)y f x =+的图象经过点(2,1)-，则函数1(1)y f x -=-的图象必经过点（ ）A 、(2,2)-B 、(1,2)-C 、(1,2)-D 、(2,1)-9、直线(2)y k x =-与双曲线2244y x -=的下支交于两个不同的点，则实数k 的取值范围是（ ）A 、1(2,2+B 、11,)22C 、(2)5D 、以上都不是 10、已知抛物线21y x =-与x 轴交于(1,0),(1,0)A B -两点，2(,1)(11)M x x x --<<在抛物线AB 上运动，则AM BM +的最大值为（ ）A 、、3 C 、第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
2024一诊模拟理科数学试题
2024届高三年级一诊模拟检测理科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数1i z =+，则在复平面内表示复数i z 的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合2{|40}A x x =-<，则Z A =A ．(22)-，B ．{101}-,,C ．[11]-,D ．{21012}--,,,,3．已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则A ．n m ∥，m α∥，则n α∥B ．l m ⊥，l n ⊥，m n α⊂，，则l α⊥C ．m α⊥，m n ∥，则n α⊥D ．αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥4．今年“大黄金周”国内旅游人次突破8亿大关，创历史新高.从318个5A 景区中随机抽取30个，统计它们在“大黄金周”的旅游收入（单位：千万）整理得到右图，则A ．这30个5A 景区旅游收入的中位数是19千万B ．这30个5A 景区旅游收入的平均数是19千万C ．这30个5A 景区旅游收入的众数是19千万D ．视频率为概率，从318个5A 景区中随机抽取1个，其旅游收入不低于18千万的概率为0.75．已知向量(cos sin )ββ=,a ，13(,22=b ，则23βπ=是a ，b 夹角为3π的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数e 1()1314sin 3e 1x x f x x x -=++++，若()514f t -=-，则()f t =A ．514B ．520C ．523D ．5177．作为世界上第一个以进口为主题的国家级展会，进博会已成为推动中国与世界市场对接、产业相融、创意互促、规则互鉴的国际大平台.第六届进博会于2023年11月5日至10日在上海举行.某公司派员工甲到指定岗位值班3天，又因工作原因甲不能连续3天值班，则不同的安排方式有A ．24种B ．22种C ．20种D ．16种8．已知某圆台的上底面半径，圆台的高，下底面半径之比为1:2:3，且圆台轴截面面积为8，该圆台上底面圆与下底面圆都在球O 的表面上，则球O 表面积为A ．32πB ．36πC ．40πD ．66π9．已知数列{}n a 是以3为首项2为公差的等差数列，数列{}n b 的前n 项和为2352n n+，数列{}n c 是以数列{}n a ，{}n b 的相同项按从小到大的顺序排列组成，则下列叙述错误的是A ．数列{}n a 的通项为21n a n =+B ．数列{}n b 的通项为31n b n =+C ．7是数列{}n c 中的项D ．数列{}n c 的前n 项和为26n n+10．已知直线e 3y x a =-(0)a >与曲线ln 2y x b =+(0)b >相切，则a bab+的最小值为A ．5B ．6C ．2652+D ．5262-11．已知1F ，2F 是椭圆22221x y C bα+=:(0)a b >>的左、右焦点，直线0y -=与C 交于点A ，B ，122|AB ||F F |=，则该椭圆的离心率为A．2-B．12C．D112．已知函数3()3f x x x =-，直线y a =与曲线()y f x =有三个交点，记右边两交点的横坐标分别为121(0x x x <，2)x <，则A ．122x x +>B ．1212x x <C．21x x ->D．2132x x a ->+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考检测题 一诊模拟试题理科数学(含参考答案)
一诊模拟试题 理 科 数 学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集，集合，则（ ） A ．B ．C ．D ．2．已知复数，则的虚部是（ ） A ． B ． C ． D ．43．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13．1万公里，其中高铁营业里程2．9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列4．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．在中，，，则（ ） A ．1BCD ．26．过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与轴的交点坐标为，则该双曲线的标准方程可能为（ ）A ．B ．C ．D ．7．设曲线在点处的切线方程为，则（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．若，满足约束条件，则的最大值是（ ）{}2|280U x x x =--<{}|1327xA x =<<U A =ð()0,3(2,0)(3,4)-(2,0][3,4)-(2,1][2,4)-34i z =+5z45-454-3π4tan 43θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭tan 2θ=725-725724-724ABC △0CA CB ⋅=2BC BA ⋅=BC =()222210,0x y a b a b-=>>30°l l y ()0,b 2212x y -=2213x y -=2214x y -=22132x y -=(1)ln y a x x =--()1,033y x =-a =x y 103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩22x y +A ．B ．C ．13D ．12 9．已知点在抛物线上，且为第一象限的点，过作轴的垂线，垂足为，为该抛物线的焦点，，则直线的斜率为（ ） A ．B ．C ．D ． 10．已知函数()sin cos f x x x =+，为了得到函数()2cos 2g x x =的图象，只需将函数的图象上的所有点（ ）A ．先向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变B ．先向右平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变C ．先向右平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变D ．先向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变11．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知，，，记为，，中不同数字的个数，如：，，，则所有的的排列所得的的平均值为（ ）A ．B ．3C ．D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知为偶函数，当时，，则_______．14．西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例：勾三，股四，弦五．此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年．我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数．现从3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13这11个数中随机抽取3个数，则这3个数能构成勾股数的概率为__________．15.若二项式6⎛⎝的展开式中的常数项为160-,则()231________axdx -=⎰.16．如图，在中，，，点在边上，且，将射线绕着逆时针方向旋转，并在所得射线上取一点，使得，连接，则的面积为_________． 922A ()220y px p =>A A y B F 78pAF =BF -1-2-()f x 6π6π12π3π312a 23π4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭26π2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭26π4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭23π64a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1a 2a {}32,4,6a ∈()123,,N a a a 1a 2a 3a ()2,2,21N =()2,4,22N =()2,4,63N =()123,,a a a ()123,,N a a a 199299()f x 0x <()x f x e x -=-(ln 2)f =ABC △2BC =AB =2π3ACB ∠=E AB ACE BCE ∠=∠CB C 6πD 1CD =DE CDE △三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列的公差为，等差数列的公差为，设，分别是数列，的前项和，且，，．（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：．18．（12分）如图，在长方形中，，，点是的中点．将沿折起，使平面平面，连结、、．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．19．（12分）某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分年级组为了解学生的体质，随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本频率分布直方图.（1）现从样本的100名学生跳绳个数中，任意抽取2人的跳绳个数，求两人得分之和小于35分的概率；（用最简分数表示）（2）若该校高二年级共有2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）.利用所得的正态分布模型，解决以下问题：（i）估计每分钟跳绳164个以上的人数（结果四舍五入到整数）；（ii）若在全年级所有学生中随机抽取3人，每分钟跳绳在179个以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望与方差.附：若随机变量服从正态分布，则，，.{}na()0d d≠{}n b2d n A n B{}na{}n b n13b=23A=53A B={}na{}n b11n nn nc ba a+⋅=+{}n c n n S2(1)nS n<+ABCD4AB=2AD=E DC ADE△AE ADE⊥ABCE DB DC EBADE⊥BDEADE BDCX()2,Nμσ2225σ≈μξξX()2,Nμσ()0.6826P Xμσμσ-<<+=(22)0.9554P Xμσμσ-<<+=(33)0.9974P Xμσμσ-<<+=20．（12分）已知抛物线，直线是它的一条切线． （1）求的值；（2）若，过点作动直线交抛物线于，两点，直线与直线的斜率之和为常数，求实数的值．21．（12分）设函数． （1）讨论函数的单调性；（2）若函数恰有两个零点，求的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 轴正半轴重合,直线 的参数方程为：（ 为参数， ），曲线 的极坐标方程为: . （1）写出曲线 的直角坐标方程； （2）设直线 与曲线 相交于 两点,直线 过定点(2,0)M ,若 ，求直线 的斜率. 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 己知，函数．（1）若，解不等式；（2）若函数，且存在使得成立，求实数的取值范围．()220y px p =>2y x =+p ()2,4A (),0p m B C AB AC m 2()(2)ln ()f x ax a x x a =---∈R ()f x ()f x a 0a >()f x x a =-2a =()()35f x f x ++≤()()()2g x f x f x a =-+0x ∈R ()202g x a a ≥-a一诊模拟试题理 科 数 学答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】因为，，所以， 故选C ．2．【答案】A【解析】由，得，所以虚部为． 故选A ．3．【答案】D【解析】选项A ，B 显然正确；对于C ，，选项C 正确； 1．6，1．9，2．2，2．5，2．9不是等差数列，故D 错，故选D ． 4．【答案】C【解析】因为，所以，解得， 从而，故选C ．5．【答案】B【解析】因为，所以为直角三角形，所以，所以，故选B ．6．【答案】A【解析】直线的方程为，令，得．，所以， 只有选项A 满足条件，故选A ． 7．【答案】D【解析】因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即，故选D ． 8．【答案】C【解析】表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域（如图阴影所示），点到坐标原点的距离最大，即{|24}U x x =-<<{|03}A x x =<<][()2,03,4U A =-ð34i z =+()()()534i 5534i 34i 34i 34i 5z --===++-45-2.9 1.60.81.6->3π4tan 43θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭tan 141tan 3θθ+=--tan 7θ=22tan 7tan21tan 24θθθ==--0CA CB ⋅=ABC △2|cos |2BC BA AB BC ABC BC ⋅=⋅∠=⋅=2BC =l )y x c =+0x =y =b =22222232a c b b b b =-=-=1y a x'=-()1,013a -=4a =22x y +(),x y ()2,3A -()0,0．故选C ． 9．【答案】B【解析】设，因为，所以，解得， 代入抛物线方程得，所以，，，从而直线的斜率为，故选B ． 10．【答案】D【解析】由函数的图象关于直线对称，得，即，解得， 所以，，故只需将函数的图象上的所有点“先向左平移个单位长度，得，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得”即可．故选D ． 11．【答案】C【解析】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉个球而形成的，所以它的表面积为，故选C ．当时，有种；当时，有种，那么所有27个的排列所得的的平均值为．12．【答案】A【解析】由题意可知，所有的的排列数为，当时，有3种情形，即，，；故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】【解析】，故答案为．()()2222max2313xy +=-+=()00,A x y 78p AF =0728p p x +=038px =0y =OB =2p OF =tan BFO ∠=BF ()f x π3x =π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭322m +=1m =()cos 2sin 2cos 6ππ3f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2cos2g x x =()f x π32cos y x =12()2cos2g x x =1822222π1334π8π644a S a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()123,,2N a a a =211323C C C 18⋅⋅=()123,,3N a a a =33A 6=()123,,a a a ()123,,N a a a 132183619279⨯+⨯+⨯=()123,,a a a 3327=()123,,1N a a a =()2,2,2()4,4,4()6,6,62ln2+()()()ln2ln2ln2ln22ln2f f e =-=--=+2ln2+14．【答案】【解析】从11个数中随机抽取3个数有种不同的方法，其中能构成勾股数的有共，，三种，所以，所求概率为，故答案为． 15. 616．【答案】【解析】由，得， 解得．因为，所以，，所以．又因为，所以因为，所以，故答案为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1），；（2）见解析． 【解析】（1）因为数列，是等差数列，且，，所以，整理得，解得，所以，即，，即． 综上，，． （2）由（1）得，所以，即． 18．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）证明：∵，，连接， ∴，，∴，∴， 又平面平面，平面平面， ∴平面，又平面，∴平面平面．155311C ()3,4,5()6,8,10()5,12,13311C 3155P ==15552222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠2220AC AC +-=1AC =sin sin BC AB BAC ACB =∠∠sin BAC ∠=π4BAC ∠=()sin sin sin 3π4π4AEC ACE BAC ⎛⎫∠=∠+∠=+= ⎪⎝⎭sin sin CE ACBAC AEC=∠∠4CE =-π2ECD BCE BCD ∠=∠+∠=152DCE S CE CD =⋅=△5n a n =21n b n =+{}n a {}n b 23A =53A B =112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩111a d =⎧⎨=⎩()11n a a n d n =+-⋅=n a n =()11221n b b n d n =+-⋅=+21n b n =+n a n =21n b n =+()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++2AD DE ==90ADE ∠=︒BE AE BE ==4AB =222AE BE AB +=AE BE ⊥ADE ⊥ABCE ADE ABCE AE =BE ⊥ADE BE ⊂BDE ADE ⊥BDE（2）作的中点，连结， ∵，∴，又平面平面，∴平面， 过作直线，以、、分别为为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，∴，平面的法向量，， 又，， 设平面的法向量为，，，即，平面的法向量，，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 19．【详解】（1）设“两人得分之和小于35分”为事件，则事件包括以下四种情况： ①两人得分均为16分；②两人中一人16分，一人17分； ③两人中一人16分，一人18分；④两人均17分.由频率分布直方图可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，则由古典概型的概率计算公式可得. 所以两人得分之和小于35的概率为.（2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数的估计值为：（个）. 又由，得标准差，所以高二年级全体学生的跳绳个数近似服从正态分布.（i ）因为，所以， 故高二年级一分钟跳绳个数超过164个的人数估计为 （人）.（ii ）由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为， 所以，的所有可能的取值为0，1，2，3.AE O DO DA DE =DO AE ⊥ADE ⊥ABCE DO ⊥ABCE E EF DO ∥EA EBx y z (0,0,0)EA (0,BD ()AB ∴=-()0,EB=1(2EC AB ∴==(CADE 1EB ∥n1(0,1,0)∴=n (2,CB =(DB =BDC ()2,,x yz =n 2200CB DB ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩n n 0+=∴+=⎪⎩020x y x y z +=⎧⎨-+-=⎩∴BDC 2(1,1,3)=--n 121212cos ,11⋅∴===-⋅n n n n n n ADE BDC 11A A 221111612612618210029()550C C C C C C P A C +++==29550X (0.0061500.0121600.018170X =⨯+⨯+⨯+0.0341800.0161900.008200⨯+⨯+⨯0.006210)10179+⨯⨯=2225σ≈15σ≈X ()2179,15N 17915164μσ-=-=10.6826(164)10.84132P X ->=-=20000.84131682.61683⨯=≈121~3,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭ξ所以，，，，所以，.20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得，代入，得，因为拋物线与直线相切，所以，解得． （2）设，，则． 设过点的动直线的方程为，代入，得，所以，，，所以．若变化，为常数，则需满足，解得．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）因为，其定义域为，所以．①当时，令，得；令，得，此时在上单调递减，在上单调递增．②当时，令，得或；令，得，0303111(0)1228P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213113(1)1228P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭2123113(2)C 1228P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3330111(3)1228P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13()322E ξ=⨯=113()31224D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭4p =2m =-2y x =+2x y =-22y px =2240y py p -+=()220y px p =>2y x =+()22440Δp p =-⨯=4p =()11,B x y ()22,C x y ()()12122212121212884488444162288AB AC y y y y k k y y y y y y y y ++--+=+=+=+++++--(),0P m x ty m =+28y x =2880y ty m --=264320Δt m =+>128y y t +=128y y m =-()()121212888841642AB AC y y t k k y y y y t m++++==++++-t AB AC k k +8842m=-2m =-(44ln 2,)++∞()()22ln f x ax a x x =---()0,+∞()()()()211122(0)x ax f x ax a x x x-+=---=>'0a ≥()0f x '<102x <<()0f x '>12x >()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭20a -<<()0f x '<102x <<1x a >-()0f x '>112x a <<-此时在，上单调递减，在上单调递增． ③当时，，此时在上单调递减．④当时，令，得或；令，得，此时在，上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）可知：①当时，． 易证，所以．因为，， ．所以恰有两个不同的零点，只需，解得． ②当时，，不符合题意． ③当时，在上单调递减，不符合题意．④当时，由于在，上单调递减，在上单调递增，且， 又，由于，， 所以，函数最多只有1个零点，与题意不符．综上可知，，即的取值范围为．22．（1）曲线C 的极坐标方程为 ，所以 . 即 ，即 .（2）把直线 的参数方程带入 得 设此方程两根为 ，易知 ,而定点M 在圆C 外，所以 ，， ， ，可得， ∴ ，所以直线 的斜率为-1. 23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，， 当时，由，解得； 当时，由，解得； 当时，由，解得．()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭2a =-()0f x '≤()f x ()0,+∞2a <-()0f x '<10x a <<-12x >()0f x '>112x a -<<()f x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭0a ≥()14ln224af x f -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭极小值ln 1x x ≤-()()()222ln 11f x ax a x x ax a x =---≥--+()110313a <≤+()()()()()2221116191211031319191a a f a a a a a a ⎛⎫++≥⋅--⋅+=> ⎪ ⎪++++⎝⎭()120f =>()f x 14ln2024af -⎛⎫=+< ⎪⎝⎭44ln2a >+20a -<<114ln2024a f f a -⎛⎫⎛⎫->=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2a =-()f x ()0,∞+2a <-()f x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭14ln2024af -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭1111ln f a a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1102a <-<1ln 0a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭1111ln 0f a a a ⎛⎫⎛⎫-=---> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 44ln2a >+a ()44ln2,++∞{}|23x x -≤≤(0,4]2a =()()12,13213,1221,2x x f x f x x x x x x -<-⎧⎪++=-++=-≤<⎨⎪-≥⎩1x <-125x -≤21x -≤<-12x -≤<35≤12x -≤<2x ≥215x -≤23x ≤≤第 11 页 共 11 页 综上可知，原不等式的解集为． （2），存在使得成立，等价于．又因为，所以， 即，解得，结合，所以实数的取值范围为．{}|23x x -≤≤()()()2g x f x f x a x a x a =-+=--+0x ∈R ()202g x a a ≥-()2max 2g x a a ≥-2x a x a x a x a a --+≤---=222a a a ≥-240a a -≤04a ≤≤0a >a (]0,4。
高三数学一诊模拟考试试题理含解析试题
第七中学2021届高三一诊模拟考试制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
数学〔理〕试题〔考试时间是是：120分钟试卷满分是：150分〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.，且，那么〔〕【答案】A【解析】【分析】根据随机变量X服从正态分布N〔3，σ2〕，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3，根据正态曲线的特点，即可得到结果．【详解】∵随机变量X服从正态分布N〔3，σ2〕，∴对称轴是x=3．∵P〔X≥5〕=0.2，∴P〔1＜X＜5〕=1﹣2P〔X≥5〕=1﹣0.4=0.6．应选：A．【点睛】此题考察正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开场，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．的图象大致是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数为偶函数，再根据特殊点的函数值即可判断．【详解】因为满足偶函数f〔﹣x〕=f〔x〕的定义，所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，又x=0时，y=0，排除A、C，应选D.【点睛】此题考察了函数的图象的识别，一般常用特殊点的函数值、函数的奇偶性和函数的单调性来排除，属于根底题．3.“牟合方盖〞是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直视图如图〔其中四边形是为表达直观性而作的辅助线〕.当“牟合方盖〞的正视图和侧视图完全一样时，其俯视图为〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合〔牟合〕在一起的方形伞〔方盖〕．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【详解】∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合〔牟合〕在一起的方形伞〔方盖〕．∴其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，应选：B．【点睛】此题很是新颖，三视图是一个常考的内容，考察了空间想象才能，属于中档题．是虚数单位，复数满足，那么的虚部为〔〕A. 1B. -1C. -2D. 2【答案】C【解析】【分析】令z=a+bi(a,b，将其代入，化简即可得出．【详解】令z=a+bi，代入，〔a-1+bi〕= a+3+bi，,，应选C.【点睛】此题考察了复数相等的概念及运算法那么、虚部的定义，考察了计算才能，属于根底题．5.执行下边的算法程序，假设输出的结果为120，那么横线处应填入〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结果．【详解】模拟执行算法程序，可得：S=1，k=1，不满足条件，S=1，k=2，不满足条件，S=2，k=3，不满足条件，S=6，k=4，不满足条件，S=24，k=5，不满足条件，S=120，k=6，此时i满足条件，退出循环，输出S的值是120；所以横线处应填写上的条件为，应选C.【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，属于直到型循环构造，当循环的次数不多，或者有规律时，常采用模拟循环的方法解答．满足，那么的最大值是〔〕A. -1B.C. 1D.【答案】D【解析】【分析】由约束条件确定可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点P〔0，-1〕连线的斜率求得答案．【详解】由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A〔〕，的几何意义为可行域内的动点与定点P〔0，-1〕连线的斜率，由图可知，最大．故答案为：．【点睛】此题考察简单的线性规划，考察了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．7.“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的单调性即可判断出结论．【详解】⇒a>b>0 ⇒，但满足的如a=-2,b=-1不能得到，故“〞是“〞的充分不必要条件.应选A.【点睛】此题考察了对数函数的单调性、简易逻辑的断定方法，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．的图象的一条对称轴方程是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将函数表达式展开合并，再用辅助角公式化简，得f〔x〕=sin〔2x+〕-．再根据正弦函数对称轴的公式，求出f〔x〕图象的对称轴方程.【详解】f〔x〕==sinx=sin2x-=sin2x+-=sin〔2x+〕-，∴f〔x〕=sin〔2x+〕-，令2x+=(k,解得x=(k,k=0时，，应选B.【点睛】此题考察了三角函数的化简与三角函数性质，运用了两角和差的正余弦公式和二倍角公式，属于中档题．分解因式得，为常数，假设，那么〔〕A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】由可得=5m-2=-7,m=-1，.【详解】因为的通项公式为，=x+〔-2〕=(5m-2)，=5m-2，又，5m-2=-7,m=-1,=2，应选D.【点睛】此题考察了二项式定理的应用，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．10.正三棱锥的高为6，侧面与底面成的二面角，那么其内切球〔与四个面都相切〕的外表积为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．由此能求出棱锥的全面积，再求出棱锥的体积，设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，利用等体积能求出球的外表积．【详解】如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．∴为侧面与底面所成的二面角的平面角，∴=∵PD=6，∴DE=2,PE=4 , AB=12,∴S△ABC=×〔12〕2=36，S△PAB=S△PBC=S△PCA==24．∴S表=108.设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，∵PD=6，∴V P﹣ABC=•36•6=72．那么由等体积可得r==2，∴S球=4π22=16π．应选B.【点睛】此题考察棱锥的内切球的半径的求法，棱锥全面积和体积的求法，考察球的外表积公式，解题时要认真审题，注意空间思维才能的培养．分别是的内角的对边，，设是边的中点，且的面积为，那么等于〔〕A. 2B. 4C. -4D. -2【答案】A【解析】【分析】利用三角形内角和定理可得．由正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A∈〔0，π〕可得A的值，结合的面积求得bc,将利用向量加减法运算转化为,即可求得结果.【详解】∵，，∴由正弦定理可得：，整理可得：b2+c2﹣a2=-bc，∴由余弦定理可得：cosA=，∴由A∈〔0，π〕，可得：A=，又的面积为，即,∴bc=4,又=-=-=-===-bccosA=2.应选A.【点睛】此题主要考察了向量加减法的运算、数量积的运算，综合运用了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考察了转化思想和计算才能，属于中档题．不是等差数列，但假设，使得，那么称的项数为4，记事件：集合，事件：为“部分等差〞数列，那么条件概率〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出事件与事件的根本领件的个数，用=计算结果.【详解】由题意知，事件一共有=120个根本领件，事件“部分等差〞数列一共有以下24个根本领件，〔1〕其中含1，2，3的部分等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3一共3个，含3，2，1的部分等差数列的同理也有3个，一共6个.含3，4，5的和含5，4，3的与上述〔1〕一样，也有6个.含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1一共 2个，含4，3，2的同理也有2个.含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4一共4个，含5，3，1的也有上述4个，一共24个，=.应选C.【点睛】此题主要考察了条件概率的求法，综合运用了等差数列与集合的知识，理解题意是解决此类题的关键.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.13.某初中部一共120名老师，高中部一共180名老师，其性别比例如下图，按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女老师有6人，那么工会代表中男老师的总人数为________.【答案】12【解析】【分析】利用分层抽样中的比例，可得工会代表中男老师的总人数．【详解】∵高中部女老师与高中部男老师比例为2：3，按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女老师有6人，那么男老师有9人，工会代表中高中部老师一共有15人，又初中部与高中部总人数比例为2：3，工会代表中初中部老师人数与高中部老师人数比例为2：3，工会代表中初中部老师总人数为10，又∵初中部女老师与高中部男老师比例为7：3，工会代表中初中部男老师的总人数为10×30%=3；∴工会代表中男老师的总人数为9+3=12，故答案为12．【点睛】此题考察对分层抽样的定义的理解，考察识图才能与分析数据的才能，考察学生的计算才能，比拟根底．的焦点为，准线为，点在上，点在上，且，假设，那么的值〔〕A. B. 2 C. D. 3【答案】D【解析】【分析】过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据条件，结合抛物线的定义得==，即可得出结论．【详解】过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据条件，结合抛物线的定义得==，又∴|MM′|=4，又|FF′|=6，∴==，.应选：D．【点睛】此题考察了抛物线的定义HY方程及其性质、向量的一共线，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．，，为自然对数的底数，假设，那么的最小值是________.【答案】【解析】【分析】运算=1，将变形，利用分母的和为定值，将乘以，利用根本不等式即可求得结果.【详解】=1，，.故答案为.【点睛】此题考察了“乘1法〞与根本不等式的性质，考察了微积分根本定理，积分的运算，属于中档题．有三个不同的零点，那么实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】由题意可将函数有三个不同的零点转化为函数y=a与有三个不同的交点，结合图象求出实数a的取值范围．【详解】由题意可将函数有三个不同的零点转化为函数y=a与有三个不同的交点，如下图：当时，的图象易得，当时，函数g(x)=，==0，x=1,在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，如下图：有三个不同的交点，a≤4故答案为：【点睛】此题主要考察函数的零点与方程的根的关系，表达了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题.中，，.求的前项和；对于中的，设，且，求数列的通项公式.【答案】【解析】【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出a1=1，q=2，由此能求出{a n}的前项和．〔2〕由，直接利用累加法求出{b n}的通项．【详解】设正项等比数列的公比为，那么由及得，化简得，解得或者〔舍去〕.于是，所以，.由，，所以当时，由累加法得，.又也合适上式，所以的通项公式为，.【点睛】此题考察数列通项公式、数列的前n项和的求法，考察累加法求通项等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．18.“黄梅时节家家雨〞“梅雨如烟暝村树〞“梅雨暂收斜照明〞……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南镇2021～2021年梅雨季节的降雨量〔单位：〕的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答以下问题：“梅实初黄暮雨深〞.假设每年的梅雨天气互相HY，求镇将来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率；“江南梅雨无限愁〞.在〔/亩〕与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为〔元/〕，请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使利润〔万元〕的期望更大？〔需说明理由〕；降雨量亩产量500 700 600 400【答案】乙【解析】【分析】由频率分布直方图可求出降雨量超过的概率，利用HY重复试验的概率公式计算三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过的概率.根据题意，列出随机变量〔万元〕的分布列并求期望，与甲品种的平均值作比拟得出结论.【详解】频率分布直方图中第四组的频率为.江南地区在梅雨季节时降雨量超过的概率为.所以地区将来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过的概率为〔或者0.15625〕.根据题意，总利润为〔元〕，其中.所以随机变量〔万元〕的分布列如下表.27 35故总利润〔万元〕的数学期望〔万元〕.因为31>28，所以老李来年应该种植乙品种杨梅，可使总利润的期望更大.【点睛】此题考察频率分布直方图的应用，离散型随机变量的期望的求法，考察计算才能．的离心率为，且经过点.求椭圆的HY方程；设为椭圆的中线，点，过点的动直线交椭圆于另一点，直线上的点满足，求直线与的交点的轨迹方程.【答案】【解析】【分析】〔1〕利用椭圆C：的离心率为，且经过点M〔2，0〕，可求椭圆的几何量，从而可求椭圆方程；〔2〕直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求得B点坐标，结合求出C的坐标，写出BD、OC的直线方程，利用消参法求轨迹.【详解】因为椭圆的离心率，且，所以.又.故椭圆的HY方程为.设直线的方程为〔当存在时，由题意〕，代入，并整理得. 解得，于是，即.设，那么.由得，得，解得，于是.又，由两点的坐标可得直线的方程为.又由点坐标可得直线的方程为.两式相乘，消去参数得.〔假如只求出交点的坐标，此步不得分〕又当不存在时，四点重合，此时也满足题意.故直线与的交点的轨迹方程.【点睛】此题考察椭圆的HY方程，考察直线与椭圆的位置关系，考察直线过定点，正确运用韦达定理是关键．20.如图，在多面体中，和交于一点，除以外的其余各棱长均为2.作平面与平面的交线，并写出作法及理由；求证：平面平面；假设多面体的体积为2，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】见解析见解析【解析】【分析】由题意可得平面，由线面平行的性质作出交线即可.取的中点，连结，.由条件可证得平面，故.又.平面.从而平面平面.利用等体积法求得三棱锥的高，通过建立空间坐标系，利用空间向量法求线面角. 【详解】过点作〔或者〕的平行线，即为所求直线.和交于一点，四边形边长均相等.四边形为菱形，从而.又平面，且平面，平面.平面，且平面平面，.取的中点，连结，.，，，.又，平面，平面，故.又四边形为菱形，.又，平面.又平面，平面平面.由，即.设三棱锥的高为，那么，解得.又，平面.建立如图的空间直角坐标系，那么，，，.，.由得，平面的一个法向量为.又，于是.故直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】此题考察证明线面平行的方法，求二面角的大小，找出二面角的平面角是解题的关键和难点．，其中为常数.假设曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值；假设对，都有，求的取值范围.【答案】【解析】【分析】〔1〕求出切点坐标，写出切线方程，利用切线在两坐标轴上的截距相等，求得a即可．〔2〕对a分类讨论，易判断当或者当时，在区间内是单调的，根据单调性得出结论，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，故，又因为，的最大值为，将最大值构造新函数，通过导函数的符号判断函数的单调性求解函数的最值，然后求解结果．【详解】求导得，所以.又，所以曲线在处的切线方程为.由切线在两坐标轴上的截距相等，得，解得即为所求.对，，所以在区间内单调递减.①当时，，所以在区间内单调递减，故，由恒成立，得，这与矛盾，故舍去.②当时，，所以在区间内单调递增，故，即，由恒成立得，结合得.③当时，因为，，且在区间上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一，使得，且在区间内单调递增，在区间内单调递减.故，由恒成立知，，，所以.又的最大值为，由得，所以.设，那么，所以在区间内单调递增，于是，即.所以不等式恒成立.综上所述，所求的取值范围是.【点睛】此题考察导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性以及函数的最值的求法，构造新函数以及二次导数是解决函数恒成立问题常用的方法，考察转化思想以及计算才能．请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]中，曲线的参数标方程为〔其中为参数〕，在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系〔两种坐标系的单位长度一样〕中，直线的极坐标方程为.求曲线的极坐标方程；求直线与曲线的公一共点的极坐标.【答案】【解析】【分析】〔1〕先将曲线C的参数标方程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，把普通方程化为极坐标方程；〔2〕将与的极坐标方程联立，求出直线l与曲线C的交点的极角，代入直线的极坐标方程即可求得极坐标．【详解】消去参数，得曲线的直角坐标方程.将，代入，得.所以曲线的极坐标方程为.将与的极坐标方程联立，消去得.展开得.因为，所以.于是方程的解为，即.代入可得，所以点的极坐标为.【点睛】此题考察曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考察计算才能．[选修4-5：不等式选讲]，且.假设，求的最小值；假设，求证：.【答案】见解析【解析】【分析】由柯西不等式将中的变为，求得的最小值.因为，又，故再结合绝对值三角不等式证得结论成立.【详解】由柯西不等式得，〔当且仅当时取等号〕，所以，即的最小值为；因为，所以，故结论成立.【点睛】此题考察了利用柯西不等式求最值，考察了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题.制卷人：打自企；成别使；而都那。
成都7中高2023届高三一诊模拟考试数学试题(理科)及参考答案
高2023届高三一诊模拟考试数学试题（理科）考试时间：120分钟 总分：150分一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把答案涂在答题卷上．）1．已知集合{}2Z 230A x x x =∈+-≤，{|1}B x x =≥-，则集合A B ⋂的元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．若复数z 满足(1)i 1i z -⋅=-，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．“17m -<<”是“方程22117x y m m+=+-表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中1B O C O ''''==，A O ''=，那么原△ABC 的面积是（ ）AB ．CD 5．已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为2π，则母线长为（ ） A ．4 B ．8 C ．10 D ．166．一种药品在病人血液中的量不低于1500mg 时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药品的量为0mg ，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3000mg 的此药品，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药品（lg20.301≈，结果精确到0.1）（ ）A ．2.7B ．2.9C ．3.1D ．3.37．如图所示的程序框图中，若输出的函数值()f x 在区间[2,2]-内，则输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．[2,4]-C ．[1,2]-D ．[1,4]-15．为了测量成都七中曦园,C D 两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1百米的,A B 两点，点B 在点A 的正东方向上，且,,,A B C D 四点在同一水平面上．从点A处观测得点C 在它的东北方向上，点D 在它的西北方向上；从点B 处观测得点C 在它的北偏东15︒方向上，点D 在它的北偏西75方向上，则,C D 之间的距离为______百米.16. 已知()2cos15,2sin15A ︒︒，()0,0O ，且2OB OC ==,则AB AC ⋅的取值范围是_________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答、第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分，每题12分.17.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别记作a ，b ，c ，满足6a =，5b =，且sin sin2A B =．(1)求边c ；(2)若点M ，N 分别在边AB 和AC 上，且MN 将△ABC 分成面积相等的两部分，求MN 的最小值．18. 新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒。
四川省绵阳中学2023-2024学年高三上学期一诊模拟(三)数学(理科)试题
四川省绵阳中学2023-2024学年高三上学期一诊模拟（三）数学（理科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ A．45.25m B．50.76mA．52B．10．已知实数0x>，则函数A．(0,)+¥B．11．若函数()y f x=满足由图知：AD BC EC ==，D Ð所以,DM EM AM CM ==，而令,AM a DM x a ==-且2a >所以222(6)()x x a a a -+-=Þ构造函数()()2e 0m f m m mt m =-+>，所以原问题等价于存在两个不等的正实数x ，y ，使得()()f x f y =，显然函数()f m 不是正实数集上的单调函数，()()e 20m f m m t m ¢=-+>，设()()()e 20e 2m m g m m m g m ¢=->Þ=-，当ln 2m >时，()()0,g m g m ¢>单调递增，当0ln 2m <<时，()()0,g m g m ¢<单调递减，故()()minln 22ln 2g m g ==-，当2ln 20t -+³时，即ln 22t ³-时，()()0,f m f m ¢³单调递增，所以不符合题意；当2ln 20t -+<时，即ln 22t <-时，显然存在0m ，使得()00f m ¢=，因此一定存在区间()()00,0m m e e e -+>，使得()f m ¢在()()0000,,,m m m m e e -+上异号，因此函数()f m 在()()0000,,,m m m m e e -+上单调性不同，因此一定存在两个不等的正实数x ，y ，使得()()e e x y x y x y t -+-=-成立，故答案为：),2l 2(n2-¥-【点睛】关键点睛：本题的关键是由()()e e x y x y x y t -+-=-构造函数()()2e 0m f m m mt m =-+>.17．(1)21n a n =-(2)证明见解析【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可；。
高三数学一诊试题 理 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三第一次诊断考试数学试题〔理〕〔考试时间是是120分钟，总分值是150分〕一、选择题〔一共12小题，每一小题5分，总分60分〕1.集合{}|03P x Z x =∈≤≤,{}9|2<x x ,那么P M ⋂=( )A.{}1,2B.{}0,1,2C.{}|03x x ≤<D.{}|03x x ≤≤2.f(x)=x 2+2x·f'(1),那么f'(0)等于( )A 、0B 、–2C 、2D 、–430x ≠,那么12x x +≥21x =,那么1x =或者1x =-1x ≠且1x ≠-,那么2"1"x ≠ C."1a ="是"直线0x ay-=与直线0x ay +=2:,10p x R x x ∃∈-+<,那么2:,10p x R x x ⌝∀∈-+>4.假设曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=,那么( ) A.1,1ab == B.1,1a b =-= C.1,1a b ==- D.1,1a b =-=-5.函数()f x 的定义域为开区间(,)a b ,导函数'()f x 在(,)a b 内的图象如下列图,那么函数()f x 在开区间(,)a b 内有极小值点( )A.1个B.2个C.3个D.4个6设函数 那么满足的x 的取值范围A. B. C. D.7设)4(log log ,)34()43(3434.05.0===c b a ，那么( ). A. B.C. D. 8.方程 4log 7x x +=的解所在区间是〔〕 A.(1,2)B.(3,4)C.(5,6)D.(6,7)9.定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递增,103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,那么满足18log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是( )A.()0,+∞B.()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C.110,,282⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10.函数的图象大致是( ) 11.假设不等式22ln 3x x x ax ≥-+-对()0,x ∈+∞恒成立,那么实数a 的取值范围是( ) A.(),0-∞ B.(,4]-∞ C.()0,+∞ D.[)4,+∞12.设()f x 是定义在R 上的奇函数,且()10f =,当0x >时,有()()f x xf x >'恒成立,那么不等式()0xf x >的解集为() A.()(),00,1-∞⋃ B.()(),10,1-∞-⋃ C.()()1,01,-⋃+∞ D.()()1,00,1-⋃二、填空题〔一共4小题，每一小题5分，总分20分〕13.幂函数())(f 322Z m x x m m ∈=+--为偶函数，且在区间上是单调增函数，那么的值是 ．14①“假设0?a ≥,那么20x x a +-=[1,2]x ∀∈,20x a -≤4a ≥;x R ∃∈,使得2210x x -+<p :函数x x y e e -=+q :函数x x y e e -=-在R 上为增函数,那么()p q ∧⌝15.函数4()log f x x =在区间[],a b 上的值域是[]0,1,那么b a - 的最小值是____. 16.函数23()2ln (0)x f x x x a a=-+>,假设函数()f x 在[1,2]上为单调函数,那么a 的取值范围是 .三、解答题〔一共6题，总分70分〕17.〔10分〕p :实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a >q :实数x 满足302x x -≤-.(1)假设 1a =,且p q ∧为真,务实数x 的取值范围;(2)假设p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,务实数a 的取值范围.18. 〔12分〕函数()()()()log 1log 301a a f x x x a =-++<<. 19. 〔1〕求函数()f x 的定义域;〔2〕求函数()f x 的零点;20. 〔3〕假设函数()f x 的最小值为4-,求a 的值。
高三数学上学期一诊模拟试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校第七2021届高三数学上学期一诊模拟试题理〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作Im()z b =，那么3Im 1i i +⎛⎫= ⎪+⎝⎭〔〕A.-1B.0C.1D.2【答案】A 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简31ii++，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案．【详解】解：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 又复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =，3()11iIm i+∴=-+． 应选：A ．【点睛】此题考察了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义，属于根底题． 2.执行如下列图的程序框图，输出的值是s () A.3B.6-C.10D.15-【答案】C 【解析】 【分析】程序框图的作用是计算22221234-+-+，故可得正确结果.【详解】根据程序框图可知2222123410S=-+-+=，应选C.【点睛】此题考察算法中的选择构造和循环构造，属于容易题.()tan f x x=的性质，以下表达不正确的选项是〔〕A.()f x 的最小正周期为2π B.()f x 是偶函数C.()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称 D.()f x 在每一个区间(,)()2k k k Z πππ+∈内单调递增 【答案】A 【解析】试题分析：因为1()tan()()22tan f x x f x xππ+=+=≠，所以A 错；()tan()tan ()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数，B正确；由()tan f x x=的图象可知，C 、D 均正确；应选A. 考点：正切函数的图象与性质. 4.0,0ab >>，那么“1a ≤且1b ≤〞是“2a b +≤且1ab ≤〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：当01a <≤且01b <≤时，由不等式性质可得2a b +≤且1ab ≤；当31,22ab ==，满足2a b +≤且1ab ≤，但不满足1a ≤且1b ≤，所以“1a ≤且1b ≤〞是“2a b +≤且1ab ≤〞的充分不必要条件，应选A. 考点：1.不等式性质；2.充要条件.21nx ⎫⎪⎭的展开式中含有常数项，那么正整数n 的最小值是〔〕A.3B.4C.5D.6【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式中x 的指数为0,得到5n r =,由此可得正整数n 的最小值是5.【详解】因为21nx⎫⎪⎭的展开式的通项公式为52121()(1)n rr n r r r rr n nT C C xx--+=-=-,(0,1,2,)r n=,令52n r-=,那么5n r=,因为*n N∈,所以1r=时,n取最小值5.应选:C【点睛】此题考察了二项展开式的通项公式,利用通项公式是解题关键,属于根底题.6.在约束条件：1210xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩下，目的函数(0,0)z ax by a b=+>>的最大值为1，那么ab的最大值等于〔〕A.12B.38C.14D.18【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目的函数获得最大值，确定a，b的关系，利用根本不等式求ab的最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：〔阴影局部〕，由(0,0)z ax by a b=+>>，那么a zy xb b=-+，平移直线a zy xb b=-+，由图象可知当直线a zy xb b=-+经过点(1,2)A时直线的截距最大，此时z最大为1．代入目的函数z ax by=+得21a b+=．那么1222a b ab=+，那么18ab当且仅当122a b==时取等号，ab∴的最大值等于18，应选：D．【点睛】此题主要考察线性规划的应用，利用数形结合以及根本不等式是解决此类问题的根本方法．{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．a 2a 4＝1，S 3＝7，那么S 5＝〔〕 A.152B.314C.334D.172【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质易得a 3＝1，进而由求和公式可得q 12=，再代入求和公式计算可得． 【详解】由题意可得a 2a 4＝a 32＝1，∴a 3＝1， 设{a n }的公比为q ，那么q ＞0， ∴S 3211q q =++1＝7，解得q 12=或者q 13=-〔舍去〕， ∴a 121q ==4，∴S 551413121412⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==- 应选B.【点睛】此题考察等比数列的通项公式和求和公式，属根底题．8.用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数一共有〔〕 A.288个 B.306个 C.324个 D.342个【答案】C 【解析】试题分析：当个位、十位、百位全为偶数时，有3313434390C A C A -=；当个位、十位、百位为两个奇数、一个偶数时，有21312133434333234C C A A C C A -=，所以一共有90234324+=种,应选C.考点：1.分类计数原理与分步计数原理；2.排列与组合.【名师点睛】此题主要考察两个根本原理与排列、组合知识的综合应用问题，属难题；计数原理应用的关键问题是合理的分类与分步，分类要按时同一个的HY 进展，要做到不重不漏，分类运算中的每一类根据实际情况，要分步进展.()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-，且其导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->，那么当24a <<时，有〔〕 A.()()22(2)log a f f f a << B.()()2log (2)2a f a f f << C.()()2log 2(2)a f a f f <<D.()()2(2)log 2a f f a f <<【答案】D 【解析】 【分析】 根据导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->,可得()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增,可得(2)f 为最小值,再根据对称轴和单调性可得2(log )(2)a f a f <,从而可知选D【详解】因为函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-,所以()f x 的图象关于2x =对称,又当2x >时,'()0f x >,2x <时,'()0f x <,所以()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增, 所以2x=时,函数获得最小值,因为24a <<,所以2221log 2log log 42a =<<=,2224a >=,所以224log 3a <-<, 所以224log 2a a <-<,所以2(4log )(2)a f a f -<, 所以2(log )(2)a f a f <,所以()()2(2)log 2a f f a f <<.应选:D【点睛】此题考察了利用导数判断函数的单调性,考察了利用单调性比较大小,考察了利用对数函数的单调性比较大小,属于中档题.22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关，那么实数a 的取值范围是〔〕 A.[6,)+∞B.[4,6]-C.(4,6)-D.(,4]-∞-【答案】A 【解析】 【分析】首先将|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,转化为圆上的点到直线1;3490l x y --=的间隔与到直线2:340l x y a -+=的间隔之和与,x y 无关,继续转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或者相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,再根据圆心到直线的间隔小于等于半径且(349)(34)0a ---+≤,解不等式组可得答案. 【详解】因为|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,所以+的取值与x ，y 无关,的取值与x ，y 无关, 即圆上的点到直线1;3490l x y --=的间隔与到直线2:340l x y a -+=的间隔之和与,x y 无关,因为圆心(1,1)到直线1;3490l x y --=21=>,所以直线1;3490l x y --=与圆相离, 所以直线2:340l x y a -+=必与圆相离或者相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,1≥,且(349)(34)0a ---+≤,所以6a ≥或者4a ≤-且1a ≥, 所以6a ≥. 应选:A【点睛】此题考察了点到直线的间隔公式,利用点到直线的间隔公式将问题转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或者相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间是解题关键,属于中档题.a ，b，c 满足，||||2||2a b c ===，那么()()a b c b -⋅-的最大值为〔〕A.10B.12C. D.【答案】B 【解析】 【分析】 设OAa =，OBb =，OCc =，表示出a b -，-c b 利用向量的数量积的定义求出最值.【详解】解：设OAa =，OBb =，OCc =，那么a b BA -=，c b BC -=4BA ∴≤，3BC ≤当且仅当BA ，BC 同向时()()a b c b --取最大值12故()()max12a b c b --=应选：B【点睛】此题考察向量的数量积的定义，属于中档题.1111ABCD A B C D -,点E 是棱AB 的中点，12CF FC =，动点P 在正方形11AA DD 〔包括边界〕内运动，且1PB 面DEF ，那么PC 的长度范围为〔〕A.B.⎣C.⎣D.5⎡⎢⎣ 【答案】B 【解析】【分析】如图:先作出过1B P 且与平面DEF 平行的平面,可知点P 的轨迹为QN ,然后根据平面几何知识求出DP 的最小值和最大值,根据勾股定理可求出PC 的取值范围. 【详解】如下列图:在1AA 上取点Q ,使得112AQ QA =,连接1B Q ,因为12CF FC =,所以1//B Q DF ;取11C D 的中点M ,连接1B M ,因为E 为AB 的中点,所以1//B M DE ;因此平面1//B QM 平面DEF ,过M 作//MNDF 交1DD 于N ,那么四点1,,,B Q N M 一共面,且123DNDD =, 因为1//B P 平面DEF ,所以点P 在线段QN 上运动,连接DP ,根据正方体的性质可知CD DP ⊥,所以PC=,在平面QADN 中,1=AQ ,3AD =,2DQ =,所以DNDQ ==所以点D 到QN的间隔为132212⨯⨯=, 所以DP,,所以PC5=,=. 所以PC的取值范围是5⎡⎢⎣.应选:B【点睛】此题考察了作几何体的截面,考察了平面与平面平行的断定,考察了立体几何中的轨迹问题,关键是作出点P 的运动轨迹,属于中档题.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.把答案填在答题卡相应位置上〕2,1x N x ∀∈>〞的否认为__________．〞【答案】2,1x N x ∃∈≤ 【解析】,()x M p x ∀∈,()x M p x ∃∈⌝〞，所以“2,1x N x ∀∈>〞的否认是“2,1x N x ∃∈≤〞．,一共有9个小长方形,假设第一个长方形的面积为0.02,前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,假设样本容量为1600,那么中间一组〔即第五组〕的频数为▲. 【答案】360 【解析】【详解】根据题意9个小长方形面积依次为0.02,0.02,0.022,0.023,0.024,0.023,0.022,0.02,0.02d d d d d d d +++++++因为9个小长方形面积和为1，所以0.82160.1811600(0.024)36016dd d +=∴=∴⨯+= O 、F 分别是抛物线22y x =的顶点和焦点，M 是抛物线上的动点，那么MO MF的最大值为__________.【答案】233【解析】【详解】试题分析：设点M 的坐标为(,)M x y ，由抛物线的定义可知，12MF x =+， 那么222222122411111()2224x MOx yx x x xMFx x x x x -+++====++++++， 令14t x =-，那么14t >-,14x t =+,假设t>021123111399333216162MO t MF t t t t =+=+≤+=++++，当且仅当3t 4=时等号成立， 所以MOMF的最大值为23. 考点：1.抛物线的定义及几何性质；2.根本不等式.【名师点睛】此题主要考察抛物线的定义及几何性质、根本不等式，属中档题；求圆锥曲线的最值问题，可利用定义和圆锥曲线的几何性质，利用其几何意义求之，也可根据条件把所求的问题用一个或者两个未知数表示，即求出其目的函数，利用函数的性质、根本不等式或者线性规划知识求之. 16.14ab=，,(0,1)a b ∈，那么1211a b +--的最小值为． 【答案】4243+【解析】试题分析：因为，所以，那么〔当且仅当，即时，取等号〕；故填243+．【方法点睛】此题考察利用根本不等式求函数的最值问题，属于难题；解决此题的关键是消元、裂项，难点是合理配凑、恒等变形，目的是出现根本不等式的使用条件〔正值、定积〕，再利用根本不等式进展求解，但要注意验证等号成立的条件. 考点：根本不等式．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,3c =,且1sin cos 64C C π⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭.〔1〕求角C 的大小; 〔2〕假设向量()1,sin m A =与()2,sin n B =一共线,求,a b 的值.【答案】(1)3π;(2)3,3a b == 【解析】试题分析：〔1〕根据三角恒等变换，sin 216Cπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可解得3C π=；〔2〕由m 与n 一共线，得sin 2sin 0B A -=，再由正弦定理，得2b a =，在根据余弦定理列出方程，即可求解,a b 的值.试题解析：〔1〕21313sin cos cos ,2cos 2122C C C C C -=-=, 即sin 21,0,2662C C C ππππ⎛⎫-=<<∴-= ⎪⎝⎭,解得3C π=.〔2〕m 与n 一共线,sin 2sin 0B A ∴-=,由正弦定理sin sin a bA B=,得2b a =,① 3c =,由余弦定理，得2292cos3ab ab π=+-,②联立①②,3{23a b ==考点：正弦定理；余弦定理.18.为了理解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间是，随机抽取了高三男生和女生各50名进展问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间是超过3小时的学生称为“古文迷〞，否那么为“非古文迷〞，调查结果如表：古文迷 非古文迷 合计 男生 26 24 50 女生 30 20 50 合计5644100〔Ⅰ〕根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷〞与性别有关？〔Ⅱ〕现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进展调查，求所抽取的5人中“古文迷〞和“非古文迷〞的人数；〔Ⅲ〕现从〔Ⅱ〕中所抽取的5人中再随机抽取3人进展调查，记这3人中“古文迷〞的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k ≥0k【答案】〔I 〕没有的把握认为“古文迷〞与性别有关；〔II 〕“古文迷〞的人数为3，“非古文迷〞有2；〔III 〕分布列见解析，期望为95. 【解析】【详解】〔I 〕由列联表得所以没有的把握认为“古文迷〞与性别有关．〔II 〕调查的50名女生中“古文迷〞有30人，“非古文迷〞有20人，按分层抽样的方法抽出5人，那么“古文迷〞的人数为人，“非古文迷〞有人．即抽取的5人中“古文迷〞和“非古文迷〞的人数分别为3人和2人 〔III 〕因为为所抽取的3人中“古文迷〞的人数，所以的所有取值为1，2,3．，，．所以随机变量ξ的分布列为1 2 3于是．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点.〔Ⅰ〕求证：CD ∥平面1A EB ；〔Ⅱ〕求证：1AB ⊥平面1A EB ；〔Ⅲ〕求直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值.【答案】〔Ⅰ〕见解析〔Ⅱ〕见解析〔Ⅲ〕直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值为155【解析】【详解】证明：〔Ⅰ〕设11AB A B 和的交点为O ,连接EO ，连接EO .因为O 为1AB 的中点，O 为EO 的中点, 所以EO ∥1AB 且112OD BB =.又O 是1AB 中点， 所以AB ∥1AB 且112OD BB =,所以AB ∥EO 且EC OD =.所以，四边形ECOD 为平行四边形.所以EO ∥EC . 又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,那么EC ∥平面1A BE .(Ⅱ)因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB AB ⊥. 所以1BB ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB AB ⊥.由得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥, 所以ABC 平面11A ABB .由〔Ⅰ〕可知EO ∥EC ，所以CD ⊂平面11A ABB .所以CD⊂1AB .因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥.又1EO A B O ⋂=，EO ⊥平面1A EB ，1A B ⊂平面1A EB ,所以1A B ⊂平面1A BE .〔Ⅲ〕解:取11A C 中点F ，连接1,?B F EF .在三棱柱111ABC A B C -中，因为1BB ⊥平面ABC ，所以侧面11ACC A ⊥底面1AB ⊥.因为底面1AB ⊥是正三角形，且F 是11A C 中点， 所以111B FAC ⊥，所以1BB ⊥侧面11ACC A . 所以EF 是11A C 在平面11ACC A 上的射影.所以1FEB ∠是11A C 与平面11ACC A 所成角.111sin 5B F BE F B E ∠==2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为())12,F F ,以椭圆短轴为直径的圆经过点()1,0M.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,设点()3,2N ,直线,AN BN的斜率分别为12,k k ,问12k k +是否为定值并证明你的结论.【答案】(1)2213x y +=；(2)定值为2.【解析】试题分析：〔1〕由题意得到c=1b OM ==，所以a =2〕联立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++. 试题解析： 〔1〕依题意，c =222a b -=.∵点()1,0M 与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直，∴1b OM ==，∴a=∴椭圆C 的方程为2213x y +=.〔2〕①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1x =，y =.设A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛ ⎝⎭，那么122233222k k -+=+=为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1y k x =-.将()1y k x =-代入2213x y +=整理化简，得()2222316330k x k x k +-+-=.依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，那么2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+. 又()111y k x =-，()221y k x =-，所以1212122233y y k k x x --+=+--()()()()()()122112232333y x y x x x --+--=-- ()22122222223361222463131633933131k k x x k k k k k k k ⎡⎤--++⨯-⨯+⎢⎥++⎣⎦=--⨯+++()()2212212621k k +==+. 综上得12k k +为常数2.点睛：圆锥曲线大题熟悉解题套路，此题先求出椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，求得韦达定理，那么2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++，为定值．()ln ()f x tx x t =+∈R .〔1〕当1t=-时，证明：()1f x ≤-；〔2〕假设对于定义域内任意x ，()1x f x x e ≤⋅-恒成立，求t 的范围【答案】〔1〕见解析 〔2〕(,1]-∞【解析】 【分析】〔1〕构造函数()ln 1g x x x =-+利用导数求出函数的单调性，得到函数的最大值，即可得证； 〔2〕参变别离得到ln 1x x te x +≤-在(0,)+∞恒成立，构造函数ln 1()xx x e xϕ+=-求出函数的最小值，即可得到参数t 的取值范围.【详解】〔1〕证明：即是证明ln 1x x -≤-，设()ln 1g x x x =-+，1()xg x x-'=当01x <<，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >，()0g x '<，()g x 单调递减；所以()g x 在1x =处取到最大值，即()(1)0g x g ≤=，所以ln 1x x -≤-得证〔2〕原式子恒成立即ln 1x x t e x+≤-在(0,)+∞恒成立 设ln 1()x x x e xϕ+=-， 22ln ()x x e x x x ϕ+'=，设2()ln xQ x x e x =+， ()21()20x Q x x x e x '=++>，所以()Q x 单调递增，且102Q ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(1)0Q > 所以()Q x 有唯一零点0x ，而且0200ln 0x x e x ⋅+=，所以0200ln x x e x ⋅=-两边同时取对数得()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+-易证明函数ln y x x =+是增函数，所以得00ln x x =-，所以001xe x =所以由()x ϕ在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()0000000ln 111()1xx x x x e x x x ϕϕ+-+≥=-=-= 于是t 的取值范围是(,1]-∞【点睛】此题考察利用导数证明不等式恒成立问题，属于中档题.请考生在第22、23两题中任选一题答题.注意：只能做选定的题目.假设多做，那么按所做的第一个题目计分.22.在极坐标系下，圆:cos sin O ρθθ=+和直线()2:sin 0,0242l πρθρθπ⎛⎫-=≥≤≤ ⎪⎝⎭〔1〕求圆O 和直线l 的直角坐标方程； 〔2〕当()0,θπ∈时，求圆O 和直线l 的公一共点的极坐标.【答案】〔1〕圆O 的直角坐标方程为x 2+y 2-x-y=0,直线l 的直角坐标方程为x-y+1=0 〔2〕【解析】试题分析：〔1〕根据222cos ,sin ,xy x y ρθρθρ===+将圆O 和直线l 极坐标方程化为直角坐标方程〔2〕先联立方程组解出直线l 与圆O 的公一共点的直角坐标，再根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+化为极坐标试题解析：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0. 直线l ：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，那么直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得，，解得即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公一共点为(0，1)， 将(0，1)转化为极坐标为，即为所求．()2321f x x x =++-．〔1〕求不等式()5f x <的解集；〔2〕假设关于x 的不等式()1f x m <-的解集非空，务实数m 的取值范围．【答案】〔1〕73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭〔2〕6m >或者2m <- 【解析】 【分析】〔1〕通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；〔2〕求出f 〔x 〕的最小值，得到关于m 的不等式，解出即可． 【详解】〔1〕原不等式为：23215x x ++-≤，当32x≤-时，原不等式可转化为425x --≤，即7342x -≤≤-； 当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<；当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324x ≤≤．所以原不等式的解集为73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． 〔2〕由函数()342,2314,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4，所以24m ->，解得6m >或者2m <-．。
22届高三理科数学一诊模拟考试试卷答案更新版
成都七中2022届高三数学一诊模拟考试(理科)一．1-12AABCC BADB A BD13.520x y −+=；14.18；15.12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦；16. 三、解答题 17．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由636S =，可得1656362⨯+=a d ，即12512a d +=，选①：由35a =，可得11251225a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， 所以数列{}n a 的通项公式为()()1111221n a a n d n n =+−=+−⨯=−．选②：由24621a a a ++=，可得4321a =，即47a =，所以11251237a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以()()1111221n a a n d n n =+−=+−⨯=−． 选③：由749=S ，因为636S =，可得77613a S S =−=，所以112512613a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以()()1111221n a a n d n n =+−=+−⨯=−． （2）由（1）可得2133−=n n n a n ，所以23135213333−=+++⋅⋅⋅+n n n T ， 所以234113521333313+−+++⋅⋅⋅+=n n T n ，两式相减得2341222221333233133+−+++⋅⋅⋅+−=+n n n n T 23411111112123333333+−⎛⎫=++++⋅⋅⋅+−− ⎪⎝⎭n n n 111111212223321333313++⎛⎫− ⎪−+⎝⎭=⨯−−=−−n n n n n 所以113n nn T +=−． 18.【解析】(1)由题意，知10122.00i i t ==∑,101230i i y ==∑,可得 2.20t =,23y =, 又由()()()112221110569.0010 2.20232550.9210ˆ 2.20 2.2010n ni i i ii i n n i i i i t t y y t y t y b t t t t ====−−−⋅−⨯⨯====−⨯⨯−−∑∑∑∑, 则23252ˆ.2032ˆay bt =−=−⨯=−（第17-21题必答题每题12分，第22、23题选考题每题10分）在BQN △中，BH BN ==所以sin BH BGH BG ∠===A MN B −−. 方法二：以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0B，()A −，12N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,1M ，13,,122NM ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭，()2,3,1AM =−，()1,0,1BM =. 设平面AMN 的法向量()1111,,n x y z =，平面BMN 的法向量()2222,,n x y z =.由1111111113022230x y z n NM n AM x y z ⎧⎧−+=⊥⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎩⎪−+=⎩，可取()11,3,1n =； 由2222222130220n NM x y z n BM x z ⎧⎧⊥−+=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎩⎪+=⎩，可取231,,13n ⎛⎫=−− ⎪ ⎪⎝⎭. 于是12121213cos,35753n n n n n n ⋅−===−⋅⨯， 所以二面角A MN B −−35=. 20．【解析】(1)由题意可知，圆1C 的圆心为(2,0)，半径为32 ； 圆2C 的圆心为(2,0)−，半径为2，设圆M 的半径为R ，则()()1212366264MC MC R R C C +=−++=>=，所以M 的轨迹是以1C ，2C 为焦点的椭圆，不妨设椭圆的标准方程为：22221x y a b +=(0)a b >>，且椭圆焦距为2c ，由椭圆定义可知，226a =，24c =，所以6a =，2c =，2222b a c =−=，故动圆圆心M 的轨迹方程C 为22162x y +=. (2)设AP AQ λ=()1λ>，即有()()11223,3,x y x y λ−=−，即()1233x x λ−=−，12y y λ=，设()10,M x y ，即有221036x y +=，则01=−y y ，又右焦点()2,0F ，则()112,x FM y −=−，()222,FQ x y =−，∴120y y λ+=， 由于1233x x λ−=−，112232032x x x x −−+=−−等价为()121221250x x x x +−+=， 由韦达定理代入可得222227618212501313k k k k−⋅+−⨯=++，则有()()12220x x λ−+−=， 故有FM FQ λ=−，∴Q ，F ，R 三点共线，∴ARQ △面积()221211122a S AF y y c y y c=⨯⨯−−=⨯−⨯+， ()()()211221113362261333123121323k x k x k x x k k k k k k k=⨯⨯−+−=⨯+−⎡⎤⎣⎦=⨯=≤=++⨯， 当且仅当13=k k ，即33k =±时取等号，满足6633k −<<， ∴ARQ △面积的最大值32． 21．【解析】（1）证明：当12a =时，设1()2x G x e =−21(0)x x x −−， ()1x G x e x '=−−，则()10x G x e ''=−，故()G x '在[0，)+∞上单调递增，故当0x 时，()(0)0G x G ''=，故()G x 在[0，)+∞上单调递增，故当0x 时，()(0)0G x G =，故当0x 时，()1f x x +恒成立．(2)设2()()()sin 21(0)x h x f x g x x e ax x x =−=+−−−，则()0min h x ，且(0)0h =，则()22cos (0)x h x e kx x x '=−−+，且(0)0h '=，()2sin x h x e k x ''=−−，(0)12h a ''=−， ()cos 0x h x e x '''=−，则()h x ''在[0，)+∞上单调递增，当12a 时，(0)120h a ''=−，由于()h x ''在[0，)+∞上单调递增， 则当0x 时，()(0)0h x h ''''，则()h x '在[0，)+∞上单调递增，故()(0)0h x h ''=，则()h x 在[0，)+∞上单调递增，故()(0)0h x h =，符合题意，当12a >时，(0)120h a ''=−<， 利用（1）中已证结论可得由于()h x ''在[0，)+∞上单调递增，12(12)2sin(12)1(12)210a h a e a a a a +''+=−−+++−−>，故必然存在0(0,12)x a ∈+，使得0(0,)x x ∈时，(0)0h ''<，则()h x '在0(0,)x 上单调递减，故当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h '<'=，则()h x 在0(0,)x 上单调递减，则当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h <=，综上，a 的取值范围为(−∞，1]2． 22.【解析】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x t t y t =⎧⎨=⎩为参数）， 两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x t t y t ⎧=⎨=⎩为参数）， 所以0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin t t t==为参数）， 两式相加得曲线1C1+=，1=−1,01,01y x x y =−+≤≤≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ−+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y −+=，联立12,C C方程141630y x x y ⎧=−⎪⎨−+=⎪⎩，整理得12130x −+=12=136=（舍去）， 11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为11(,)44. 23.【解析】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=−−<<⎨⎪⎪−−≤−⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x −−=+−，解得76x =−． 所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭．。
四川省绵阳中学2023-2024学年高三上学期一诊模拟(四)数学(理科)试题
{ } 【详解】依题意，得 f (x) 的定义域为 x x ¹ 0 ，函数 f (x) 为偶函数，且 f (x) 在 (0, +¥) 上为
增函数，
而 a = f (log2 3) ，
因为 2 < 3 < 4 ，所以 log2 2 < log2 3 < log2 4 ，即1 < log2 3 < 2 ，
A． 3n2 - n 2
B． n2 + n 2
C． 3n - 2
D． 5n - 3n2 2
8．已知a
Î
æ çè
π 2
,π
ö ÷ø
，且 3cos
2a
-
4 sin a
=
1
，则
tan
2a
=
（
）
A．
1 3
B． 4 2 7
C．
-
1 3
D． - 4 72
9．塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达 200~400 年之久，给环 境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等 9 部门联合发布《关于扎实推进污 染物治理工作的通知》明确指出，2021 年 1 月 1 日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料
1 PA
+
1 PB
的值.
23．已知函数 f (x) = 2 | x -1| + | x + 2 | ． (1)求 f (x) £ 9 的解集； (2)若函数 f (x) 的最小值为 M ，且 a + b + c = M ，求 4a2 + b2 + c2 的最小值.
试卷第51 页，共33 页
1．A
参考答案：
-
高中高三数学一诊模拟考试试题 理
“一诊〞模拟考试试题理科数学本套试卷分I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，满分是150分，考试时间是是为120分钟。
在在考试完毕之后以后，将试卷和答题卡一起交回。
考前须知：1．在答题之前，考生必须将本人的姓名、准考证号填写上清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须需要用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内答题，超出答题区域书写之答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
第I 卷〔一共50分〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
〕{}2,0,1,2M -=，{}211N x x =->,那么N M ⋂=( )A.｛-2,1,2｝B.｛0,2｝C.｛-2，2｝D.［-2，2］ 2.a =(2,1),(),3b x =,且 b a//，那么x 的值是〔 〕A.2B.1 C{}n a 中，13213,,22a a a 成等差数列，那么1113810a a a a +=+〔 〕A.1-或者3B.3C.1或者27D.274.以下说法错误的选项是 〔 〕A ．假设2:,10p x R x x ∃∈-+=，那么2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠； B ．“1sin 2θ=〞是“30θ=〞的充分不必要条件；C ．命题“假设0a =，那么0ab =〞的否命题是：“假设0a ≠，那么0ab ≠〞；D ．假设1cos ,:=∈∃x R x p ，01,:2>+-∈∀x x R x q ，那么“q p ⌝∧〞为假命题. )32cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象〔 〕A ．向左平移125π个单位B ．向右平移125π个单位 C ．向左平移65π个单位 D ．向右平移65π个单位x R ∈，假设函数()f x 为单调递增函数，且对任意实数x ，都有()1xf f x e e ⎡⎤-=+⎣⎦〔e 是自然对数的底数〕，那么(ln 2)f 的值等于( ) A. 1 B ．1e + C ．3 D ．3e +7.假设实数,x y 满足约束条件23502500x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,那么函数|1|z x y =++的最小值是( )A.0B.4C.83D.728.函数(){2014sin ,01log ,1x x x x f x π≤≤>=假设,,a b c 互不相等,且()()()f a f b f c ==,那么a b c ++的取值范围是( ). A.(1,2021) B.(1,2021)C.[2,2021]D.(2,2021)R 的函数()f x 满足()()4f x f x -=-+，且函数()f x 在区间()2,+∞122x x <<，且124x x +<，那么()()12f x f x +的值〔 〕C ．可能为0D ．可正可负()f x 的导函数为()'f x ，对任意x R ∈都有()()'f x f x >成立，那么〔 〕A. 3(ln 2)2(ln 3)f f >B. 3(ln 2)2(ln 3)f f <C. 3(ln 2)2(ln 3)f f =D. 3(ln 2)f 与2(ln 3)f 的大小不确定 第二卷二、填空题(本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分．)2(33)m y m m x =-+过点()2,4，那么m = .12. 计算31log 4233log 6log 243-+- 的结果为 .13菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点,E F 分别在边,BC DC 上，3BC BE =，DC DF λ=. 假设1AE AF ⋅=，那么λ的值是 .14.22,,12y x y R x +∈+=，那么12的最大值为 .15.()()()112212,,,A x y B x y x x >是函数()3f x x x=-图象上的两个不同点，且在,A B 两点处的切线互相平行，那么21x x 的取值范围为 .三、解答题〔解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤一共75分〕 16. 〔本小题满分是12分〕函数()2cos sin 333f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 〔Ⅰ〕求()f x 的值域和最小正周期；〔Ⅱ〕假设对任意0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()20m f x ⎡++=⎣恒成立，务实数m 的取值范围.17.〔本小题满分是12分〕 设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 构成等比数列．〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕假设数列{}n b 满足12121...12n nn b b b a a a +++=-，*n N ∈，求{}n b 的前n 项和n T18. 〔本小题满分是12分〕函数())(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-≤<的图像关于直线3x π=对称，且图像上相邻两个最高点的间隔 为π. 〔I 〕求ω和ϕ的值；〔II〕假设()2f α= ,( 263ππα<<)，求3cos()2πα+的值.19. 〔本小题满分是12分〕二次函数2()(0),(1)3,f x Ax Bx A f =+≠=其图象关于1x =-对称，数列{}n a 的前n 项和为nS ,点()()*,n n S n N ∈均在()y f x =图象上.〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式，并求n S 的最小值；〔Ⅱ〕数列{}n b ,1n n b S =, {}n b 的前n 项和为n T ,求证：11313443n T n n -<<-+.20．〔本小题满分是13分〕设函数x ax x a x f ln 21)(2-+-=〔R a ∈〕．〔Ⅰ〕当1=a 时，求函数)(x f 的极值； 〔Ⅱ〕当R a ∈时，讨论函数)(x f 的单调性； 〔Ⅲ〕假设对任意(2,3)a ∈及任意1x ，[]2,12∈x ，恒有12ln 2()()ma f x f x +>-成立，务实数m 的取值范围．21.〔本小题满分是14分〕()ln ()f x x mx m R =-∈.〔Ⅰ〕假设曲线()y f x =过点P(1,1)-，求曲线在P 点处的切线方程；〔Ⅱ〕求()f x 在区间[]1,e 上的最大值；〔Ⅲ〕假设函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，求证212x x e >.南山中学. 南山中学实验“一诊〞模拟考试试题 理科数学参考答案 一、CDDBA CADAB 二、填空题11.2 12. -1 13．2 14. 3815.〔-1,0〕三、解答题16.解： (1)f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－23cos2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－ 3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－ 3. ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.∴－2－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3≤2－3，T ＝2π2＝π，即f(x)的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1， 此时f(x)＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈[3，2].由m[f(x)＋3]＋2＝0知，m≠0，∴f(x)＋3＝－2m ，即3≤－2m ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3≤0，2m ＋2≥0，解得－233⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，－1.17.解：〔I 〕设等差数列{}n a 的公差为d,(d 0≠),那么2514,,a a a 构成等比数列，∴22145a a a =，即2(14)(1))113)d d d +=++解得d=0〔舍去〕或者d=2, ∴n a =1+2(n-1)=2n-1 ……………….3分〔II 〕由1212...n nb b ba a a +++112n=-〔*n N ∈〕当n=1时， 11b a =12；当2n ≥时，nnb a =〔112n -〕11(1)2n ---=12n ，∴nn b a ==12n ，〔*n N ∈〕由〔I 〕，n a =2n-1〔*n N ∈〕，∴212n n n b -=〔*n N ∈〕…………7分12313521...2222n n n T -=++++2341113521...22222n n n T +-=++++两式相减得234111222221(...)2222222n n n n T +-=+++++-，=113121222n n n -+---， ∴nT =2332n n +- …………….12分 18.解：〔I 〕6π-φ2ω,.6π-φ)6π-2sin(3)12π-(2sin 3f(x)∴2πφ≤2π-0)12π()4-3π(∴3π2ω⇒|ω|π2∴π=====<======，所以，，且为对称轴由题可知，周期x x f T f x T T ………………………….5分 〔II 〕8153)23παcos(,.8153214152341)23παcos(∴.415)6π-αcos(2π6π-α0∴32πα6π21)6π-αcos(23)6π-αsin(]6π)6π-αsin[(αsin )23παcos(41)6π-αsin(43)6π-αsin(3∴43)2α(+=++=•+•=+=<<<<•+•=+==+===所以，，即 f……………………12分19.解：〔1〕(1)3,12Bf A B A =+=-=-,∴21,2,,()2A B f x x x ===+ ……………..1分点()()*,n n S n N ∈均在y=f(x)图象上，∴22nS n n =+①………………..2分21(1)2(1)n S n n -=-+-〔2n ≥〕②①-②得121n n S S n --=+，即n a =2n+1 〔2n ≥〕……………………….4分，又113a s == ……………5分∴n a =2n+1〔*n N ∈〕 ………………6分〔2〕211111()(2)222n b n n n n n n===-+++ ………………….7分 111111[(1)()...()23242n T n n =-+-++-+]=1111[(1)]2212n n +--++=3111()4212n n -+++ ………9分 即证313111()434212n n n ->-++++ 即证211()312n n n <++++， 1111,3132n n n n <<++++，所以右边成立……..10分，又n T 随n 的增大而增大，1111334n T T n >=>-，左边成立…………..11分所以，原不等式成立 . ……………………….12分20.解：〔Ⅰ〕函数的定义域为(0,)+∞，当1a =时，11()ln ,'()1.x f x x x f x x x -=-=-=令'()0, 1.f x x ==得，当01x <<时，'()0f x <；当1x >时，'()0f x >，()(0,1)f x ∴在单调递减，在(1,)+∞单调递增，()(1)1f x f ∴==极小值，无极大值 ；…… 4分〔Ⅱ〕21(1)1[(1)1](1)'()(1)a x ax a x x f x a x a x x x -+--+-=-+-==1(1)()(1)1a x x a x ----=………………5分①1a ≤时，(1)10a x -+>,()f x 在(0,1)单减，(1,)+∞单增； ②12a <<时，111a >-，()f x 在(0,1)单增，在1(1,)1a -单减，1(,)1a +∞-单增；③当111a =-即2a =时，2(1)'()0,()(0,)x f x f x x -=-≤+∞在上是减函数；④当111a <-，即2a >时，令'()0f x <，得1011x x a <<>-或,令'()0f x >，得111x a <<- ……………9分〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知，当(2,3)a ∈时，()[1,2]f x 在上单调递减，当1x =时，()f x 有最大值，当2x =时，()f x 有最小值，123|()()|(1)(2)ln 222a f x f x f f ∴-≤-=-+，3ln 2ln 222a ma ∴+>-+ ，而0a >经整理得13113230,22422m a a a >-<<-<-<由得 0m ∴≥．……13分21．解：〔1〕因为点P 〔1，-1〕在曲线上，所以f(1)=-1,得m=1/1()1f x x=-，∴/(1)f =0，故切线方程为y=-1. ……3分〔2〕/1()f x mx=-=1mxx-①当m ≤0时，(1,)x e ∈； (1,)x e ∈，/()f x >0, ()f x 单增，max ()f x =f(e)=1-me ；② 当1em≥，即10m e <≤时，(1,)x e ∈，/()f x >0, ()f x 单增，max ()f x =f(e)=1-me ；③ 当11em<<时，即111em<<时，(1,)x e ∈，()f x 在1(1,)m 单增，在1(,)e m单减， max ()f x =1()f m =ln 1m --④当11m≤即1m ≥时，(1,)x e ∈，/()f x 0<，()f x 单减，max ()f x = f(1)=-m ∴()f x 在［1，e ］上的最大值max ()f x =………………………………8分(3)不妨设120x x >>，12()()0f x f x ==，∴11ln 0x mx -=，22ln 0,x mx -=1212ln ln ()x x m x x +=+，1212ln ln ()x x m x x -=-，要证212x x e >，即证12ln ln x x +2>，即证12()m x x +2>，………10分1212ln ln x x m x x -=-，即证1212ln ln x x x x --122x x >+，即证12ln ln x x -12)122(x x x x ->+，即证1121222(1)ln 1x x x x x x ->+，……………12分 令12x x =t,那么1t >，即证1ln 1t t t ->+，1()ln 1t t t t ϕ-=-+，那么/()t ϕ=22214(1)0(1)(1)t t t t t --=>--，函数()t ϕ在(1,)+∞单增，∴()t ϕ(1)ϕ>=0，∴原不等式成立. ……………………14分励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
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高中数学“一诊”模拟考试数学(理科)试题一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.设集合}1,0,1{-=M，},{2aaN=则使M∩N＝N成立的a的值是（）A．1 B．0 C．－1 D．1或－12.复数ii(113-为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 ( ）A．(1,1) B．(1,1)- C．(1,1)- D．(1,1)--3.已知函数,,)21(,)(21⎪⎩⎪⎨⎧≤>=xxxxfx则=-)]4([ff（）A．4- B．41- C．4 D．64.函数ln||||x xyx=的图像可能是（）5.实数yx,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+,0224yxyxyx,则yx-2的最小值为（）A．16B．4C．1 D．126.下列说法中正确的是（）A．“5x>”是“3x>”必要条件B．命题“x R∀∈，210x+>”的否定是“x R∃∈，210x+≤”C．Rm∈∃，使函数)()(2Rxmxxxf∈+=是奇函数D．设p，q是简单命题，若p q∨是真命题，则p q∧也是真命题7.阅读程序框图，若输入4m=，6n=，则输出ia,分别是（）A．12,3a i== B．12,4a i== C．8,3a i== D．8,4a i==8.设函数)22,0)(sin(3)(πφπωφω<<->+=x x f 的图像关于直线32π=x 对称,它的周期是π,则（ ）A ．)(x f 的图象过点)21,0( B ．)(x f 的一个对称中心是)0,125(πC ．)(x f 在]32,12[ππ上是减函数 D ．将)(x f 的图象向右平移||φ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象9. 设三位数10010n a b c =++,若以,,{1,2,3,4}a b c ∈为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有（ ）A ．12种B ．24种C ．28种D ．36种10. 定义在R 上的函数1ln )(2++=x ex f x，且)()(x f t x f ＞+在()∞+-∈，1x 上恒成立，则关于x 的方程(21)()f x f t e -=-的根的个数叙述正确的是( ).A ．有两个B ．有一个C ．没有D ．上述情况都有可能二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知向量a 、b满足(1,0),(2,4)a b ==，则=+→→||b a .12.45)1)(1(x x x 展开式中-+的系数是 （用数字作答）.13. 在数列}a {n 中，)N n (a a a ,a ,a n n n *∈-===++122151，则2014a = .14.已知二次函数)R (4)(2∈+-=x c x ax x f 的值域为)0[∞+，，则ac 91+的最小值为 . 15. 已知D 是函数],[),(b a x x f y ∈=图象上的任意一点，B A ,该图象的两个端点， 点C 满足0=⋅=→→→→i DC AB AC ，λ，（其中→<<i ,10λ是x 轴上的单位向量），若T DC ≤→||(T 为常数)在区间],[b a 上恒成立，则称)(x f y =在区间],[b a 上具有 “T 性质”.现有函数: ①12+=x y ; ②12+=xy ； ③2x y =； ④x x y 1-=.则在区间]2,1[上具有“41性质”的函数为 .三、解答题:本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. (本小题满分12分)设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是以函数24sin y x π=的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n 项和n S .17. (本小题满分12分) 已知ABC ∆ 的内角A 、B 、C 所对的边为,,a b c ， (sin ,cos )m b A a a B =-,(2,0)n =，且m 与n 所成角为3π. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求C A sin sin +的取值范围.18. (本小题满分12分)某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。
（规定:各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表:根据上表:（Ⅰ）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分)已知直三棱柱111C B A ABC -的三视图如图所示，且D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证:1A B ∥平面1ADC ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．20. (本小题满分13分)已知()||,=-+∈R f x x x a b x . （Ⅰ）当1,0a b ==时,判断()f x 的奇偶性,并说明理由； （Ⅱ）当1,1a b ==时,若5(2)4xf =,求x 的值； （Ⅲ）若0b <,且对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立,求实数a 的取值范围.21. (本小题满分14分)已知函数)0)(ln()(2>=a ax x x f （Ⅰ）a e =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若2)('x x f ≤对任意的0>x 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当1=a 时，设函数xx f x g )()(=，若1),1,1(,2121<+∈x x e x x ，求证:42121)(x x x x +<理科答案二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 5 ； 12. -5 ；13. -1 ；14. 3 ； 15. ①③④ . 三、解答题:本大题共6小题，共75分． 16. (本小题满分12分)解:（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则()12112210a a d a d ⎧=⎪⎨+=+-⎪⎩ 解得2d =或4d =-（舍）……………5分 所以2(1)22n a n n =+-⨯= ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）21cos 24sin 42xy x ππ-==⨯2cos22x π=-+其最小正周期为212ππ=，故首项为1；……………………………………………………7分 因为公比为3，从而13n n b -= ……………………………………………………………8分 所以123n n n a b n --=-，故()()()011234323n n S n -=-+-++-()2213213n n n +-=--211322n n n =++-⋅………………………………………………12分 17. (本小题满分12分)解:（Ⅰ） (sin ,cos )m b A a a B =-与向量(2,0)n =所成角为3π， ∴3sin cos 1=-B B ∴1cos sin 3=+B A ，∴21)6sin(=+πB又 π<<B 0，∴6766πππ<+<B ∴656ππ=+B ∴32π=B …………6分（Ⅱ）由（1）知，32π=B ，∴A+C= 3π∴C A sin sin +=)3sin(sin A A -+π=A A cos 23sin 21+=)3sin(A +π30π<<A ，∴3233πππ<+<A所以C A sin sin +的范围为,1]2. ……… …12分18. (本小题满分12分)解（I ）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ， 则1221()(1)(1)(1)23318P A =---=………………………………………………………4分 （II ）ξ的可能值得为0，1，2，3，4，54121(0)(1)(1),2348P ξ==--=1344112121(1)(1)(1)(1),223238P C ξ==--+-= 22213441121127(2)()(1)(1)(1),22322324P C C ξ==--+-=33222441121121(3)()(1)(1)()(1),2232233P C C ξ==--+-=4334121121(4)()(1)()(1),2322316P C ξ==-+-=4121(5)(),2324P ξ===……………………………………………………………10分所以随机变量ξ的分布列如下:ξ0 1 2 3 4 5P148 18 72413 316 124 故117131801234548824316243E ξ=+++++=………………………12分 19. (本小题满分12分)解: （Ⅰ）证明:根据三视图知:三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，12AB BC AA ==，90ABC ︒∠=连结1A C ，交1AC 于点O ，连结OD .由 111C B A ABC -是直三棱柱，得 四边形11ACC A 为矩形，O 为1A C 的中点.又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC △中位线，所以 1A B ∥OD ， 因为 OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以 1A B ∥平面1ADC . …………4分（Ⅱ）解:由111C B A ABC -是直三棱柱，且90ABC ︒∠=，故1,,BB BC BA 两两垂直. 如图建立空间直角坐标系xyz B -. …………5分2=BA ，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1D C A C B .所以 (1,2,0)AD =-，1(2,2,1)AC =-设平面1ADC 的法向量为=()x,y,z n ，则有10,0.n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以 20,220.x y x y z -=⎧⎨-+=⎩取1=y ，得)2,1,2(-=n . …………………… …6分易知平面ADC 的法向量为(0,0,1)=v . ………7分由二面角1C AD C --是锐角，得 ||2cos ,3⋅〈〉==n v n v n v .……………8分所以二面角1C AD C --的余弦值为23.（Ⅲ）解:假设存在满足条件的点E .因为E 在线段11B A 上，)1,2,0(1A ，)1,0,0(1B ，故可设)1,,0(λE ，其中02λ≤≤. 所以 (0,2,1)AE λ=-，1(1,0,1)DC =. ………………………9分 因为AE 与1DC 成60︒角，所以1112AE DC AE DC ⋅=. ………………………10分 12=，解得1λ=，舍去3λ=. ……………………11分 所以当点E 为线段11B A 中点时，AE 与1DC 成60︒角. ………………………12分 20. (本小题满分13分)解:（Ⅰ）当1,0a b ==时,()|1|f x x x =-既不是奇函数也不是偶函数∵(1)2,(1)0f f -=-=,∴(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠-所以()f x 既不是奇函数,也不是偶函数 ………………………………………………3分 （Ⅱ）当1,1a b ==时,()|1|1f x x x =-+, 由5(2)4xf =得52|21|14x x-+= 即2211(2)204x x x ⎧≥⎪⎨--=⎪⎩或2211(2)204x x x⎧<⎪⎨-+=⎪⎩解得111222222xx x -===或（舍），或 所以22log log (11x ==+-或1x =- ………………………………………………8分 （Ⅲ）当0x =时,a 取任意实数,不等式()0f x <恒成立, 故只需考虑(]0,1x ∈,此时原不等式变为||b x a x --<；即b b x a x x x+<<- 故(]max min ()(),0,1bb x a x x x x+<<-∈又函数()b g x x x =+在(]0,1上单调递增,所以max ()(1)1bx g b x +==+; 对于函数(](),0,1bh x x x x=-∈①当1b <-时,在(]0,1上()h x 单调递减,min ()(1)1bx h b x-==-,又11b b ->+,所以,此时a 的取值范围是(1,1)b b +- ②当10b -≤<,在(]0,1上,()bh x x x=-≥,当x =,min ()bx x-=此时要使a 存在,必须有110b b ⎧+<⎪⎨-≤<⎪⎩即13b -≤<,此时a 的取值范围是(1b +综上,当1b <-时,a 的取值范围是(1,1)b b +-;当13b -≤<时,a 的取值范围是(1b +;当30b ≤<时,a 的取值范围是∅ ………………………………………………13分 21. (本小题满分14分)解（Ⅰ）32y x =-………………………………………………3分（Ⅱ）x ax x x f +=)ln(2)(',2)ln(2)('x x ax x x f ≤+=，即x ax ≤+1ln 2在0>x 上恒成立设x ax x u -+=1ln 2)(,2,012)('==-=x xx u ，2>x 时，单调减，2<x 单调增， 所以2=x 时，)(x u 有最大值.212ln 2,0)2(≤+≤a u ，所以20ea ≤<. ………………………………………………8分（Ⅲ）当1=a 时，x x x x f x g ln )()(==, e x x x g 1,0ln 1)(==+=,所以在),1(+∞e 上)(x g 是增函数，)1,0(e上是减函数.因为11211<+<<x x x e，所以111212121ln )()ln()()(x x x g x x x x x x g =>++=+即)ln(ln 211211x x x x x x ++<,同理)ln(ln 212212x x x x x x ++<. 所以)ln()2()ln()(ln ln 2112212112122121x x x xx x x x x x x x x x x x +++=++++<+ 又因为,421221≥++x x x x 当且仅当“21x x =”时，取等号. 又1),1,1(,2121<+∈x x e x x ，0)ln(21<+x x ,所以)ln(4)ln()2(21211221x x x x x x x x +≤+++,所以)ln(4ln ln 2121x x x x +<+， 所以:42121)(x x x x +<. ………………………………………………14分。