2019-2020学年东莞市名校数学高二第二学期期末考试试题含解析

2019-2020学年东莞市名校数学高二第二学期期末考试试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．若函数()()2
212f x ax a x =+-+在区间(],4-∞上为减函数，则a 的取值范围为（）
A ．105
a <≤ B ．105
a ≤≤
C ．105
a <<
D ．15
a >
【答案】B 【解析】 【分析】
对参数进行分类讨论，当为二次函数时，只需考虑对称轴和区间的位置关系即可. 【详解】
当0a =时，()22f x x =-+，满足题意； 当0a ≠时，要满足题意，只需0a >，且()2142a a
--≥，
解得105
a <≤
. 综上所述：105
a ≤≤. 故选：B. 【点睛】
本题考查由函数的单调区间，求参数范围的问题，属基础题. 2．已知cos()3cos()αβαβ+=-，则tan tan a β=（ ） A ．
12
B ．12
-
C ．2
D ．2-
【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用和角公式和同角三角函数关系式的应用求出结果． 【详解】
由cos()3cos()αβαβ+=-,得cos cos sin sin 3cos cos 3sin sin αβαβαβαβ-=+, 则2cos cos 4sin sin αβαβ=-,故1tan tan 2
αβ=-. 故选B 【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
3．若复数(6)z i i =+，则复数z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B 【解析】 【分析】
把复数为标准形式，写出对应点的坐标． 【详解】
2(6)616z i i i i i =+=+=-+，对应点(1,6)-，在第二象限．
故选B ． 【点睛】
本题考查复数的几何意义，属于基础题． 4．半径为2的球的表面积为（ ） A ．4π B ．8π
C ．12π
D ．16π
【答案】D 【解析】 【分析】
根据球的表面积公式，可直接得出结果. 【详解】
因为球的半径为2r =，
所以该球的表面积为2416S r ππ==. 故选：D 【点睛】
本题主要考查球的表面积，熟记公式即可，属于基础题型.
5．某村庄对改村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：
已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是( ) A ．18a =
B ．19b =
C ．50c d +=
D ．2f e -=-
【答案】D 【解析】
分析：先根据列联表列方程组，解得a,b,c,d,e,f,再判断真假.
详解：因为725,625,6,7,50,50a c b d a e b f c d e f +==+==+=+=+=+=， 所以18,19,50,24,26,2a b c d e f f e ==+===-= 选D.
点睛：本题考查列联表有关概念，考查基本求解能力.
6．已知某随机变量X 的概率密度函数为0,0,(),0,
x
x P x e x -≤⎧=⎨>⎩则随机变量X 落在区间(1,3)内在概率为( )
A ．21
e e
+
B ．231e e
-
C ．2e e -
D ．2e e +
【答案】B 【解析】 【分析】
求概率密度函数在（1，3）的积分，求得概率． 【详解】
由随机变量X 的概率密度函数的意义得3
23
31
1
1
d x
x e P e x e
e
---==-=⎰
，故选B ．
【点睛】
随机变量X 的概率密度函数在某区间上的定积分就是随机变量X 在这一区间上概率．
7．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为
A ．
34
B ．
54
C ．
74
D ．
34
【答案】D 【解析】
试题分析：设BC 的中点为D ，连接11,,A D AD A B ，易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角，
设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长为1，则1131,,222
AD A D A B =
==
，由余弦定理，得1
1132cos 24
θ+-
=
=，故选D. 考点：异面直线所成的角.
8．某校组织《最强大脑》PK 赛，最终A 、B 两队讲入决赛，两队各由3名选手组成，每局两队各派一名洗手PK ，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分.假设每局比赛A 队选手获胜的概率均为2
3
，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为（） A ．
827
B ．49
C ．1627
D ．2027
【答案】C 【解析】 【分析】
先将A 队得分高于B 队得分的情况列举出来，然后进行概率计算. 【详解】
比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分可分为以下3种情况： 第一局：A 队赢，第二局：A 队赢，第三局：A 队赢； 第一局：A 队赢，第二局：B 队赢，第三局：A 队赢； 第一局：B 队赢，第二局：A 队赢，第三局：A 队赢； 则对应概率为：3
2
2
2116()()23
3
327
+=g g ， 故选：C. 【点睛】
本题考查独立事件的概率计算，难度较易.求解相应事件的概率，如果事件不符合特殊事件形式，可从“分类加法”的角度去看事件，然后再将结果相加.
9．关于函数sin 2sin 2y x x =+，下列说法正确的是( ) A ．是周期函数，周期为π B ．关于直线4
π
x =-对称
C ．在[,0]4
π
-
上是单调递减的
D ．在7[,]36
ππ
-
【答案】C 【解析】
分析：利用正弦函数的图象与性质，逐一判定，即可得到答案． 详解：令()sin 2sin 2y f x x x ==+，
对于A 中，因为函数sin 2y x =不是周期函数，所以函数sin 2sin 2y x x =+不是周期函数，所以是错误的；
对于B 中，因为34
42π
ππ-+
=，所以点(,0)4π
-与点3(,0)4
π关于直线4x π=对称， 又3()112,(
)1104
4f f π
π-
=+==-+=，所以3()()44
f f ππ-≠， 所以sin 2sin 2y x x =+的图象不关于4
x π
=对称，所以是错误的；
对于C 中，当[,0]4
x π
∈-时，sin 2sin 2sin 2sin 22sin 2y x x x x x =+=--=-，
当[,0]4
x π
∈-
时，函数()2sin 2f x x =-为单调递减函数，所以是正确的；
对于D 中，7[,
]36x ππ
∈-
时，()11234
f π
-=+=>，所以是错误的， 综上可知，正确的为选项C ，故选C ．
点睛：本题主要考查了正弦函数的对称性、周期性、单调性及其函数的最值问题，其中熟记正弦函数的图象与性质，合理运算是解答此类问题的关键，着重考查了综合分析与应用能力，以及推理与运算能力，试题有一定难度，属于中档试题．
10．已知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中，
()y f x =的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
根据图象：分1x <-，10x -<<，01x <<，1x >，四种情况讨论()f x 的单调性. 【详解】
根据图象：当()1,0x f x '<->，所以()f x 递增， 当()10,0x f x '-<<<，所以()f x 递减， 当()01,0x f x '<<<，所以()f x 递减，
当()1,0x f x '>>，所以()f x 递增， 故选：C 【点睛】
本题主要考查导数与函数的图象间的关系，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于常考题. 11．抛物线28x y =的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，点P 为x 轴正半轴上任意一点，则)()OP PM PO PN +⋅-=u u u v u u u u v u u u v u u u v
（（ ） A ．20- B ．12
C ．-12
D ．20
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
分析：设()()1122,,,M x y N x y ，则()()
OP PM PO PN OM NO +⋅-=⋅u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v
()()11221212,,x y x y x x y y =⋅--=--，由22
281608y kx
x kx x y
-=⎧⇒--=⎨=⎩利用韦达定理求解即可. 详解：设()()1122,,,M x y N x y ，
()()
OP PM PO PN OM NO ∴+⋅-=⋅u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v
()()11221212,,x y x y x x y y =⋅--=--
28x y =Q 的焦点()0,2F ，
设过点F 的直线为2y kx -=，
22
281608y kx
x kx x y
-=⎧⇒--=⎨=⎩1216x x ⇒=-， 128x x k +=，
()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++
2162844k k k =-+⨯+=，
()()
OP PM PO PN OM NO ∴+⋅-=⋅u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v
()121216412x x y y =--=---=，故选B.
点睛：本题主要考查平面向量数量积公式、平面向量的运算、直线与抛物线的位置关系，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，考查转化与划归思想以及计算能力，属于中档题.
12．已知不等式2
01
x x +<+的解集为{|}x a x b <<，点(),A a b 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则
21
m n
+的最小值为（ ）
A ．
B ．8
C ．9
D ．12 【答案】C
【解析】试题解析：依题可得不等式
2
01
x x +<+的解集为{|21}x x -<<-，故()2,1A --，所以210m n --+=即21m n +=， 又0mn >，则
()212122=2559n m m n m n m n m n ⎛⎫+++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当13m n ==时上式取等号， 故
选C
考点：分式不等式的解法，基本不等式的应用
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知幂函数y x α=的图象经过点(4,4
，则实数α的值是_______. 【答案】34
- 【解析】 【分析】
由幂函数的定义，把(4,4
代入可求解. 【详解】
Q 点(4,
4
在幂函数y x α
=的图象上，
∴ 44
a =
，322
22a
-=， 332,24
a a \=-=- 故答案为： 3
4-
【点睛】
本题考查幂函数的定义.
幂函数的性质: (1)幂函数在(0)+∞，
上都有定义；(2)幂函数的图象过定点(1,1)； (3)当0α>时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0)+∞，
上单调递增； (4)当0α<时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0)+∞，
上单调递减；
(5)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
14．已知实数,x y 满足0010360x y x y x y ≥≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
，，则23y x -的最大值为____．
【答案】2 【解析】 【分析】
根据约束条件得到可行域，令23z y x =-，则z 取最大值时，3
22
z
y x =+在y 轴截距最大；通过平移可知过()0,1A 时即可，代入求得最大值. 【详解】
由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：
令23z y x =-，则z 取最大值时，322
z
y x =
+在y 轴截距最大 通过3
2y x =平移可知当322z y x =+过()0,1A 时，322
z y x =+在y 轴截距最大
max 2z ∴=
本题正确结果：2 【点睛】
本题考查线性规划求解最值的问题，关键是将问题转化为截距最值的求解问题，属于常考题型.
15．把10个相同的小球全部放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于盒子的编号数，则不同的方法共有___________种 【答案】15 【解析】 【分析】
将编号为2,3的三个盒子中分别放入1,2个小球，从而将问题转变为符合隔板法的形式，利用隔板法求解得到结果. 【详解】
编号为2,3的三个盒子中分别放入1,2个小球，则还剩1037-=个小球
则问题可变为求7个相同的小球放入三个盒子中，每个盒子至少放一个球的不同方法的种数
由隔板法可知共有：2
615C =种方法
本题正确结果：15 【点睛】
本题考查隔板法求解组合应用问题，关键是能够首先将问题转化为符合隔板法的形式，隔板法主要用来处理相同元素的组合问题.
16．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是__________． 【答案】cos 1ρθ= 【解析】 【分析】
由题意画出图形，结合三角形中的边角关系得答案． 【详解】 如图，
由图可知，过点（1，0）并且与极轴垂直的直线方程是ρcosθ＝1． 故答案为cos 1ρθ=．
【点睛】
本题考查了简单曲线的极坐标方程，是基础题． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>）22
，一个焦点在直线24y x =-上，直线l 与椭圆交于P Q ，两点，其中直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k 。

（1）求椭圆方程； （2）若121
9
k k ⋅=-
，试问⊿OPQ 的面积是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由。

【答案】（1）2
219
x y +=；
（2）是定值32. 【解析】
【分析】
(1)根据离心率公式和焦点公式计算得到答案.
(2)设点和直线，联立方程，根据韦达定理得到根与系数关系，计算PQ 和点到直线距离，表示出面积，根据121
9
k k ⋅=-化简得到答案. 【详解】
解：（1
）由题意可知椭圆的一个焦点为（）
即而,3
c e ==所以3,1a b ==椭圆方程为2
219
x y += （2）设()()1122,P x y Q x y ，，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立椭圆方程得
(
)
2
22
9118990k x kmx m +++-=，则1221891km x x k -+=+，2122
99
91
m x x k -=+
PQ ==
点O
到直线的距离d =
所以12POQ
S PQ d =⋅=由()22
1212121212121
9
k x x km x x m y y k k x x x x +++=
==-化简得22921k m =-代入上式得32POQ S = 若直线斜率不存在易算得3
2POQ S =
综合得，三角形POQ 的面积是定值32
【点睛】
本题考查了椭圆的方程的计算，面积的表示和定值问题，计算量较大，意在考查学生的计算能力. 18．大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表所示：
总计 ▲ ▲ 50
表1
并邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表所示： 成功完成时间（分钟） [0，10) [10，20) [20，30) [30，40] 人数 10
10
5
5
表2
（1）将表1补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？ （2）根据表2中的数据，求这30名男生成功完成盲拧的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（3）现从表2中成功完成时间在[0，10)内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在[0，10)内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为()0,1a +，求(),0a 的分布列及数学期望
(1,)a ++∞.
附参考公式及数据：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
(1,)-+∞
2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】 (1) 能(2)3
（3）见解析 【解析】
分析：根据题意完善表格，由卡方公式得出结论。

（2）根据题意，平均时间为1111
51525353366
⨯
+⨯+⨯+⨯计算即可 （3）由题意，满足超几何分布，由超几何分布计算概率，数学期望()E x nM
N
= 详解：（1）依题意，补充完整的表1如下： 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计 男 22 8 30 女 8 12 20 总计
30
20
50
由表中数据计算得2K 的观测值为2
5022128850
== 5.556 5.024*********
k ⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯（）
所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关。

（2）依题意，所求平均时间为11112050
5+15+25+35=+10=336633
⨯⨯⨯
⨯（分钟） （3）依题意，X 的可能取值为0，1，2，3，故()()321
773331010721
0,12440
C C C P X P X C C ======
()()123
73333101071
2,340120
C C C P X P X C C ======
故X 的分布列为 X
1
2
3
P
1
120
故()012324404012010
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯= 点睛：计算离散型随机变量的概率，要融入题目的情景中去，对于文字描述题，题目亢长，要逐句的分析。

超几何分布的特征：
1.样本总体分为两大类型，要么A 类，要么B 类。

2.超几何分布是组合问题，分组或分类，有明显的选次品的意思。

3.超几何分布是将随机变量X 分类，每一类之间是互斥事件。

4. 超几何分布的随机变量X 的确定我们只需搞清楚最少和最多两种情况，其他的X 在最少和最多之间。

19．在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：(1sin )
acos x a t y t
=+⎧⎨=⎩（0a >，t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：()6
R π
θρ=
∈．
（1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；
（2）若直线3C 的方程为3y x =，设2C 与1C 的交点为O ，M ，3C 与1C 的交点为O ，N ，若OMN ∆的面积为3a 的值．
【答案】 (1) 1C 是以(,0)a 为圆心，a 为半径的圆. 1C 的极坐标方程2cos a ρθ=.(2) 2a = 【解析】 【分析】
（1）消去参数t 得到1C 的普通方程.可得1C 的轨迹.
再将cos x ρθ=，sin y ρθ=带入1C 的普通方程，得到1C 的极坐标方程. （2）先得到3C 的极坐标方程，再将6
π
θ=
，53
π
θ=
代入2cos a ρθ=，解得1ρ，2ρ，利用三角形面积公式表示出OMN ∆的面积，进而求得a.
【详解】
(1)由已知得：1x
sint a y cost
a
⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩平方相加消去参数t 得到22y 1a x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（）
=1，即()222x a y a -+=，∴1C 的普通方程：()2
22x a y a -+=. ∴1C 是以(),0a 为圆心，a 为半径的圆.
再将cos x ρθ=，sin y ρθ=带入1C 的普通方程，得到1C 的极坐标方程2cos a ρθ=. （2）3C 的极坐标方程()53
R π
θρ=∈， 将6
π
θ=
，53
π
θ=
代入2cos a ρθ=
，解得1ρ=， 2a ρ=，
则OMN ∆
的面积为21sin 2632a a ππ⎛⎫⨯⨯+== ⎪⎝⎭
2a =. 【点睛】
本题考查了直角坐标系下的参数方程、普通方程与极坐标方程的互化，考查了极坐标方程的应用，属于基础题.
20．设点O 为坐标原点，椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，过点O 且斜率为
1
6的直线与直线AB 相交于点M ，且13
MA BM =u u u r u u u u r . （1）求椭圆E 的离心率e ；
（2）PQ 是圆C ：2
2
(2)(1)5x y -+-=的一条直径，若椭圆E 经过P ，Q 两点，求椭圆E 的方程.
【答案】
(1)
. （2）22
1164
x y +=.
【解析】
分析：（1）运用向量的坐标运算，可得M 的坐标，进而得到直线OM 的斜率，进而得证；
（2）由（1）知2a b =，椭圆方程设为2
2
2
44x y b +=，设PQ 的方程，与椭圆联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，解方程即可得到a ，b 的值，进而得到椭圆方程.
详解：（1）∵(),0A a ，()0,B b ，13MA BM =u u u v u u u u v ，所以31,44a M b ⎛⎫
⎪⎝
⎭.
∴1
36
OM b k a =
=，解得2a b =，
于是c
e a
==
=
E 的离心率e 为2. （2）由（1）知2a b =，∴椭圆E 的方程为222214x y b b
+=即222
44x y b +=①
依题意，圆心()2,1C 是线段PQ 的中点，且PQ =由对称性可知，PQ 与x 轴不垂直，设其直线方程为()21y k x =-+，代入①得：
()()()2
2
2
21482142140k x
k k x k b +--+--=，
设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()122
82114k k x x k
-+=
+，()2
2
12
2
421414k b x x k
--=+，
由
1222x x +=得()2
821414k k k -=+，解得1
2k =-. 于是2
1282x x b =-.于是
12PQ x =- =
=解得：2
4b =，2
16a =，∴椭圆E 的方程为22
1164
x y +=.
点睛：本题考查椭圆的方程和性质，考查向量共线的坐标表示，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理以及弦长公式，化简整理的运算能力，属于中档题. 21．设函数()21f x x x =--+. （1）解不等式()2f x >；
（2）若关于x 的不等式2
2()a a f x -≤解集是空集，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）1,2⎛
⎫
-∞- ⎪⎝⎭
；（2）3a >或1a <-． 【解析】
分析：（1）利用零点讨论法解不等式()2f x >。

（2）先求()max f x ，再解不等式()2
max 2?
a a f x ->得解.
详解：（1）由212x x --+>，得132x ≤-⎧⎨>⎩或12122x x -<<⎧⎨->⎩
或2
32x ≥⎧⎨->⎩，
解得12x <-
，即解集为1,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭.
（2）∵()2
2a a f x -≤的解集为空集，∴()2
max 2a a f x ->， 而()21f x x x =--+ ()()213x x ≤--+=， ∴223a a ->，即3a >或1a <-.
点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的三角不等式和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)绝对值三角不等式a b a b a b -≤-≤+常用来求最值.
22．如图，P 是圆锥的顶点，AB 是底面圆O 的一条直径，OC 是一条半径.且60AOC ∠=︒，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为8π的半圆面.
（1）求该圆锥的体积：
（2）求异面直线PB 与AC 所成角的大小. 【答案】（1）83
3
（2）1arccos 4θ= 【解析】 【分析】
(1)运用圆锥的体积公式求解；
(2)建立空间直角坐标系，运用空间向量的夹角公式求解. 【详解】
解：（1）设该圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，高为h ， 由题意2
1
82
l ππ=，∴4l =，
底面圆周长24C r l πππ===，∴2r =， ∴2223h l r =-= 因此，该圆锥的体积21833V r h π=
=； （2）如图所示，取弧AB 的中点D ，则OD OB ⊥， 因为OP 垂直于底面，所以OD 、OB 、OP 两两垂直
以OD 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系， 计算得(0,2,0)A -，(0,2,0)B ，(
)
3,1,0C
-
，()
0,0,23P ，
所以(
)3,1,0AC =
u u u r ，()
0,2,23PB =-u u u r
，
设PB 与AC 所成角的大小为θ，
则||1cos 4
||||AC PB AC PB θ⋅==⋅u u u r u u u r
u u u
r u u u r ， 所以1arccos
4
θ=， 即异面直线PB 与AC 所成角的大小为1arccos
4
θ=.
【点睛】
本题考查圆锥的体积和异面直线所成的角，属于基础题.。