《走向清华北大》高考总复习 精品31不等关系与不等式

《走向清华北大》高考总复习 精品31不等关系与不等式
班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )
A ．a ＋1b >b ＋1a
B ．a －1b >b －1a
C.b a >b ＋1a ＋1
D.2a ＋
b
a ＋2
b >a b
解析：由已知a >b >0及不等式的基本性质易得a ＋1b >b ＋1a ，故选A.
答案：A
2．下列命题中，真命题有( )
①若a >b >0，则1a 2<1
b 2；
②若a >b ，则c －2a <c －2b ；
③若a >b ，e >f ，则f －ac <e －bc ；
④若a >b ，则1a <1b .
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：①②为真命题，故选B.
答案：B
3．(2011·潍坊市模拟)已知0<x <y <a <1，则有( )
A ．log a (xy )<0
B ．0<log a (xy )<1
C ．1<log a (xy )<2
D ．log a (xy )>2
解析：由0<x <y <a <1，得xy <a 2，
∴log a (xy )>log a a 2
＝2，故选D.
答案：D
4．已知a >b ，则下列不等式一定成立的是( )
A ．lg a >lg b
B ．a 2>b 2 C. 1a <1b
D ．2a >2b 解析：只有指数函数y ＝2x 在R 上为增函数，所以D 正确，而A 、C 显然不是对于一切
实数都成立的，B 的等价条件是|a |>|b |，显然也错误，故选D.
答案：D
5．(2011·德州市模拟)若1<a <3，－4<b <2，则a －|b |的取值范围是( )
A ．(－1,3)
B ．(－3,6)
C ．(－3,3)
D ．(1,4)
解析：∵－4<b <2，∴0≤|b |<4，
∴－4<－|b |≤0.
又∵1<a <3，∴－3<a －|b |<3.故选C.
答案：C
6．(2009·菏泽市模拟)已知三个不等式：①ab >0；②bc －ad >0；③c a －d b
>0(其中a 、b 、c 、d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：若①②成立，则1ab
(bc －ad )>0， ∴c a －d b
>0，故③成立； 若①③成立，则ab ⎝ ⎛⎭
⎪⎫c a －d b >0， ∴bc －ad >0，故②成立；
若②③成立，即bc －ad >0，
bc －ad ab
>0， ∴ab >0，故①成立． 故正确命题的个数为3，应选D.
答案：D
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．以下四个不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a .其中使1a <1b
成立的充分条件是________．
解析：在①中：a <0，b >0，则1a <1b
； 在②中：b <a <0，则1b >1a
； 在④中：0<b <a ，则1b >1a
； 在③中：当b ＝－2，a ＝1时，1a <1b
不成立． 答案：①②④
8．设函数f (x )＝ax ＋b (0≤x ≤1)，则a ＋2b >0是f (x )>0在[0,1]上恒成立的________条件．(充分但不必要，必要但不充分，充要，既不充分也不必要)
解析：⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ b >0，a ＋b >0.
∴a ＋2b >0.
而仅有a ＋2b >0，无法推出f (0)>0和f (1)>0同时成立．
答案：必要但不充分
9．若－1＜a ＜b ＜1，－2＜c ＜3则(a －b )·c 的取值范围是________．
解析：∵－1＜a ＜b ＜1，∴－2＜a －b ＜0
∴2＞－(a －b )＞0
当－2＜c ＜0时，2＞－c ＞0，
∴4＞(－c )[－(a －b )]＞0，即4＞c ·(a －b )＞0；
当c ＝0时，(a －b )·c ＝0
当0＜c ＜3时，0＜c ·[－(a －b )]＜6
∴－6＜(a －b )·c ＜0
综上得：当－2＜c ＜3时，－6＜(a －b )·c ＜4.
答案：－6＜(a －b )·c ＜4
10．(精选考题·青岛质检题)给出以下四个命题：
①a >b ⇒a n >b n (n ∈N *)；
②a >|b |⇒a n >b n (n ∈N *)；
③a <b <0⇒1a >1b
； ④a <b <0⇒1a －b >1a
，其中真命题的序号是________． 解析：①中取a ＝－1，b ＝－2，n ＝2，不成立；②a >|b |，得a >0，∴a n >b n 成立；③a <b <0，
得1a >1b 成立；④a <b <0，得a －b <0，且a －b >a ，故1a －b <1a
，④不成立． 答案：②③
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．设m ∈R，x ∈R，比较x 2－x ＋1与－2m 2
－2mx 的大小．
解：解法一：(x 2－x ＋1)－(－2m 2－2mx )＝x 2＋(2m －1)x ＋(2m 2＋1)．
关于x 的二次三项式x 2＋(2m －1)x ＋(2m 2＋1)的判别式为Δ＝(2m －1)2－4(2m 2＋1)＝－4m 2－4m －3.
二次三项式－4m 2－4m －3的判别式为Δ′＝(－4)2－4×(－4)×(－3)＝－32<0， ∴Δ<0恒成立．
∴(x 2－x ＋1)－(－2m 2－2mx )>0，
即x 2－x ＋1>－2m 2－2mx .
解法二：∵(x 2－x ＋1)－(－2m 2－2mx )
＝x 2＋(2m －1)x ＋(2m 2＋1)
＝x 2＋(2m －1)x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －122＋2m 2＋1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2m －122 ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋2m －122＋m 2＋m ＋34 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2m －122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 2＋m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋34－⎝ ⎛⎭
⎪⎫122 ＝⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋2m －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122＋12≥12>0， ∴x 2－x ＋1>－2m 2－2mx .
12．已知a 、b 、c ∈{正实数}，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N 且n >2时，比较c n 与a n ＋b n
的大小．
分析：考虑比较的是幂的形式，作差不可行，作商处理．
解：∵a 、b 、c ∈{正实数}，∴a n ，b n ，c n >0 而a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b c n ∵a 2＋b 2＝c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b c 2
＝1 ∴0<a c <1,0<b c
<1 ∵n ∈N，n >2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭
⎪⎫b c 2
∴a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <a 2＋b 2c 2＝1 ∴a n ＋b n <c n
评析：作商法比较大小，作商——变形——判断商与1的关系．
13．有三个实数m 、a 、b (a ≠b )，如果在a 2(m －b )＋m 2b 中，把a 和b 互换，所得的代数式的值比原式的值小，那么关系式a ＜m ＜b 是否可能成立？请说明你的理由．
解：不妨设P ＝a 2(m －b )＋m 2b ，
Q＝b2(m－a)＋m2a.
由题意知Q＜P，即Q－P＜0.
∴b2(m－a)＋m2a－a2(m－b)－m2b＜0，
(a－b)m2＋(b2－a2)m＋ab(a－b)＜0.
∴(a－b)(m－a)(m－b)＜0.(*)
若a＜m＜b成立，则a＜b，
这时不等式(*)的解为m＞b或m＜a，矛盾．故a＜m＜b不可能成立．。