浙江版2018年高考数学一轮复习(讲练测)：专题7.6数学归纳法(练)有解析

第06节 数学归纳法
A 基础巩固训练
1．用数学归纳法证明“()
22
1
*111,1n n a a a a
a n N a
++-+++
+=≠∈-，在验证1n =时，等式左边是 （ ） A. 1 B. 1a + C. 21a a ++ D. 231a a a +++ 【答案】C
【解析】1n =时，等式的左边等于21a a ++,选C. 2．用数学归纳法证明等式()()(
)222
22
22221
1211213
n n n n n +++-++-+
++=
，当1n k =+时，等
式左端应在1n k =+的基础上加上（ ）
A. ()2
212k k ++ B. ()2
21k k ++ C. ()2
1k + D. ()()2
112113
k k ⎡⎤+++⎣⎦ 【答案】B
3．用数学归纳法证明42
2
1232
n n n ++++
+=，则当1n k =+时，左端应在n k =的基础上加上（ ）
A. 21k +
B. ()2
1k + C.
()()42
112
k k +++ D. (
)(
)
()2
2
2
121k k k ++++
++
【答案】D
【解析】由于当n k =时，等式左端212k =+++，因此当1n k =+时，等式左端
()
()2
222121(2)1k k k k =++
++++++
++，增加了项()()
()2
22121k k k ++++
++．应选答案D.
4．用数学归纳法证明()
*
11
11,123
21
n
n n N n +
++<∈>-时，由()n k 1k =>时不等式成立，推证n k 1=+时，左边应增加的项数是（ ） A. 1
2
k - B. 21k - C. 2k
D. 21k
+
【答案】C
【解析】当n=k 时，左边=111
12321
k
+++-； 当n =k+1时，左边=11112321k +
++-+1
2k
+…+1121
k +-.
因为2k ，2k +1，2k +2，…，2k+1-1是一个首项为2k ，公差为1的等差数列，共有2k
项， 所以左边增加了2k
项. 故选C.
5．用数学归纳法证明“”时，由
不等式成立，证明
时，左边应增加的
项数是( ) A.
B.
C. D.
【答案】C
B 能力提升训练
1.用数学归纳法证明不等式“11113(2)12
224
n n n n +++
>>++”时的过程中，由n k =到1n k =+时，不等式的左边（ ） A. 增加了一项
()121k + B. 增加了两项()
11
2121k k +++
C. 增加了两项()112121k k +++，又减少了一项11k +
D. 增加了一项()121k +，又减少了一项1
1
k + 【答案】C
【解析】n k =时，左边11
1
12
k k k k
=
+++
+++, 1n k =+时，左边()()
()()
11
1
111211k k k k =
++
+
+++++++,
1
11111
1212122
k k k k k k k ⎛⎫=+++
-++ ⎪
++++++⎝⎭ 所以C 选项是正确的.
2.用数学归纳证明“凸n 边形对角线的条数()()32
n n f n -=”时，第一步应验证 （ ）
A. 1n =成立
B. 2n =成立
C. 3n =成立
D. 4n =成立 【答案】C
3．用数学归纳法证明
11111
12
234
n n n +++
>++时，由k 到k+1，不等式左边的变化是（ ） A. 增加
()
1
21k +项
B. 增加
121k +和1
22
k +两项 C. 增加
121k +和122k +两项同时减少1
1
k +项 D. 以上结论都不对 【答案】C
【解析】n k =时，左边111
12k k k k
=
++⋯+
+++， 1n k =+时，左边()()()()
111111211k k k k =
++⋯++++++++，由“n k =”变成“1n k =+”时， 111
21221k k k +-
+++ 故选C.
点睛：本题主要考查了数学归纳法的应用，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n 0并验证真假．（必不可少）②“假设n=k 时命题正确”并写出命题形式．③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设． 4．用数学归纳法证明()
*11111,234
212
n
n n N +++++
>∈-假设()
*
n k k N =∈时成立,当1n k =+时,左端增加的项数是
A. 1项
B. 1k -项
C. k 项
D. 2k
项 【答案】D
【解析】因为从1
2121k k +-→-有()1
2
22212k k k k +-=-=项，所以左端增加的项是2k 项，应选答案D.
5．凸n 边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形有对角线数f(n+1)为( )． A. f(n)+n+1 B. f(n)+n C. f(n)+n-1 D. f(n)+n-2 【答案】C
C 思维拓展训练
1．用数学归纳法证明2
2n n >， n 的第一个取值应当是
A. 1
B. 3
C. 5
D. 10
【答案】C
【解析】1n =时， 1221>成立， 2n =时， 2222>，不成立， 3n =时， 3223>不成立， 4n = 时， 4224>不成立， 5n =时， 5225>不成立， 6n =时， 6226>不成立， 7n =时， 7227>不成立，
∴满足5n =成立， n ∴的第一个值是5 ，故选C
2. 观察如图三角形数阵，则
（1）若记第n 行的第m 个数为nm a ，则73a = ． （2）第(2)n n ≥行的第2个数是 ．
【答案】41 222
n n -+
3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-，求数列{}n a 的通项公式．勤于思考的小红设计了下面两种解题思路，请你选择其中一种并将其补充完整．
思路1：先设n 的值为1，根据已知条件，计算出1a =_________， 2a =__________， 3a =_________． 猜想： n a =_______.
然后用数学归纳法证明．证明过程如下： ①当1n =时，________________，猜想成立
②假设n k =（k ∈N*）时，猜想成立，即k a =_______．
那么，当1n k =+时，由已知2n n S a n =-，得1k S +=_________．
又2k k S a k =-，两式相减并化简，得1k a +=_____________（用含k 的代数式表示）． 所以，当1n k =+时，猜想也成立． 根据①和②，可知猜想对任何k ∈N*都成立．
思路2：先设n 的值为1，根据已知条件，计算出1a =_____________．
由已知2n n S a n =-，写出1n S +与1n a +的关系式： 1n S +=_____________________， 两式相减，得1n a +与n a 的递推关系式： 1n a +=____________________． 整理： 11n a ++=____________．
发现：数列{}1n a +是首项为________，公比为_______的等比数列． 得出：数列{}1n a +的通项公式1n a +=____，进而得到n a =____________．
【答案】 11a = 23a = 37a = 21n n a =- 11211a =-= 21k
k a =- ()1121k k S a k ++=-+
1121k k a ++=- 11a = ()1121n n S a n ++=-+ 121n n a a +=+ ()1121n n a a ++=+ 2 2 12n n a +=
21n n a =-
31237a a a =++= ，由此猜想21n n a =- ；下面用数学归纳法证明，证明过程如下：
①当1n =时， 1121a a =- ，得11a = ，符合1
1211a =-= ，猜想成立.
②假设n k =（k ∈N*）时，猜想成立，即21k
k a =-,
那么，当1n k =+时，由已知2n n S a n =-，得1k S + ()121k a k +=-+,()1121k k k S a a k +++=-+
又2k k S a k =-，两式相减并化简，得11221k k k a a a ++=-- ， 121k k a a +=+ ()
1221121n n +=⨯-+=- （用含k 的代数式表示）．所以，当1n k =+时，猜想也成立． 根据①和②，可知猜想对任何k ∈N*都成立．
思路2. 先设n 的值为1，根据已知条件，计算出11a =，
由已知2n n S a n =-，写出1n S +与1n a +的关系式： ()1121n n S a n ++=-+ ， 两式相减，得1n a +与n a 的递推关系式： 121n n a a +=+， 整理： 11n a ++= ()21n a + ，
11
21
n n a a ++=+
发现：数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列．
得出：数列{}1n a +的通项公式1n a += 1222n n -⨯= ，进而得到n a = 21n
- ．
4.【浙江省波市九宁校2017年期末联考】已知*n N ∈， ()()
()12,n S n n n n =+++
()21321n n T n =⨯⨯⨯
⨯-.
(Ⅰ)求 123123,,,,,S S S T T T ；
(Ⅱ)猜想n S 与n T 的关系，并用数学归纳法证明.
【答案】(Ⅰ) 1122332,12,120S T S T S T ======; (Ⅱ)详见解析
.
试题解析：
(Ⅰ) 1122332,12,120S T S T S T ======； (Ⅱ)猜想： n n S T =（*n N ∈）
证明：(1)当1n =时， 11S T =；
（2）假设当()
*1n k k k N =≥∈且时， k k S T =， 即()()()()1221321k k k k k k +++=⨯⨯⨯-，
则当1n k =+时
()()()()111)1211111k S k k k k k k k k +=++++++-+++++（
=()()()()()2322122k k k k k ++++
=
()()()2132121221
k k k k k ⨯⨯⨯
-⨯
+++
=()()1
12132121k k k k T ++⨯⨯⨯
-+=.
即1n k =+时也成立,
由（1）（2）可知*n N ∈， n n S T =成立
5．【2018届浙江省名校协作体高三上学期联考】已知无穷数列{}n a 的首项11
2
a =
， *1111,2n n n a n N a a +⎛⎫
=+∈ ⎪⎝⎭
. （Ⅰ）证明： 01n a <<； （Ⅱ） 记()2
1
1
n n n
n n a a b a a ++-=， n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：对任意正整数n ， 3
10
n T <
. 【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.
则111n n a a +⎧⎫-⎨
⎬⎩⎭
也为递减数列，故当2n ≥时， 111n n a a +- 22112a a ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭ 154245⎛⎫=- ⎪
⎝⎭ 9
40= 所以当2n ≥时， ()2
1
1
n n n
n n a a b a a ++-== ()()111119
40n n n n n
n a a a a a a +++⎛⎫--<- ⎪⎝⎭
当1n =时， 1193
4010
n T T b ===
<，成立； 当2n ≥时，利用裂项求和法即可得证
试题解析：（Ⅰ）证明：①当1n =时显然成立； ②假设当n k = ()
*k N ∈时不等式成立，即01k a <<， 那么当1n k =+时，
11112k k k a a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ > 1·2?12k a a =，所以101k a +<<， 即1n k =+时不等式也成立.
综合①②可知， 01n a <<对任意*n N ∈成立. （Ⅱ）
122
11
n n n a a a +=>+，即1n n a a +>，所以数列{}n a 为递增数列。

又
1111112n n n n n a a a a a +⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ 112n n a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列， 所以111n
n a a +⎧⎫
-⎨
⎬⎩⎭也为递减数列， 所以当2n ≥时，
111n n a a +- 22112a a ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭
154245⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 9
40=
所以当2n ≥时， ()2
1
1
n n n
n n a a b a a ++-== ()()111119
40
n n n n n n a a a a a a +++⎛⎫--<- ⎪⎝⎭
当1n =时， 1193
4010n T T b ===<，成立； 当2n ≥时， 12n n T b b b =++
+ <
()()()32431994040
n n a a a a a a +⎡⎤+-+-++-⎣⎦
()1299
4040
n a a +=
+- ()2999942731140404040510010a ⎛⎫<
+-=+-=< ⎪⎝⎭ 综上，对任意正整数n ， 3
10
n T <。