2016北京二十四中高二(上)期中数 学

2016北京二十四中高二（上）期中数学
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）直线（a为实常数）的倾斜角的大小是（）
A．30° B．60° C．120°D．150°
2．（3分）若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）
A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交
3．（3分）到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是（）
A．3x﹣4y﹣11=0 B．3x﹣4y﹣11=0或3x﹣4y+9=0
C．3x﹣4y+9=0 D．3x﹣4y+11=0或3x﹣4y﹣9=0
4．（3分）一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的体积为（）
A．B．C．πD．
5．（3分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
6．（3分）直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为（）
A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣
7．（3分）下列四个结论：
（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；
（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；
（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；
（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．
其中正确的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（3分）已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（）A．B． C．4πD．
9．（3分）已知点M（0，﹣1），点N在直线x﹣y+1=0上，若直线MN垂直于直线x+2y﹣3=0，则点N的坐标是（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，3）C．（2，1）D．（﹣2，1）
10．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为（）
A．30° B．45° C．60° D．90°
11．（3分）由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体木块有（）
A．6块B．7块C．8块D．9块
12．（3分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD所成的角为60°；
④AB与CD所成的角为60°．
其中错误的结论是（）
A．①B．②C．③D．④
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）过点（1，2）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程是．
14．（4分）△ABC的三顶点分别是A（﹣8，5），B（4，﹣2），C（﹣6，3），则BC边上的高所在的直线的一般式方程是．
15．（4分）经过两直线2x﹣3y﹣12=0和x+y﹣1=0的交点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为．16．（4分）直线y=k（x+1）+3与以点A（2，﹣5），B（4，﹣2）为端点的线段AB有公共点，则k的取值范围是_ 17．（4分）如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面ABCD满足条件时，有AC⊥B1D1（写出你认为正确的一种条件即可．）．
18．（4分）如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是．
三、解答题（共3小题，满分40分）
19．（12分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．求：
（Ⅰ）直线l的方程；
（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．
20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，试探求点E的位置，使SC∥平面EBD，并证明．
21．（16分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．
（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；
（2）求证：面SAB⊥面SBC；
（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值．
数学试题答案一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．【解答】∵直线（a为实常数）的斜率为﹣
令直线（a为实常数）的倾斜角为θ
则tanθ=﹣
解得θ=150°
故选D
2．【解答】由a、b是异面直线，直线c∥a知c与b的位置关系是异面或相交，
故选D．
3．【解答】设到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是 3x﹣4y+c=0，由两平行线间的距离公式得
=2，c=﹣11，或 c=9．∴到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是 3x﹣4y﹣11=0，
或 3x﹣4y+9=0，
故选 B．
4．【解答】由三视图可知这个几何体是圆柱体，且底面圆的半径，高为1，
那么圆柱体的体积是：π×（）2×1=，
故选A．
5．【解答】A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；
B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；
C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；
D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确；
故选C．
6．【解答】∵直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，
∴1×2﹣（1+m）m=0，解得m=1或﹣2，
当m=﹣2时，两直线重合．
故选：A．
7．【解答】（1）两条直线都和同一个平面平行，那么这两条直线可能平行、相交、异面．故（1）不正确．
（2）两条直线没有公共点，那么这两条直线可能平行、异面．故（2）不正确．
（3）两条直线都和第三条直线垂，则这两条直线可能平行、相交、异面．故（3）不正确．
（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面可能平行、可能相交、可能在平面内．故选A
8．【解答】因为AB=BC=CA=2，
所以△ABC的外接圆半径为r=．
设球半径为R，则R2﹣（R）2=，
所以R2=
S=4πR2=．
故选D
9．【解答】∵点N在直线x﹣y+1=0上
∴可设点N坐标为（x0，x0+1）
根据经过两点的直线的斜率公式，可得
=
∵直线MN垂直于直线x+2y﹣3=0，而直线x+2y﹣3=0的斜率为
∴⇒=2⇒x0=2
因此，点N的坐标是（2，3）
故选B
10．【解答】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵D1C∥A1B，
∴∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，
∵A1D=A1B=BD，
∴△A1BD是等边三角形，
∴∠DA1B=60°，
∴异面直线A1D与D1C所成的角是60°．
故选：C．
11．【解答】由俯视图，我们可得该几何体中小正方体共有4摞，
结合正视图和侧视图可得：
第1摞共有3个小正方体；
第2摞共有1个小正方体；
第3摞共有1个小正方体；
第4摞共有2个小正方体；
故搭成该几何体的小正方体木块有7块，
故选B．
12．【解答】取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．∴BD⊥面AEC．
∴BD⊥AC，故①正确．
设正方形边长为a，则AD=DC=a，AE=a=EC．
∴AC=a．
∴△ACD为等边三角形，故②正确．
∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°，故③不正确．
以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴建立直角坐标系，
则A（0，0，a），B（0，﹣a，0），D（0，a，0），C（a，0，0）．
=（0，﹣a，﹣a），=（a，﹣a，0）．
cos＜，＞==
∴＜，＞=60°，故④正确．
故选C
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．【解答】设过点（1，2）且与直线x+2y=0平行的直线方程为x+2y+m=0，
把点（1，2）代入直线方程得，
1+4+m=0，m=﹣5，
故所求的直线方程为 x+2y﹣5=0，
故答案为：x+2y﹣5=0．
14．【解答】∵△ABC的三顶点分别是A（﹣8，5），B（4，﹣2），C（﹣6，3），
∴k BC==﹣，
∴BC边上高AD所在直线斜率k=2，
又过A（﹣8，5）点，
∴BC边上的高AD所在的直线AD：y﹣5=2（x+8），
即2x﹣y+21=0．
故答案为：2x﹣y+21=0
15．【解答】由解得
∴直线2x﹣3y﹣12=0和x+y﹣1=0的交点坐标为（3，﹣2）
①所求直线经过原点时，满足条件
方程设为y=kx，可得3k=﹣2，解得k=﹣，此时直线方程为y=﹣x，即2x+3y=0；
②当所求直线在坐标轴上的截距不为0时，方程设为x+y=a，
可得3﹣2=a，解之得a=1，此时直线方程为x+y﹣1=0
综上所述，所求的直线方程为2x+3y=0；或x+y+1=0．
16．【解答】由y=k（x+1）+3，得直线y=k（x+1）+3过定点P（﹣1，3），
∵A（2，﹣5），B（4，﹣2），
∴k PA=﹣，k PB=﹣1．
∴满足直线y=k（x+1）+3与线段AB有公共点的k的取值范围是[﹣，﹣1]．
故答案为：[﹣，﹣1]．
17．【解答】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵BD∥B1D1，
∴若AC⊥BD，则AC⊥B1D1
∴当底面ABCD是菱形、正方形或者是对角线相互垂直的四边形时，AC⊥B1D1
故答案为：ABCD是菱形、正方形或者是对角线相互垂直的四边形
18．【解答】过AB上一点Q分别在α，β内做AB的垂线，交PM，PN于M点和N点则∠MQN即为二面角α﹣AB﹣β的平面角，如下图所示：
设PQ=a，则∵∠BPM=∠BPN=45°
∴QM=QN=a
PM=PN= a
又由∠MPN=60°，易得△PMN为等边三角形
则MN= a
解三角形QMN易得∠MQN=90°
故答案为：90°
三、解答题（共3小题，满分40分）
19．【解答】（Ⅰ）由解得由于点P的坐标是（﹣2，2）．
则所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m=0．
把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+m=0，即m=2．
所求直线l的方程为2x+y+2=0．
（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴．y轴上的截距分别是﹣1．﹣2，
所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积．
20．【解答】点E的位置是棱SA的中点．
证明：取SA的中点E，连接EB，ED，AC，
设AC与BD的交点为O，连接EO．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是AC的中点．
又E是SA的中点，∴OE是△SAC的中位线．
∴OE∥SC．
∵SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD，
∴SC∥平面EBD．
故E的位置为棱SA的中点．
21．【解答】（1）∵底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．
∴四棱锥S﹣ABCD的体积：
V==
==．
（2）证明：∵SA⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，
∴SA⊥BC，
∵AB⊥BC，SA∩AB=A，
∴BC⊥面SAB
∵BC⊂面SBC
∴面SAB⊥面SBC．
（3）解：连接AC，
∵SA⊥面ABCD，
∴∠SCA 就是SC与底面ABCD所成的角．
在三角形SCA中，
∵SA=1，AC=，
∴．…10分。