【数学】广东省汕头市潮阳第一中学等七校联合体高三冲刺模拟试题(文)(解析版)

广东省汕头市潮阳第一中学等七校联合体高三冲刺模拟
数学试题
I 卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{}10|≤≤=x x M ，{}1|||≥=x x N ，则M N =（ ）
A.{}10|≤≤x x
B.{}10x x x ≤-≥或
C.{}101|≤≤-≤x x x 或
D.{}1
2．若复数11i z i
-=+，则z =（ ） A.1 B.1- C.i D.i -
3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为甲x 、乙x ，标准差分别为甲σ、乙σ，则（ ）
A.乙甲乙甲，σσ<<x x
B.乙甲乙甲，σσ><x x
C.乙甲乙甲，σσ<>x x
D.乙甲乙甲，σσ>>x x
4．已知数列}{n a 为等差数列，且55=a ，则9S 的值为（ ）
A.25
B.45
C.50
D.90
5．已知2133
311,,log 34a b c π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则c b a ,,的大小关系为（ ） A.c b a >> B.b c a >> C.b a c >> D.a b c >>
6．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为 （ ）
A.16-
B.34
C.6
D.14
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ ）
A.5
B.6
C.7
D.22
8．若函数的定义域为，其导函数为'()f x ．若'()30f x -<恒成立，0)2(=-f ，则()36f x x -<解集为 （ ）
A.(,2)-∞-
B.)2,2(-
C.)2,(-∞
D.),2(+∞-
9．执行如图的程序框图，则输出的S 值为（ ）
A.1
B.2
3 C.12
- D.0 10．已知直线134+-=x y 的倾斜角为α，则)sin()4
5cos(2cos απαπα++的值为（ ） A.22 B.42 C. 82 D.4
27
)(x f
R
11．设函数222
)()2cos()(e
x e x x x f +++-=ππ的最大值为M ,最小值为N ，则2018)1(-+N M 的值为（ ）
A.1
B.2
C.20182
D.20183 12．已知点F 是曲线21:4
C y x =的焦点，点P 为曲线C 上的动点，A 为曲线C 的准线与其对称轴的交点，则PF
PA 的取值范围是（ ） A.0]2（，
B.,12）
C.,1]2
D.2
+∞，） Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知实数y x ,满足约束条件2060230x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩
，则23z x y =-的最小值是 ．
14．甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为,,A B C 三个层次），得A 的同学直接进入第二轮考试．从评委处得知，三名同学中只有一人获得A ．三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：
甲说：看丙的状态，他只能得B 或C ；
乙说：我肯定得A ；
丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测．
事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得A 的同学是 ．
15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知()()3a b c a b c ab +-++=，且4=c ，则ABC ∆面积的最大值为 ．
16．在平面上，12OB OB ⊥，且12OB =，21OB =，12OP OB OB =+．
若12MB MB =，则PM 的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*4(1),3n n S a n N =
-∈． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）令n n a b 2log =，记数列1(1)(1)n n b b ⎧⎫⎨
⎬-+⎩⎭
的前n 项和为n T ，证明：21<n T ．
18．（本小题满分12分）
据统计，2018年五一假日期间，某市共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：
（Ⅰ）求,a b 的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?
（Ⅱ）若导游的奖金y （单位：万元），与其一年内旅游总收入x （单位：百万元）之间的
关系为 1 202 20403 40x y x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩
，求甲公司导游的年平均奖金；
（Ⅲ）从甲、乙两家公司旅游收入在[
)50,60的总人数中，用分层抽样的方法随机抽取6人进行表彰，其中有两名导游代表旅游行业去参加座谈，求参加座谈的导游中有乙公司导游的概率.
在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别为BC 、AP 中点.
（1）求证：//EF 平面PCD ；
（2
）若1AD AP PB AB ===，求三棱锥P DEF -的体积.
20．（本小题满分12分） 已知点)1,0(-A 、)1,0(B ，P 为椭圆C :12
22
=+y x 上异于点B A ,的任意一点． （Ⅰ）求证：直线PA 、PB 的斜率之积为2
1-； （Ⅱ）是否存在过点)0,2(-Q 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，使得||||BN BM =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数f （x ）=x 2+1，g （x ）=2a ln x +1（a ∈R ）
（1）求函数h （x ）=f （x ）g （x ）的极值；
（2）当a =e 时，是否存在实数k ，m ，使得不等式g （x ）≤ kx +m ≤f （x ）恒成立？若存在请 求实数k ，m 的值；若不存在，请说明理由．
（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题记分.
22．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :sin x C y θθ
=⎧⎨=⎩(θ为参数) 上任意一点(,)P x y 经过
伸缩变换''2x y y
⎧=⎪⎨=⎪⎩后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2cos sin )8l ρθθ-=．
（Ⅰ）求曲线2C 和直线l 的普通方程；
（Ⅱ）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．
23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数|3||13|)(k x x x f ++-=,4)(+=x x g ．
（Ⅰ）当3-=k 时,求不等式()4f x ≥的解集；
（Ⅱ）设1->k ,且当⎪⎭⎫⎢⎣
⎡-
∈31,3k x 时，都有()()f x g x ≤,求k 的取值范围．
【参考答案】
1． D
【解析】由已知解绝对值不等式得(,1][1,)N =-∞-+∞，在数轴上画出两集合易得答案为D .
2．C
【解析】由已知2
1(1)1(1)(1)
i i z i i i i --===-++-，则z =i .故选C . 3．C
【解析】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙.故选C .
4.B
【解析】由已知及等差数列性质有
9129192855()()945S a a a a a a a a a =+++=+++++==，故选B .
另外也可以由5145a a d =+=，9119369(4)45S a d a d =+=+=.
【解析】由已知及等差数列性质有
9129192855()()945S a a a a a a a a a =+++=+++++==，故选B . 另外也可以由5145a a d =+=，9119369(4)45S a d a d =+=+=. 另，1959529994522
a a a S a +=
⨯=⨯==. 5． D 【解析】已知12331142b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，由指数函数性质易知2
23311132⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又3log 1c π=>，故选D .
另：2313a ⎛⎫==
= ⎪⎝⎭
，1314b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，3log 1c π=>亦得a b c >>. 6．A
【解析】画出正三角形，以其每个顶点为圆心作半径为2的圆弧与正三角形相交，蚂蚁爬行的区域不能在3
扇形内，故1P ==.故选A .
7．B
【解析】根据三视图作出原几何体（四棱锥P ABCD -
）的直观图如下：可计算PB PD BC PC ====，故该几何体的最大边长为6.
8．D
【解析】由已知有()360f x x --<，令()()36g x f x x =--，则()()30g x f x ''=-<，函数()g x
在单调递减，(2)(2)3(2)60g f -=--⨯--=，由()0g x <有()(2)g x g <-，则2x >-，
故选D .
另：由题目和答案可假设()24f x x =+，显然满足'()30f x -<和0)2(=-f ，带入不等式解可得答案D .
9． D 【解析】由图知本程序的功能是执行22019cos0cos cos cos 333
S πππ=++++ 此处注意程序结束时2019n =，由余弦函数和诱导公式易得：
2345cos0cos cos cos cos cos 033333
π
ππππ+++++=，周期为6，202033664=⨯+ 2201911cos0cos
cos
cos 336011033322S πππ=++++=⨯
++--
= 10．B 【解析】由已知有4tan 3
k α==-， cos 2cos sin 12(1)5sin tan cos()sin()4α
ααπαααπα+===+++
z
R
故cos 254
cos()sin()4α
παπα=++，故选B . 11． A
【解析】 由已知x R ∈，
222222222
cos()()sin 2sin 22()1x x e x x e ex x ex f x x e x e x e ππππ-++++++===++++ 令22sin 2()x ex g x x e
π+=
+，易知()g x 为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值和为0， max min max min ()()()1()12M N f x f x g x g x +=+=+++=，2018)1(-+N M =1，故选A .
12．C
【解析】由已知2
(,)4
x P x ，(0,1)A -，(0,1)F -，则
PF
PA ====
2≥=，当且仅当24x =时等号成立，
1≤，故选C . 另：作出图象后易知||||PA PF ≥，则1PF PA
≤，故选C .
13．-8
【解析】约束条件2060230x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩
表示的平面区域为封闭的三角形，求出三角形的三个顶点
坐标分别为()2,4、()5,1、()1,2--，带入23z x y =-所得值分别为8-、7、4，故23z x y =-的最小值是8-.
另，作出可行域如下：
由23z x y =-得233z y x =-，当直线经过点()2,4A 时，截距3
z
-取得最大值，此时z 取得最小值，为8-. 14．甲
【解析】若得A 的同学是甲，则甲、丙预测都准确，乙预测不准确，符合题意；若得A 的同学是乙，则甲、乙、丙预测都准确，不符合题意；若得A 的同学是丙，则甲、乙、丙预测都不准确，不符合题意。

综上，得A 的同学是甲. 15
．【解析】由已知有222a b c ab +-=，2221
cos 222
a b c ab C ab ab +-=
==，由于(0,)C π∈
，sin 2
C =
又22162a b ab ab ab ab =+-≥-=，则16ab ≤
，
11sin 16222
ABC S ab C ∆=
≤⨯⨯=当且仅当4a b ==时等号成立.故ABC ∆
面积的最大值为 16
【解析】分别以1OB 、2OB 为x 、y 轴建立直角坐标系O xy -， 设()()122,0,0,1B B ，由12OP OB OB =+得()2,1P .
设(),M x y ，由12MB MB =得()()2
2
22
21x y x y -+=+-，即4230x y --=，
3=0
2
PM =()2
2
224341799215145()2452020x x x x x -⎛⎫
-+-=-+=-+≥
⎪⎝⎭
， 9
20PM ≥
=10,即PM 的取值范围是
[)10
+∞
. 另，
PM 可看作直线230x y --=上动点(),M x y 与定点(2,1)P 的距离，通过数形结合，明显min 10
d =
=
=
. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分） 解：（I ）当1=n 时，有1114
(1)3
a S a ==
-，解得41=a . 当2≥n 时，有)1(3
4
11-=
--n n a S ，则 1144(1)(1)33
n n n n n a S S a a --=-=--- 整理得：41=-n n a a
∴ 数列}{n a 是以4q =为公比，以41=a 为首项的等比数列．
∴ 1*444(n n n a n N -=⨯=∈）
即数列}{n a 的通项公式为：*
4()n
n a n N =∈． ………………………6分 （II ）由（I ）有22log log 42n n n b a n ===，则
11111=(1)(1)(21)(21)22121n n b b n n n n ⎛⎫
=- ⎪+-+--+⎝⎭
∴ n T )
12)(12(1751531311-++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=
n n )]1
21
121()7151()5131()3111[(21+--+⋅⋅⋅+-+-+-=n n
111(1)2212
n =-<+ 故得证. ………………………………………12分 18．（本小题满分12分）
解：（I ）由直方图知：()0.010.0250.0350.01101a ++++⨯=，有0.02a =， 由频数分布表知：1849245100b ++++=，有4b =．
∴ 甲公司的导游优秀率为：()0.020.0110100%30%+⨯⨯=； 乙公司的导游优秀率为：
245
100%29%100
+⨯=； 由于30%29%>, 所以甲公司的影响度高． ………………………4分 （II ）甲公司年旅游总收入[
)10,20的人数为0.011010010⨯⨯=人； 年旅游总收入[)20,40的人数为()0.0250.0351010060+⨯⨯=人； 年旅游总收入[
)40,60的人数为()0.020.011010030+⨯⨯=人； 故甲公司导游的年平均奖金110602303
2.2100
y ⨯+⨯+⨯=
=（万元）． ……8分
（III ）由已知得，年旅游总收入在[
)50,60的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．按分层抽样的方法甲公司抽取106415⨯
=人，记为,,,a b c d ；从乙公司抽取5
6215
⨯=人，记为1,2．则6人中随机抽取2人的基本事件有：
()()()()()()()()()()()(),,,,,,,1,,2,,,,,,1,,2,,,,1,,2,a b a c a d a a b c b d b b c d c c ()()(),1,,2,1,2d d 共15个.
参加座谈的导游中有乙公司导游的基本事件有：(),1a ,(),2a ,(),1b ,(),2b ,(),1c ,(),2c ,
(),1d ,(),2d ,()1,2共9个．
设事件A 为“参加座谈的导游中有乙公司导游”，则()93
155
p A =
=
∴所求概率为3
5
．…………………………………………………12分
19.（本小题满分12分）
（I）证明：取PD中点G，连接,
GF GC.
在△PAD中，有
,G F分别为PD、AP中点
∴
1
//
2
GF AD在矩形ABCD中，E为BC中点
∴
1
//
2
CE AD∴//
GF EC
∴四边形ABCD是平行四边形∴//
GC EF
而GC⊂平面PCD，EF⊄平面PCD
∴//
EF平面PCD………………………………………………6分
（II ）解：四边形ABCD是矩形
∴AD AB
⊥，//
AD BC
平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB，AD⊂平面PAB ∴AD⊥平面PAB
∴平面PAD⊥平面PAB，//
BC平面PAD
1
AD AP PB AB
===
∴
AB222
AP PB AB
+=∴AP PB
⊥
∴BP⊥平面
PAD//
BC平面PAD
∴ 点E 到平面PAD 的距离等于点B 到平面PAD 的距离.
而 111112224
PDF
S
PF AD =⨯⨯=⨯⨯= ∴ 1
111
13
3412
P DEF PDF
V S
BP -==⨯⨯=
∴ 三棱锥P DEF -的体积为
1
12
. …………………………………12分
20．（本小题满分12分）
解：（I ）设点),(y x P ，)0(≠x ，则1222=+y x ，即22
12
x y =- ∴ 11PA PB
y y k k x x -+⋅=2
21y x -=22
112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=1
2=-
故得证． ………………………………5分 （II ）假设存在直线l 满足题意．
显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆C 不相交． ①当直线l 的斜率0≠k 时，设直线l 为：)2(+=x k y
联立⎪⎩
⎪⎨⎧+==+)2(1222
x k y y x ，化简得：0288)21(2
222=-+++k x k x k
由0)28)(21(4)
8(2
222
>-+-=∆k k k ，解得0k k <<≠） 设点),(11y x M ，),(22y x N ，则2
12221228128212k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨
-⎪=⎪+⎩
∴ 2
22212121442184)(k k
k k k k k x x k y y +=++-=++=+
取MN 的中点H ，则1212,22x x y y H ++⎛⎫
⎪⎝⎭，则12
122
12
1-=⋅+-+k x x y y 即 2
22
21121412k
k k k k -+=--+，化简得01222=++k k ，无实数解，故舍去．
②当0=k 时，,M N 为椭圆C 的左右顶点，显然满足||||BN BM =，此时直线l 的方程为
0y =．
综上可知，存在直线l 满足题意，此时直线l 的方程为0y =． ……………12分 21．（本小题满分12分）
解：（1）h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣2a ln x ，x ＞0 所以 h ′（x ）=
-----------------------1分
当a ≤0，h ′（x ）＞0，此时h （x ）在（0，+∞）上单调递增，无极值。

-----2分 当a ＞0时，由h ′（x ）＞0，即x 2﹣a ＞0，解得：a ＞或x ＜﹣
（舍去）
由h ′（x ）＜0，即x 2﹣a ＜0，解得：0＜x ＜--------------4分 ∴h （x ）在（0，
）单调递减，在（
，+∞）单调递增
∴h （x ）的极小值为h （
）=a ﹣2a ln
=a ﹣a ln a ，无极大值；------5分
（2）当a =e 时，由（1）知
h （
）=h （
）=e ﹣elne=0
∴f （x ）﹣g （x ）≥0， 也即 f （x ）≥g （x ），当且仅当x =时，取等号；--6分
以为切点， f ′（
）=g ′（
）
所以y =f （x ）与y =g （x ）有公切线，切线方程y =2x +1﹣e 构造函数
，显然
---------------------------------------------8分
构造函数
由 解得 ，由 解得
所以
在
上递减，在上递增------------------10分
，即有
从而
，此时
---------12分
（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题记分.
22．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
解：（I
）由已知有''2sin x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），消去θ得
22''134x y +=． 将sin cos x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
代入直线l 的方程得82:=-y x l
∴ 曲线2C
的方程为22
''134
x y +=，直线l 的普通方程为82:=-y x l . ………5分 （II ）由（I ）可设点P 为)sin 2,cos 3(θθ，[0,2)θπ∈．则点P 到直线l 的距离为：
5
|
8)3sin(4|5|8sin 2cos 32|+-=--=π
θθθd
故当sin()13
π
θ-
=，即5=
6
πθ时d 取最大值55
12．
此时点P 的坐标为)1,2
3
(-
． ……………………………………10分 23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
解：（I ）当3k =-时，⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>-≤≤<+-=1 46131 231 46)(x x x x x x f ，
，，，
故不等式4)(≥x f 可化为：
1644x x >⎧⎨
-≥⎩或11324x ⎧≤≤⎪⎨⎪≥⎩或13644
x x ⎧
<
⎪⎨⎪-+≥⎩ 解得：4
03
x x ≤≥
或 ∴ 所求解集为：403x x x ⎧⎫
≤≥⎨⎬⎩
⎭或. ……………………………………5分
（II ）当⎪⎭⎫
⎢⎣
⎡-
∈31,3k x 时，由1k >-有：310,30x x k -<+≥ ∴ k x f +=1)(
不等式)()(x g x f ≤可变形为：41+≤+x k 故3k x ≤+对1,33k x ⎡⎫
∈-
⎪⎢⎣⎭
恒成立，即33k k ≤-+，解得94k ≤
而1k >-，故9
14
k -<≤
. ∴ k 的取值范围是：91,4⎛
⎤- ⎥⎝
⎦ ………………………………………………10分。