高考数学压轴专题新备战高考《三角函数与解三角形》全集汇编附答案

【最新】数学《三角函数与解三角形》专题解析(1)
一、选择题
1．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，2cos2sin 4παα⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ）
A ．7
8
-
B ．
78
C ．18
-
D ．
18
【答案】A 【解析】 【分析】
利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】
解：因为2cos2sin 4παα⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
所以(
)
22
2cos sin sin
cos cos
sin 4
4
π
π
αααα-=-
所以()())2cos sin cos sin cos sin 2
αααααα-+=
- ,cos sin 02παπαα⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭
Q ，
所以cos sin 4
αα+=
所以()2
1cos sin 8αα+=，即22
1cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28
α+= 所以7sin 28
α=- 故选：A 【点睛】
本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；
2．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至
BC ，在旋转的过程中，记([0,])2
ABP x x π
∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区
域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】
当0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯
; 根据正切函数图象可知选D. 【点睛】
本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.
3．已知函数()()203f x x πωω⎛
⎫=
-> ⎪⎝
⎭的最小正周期为π，若
()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的最小值为（ ）
A ．
2
π B ．
3
π C ．π
D ．
4
π
【答案】A 【解析】 【分析】
由正弦型函数的最小正周期可求得ω，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据()()122f x f x ⋅=-可知1x x =和2x x =必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方式可构造方程组求得()12122
x x k k π
π
-=
-+，12,k k Z ∈；从
而可知120k k -=时取最小值. 【详解】
由()f x 最小正周期为π可得：
2π
πω
= 2ω∴= ()2sin 23f x x π⎛
⎫∴=
- ⎪⎝
⎭
()max 2f x ∴=，()min 2f x =-
()()122f x f x ⋅=-Q 1x x ∴=和2x x =分别为()f x 的最大值点和最小值点
设1x x =为最大值点，2x x =为最小值点
()111222
2232,2232x k k k Z x k ππππππ⎧
-=+⎪⎪∴∈⎨⎪-=-⎪⎩
()12122x x k k ππ∴-=-+，
当120k k -=时，12min
2
x x π
-=
本题正确选项：A 【点睛】
本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定1x 和2x 为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.
4．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.
由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：
黄赤交角 2341︒'
2357︒'
2413︒'
2428︒'
2444︒'
正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代
公元元年
公元前2000年
公元前4000年
公元前6000年
公元前8000年
根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年
【答案】D 【解析】 【分析】
先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项． 【详解】
解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β， 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图3近似画出如下平面几何图形：
则16tan 1.610α=
=，169.4tan 0.6610
β-==， tan tan 1.60.66
tan()0.4571tan tan 1 1.60.66
αβαβαβ---=
=≈++⨯g ．
0.4550.4570.461<<Q ，
∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．
故选：D ． 【点睛】
本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．
5．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（） A ．5B ．25
C 25
D 5 【答案】B 【解析】 【分析】
由辅助角公式可确定()max f x =sin 2cos θθ-=平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】
()()
sin 2cos f x x x x ϕ=-=+Q ，其中tan 2ϕ=- ()
max f x ∴sin 2cos θθ-=
又22sin cos 1θθ+= cos θ∴=【点睛】
本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.
6．在△ABC 中，7b =，5c =，3
B π
∠=，则a 的值为 A ．3 B ．4
C ．7
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值. 【详解】
因为7,5,3
b c B π
==∠=
，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，
即2
1
4925252
a a =+-⨯⨯
，整理得25240a a --=， 解得8a =或5a =-（舍去），故选D. 【点睛】
该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.
7．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．等腰直角三角形
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意利用正弦定理，推出a ，b ，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosC 的值，即可得解． 【详解】
∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4
∴由正弦定理可得：a ：b ：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x ，b=3x ，c=4x ，
∴由余弦定理：c 2
=a 2
+b 2
﹣2abcosC ，所以cosC=
2222a b c ab
+-=222
4916223x x x x x +-⨯⨯=﹣14， ∵0＜C ＜π， ∴C 为钝角． 故选B ． 【点睛】
本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．
8．在ABC ∆中，若2
sin sin cos 2
C
A B =，则ABC ∆是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形
C ．不等边三角形
D ．直角三角形
【答案】B 【解析】
试题分析：因为2
sin sin cos
2C
A B =，所以，1cos sin sin 2
C A B +=，即
2sin sin 1cos[()],cos()1A B A B A B π=+-+-=,故A=B ，三角形为等腰三角形，选B 。

考点：本题主要考查和差倍半的三角函数，三角形内角和定理，诱导公式。

点评：简单题，判断三角形的形状，一般有两种思路，一种是从角入手，一种是从边入手。

9．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝
⎭的最小值为
（ ） A
．
13
+ B
．
3
C
．
23
+ D
．
3
【答案】B 【解析】 【分析】
利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】
2
2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos
1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x +++-+++=
++++-++
2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x
x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=
+=⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛
⎫=
+<< ⎪⎝
⎭， 322222
21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '
'
'
--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 令()cos 0,1t x =∈，()3
2
61g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
， 所以当03
x π
<<时，
()1
1,02
t g t <<<，从而()'0f x <； 当
3
2
x π
π
<<
时，()1
0,02
t g t <<
>，从而()'0f x >. 故(
)min 3f x f π⎛⎫==
⎪⎝⎭
. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.
10．已知2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 14πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．5
3-
B ．35
-
C ．
35
D ．
53
【答案】B 【解析】 【分析】
根据诱导公式计算得到35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3tan tan 147
2πππαα⎡⎤
⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得
答案. 【详解】
由诱导公式可知24333sin 3sin 33sin 777πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=++=-+
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦， 又2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得333sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫
-+=-+ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，313tan tan 314725tan 7πππααπα⎡⎤
⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪
⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪
⎝⎭
.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.
11．函数()()()cos 20f x x ϕϕπ=+<<在区间,66ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭
上有零点，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,62ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
B ．25,36ππ⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ C ．2,23ππ⎛⎤
⎥⎝
⎦ D ．,
32ππ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】C 【解析】
分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式 详解：当[,]66x ππ
∈-，2[,]33
x ππ
ϕϕϕ+∈-++，
又∵(0,)ϕπ∈，则[,][0,]33ππϕϕπ-++⊆，即03
3πϕπϕπ⎧
-≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩
，233ππϕ≤≤，
由cos(2)0x ϕ+=得2,2
x k k Z π
ϕπ+=+∈，242
k x ππϕ
=
+-， ∴06
4
2
π
π
ϕ
-
<
-
<，解得
52
6
π
πϕ<<
， 综上
22
3
π
πϕ<≤
. 故选C.
点睛：余弦函数的单调减区间：[2,2]k k ππ+π，增区间：[2,22]k k ππππ++，零点：
2
x k π
π=+，对称轴：x k π=，对称中心：,2)0(k π
π+，k Z ∈.
12．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1b =
，c =，且
2sin()cos 12cos sin B C C A C +=-，则ABC V 的面积是（ ）
A
B ．
12
C
D ．
14或1
2
【答案】C 【解析】 【分析】
根据已知关系求出1
sin 2
B =
，根据余弦定理求出边a ，根据面积公式即可得解.
因为2sin()cos 12cos sin B C C A C +=-，所以2sin cos 12cos sin A C A C =-， 所以2sin cos 2cos sin 1A C A C +=，所以2sin()1A C +=， 所以2sin 1B =，即1sin 2
B =
，
因为b c <，所以B C <，所以角B 为锐角，所以cos 2
B ==，
由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得2132a a =+-⨯， 整理可得2320a a -+=，解得1a =或2a =.
当1a =时，ABC V 的面积是111sin 12224
S ac B =
=⨯=
；
当2a =时，ABC V 的面积是111sin 2222S ac B ==⨯=
. 故选：C. 【点睛】
此题考查根据余弦定理解三角形，关键在于熟练掌握定理公式，结合边角关系解方程，根据面积公式求解.
13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,,3,sin a b c a c b A ===
cos ,6a B b π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭则( )
A ．1 B
C D 【答案】C 【解析】 【分析】
将sin b A = cos 6a B π⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
结合正弦定理化简，求得B ，再由余弦定理即可求得b ． 【详解】
因为sin b A = cos 6a B π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
，展开得
sin b A =
1?
cos sin 22
a B a B -，由正弦定理化简得
sin sinB A =
1?
cos sin 22
sinA B sinA B -= cos B
即tanB =
，而三角形中0<B<π，所以π 6B =
由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ，代入
()
2
22
323
2323cos
6
b π
=+-⨯⨯
解得3b =
所以选C 【点睛】
本题考查了三角函数式的化简，正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．
14．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
由正弦定理得sin sin 22a b A B a b R R
>⇔>⇔> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C.
15．已知函数()sin()f x x πϕ=+某个周期的图象如图所示，A ，B 分别是()f x 图象的最高点与最低点，C 是()f x 图象与x 轴的交点，则tan ∠BAC ＝（ ）
A ．
12
B ．
47
C 255
D 7
6565
【答案】B 【解析】 【分析】
过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，设C （a ，0），可得32
CD =
，11,2AD DE ==
，3
tan 2CD CAD AD ∠=
=，1tan 2
ED EAD AD ∠==，再利用tan tan()BAC CAD EAD ∠=∠-∠计算即可.
【详解】
过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，
由题可得周期为2，设(,0)C a ，则1(,1)2B a +-，3(,1)
2A a +， 所以32
CD =，11,2AD DE ==， 3tan 2CD CAD AD ∠==，1tan 2
ED EAD AD ∠== 所以tan tan tan tan()1tan tan CAD EAD BAC CAD EAD CAD EAD ∠-∠∠=∠-∠=
+∠⋅∠ 31422317122
-==+⨯. 故选：B
【点睛】
本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数学运算能力，是一道中档题.
16．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos cos 2cos c a B b A C +=，1a =，3b =c =（ ）
A 6
B ．1
C 2
D 3【答案】B
【解析】
【分析】
先由正弦定理将3cos cos c a B b A +=
中的边转化为角，可得3sin sin()C A B +=可求出角6C π=
，再利用余弦定理可求得结果.
【详解】
解：因为cos cos 2cos a B b A C
+=，
所以正弦定理得，sin cos sin cos A B B A +=
所以sin()A B +=sin 2cos C C C
=，
因为sin 0C ≠，所以cos 2
C =， 又因为(0,)C π∈，所以6C π=
，
因为1a =，b =
所以由余弦定理得，2222cos 13211c a b ab C =+-=+-⨯=， 所以1c =
故选：B
【点睛】
此题考查的是利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.
17．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，2πω<
）的最小正周期为π，且其图象向左平移3
π个单位后，得到函数()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12x π=
对称 B ．关于直线512x π=对称 C ．关于点(
,0)12π对称 D ．关于点5(,0)12
π对称 【答案】C
【解析】 试题分析：依题意()()2,sin 2f x x ωϕ==+，平移后为
2sin 2cos 2,36x x ππϕϕ⎛⎫++==- ⎪⎝⎭，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称. 考点：三角函数图象与性质.
18．已知函数())(0f x x ωϕω=+>，)22
ππ-<ϕ<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是( )
A ．2(23k -，42)3k +，k Z ∈
B ．2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈
C ．2(43k -，44)3k +，k Z ∈
D ．2(43k ππ-，44)3
k ππ+，k Z ∈ 【答案】C
【解析】
【分析】
由三角函数图像的性质可求得：2π
ω=，6π
ϕ=-，即()sin()26f x x ππ
=-，再令222262k x k ππππ
ππ--+剟，求出函数的单调增区间即可. 【详解】
解：函数())(0f x x ωϕω=+>，)22
ππ-<ϕ<， 因为1(3
A ，0)为()f x 图象的对称中心，
B ，
C 是该图象上相邻的最高点和最低点，
又4BC =，∴2
22()42T +=，即221216πω+=，求得2πω=． 再根据123k πϕπ+=g ，k Z ∈，可得6
πϕ=-，()3sin()26f x x ππ∴=-， 令222262k x k ππππππ--+剟，求得244433
k x k -+剟， 故()f x 的单调递增区间为2(43k -，44)3
k +，k Z ∈， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题.
19．在ABC △中，若a ＝3，c ＝7，∠C ＝60°，则边长b 为
A ．5
B ．8
C ．5或－8
D ．－5或8
【答案】B
【解析】
由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得24993b b =+-，即()()850b b -+=， 因为b ＞0，所以b ＝8.故选B ．
20．设
2α是第一象限角，且cos cos αα=-，则α是第（ ）象限角 A ．一
B ．二
C ．三
D ．四
【答案】B
【解析】
【分析】
计算得到720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，再根据cos 0α<得到答案.
【详解】 ∵2
α是第一象限角，∴360903602k k α︒<<︒+︒，k Z ∈， ∴720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，
∴α为第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上的轴线角， ∵cos cos αα=-，∴cos 0α<，∴α是第二象限角.
故选：B .
【点睛】
本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.。