课件3：1.4 全称量词与存在量词

如何判断全称命题的真假
方法: 若判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中
的每个元素x验证P(x)成立;
若判定一个全称命题是假命题,只要能举出集合M中 的一个x=x0 ,使得P(x)不成立即可。
二.存在量词
存在量词
下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?
(1)2x+1=3
集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.
如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么 这个特称命题是假命题.
三.含有一个量词的命题的否定
写出下列命题的否定
1)所有的矩形都是平行四边形；x M,p(x)
2)每一个素数都是奇数； 3)x R, x2 2x 1 0
x M,p(x) x M,p(x)
x2+2x+3=0的实数x不存在. 所以,特称命题(1)是假命题.
(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的, 因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线. 所以,特称命题(2)是假命题. (3)由于存在整数3只有两个正因数1和3,所以特称命题 (3)是真命题.
如何判断特称命题的真假
方法: 要判断特称命题“∃x∈M,p(x)”是真命题，只需在
不是
(2)x能被2和3整除;
不是
(3)(4) 特称命题
(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;
是
(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除. 是
关系:(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限 定,使(3)变成了可以判断真假的语句;
(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而 使(4)变成了可以判断真假的语句.
它的否定 p :x M,p(x)
全称命题的否 定是特称命题
例题讲解 例例71写出下列全称命题的否定： 1）p:所有能被3整除的整数都是奇数； 2）p:每一个四边形的四个顶点共圆
3）p:对任意x Z，x2的个位数字不等于3。
解：1）p : 存在一个能被3整除的整数不是奇数.
2) P :存在一个四边形的四个顶点不共圆.
行限定; (4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对 变量x
进行限定.
全称量词
全称量词、全称命题
1. 全称量词及表示: 定义： 短语“对所有的”、“对任意一个”、“对一
切”、“对每一个”、“任给”、“所有的” 在逻辑中通常叫全称量词。
表示： 用符号“”表示
全称量词、全称命题 2. 全称命题及表示: 定义：含有全称量词的命题，叫全称命题。 表示：全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语
否定:
1)存在一个矩形不是平行四边形；x M,p(x)
2)存在一个素数不是奇数；
3)x R, x2 2x 1 0
x M,p(x) x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从形式看，全称命题的否定是特称命题。 含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论
全称命题 p :x M,p(x)
例题讲解 例5 下列语句是不是全称或特称命题 (1) 有一个实数a,a不能取对数 特称命题
(2) 所有不等式的解集A,都是A⊆R 全称命题
(3) 三角函数都是周期函数吗? 不是命题
(4) 有的向量方向不定
特称命题
例题讲解
例6 判断下列特称命题的真假: (1)有一个实数x,使x2+2x+3=0; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数. 解: (1)由于∀x∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使
3) p : x0 z, x 2的0 个位数字等于3 .
写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是正数； 2)某些平行四边形是菱形；
3)x R, x2 1 < 0 否定:
x M,p(x)
x M,p(x)
x M,p(x)
1)所有实数的绝对值都形; x M,p(x)
存在量词、特称命题
1. 存在量词及表示: 定义: 短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有
一个”、“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做存在 量词。 表示： 用符号“∃”表示, 2.特称命题及表示：
定义: 含有存在量词的命题,叫做特称命题. 表示： 特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记
例题讲解
例3.判断下列全称命题的真假 (1) 所有的素数是奇数;
(2)xR, x2+1≥1
(3) 对每一个无理数x,x2也是无理数 解: (1)∵2是素数,但不是奇数.
∴全称命题(1)是假命题
(2)∵xR,x2≥0,从而x2+1≥1
∴全称命题(2)是真命题
(3)∵ 2是无理数,但( 2)2=2是有理数 ∴全称命题(3)是假命题
例题讲解
例8 写 出下列特 称命题 的否定：
1）p:x0 R,x02 +2x0 +2 0； 2）p:有的三角形是等边三角形；
3） P: 有一个素数含三个正因数. 解: 1)p : x R，x2 2x 2 >0
2) p : 所有三角形都不是等边三角形 3）p :每一个素数都不含三个正因数
1.掌握全称量词、全称命题、存在量词和特称命题.
2.一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定, 有下面的结论：
全称命题 p : x M,p(x)
它的否定p : x0 M,p(x0 )
3.一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定,有下 面的结论：
特称命题 p : x0 M,p(x0)
它的否定 p : x M,p(x)
本节内容结束
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n； （6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有 s = n
× n；
下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?
(1)x>3
不是
(2)2x+1是整数
不是
(3)对所有的xR,x>3
是
(4)对任意一个xZ,2x+1是整数
(3)(4) 全称命题
是
关系: (3)在(1)的基础上,用量词“所有的”对变量 x进
第一章 常用逻辑用语
1.4 全称量词与存在量词
一.全称量词
思考：什么是量词？
①一 纸； ②一 牛； ③一 狗； ④一 马； ⑤一 人家； ⑥一 小船 表示人、事物或动作的单位的词称为量词
下列命题中含有哪些量词？
（1）对所有的实数x，都有x2≥0； （2）存在实数x，满足x2≥0； （3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立； （4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立； （5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s = n ×
(4)对任意实数x,都有x3>x2
x R,x3>x2
(5)对任意角,都有sin2+cos2=1
{角}, sin2+cos2=1
例题讲解
例2.设集合S={四边形},P(x):内角和为3600 .试用不同表述
写出全称命题“ XS,P(x) ”
解: 对所有的四边形x,x的内角和为360o 对一切四边形x,x的内角和为360o 每一个四边形x的内角和为360o 任一个四边形x的内角和为360o 凡是四边形x,它的内角和为360o
为∃x∈M,p(x). 读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.
例题讲解
例4 设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出特称命题 “∃x∈R,q(x)” 解: 存在实数x,使x2=x成立
至少有一个x∈R,使x2=x成立 对有些实数x,使x2=x成立 有一个x∈R,使x2=x成立 对某个x∈R,使x2=x成立
句p(x）成立”表示为: x M,p(x)
读作:“对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。
例题讲解
例1.用量词“”表达下列命题:
(1)实数都能写成小数形式;
XR,x能写成小数形式
(2)凸多边形的外角和等于2π
x {x|x是凸n边形},x的外角和等于2
（3）任一个实数乘以-1都等于它的相反数
x R,x·(-1)= -x
3) x R, x2 1 0
x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从命题形式看,这三个特称命题的否定都变成了 全称命题.
一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定,有 下面的结论
特称命题 p :x0 M,p(x0)
它的否定 p : x M, p(x)
特称命题的否 定是全称命题