高中数学立体几何学科老师辅导讲义

北辰教育学科老师辅导讲义
学员姓名：年级: 高二辅导科目: 数学学科教师:
授课日期3月19日授课时段
授课主题几何体表面积与体积
教学内容
知识回顾：
知识梳理
一．要求：
了解球、棱柱、棱锥表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)。

二．考点总结：
考试中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。

即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法"等求解。

三．考点精讲
1．多面体的面积和体积公式
名称侧面积（S侧）全面积(S全）体积（V）
棱棱柱直截面周长×l S侧+2S底S底·h=S直截面·h
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柱
直棱柱 ch S 底·h
棱 锥
棱锥 各侧面积之和
S 侧+S 底
3
1
S 底·h 正棱锥
2
1
ch ′ 表中S 表示面积,c ′、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h ′表示斜高，l 表示侧棱长。

2．旋转体的面积和体积公式 名称
圆柱 圆锥 圆台 球 S 侧 2πrl
πrl
π（r 1+r 2)l
S 全
2πr （l+r ） πr(l+r) π(r 1+r 2）l+π(r 2
1+r 2
2）
4πR 2
V
πr 2h （即πr 2
l ）
31πr 2
h 31πh(r 21+r 1r 2+r 2
2） 3
4πR 3
表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径.
四．题型解析：
题型1：柱体的体积和表面积
例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长。

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点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察.我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切)与面积、体积之间的关系.
例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=3。

(1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上; （2）求这个平行六面体的体积.
图1 图2
题型2:柱体的表面积、体积综合问题
例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2,这个长方体对角线的长是( )
A ．2
3
B ．3
2
C ．6
D ．
6
点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素-棱长。

例4．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三
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P
A
B C
D
O
E
棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= ____ _。

点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。

最后用统一的量建立比值得到结论即可。

题型3:锥体的体积和表面积
例5．在四棱锥P －ABCD 中,底面是边长为2的菱形,∠DAB ＝60
,对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60
,求四棱锥P －ABCD 的体积?
点评:本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。

在能力方面主要考查空间想象能力。

例6．在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,且AC=BC=5，SB=55.（如图所示）
（Ⅰ）证明:SC⊥BC;
（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；
(Ⅲ）求三棱锥的体积V S－AB C。

图
点评:本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系.要求对图形必须具备一定的洞察力,并进行一定的逻辑推理.
题型4：锥体体积、表面积综合问题
例7．ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GB垂直于正方形ABCD所在的平面,且GC＝2，求点B到平面EFC的距离?
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点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解.构造以点B为顶点，△EFG为底面的三棱锥是解此题的关键,利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算.
例8．如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有( ）
A．S1<S2 B．S1>S2
C．S1=S2 D．S1,S2的大小关系不能确定
点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度,求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。

题型6：圆柱的体积、表面积及其综合问题
例11．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）
A．
ππ
22
1+
B．
ππ
44
1+
C．
ππ2
1+
D．
ππ
24
1+D
B
A
O
C E
F
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例12．如图9—9，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球,水面高度恰好升高r ，则
r
R
= .
点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力.
题型7:圆锥的体积、表面积及综合问题
例13．(1）在△ABC 中，AB =2，BC =1.5，∠ABC =120°（如图所示)，若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )
A ．
2
9
π B ．
2
7π C ．
2
5
π D ．
2
3π
(2)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为
3，则这个圆锥的全面积是( ）
A ．3π
B ．3
3π
C ．6π
D ．9π
图
图
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点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。

而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志,是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。

例14．如图所示，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ）
A ．
3
21 B ．21
C ．2
1 D ．
42
1
点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。

题型8：球的体积、表面积
例15．已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===,求球的表面积。

图
点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。

例16．如图所示，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA,PB,PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ，求这个球的表面积。

点评:本题也可用补形法求解.将P-ABC 补成一个正方体,由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=
2
3
a ,下略。

题型9：球的面积、体积综合问题
例17．如图,正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果
16
3
P ABCD V -=
，则球O 的表面积是（ )A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π （2)半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积和体积。

点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素.
例18．(1）表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积。

（2）正四面体ABCD 的棱长为a ,球O 是内切球,球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积。

点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心,球心到各面的距离相等。

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题型10：球的经纬度、球面距离问题
例19．(1)我国首都靠近北纬40纬线,求北纬40纬线的长度等于多少km ?（地球半径大约为6370km )
（2)在半径为13cm 的球面上有,,A B C 三点，12AB BC AC cm ===，求球心到经过这三点的截面的距离。

例20．在北纬45圈上有,A B 两点，设该纬度圈上,A B 两点的劣弧长为2
4
R π(R 为地球半径），求,A B 两点间的球面距离。

点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离.
五．思维总结
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1．正四面体的性质 设正四面体的棱长为a,则这个正四面体的
(1）全面积:S 全=3a 2
；(2)体积:V=
122a 3；（3)对棱中点连线段的长：d=2
2a; (4)内切球半径:r=
126a ；（5)外接球半径 R=4
6
a ； (6）正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。

2．直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质: 如图,在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ，OB=b ，OC=c 。

则：①不含直角的底面ABC 是锐角三角形; ②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； ③体积 V=
6
1
abc ； ④底面△ABC =
2
1222222a c c b b a ++;
⑤S 2
△ABC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S 2
△BOC =S 2
△AOB +S 2
△AOC =S 2
△ABC ⑦
21OH =21a +21b +2
1c ； ⑧外切球半径 R=
2
1222c b a ++；
⑨内切球半径 r=
c
b a +++∆∆∆ABC
BOC AOB S -S S
3．圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角。

①如图，圆锥的顶角为β,母线与下底面所成角为α,母线为l ，高为h ，底面半径为r ，则 sin α=cos
2
β =l h
，
α+
2
β
=90°⇒ cos α=sin
2β =l
r。

③球的截面 用一个平面去截一个球,截面是圆面.
（1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆； （2）球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；
（3）球心和截面距离d,球半径R,截面半径r 有关系：r=22d -R 。

4．经度、纬度:
经线:球面上从北极到南极的半个大圆；
纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆;
经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数。

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纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。

5. 两点的球面距离：
球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我们把这个弧长叫做两点的球面距离
两点的球面距离公式:(其中R 为球半径，θ为A ，B 所对应的球心角的弧度数）
课后作业
1、如图，△ABC 中，=90ACB ∠,=30ABC ∠ ，=3BC ，在三角形内挖去一个半圆（圆心O 在边BC 上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C 、M ，与BC 交于点N ）,将△ABC 绕直线BC 旋转一周得到一个旋转体.
(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小;
（2）求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积．
B
M
N
C
A
O 第20题
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2、如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，AO ⊥平面BCD ,
2CA CB CD BD ====．
(1）求三棱锥A BCD -的体积；
(2）求异面直线AE 与CD 所成角的大小．
A
B
E
O
D
C
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D
C
B
A
P
3、（本题满分12分）
在正四棱锥ABCD P -中,侧棱PA 的长为52,PA 与CD 所成的角的大小等于5
10
arccos
． （1）求正四棱锥ABCD P -的体积；
（2)若正四棱锥ABCD P -的五个顶点都在球O 的表面上，求此球O 的半径．
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4、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分,第2小题满分7分 ．
如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，4==BC AP ,30ABC ∠=，
E D 、分别是AP BC 、的中点．
（1）求三棱锥ABC P -的体积;
（2）若异面直线AB 与ED 所成角的大小为θ,求tan θ的值．
P
A
B
C
D
E
5、(本题满分12分） 本题共有2个小题，第1小题满分6分,第2小题满分6分．
如图已知四棱锥ABCD P -的底面是边长为6的正方形，侧棱PA 的长为8，且垂直于底面, 点N M 、分别是AB DC 、的中点．求
（1)异面直线PM 与CN 所成角的大小(结果用反三角函数值表示）； （2）四棱锥ABCD P -的表面积。

6、（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，45ABC ︒
∠=．
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A
A 1
B 1
c 1
B
C
D
(1）求直三棱柱111ABC A B C 的体积;
（2）若D 是AC 的中点，求异面直线BD 与1A C 所成的角．
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