人教版九年级数学下二次函数的图象与性质

y＝ax2+c
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点 增减性
c>0
c<0
开口向上
c>0 c<0
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
(0,c)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y 1 (x 1)2
●
●
●
●
是__(－_(1_1，_，_0_0)_)__。
●
●
●
●
（2）抛物线 y 1 (x 1)2, y 1 (x 1)2与抛物线 y 1 x2
有什么位置关系？ 2
2
2
把抛物线
y


1 2
x2
向左平移1个单位，就得到抛物线
y 1 (x 1)2 2
把抛物线
y


1 2
y=-5x2 向 右 平移 4 个单位而得到的。它
的顶点坐标为（4，0）;对称轴为 直线x=.4
3、将抛物线y=ax2向右平移3个单位，且经过点 （1，4），求函数解析式。
1.函数y=-2（x+3）2的图象的对称轴是
，
顶点坐标是
，当x= 时，y有最 值
为。
2.把二次函数y=-3x2往左平移2个单位，再与x轴
2
和 y 1 (x 1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴
2
和顶点。比较一下它们的值之间有何内在联系。
先列表：
x
y 1 (x 1)2 2
y 1 (x 1)2 2
··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
···

9 2
－2 1
2
0 1 －2 9
做一做:
抛物线
y =2(x+3)2
y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2
开口方向 向上
向下 向下
对称轴 直线x=-3 直线x=1
直线x=3
顶点坐标 ( -3 , 0 ) (1,0)
( 3, 0)
填空： 1、由抛物线y=2x²向 左 平移 1 个单位可得
到y= 2(x+1)2 2、函数y= -5(x -4)2 的图象。可以由抛物线
二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
y＝a(x-ｈ)2
a>0
a<0
图象
开口 对称轴
顶点 增减性
h>0
h<0
开口向上
h>0 h<0
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
• 说出下列二次 函数的开口方向、 对称轴、顶点坐标及增减性 (1) y=2(x+3)2 向上, x= - 3, ( - 3, 0) (2) y=-3(x -1)2 向下, x= 1, ( 1, 0) (3) y=5(x+2)2 向上, x= - 2, ( - 2, 0) (4) y= -(x-6)2 向下, x= 6, ( 6, 0) (5) y=7(x-8)2 向上, x= 8, ( 8, 0)
x2
向右平移1y个单位，就得到抛物线
y 1 (x 1)2 2
1 0
-8 -6 -4 -2
2 4 6 8x
-1
-2 -3 -4
y 1 x2 （3）它们的 2 位置由什么
-5
决定的？
-6
y 1 (x 1)2
-7
2
-8
y 1 (x 1)2 2
用平移观点看函数：
抛物线 y a(x h)2可以看作是由
对称后，所形成的二次函数的解析式为
。
3、已知抛物线y=a(x+h)2的顶点是（-3，0）它是
由抛物线y=-4x2平移得到的，则a=
，
h=
。
4、把抛物线y=(x+1)2向 后，得到抛物线y=(x-3)2
平移 个 单位
5、把抛物线y=x2+mx+n向左平移4个单位，得到抛
物线y=(x-1)2,则m=
,n=
.
6.写出一个开口向上，对称轴为
x=-2，顶点在x轴上，并且与y轴交于点
（0，8）的抛物线解析式为
.
7.抛物线y=3(x-8)2最小值
.
8.抛物线y= -3(x+2)2与x轴y轴的交点
坐标分别为
.
9.已知二次函数y=8(x -2)2
当 时,y随x的增大而增大, 当 时，y随x的增大而减小.
1、将抛物线 y ax2向左平移后，所得
二次函数y=a(x-h)2 与y=ax2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=ax2整体沿x轴 平移了h 个单位(当 h>0时,向右移 h个单 位;当h<0时,向左移 h 个单位)得到的.
2.当a>0时,抛 物线y=a(x-h)2 在x轴的上方 (除顶点外),它 的开口向上,并
且向上无限伸 展; 当a<0时,抛物 线y=a(x-h)2在 x轴的下方(除 顶点外),它的 开口向下,并且 向下无限伸展.
1、抛物线 y 1 x2向上平移3个单位，
3
得到抛物线
；
2、抛物线 y 2x2 4 向 平移 个 单位，得到抛物线 y 2x2 3。
3、指出下列函数的开口方向、、顶点坐 标、对称轴及增减性：
(1) y 2x2 3 4
(2) y 3x2 1 2
二次函数y=ax2+c的性质
抛物线 y ax2平移得到。 y
(1)当h>0时，向右平移
h 个单位；
ox
(2)当h<0时，向左平移
h 个单位。
4、二次函数 y (x 2)2是由二次函 数 y x2向 平移 个单位得到的。
5、二次函数 y 2(x 3)2是由二次函
数
向左平移3个单位得到的。
观察三条抛物线：
新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物 线经过点(1，3)，求a的值。
2、将抛物线 y 2 x2 左右平移，使得
它与x轴相交于点A，与y轴相交于点B。 若△ABO的面积为8，求平移后的抛物 线的解析式。
3、已知抛物线 y a(x 2)2 经过点 (1，3)，求： (1)抛物线的关系式； (2)抛物线的对称轴、顶点坐标； (3)x=3时的函数值； (4)当x取何值时，y随x的增大而增大。
9 －2 1 0 1 －2 9 ···
2
2
2
2
··· 9 －2 1 0 1 －2 9
···
2
2
2
2
y
可以看出，抛物线 y 11((xx11))22
22
的开口方向_向向__下下_、对称轴是经
1
过点((－1，1，0)0)且与x轴垂直的直
o ●
●
●
●●
●
x
线，我们把它记作xx1 ，顶点
2
2
···
···
9 －2 1
2
2
0
1 －2 9
2
2
···
x
··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
y 1 (x 1)2 2
y 1 (x 1)2 2
y 1 x2 2
··· 9 －2 1 0 1 －2 9
···
2
2
2
2
···
h)2的顶点是(h,0),
X=h
X=h
对称轴是平行于y
y ax2
轴的直线x=h.
4. a 越大,开口越小,
a 越小,开口越大.
3.当a>0时,在对称轴 (x=h)的左侧,y随着x的
y ax h2
增大而减小;在对称轴
(x=h)右侧,y随着x的增 大而增大;当x=h时函数 y的值大而 增大;在对称轴(x=h)的 右侧,y随着x增大而减小; 当x=h时,函数y的值最 大(是0).
y
(1)开口方向是什么？
2 1
(2)开口大小有没有 -3 -2 -1-1 1 2 3 x
变化？
-2
(3)对称轴是什么？ (4)顶点各是什么？y

1 2
(
x

1)
-3 --45y 2-6 -7

y
1 2

x2
1( 2
x
1)
2
(5)增减性怎么样？
-8
1.抛物线y=a(x- 二次函数y=a(x-h)2的性质