高三 数学函数部分的知识体系

高三数学辅导安排
第一部分：函数
研究函数主要是研究一个函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，图像
定义域值域单调性奇偶性周期性
使一个函数有意义的X 值得取值范围在定义域
范围内Y
值得取值
范围，导数
在值域的
求解方面
的应用也
很广泛
在定义域范围内函数值
随x值得增大而增大时为
增函数，如果函数值随x
值得增大而减小时为减
函数，还可以用导数进行
求解
如果一个函数关于Y轴对称则
为偶函数，如果一个函数关于
原点对称则为奇函数
如果一个函数
)
(
)
(T
x
f
x
f+
=
则函数为周期函数，
并且最小正周期为
T
如果
为减函数，
为增函数，)
(
)
(x
g
x
f
则它们的和，积，平方等
都为增函数。

倒数，相反
数都为减函数
另外，复合函数的单调性
遵循同增异减法则
①偶函数的单调性关于
原点的对称区间内相反，奇函
数的单调性关于原点是得对称
区间内是相同的
②奇*奇=偶，奇+奇=奇，
偶+偶=偶，偶*偶=偶，奇*偶=
奇
如果
)(
)
(,
)(
1
)
(x f
T x f
x f
T x f-=
+
=
+
则函数是周期函数
主要通过导数法和定义
法判断单调性
1.一次函数（方程的形式，定义域，值域，单调性，奇偶性，一次
函数方程的求法，斜率的求法，两直线之间的夹角，点到直线的距离，两平行直线之间的距离等）
2.二次函数（二次函数的方程形式，定义域，值域，单调性，奇偶性，二次函数方程的求法，对称轴，顶点公式等）
3.指数函数（方程的形式，定义域，值域，单调性，奇偶性，指数函数方程的求法）
4.对数函数（方程的形式，定义域，值域，单调性，奇偶性，指数函数方程的求法）
注意：观察对数和指数函数之间的关系以及指数对数常见的运算公式，原则上将指数和对数联系在一起学习效果比较好
5.幂函数（方程的形式，定义域，值域，单调性，奇偶性，幂函数方程的求法）
6.三角函数（在这部分我们主要解决的是x y x y x y tan ,cos ,sin ===这三种函数的定义域，值域，周期，单调性，奇偶性，对称轴，对称中心，图像）
① 每种三角函数的意义要明白，也就是说再看到每一种函数的时候在脑海中要反应出它的图像，以及性质。

② x y x y x y tan ,cos ,sin ===是三个基本的三角函数，是学习形如
)tan(),cos(A ),sin(θθθ+=+=+=wx y wx y wx A y 等复合函数的基础
③ 要会求解形如)tan(),cos(A ),sin(θθθ+=+=+=wx y wx y wx A y 等复
合函数的单调区间，奇偶性，定义域，值域，周期，图像的画法（通常采用五点法），对称轴，对称中心
④ 伸缩变换：这部分主要是要学会怎么样可以从
x y x y x y tan ,cos ,sin ===着些基本的三角函数通过图形的伸缩变换得
到形如)tan(),cos(A ),sin(θθθ+=+=+=wx y wx y wx A y 的复合函数。

注意：在三角函数这部分主要是基础函数和复合函数，含有它们之间的伸缩变换，需要记忆的是基础函数的值域，定义域，周期，奇偶性，单调性。

复合函数的性质我们可以通过基础函数进行推导。

另外就是三角公式之间的转换（辅助角公式，万能公式。

） 以上六种函数是学习其他函数的基础
第二部分，导数与积分 1.导数：
① 导数的物理意义是函数图象上某一点的切线的斜率，要知道它的定义是的形式，以及常见的函数的导数公式
② 导数的应用，求一些我们不熟悉的混合函数的单调性，值域等
2.积分：
积分的意义是函数曲线与X 轴所围成的面积，要记住常见函数的积分的公式
注意：导数和积分是两个互逆的过程，在学习的时候要结合在一起
在函数部分要记忆的知识点
① 一次函数的斜率的求法，点到直线之间的距离公式，两个平行直线之间的距离公式，
② 二次函数的对称轴公式，定点公式
③ 对数函数和指数函数必过的点的坐标，常见的换算公式
④ 三角函数之间的换算公式
⑤ 常见函数的导数公式，复合函数的导数公式，还有常见函数和复合函数的积分公式 3.函数部分的综合应用
① 混合函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，图像 ② 分段函数
③ 形如函数/)(/,//x f )x f(是怎样由我们的已知函数)(x f 的图像变换而来 ④
的函数的求法)]([x f f
⑤ 函数的对称：主要有点关于点对称的点，点关于直线对称的点，直线关于点对称的直线，直线关于直线对称的直线
⑥ 反函数的求法以及注意的事项
三角函数中得公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A)
Sin2A=2SinA•CosA
Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A
=2Cos^2 A—1
=1—2sin^2 A
三倍角公式
sin3A = 3sinA-4(sinA)^3;
cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA
tan3a = tan a • tan(π/3+a)• tan(π/3-a)
半角公式
sin(A/2) = √{(1--cosA)/2}
cos(A/2) = √{(1+cosA)/2}
tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)}
cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)}
tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 和差化积
sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
积化和差
sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]
诱导公式
sin(-a) = -sin(a)
cos(-a) = cos(a)
sin(π/2-a) = cos(a)
cos(π/2-a) = sin(a)
sin(π/2+a) = cos(a)
cos(π/2+a) = -sin(a)
sin(π-a) = sin(a)
cos(π-a) = -cos(a)
sin(π+a) = -sin(a)
cos(π+a) = -cos(a)
tgA=tanA = sinA/cosA
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）= sinα
cos（2kπ＋α）= cosα
tan（2kπ＋α）= tanα
cot（2kπ＋α）= cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinα
cos（π＋α）= -cosα
tan（π＋α）= tanα
cot（π＋α）= cotα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）= -sinα
cos（-α）= cosα
tan（-α）= -tanα
cot（-α）= -cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinα
cos（π-α）= -cosα
tan（π-α）= -tanα
cot（π-α）= -cotα
公式五：
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinα
cos（2π-α）= cosα
tan（2π-α）= -tanα
cot（2π-α）= -cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2+α）= cosα
cos（π/2+α）= -sinα
tan（π/2+α）= -cotα
cot（π/2+α）= -tanα
sin（π/2-α）= cosα
cos（π/2-α）= sinα
tan（π/2-α）= cotα
cot（π/2-α）= tanα
sin（3π/2+α）= -cosα
cos（3π/2+α）= sinα
tan（3π/2+α）= -cotα
cot（3π/2+α）= -tanα
sin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z)。