广西壮族自治区梧州市第五中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析

广西壮族自治区梧州市第五中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在等比数列中，，则（）
A．或—8 B．或 C．或8 D．或
参考答案：
B
2. 已知长方形ABCD，抛物线以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M的概率为P.则下列结论正确的是（）
A. 不论边长如何变化，P为定值
B. 若的值越大，P越大
C. 当且仅当时，P最大
D. 当且仅当时，P最小
参考答案：
A
略
3. 设，，则“”是“”的
A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
参考答案：
A
4. 执行下面的程序框图，如果输入，那么输出的n的值为
A．2 B．3 C．4 D．5 参考答案：
C
略
5. 学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在（单位：元），其中支出在（单位：元）的同学有人，其频率分布直方图如右
图所示，则的值为（）
A．100 B．120 C．130 D．390
参考答案：
A
6. 设的面积为，若，，则（）
A．1 B．2 C. D．
参考答案：
A
7. 的值是( )
A．B．C．
D．
参考答案：
A
略
8. 设集合，，则A∩B=（）
A．(－4,+∞) B．[－4,+∞) C．[－2,－1] D．[－4,－2]
参考答案：
D
故选D。

9. 函数（其中）的图象如图1所示，为了得到的图象，则只需将的图象( )
A.向右平移个长度单位
B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位
D.向左平移个长度单
位
参考答案：
A 由图象易得,且函数的最小正周期为,所以.又由图象
过点，得，则,得，
又，所以.所以.将其向右平移个长度单位，即可得到函数的图象.
10. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，c﹣a=2，b=3，则a等于（）
A．2 B．C．3 D．
参考答案：
A
【考点】余弦定理．
【分析】由已知条件和余弦定理可得a的方程，解方程可得．
【解答】解：由题意可得c=a+2，b=3，cosA=，
∴由余弦定理可得cosA=?，
代入数据可得=，
解方程可得a=2
故选：A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 渐近线为，且过点的双曲线方程是__________．
参考答案：
∵双曲线的一条渐近线为，
∴设为双曲线方程，
∵点在双曲线上，代入可得，
∴标准方程为．
12. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若1≤a4≤4，2≤a5≤3，S6取值范围是．参考答案：
[0，30]
略
13. 实数满足不等式组，那么目标函数
的最小值是
．
参考答案：
-6
略
14. 已知集合若，则实数的取值范围是，
其中= 。

参考答案：
略
15. 双曲线上一点P 到点的距离为7，则点P到点的距离为__________．参考答案：
13
【分析】
先由双曲线方程得到，，根据双曲线的定义，即可求出结果.
【详解】根据题意，，
，
即或，
又，所以. 故答案为
【点睛】本题主要考查双曲线的定义，熟记定义即可，属于基础题型.
16. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为元．
参考答案：
8800
【考点】BB：众数、中位数、平均数．
【分析】由题意知这8位员工月工资的中位数取最大值时，两人的月工资一个大于9100，另一个小于8500，由此能求出这8位员工月工资的中位数的最大值．
【解答】解：由题意知这8位员工月工资的中位数取最大值时，
两人的月工资一个大于9100，另一个小于8500，
此时这8位员工月工资的中位数取最大值为： =8800．
故答案为：8800．
【点评】本题考查中位数的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用．
17. 设命题p：，tan x＞0，则?p为▲．
参考答案：
，tan x0≤0
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分分）
已知：在中, 、、分别为角、、所对的边，且角为锐角，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当，时，求及的长．
参考答案：
解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin2C=，及
所以sinC=．………………………… 4分
（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得c=4 ………7分
由cos2C=2cos2C-1=，及得
cosC=………………………9分
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得
b2－b-12=0 …………………… 12分
解得 b=2……………………13分
略
19. （本小题满分14分）
如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道，是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上。

已知米，米，记。

（Ⅰ）试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域；
（Ⅱ）若，求此时管道的长度；
（Ⅲ）问：当取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度。

参考答案：
解：（Ⅰ），，
由于，，，。

……3分
所以，………………………………………………5分（Ⅱ）时，，；…………………………10分（Ⅲ）=，设,
则，由于，
所以，在内单调递减，
于是当时. 的最小值米……… ………13分
答：当时，所铺设管道的成本最低，此时管道的长度为米… ……14分20. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60o，PA⊥底面ABCD，PA=2，M，N分别为PC，BC的中点．
（1）证明：AN⊥平面PAD；
（2）求二面角C－AM－N的大小。

参考答案：
略21. (本小题满分12分)
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点.
(1)求证：A1B∥平面ADC1；
(2)若AB＝AC，BC＝AA1＝2，求点A1到平面ADC1的距离.
参考答案：
【知识点】线面平行的判定；点到平面的距离 G4 G11
【答案解析】
解：（Ⅰ）连接A1C，交AC1于点E，
则点E是A1C及AC1的中点．
连接DE，则DE∥A1B．
因为DE 平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A1B∥平面ADC1，
则点A1与B到与平面ADC1的距离相等，又点D是BC的中点，点C与B到与平面ADC1的距离相等，则C到与平面ADC1的距离即为所求．…6分
因为AB＝AC，点D是BC的中点，所以AD⊥BC，又AD⊥A1A，
所以AD⊥平面BCC1B1，平面ADC1⊥平面BCC1B1．
作于CF⊥DC1于F，则CF⊥平面ADC1，CF即为所求距离．…10分
【思路点拨】（Ⅰ）连接A1C，交AC1于点E，连接ED,则ED为三角形A1BC的中位线，则DE∥A1B，再利用线面平行的判定定理证明A1B∥平面ADC1；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）将点A1到平面ADC1的距离转化成点B到平面ADC1的距离，进一步转化成点C到平面ADC1的距离，由已知条件可证平面ADC1⊥平面BCC1B1，且平面ADC1∩平面BCC1B1=C1D，故过C 向C1D做垂线，其长度即为所求，解三角形求出长度即可。

22. 对于?n∈N*，若数列{x n}满足x n+1﹣x n＞1，则称这个数列为“K数列”．
（Ⅰ）已知数列：1，m+1，m2是“K数列”，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）是否存在首项为﹣1的等差数列{a n}为“K数列”，且其前n项和S n满足S n＜n2－n(n∈N*)？若存在，求出{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列{a n}是“K数列”，数列{a n}不是“K数列”，若b n=，试判断数列{b n}是否为“K数列”，并说明理由．
参考答案：
【考点】数列的应用．
【分析】（Ⅰ）由题意得（m+1）﹣1＞1，m2﹣（m+1）＞1，联立解出即可得出．
（Ⅱ）假设存在等差数列{a n}符合要求，设公差为d，则d＞1，由题意，得对n∈N*均成立，化为（n﹣1）d＜n．对n分类讨论解出即可得出．
（Ⅲ）设数列{a n}的公比为q，则，由题意可得：{a n}的每一项均为正整数，且a n+1﹣
a n=a n q﹣a n=a n（q﹣1）＞1＞0，可得a1＞0，且q＞1．由a n+1﹣a n=q（a n﹣a n﹣1）＞a n﹣a n﹣1，可得在{a n
﹣a n﹣1}中，“a2﹣a1”为最小项．同理，在中，“”为最小项．再利用“K数列”，可得a1=1，q=3或a1=2，q=2．进而得出．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得（m+1）﹣1＞1，①m2﹣（m+1）＞1，②
解①得m＞1；
解②得m＜﹣1或m＞2．
所以m＞2，故实数m的取值范围是m＞2．
（Ⅱ）假设存在等差数列{a n}符合要求，设公差为d，则d＞1，
由a1=﹣1，得，．
由题意，得对n∈N*均成立，即（n﹣1）d＜n．
①当n=1时，d∈R；
②当n＞1时，，
因为，
所以d≤1，与d＞1矛盾，
故这样的等差数列{a n}不存在．
（Ⅲ）设数列{a n}的公比为q，则，
因为{a n}的每一项均为正整数，且a n+1﹣a n=a n q﹣a n=a n（q﹣1）＞1＞0，
所以a1＞0，且q＞1．
因为a n+1﹣a n=q（a n﹣a n﹣1）＞a n﹣a n﹣1，
所以在{a n﹣a n﹣1}中，“a2﹣a1”为最小项．
同理，在中，“”为最小项．
由{a n}为“K数列”，只需a2﹣a1＞1，即a1（q﹣1）＞1，
又因为不是“K数列”，且“”为最小项，所以，即a1（q﹣1）≤2，由数列{a n}的每一项均为正整数，可得a1（q﹣1）=2，
所以a1=1，q=3或a1=2，q=2．
①当a1=1，q=3时，，则，
令，则，
又=，
所以{c n}为递增数列，即c n＞c n﹣1＞c n﹣2＞…＞c1，
所以b n+1﹣b n＞b n﹣b n﹣1＞b n﹣1﹣b n﹣2＞…＞b2﹣b1．
因为，
所以对任意的n∈N*，都有b n+1﹣b n＞1，
即数列{c n}为“K数列”．
②当a1=2，q=2时，，则．因为，所以数列{b n}不是“K数列”．
综上：当时，数列{b n}为“K数列”，
当时，数列{b n}不是“K数列”．。