云南省玉溪市峨山彝族自治县第一中学2020-2021学年高二下学期4月月考数学(理)试卷

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2020-2021学年
下学期高二四月月考
理科数学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦 干
净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设 A = {x | x 2 - 8x + 15 = 0} ， B = {x | ax - 1 = 0} ，若 A B = B ，求实数 a 的值的个数（ C ）. A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 双曲线 mx 2 + y 2 = 1(m ∈ R ) 的离心率为 ，则 m 的值为（B ）.
A. 1
B.-1
C. 2
D. -2
3.高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便. 某高铁换乘站设有编号为①，②，③，④，
⑤的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，
疏散1000 名乘客所需的时间如下：
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（C ）. A. ① B. ② C. ④ D. ⑤ 4.执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为（A ）.
A. 5
B. 6
C. 8
D. 13
5.设n S 是各项均不为 0 的等差数列 的前 n 项和，且 ，则 等于（B ）
A. 1
B. 7
C. 10
D. 13
6. 函数)23
2sin(3)(x x f -=π
的一个单调递增区间为（A ）
安全出口编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤ 疏散乘客时间(s)
120 220 160 140 200
{}n a 4
7a a 7
13S 13S =
A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1213127ππ，
B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡12712ππ，
C. ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-22ππ， D. ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
665ππ，
7.已知
，且
，则
= ( C )
A. 0
B.
C. 1
D.
8.已知，7
1
7,67log ,33log ===z y x 则实数z y x ,,的大小关系是（D ）
y z x <<.A y x <<z .B z y x <<.C x y <<z .D
9.已知直线 和圆 交于 两点，
为坐标原点，若 则 实数 （B ）
1.A ± 2
2
.B ±
2
3.C ±
21
.D ±
10.下列论断中错误的是 ( C )
A. 是实数，则"
"是"
"的充分非必要条件
B. 命题"若 ，则
"的逆命题是假命题
C. 向量
的夹角为锐角的充要条件是
D. 命题
"
"的否定为 "
"
11. 已知函数
的定义域为
，部分对应值如下表， 的导函数
的图象如图所示．
当 时，函数
的零点的个数为（D ）
A. B. C. D.
12. 已知函数
．若函数
在区间
上都是单调函数且它
们的单调性相同，则实数a 的取值范围为 ( D )．
A.
B. C. D.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

m x +=y B A 、，2
3
AB AO =•12
2
=+y x O =
m
13.学校从3名男同学和2 名女同学中任选 2 人参加志愿者服务活动，则选出的2 人中至少有1 名女同学的概率为
14.曲线)1ln(2+=x y 在点)0,0（处的切线方程为
15.某班在一次语文周测中，每位同学的考试分数都在区间 内，将该班所有同学的考试分数分为七
组：
，
，
，
，
，
，
，绘制出如图所示
的频率分布直方图．已知分低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为 10 人
16.直线 与抛物线
相交于不同两点
，若
是
中点，则直线 的斜率
三、解答题：本题共6个小题，共70分。

17.（10分）在AB C ∆中，c b a 、、分别是角C B A 、、的对边，且.3))(ab c b a c b a =-+++（
（1）求角C 的值；
（2）若,2=c 且AB C ∆为锐角三角形，求b a +的取值范围.
解：（1） （2）
107
x
y 2=2
13C 0C 2
1
cos 223))(222222π
π=∠∴∈∠=
=
-+=-+∴=-+++），（即（ C ab
ab
ab c b a ab c b a ab c b a c b a ]
sin )3
[sin(2)sin (sin 23
3
42sin c B B R B A R b a R C
++=+=+=
=π
3
26
3
2
6
232020ABC <
+
∠<∴
<∠<∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<∠-<<∠<∴∆B B B B π
π
π
π
π
πππ是锐角三角形
)
6
sin(32)cos 23sin 23(R 2π+=+=B R B B
18.（12分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．
（1）求与；
（2）设数列满足，求的前项和．
解：设等差数列公差为，
，即；，即，
得，解出，，
∴，．
（2）答案：
解析：∵．
．
∴．
19.（12分）如图，在四棱锥中，平面，为直角，，
，，分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角．
解：由已知，且为直角，
故是矩形，从而．
又底面，∴平面平面，
∵，故平面，∴，
在内，、分别是、的中点，，∴，且
由此得平面．
（2）答案：
解析：以为原点，以，，为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，平面的法向量为
，则，，可取，设二面角
的大小为，则，
∴．
20.（12分）已知函数在时有极大值．
（1）求，的值；
（2）求函数在上的最值．
解：（1），
由题意可知
（2）由（1）知，
所以．
令得或．
当时，．
当或时，．
所以函数在和上单调递减，在上单调递增．
因为，，，．
所以函数在上的最大值为，最小值为．
21.（12分）已知椭圆的离心率为，其短轴两端点为，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，是椭圆上关于轴对称的两个不同的点，直线，与轴分别交于点，，判断以为直径的圆是否过点，并说明理由．
解：（1）由已知可设椭圆的方程为，由，可得，
解得，
所以求椭圆的标准方程．
（2）方法一：设，且，则，因为，，
所以直线的方程为，
令，得，
所以，
同理直线的方程为，求得，
所以，，
所以，
由点在椭圆上，
得，
所以，
所以，
所以以线段为直径的圆不过点．
方法二：设直线的方程为，
则，
化简得到，
所以，
所以，，
所以，
所以，
因为，关于轴对称，
所以，
所以直线的方程为，
即，令，得到，
所以，
所以．
所以，
所以以线段为直径的圆不过点．
22. （12分）某通讯商推出两款流量套餐，详情如下：
这两款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值流量，资费元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值流量，资费元/次，以此类推，如果当月流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用．小王过去个月的手机月使用流量（单位：）的频数分布表如下：
根据小王过去个月的手机月使用流量情况，回答以下问题：
（1）若小王订购A套餐，假设其手机月实际使用流量为（单位：，），月流量费用为（单位：元），将表示为的函数；
（2）小王拟从A套餐或B套餐中选订一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订购哪一种套餐?说明理由．
解：（1）依题意，当时，；
当时，；
当时，．
所以．
（2）由频数分布表知，小王在过去的个月中，手机月使用流量的有个月；的有个月；的有个月，
若订购A套餐，月平均费用为（元）；
若订购B套餐，月平均费用为（元）．
所以，
因此，若以月平均费用作为决策依据，小王应订购B套餐．。