专题24 图形的对称、平移、旋转与位似(5大考点)(学生版)

第六部分图形的变化
专题24图形的对称、平移、旋转与位似核心考点核心考点一
轴对称图形与中心对称图形核心考点二图形的对称（含折叠）及其相关计算
核心考点三图形的平移及其相关计算
核心考点四图形的旋转及其相关计算
核心考点五图形的位似及其相关计算
新题速递
核心考点一轴对称图形与中心对称图形
（2022·贵州黔西·统考中考真题）在如图所示的Rt ABC 纸片中，90ACB ∠=︒，D 是斜边AB
的中点，把纸片沿着CD 折叠，点B 到点E 的位置，连接AE ．若AE DC ∥，B α∠=，则EAC ∠等于（）
A ．α
B ．90α︒-
C ．12α
D ．
902α
︒-
（2022·浙江丽水·统考中考真题）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B 点的坐标是(，则A 点的坐标是___________．
（2022·吉林·统考中考真题）图①，图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A ，B ，C 均在格点上．请在给定的网格中按要求画四边形．
(1)在图①中，找一格点D ，使以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是轴对称图形；
(2)在图②中，找一格点E ，使以点A ，B ，C ，E 为顶点的四边形是中心对称图形．
轴对称图形是指一条轴线的两边完全对称的图形，形状都完全对称。

中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心，旋转180°后重合的两个点叫做对称点。

中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

【变式1】（2022·四川绵阳·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线122
y x =-与x 轴，y 轴分别交于点M ，点N ，矩形ABCD 的顶点,A D 分别在x 轴，y 轴上，对角线BD ∥x 轴，已知()2,0A ，()0,4D .现将直线MN 向上平移m 个单位长度，使平移后的直线恰好平分矩形ABCD 的面积，则m 的值为（）
A ．17
2B ．8C ．9D ．15
2
【变式2】（2023·海南省直辖县级单位·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(1,1)，(3,0)，(2,1)-，点M 从坐标原点O 出发，第一次跳跃到点1M ，使得点1M 与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点2M ，使得点2M 与点1M 关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点3M ，使得点3M 与点2M 关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点4M ，使得点4M 与点3M 关于点A 成中心对称；…，依此方式跳跃，点2022M 的坐标是___．
【变式3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，抛物线1L ：²6y ax bx =++与x 轴分别交于点()30A -,，点()2,0B -，与y 轴交于点C ，连接AC ．
(1)求抛物线1L 的表达式；
(2)若抛物线2L 与抛物线1L 关于原点O 对称，点P 是第四象限抛物线2L 上的点，过点P 作PD y ⊥轴于点D ，连接PO ．若AOC 与POD 相似，求点P 的坐标．
核心考点二图形的对称（含折叠）及其相关计算
（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）下列图形是黄金矩形的折叠过程：第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB ，并把AB 折到图（3）中所示的AD 处；第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE 就是黄金矩形．则下列线段的比中：①
CD DE ，②DE AD ，③DE ND ，④AC AD ，比值为
的是（）
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．②③
（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，正方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴上，E 、F 分别是边AB 、OA 上的点，且∠ECF ＝45°，将△ECF 沿着CF 翻折，点E 落在x 轴上的点D 处．已知反比例函数y 1＝1k x 和y 2＝2k x
分别经过点B 、点E ，若S △COD ＝5，则k 1﹣k 2＝_____．
（2022·新疆·统考中考真题）如图，在ABC ∆巾，30ABC AB AC ∠=︒=，，点O 为BC 的中点，点D 是线段OC 上的动点（点D 不与点O ，C 重合），将ACD 沿AD 折叠得到AED ∆，连接BE ．
(1)当AE BC ⊥时，AEB ∠=___________︒；
(2)探究AEB ∠与CAD ∠之间的数量关系，并给出证明；
(3)设4AC =，ACD 的面积为x ，以AD 为边长的正方形的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式．
【变式1】（2023·内蒙古乌兰察布·校考模拟预测）点D 是等边三角形ABC 的边AB 上的一点，且12AD BD ==，，现将ABC 折叠，使点C 与点D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，若54
BF =，则CE 的长为（）
A ．5
3B ．7
5C ．12
5D ．3
5
【变式2】（2023·安徽合肥·校考一模）如图，已知正方形纸片ABCD 的边4AB =，点P 在AD 边上，将A ∠沿BP 折叠，点A 的应点为A '．
（1）若A D BP '∥时，PA 的长为___________；
（2）若点A '到边AD 或BC 的距离为1，则线段PA 的长为_________．
【变式3】（2023·山东枣庄·统考一模）如图，已知菱形ABCD ，点E 是BC 上的点，连接DE ，将CDE 沿DE 翻折，点C 恰好落在AB 边上的F 点上，连接DF ，延长FE ，交DC 延长线于点G ．
(1)求证：DFG FAD ∽△△；
(2)若菱形ABCD 的边长为5，3AF =，求BE 的长．
核心考点三图形的平移及其相关计算
（2022·贵州铜仁·统考中考真题）如图，等边ABC 、等边DEF 的边长分别为3和2．开始时点A 与点D 重合，DE 在AB 上，DF 在AC 上，DEF 沿AB 向右平移，当点D 到达点B 时停止．在此过程中，设ABC 、DEF 重合部分的面积为y ，DEF 移动的距离为x ，则y 与x 的函数图象大致为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，将边长为3的正方形ABCD 沿其对角线AC 平移，使A 的对
应点A ′满足AA ′＝13
AC ，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是_____．
（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,5B -，()5,4C -．
(1)将ABC 先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到111A B C △，画出两次平移后的111A B C △，并写出点1A 的坐标；
(2)画出111A B C △绕点1C 顺时针旋转90°后得到221A B C △，并写出点2A 的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点1A 旋转到点2A 的过程中所经过的路径长（结果保留π）．
【变式1】（2023·河北衡水·校考二模）如图，在ABC 中，3BC =，将ABC 平移5个单位长度得到111A B C △，点P ，Q 分别是AB ，11A C 的中点，PQ 的值不可以．．．
是()
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【变式2】（2023·湖北荆州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，长为3的线段CD （点D 在点C 右侧）在x 轴上移动，点()0,2A 、()0,4B 是y 轴上定点，连接AC BD 、，则AC BD +的最小值为________．
【变式3】（2021·江西宜春·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是（3，4），BA x ⊥轴于点A ，点B 在反比例函数(0,0)k y k x x
=>>的图象上，将△OAB 沿x 轴向右平移得到O A B '''∆，O B ''交反比例函k y x =于点C （3a ，a ）．
(1)求a 的值；
(2)求△OAB 沿x 轴向右平移的距离．
核心考点四图形的旋转及其相关计算
（2022·四川巴中·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y =+x 轴交于点A ，与y 轴
交于点B ，将AOB 绕O 点逆时针旋转到如图A OB ''△的位置，A 的对应点A '恰好落在直线AB 上，连接BB '，则BB '的长度为（）
A
2B C ．2D ．2
（2022·山东日照·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（0，4），P 是x 轴上一动点，把线段PA 绕点P 顺时针旋转60°得到线段PF ，连接OF ，则线段OF 长的最小值是__________．
（2022·山东临沂·统考中考真题）已知ABC 是等边三角形，点B ，D 关于直线AC 对称，连接AD ，
CD ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；
(2)在线段AC 上任取一点Р（端点除外）
，连接PD ．将线段PD 绕点Р逆时针旋转，使点D 落在BA 延长线上的点Q 处．请探究：当点Р在线段AC 上的位置发生变化时，DPQ ∠的大小是否发生变化？说明理由．
(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ 与CP 之间的数量关系，并加以证明．
【变式1】（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考模拟预测）如图，在ABC 中，AB AC <，将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE V ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ．下列结论：①AFE DFC ∽△△；②DA 平分BDE ∠；③CDF BAD ∠=∠，其中正确结论的个数是（）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【变式2】（2023·江西上饶·校联考一模）如图，在正方形ABCD 中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至BC '，连接CC '，DC '，若90CC D '∠=︒，5AB =C D '的长度为______．
【变式3】（2023·河北·统考模拟预测）如图，已知AB 是半圆O 的直径，4AB =，点D 是线段AB 延长线上的一个动点，直线DF 垂直于射线AB 于点D ，在直线DF 上选取一点C （点C 在点D 的上方），使CD OA =，将射线CD 绕点D 逆时针旋转，旋转角为(090)αα︒<≤︒．
(1)若5OD =，求点C 与点O 之间距离的最小值；
(2)当射线DC 与O 相切于点C 时，求劣弧BC 的长度；
核心考点五图形的位似及其相关计算
（2022·山东威海·统考中考真题）由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝…＝∠LOM ＝30°．若S △AOB ＝1，则图中与△AOB 位似的三角形的面积为()
A ．（
43）3B ．（43）7C ．（43）6D ．（34）6
（2022·四川成都·统考中考真题）如图，ABC 和DEF 是以点O 为位似中心的位似图形．若:2:3OA AD =，则ABC 与DEF 的周长比是_________．
（2021·黑龙江绥化·统考中考真题）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O 为平面直角坐标系的原点，矩形OABC 的4个顶点均在格点上，连接对角线OB ．
（1）在平面直角坐标系内，以原点O 为位似中心，把OAB 缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与OAB 的相似比等于1
2；
（2）将OAB 以O 为旋转中心，逆时针旋转90︒，得到11OA B ，作出11OA B ，并求出线段OB 旋转过程中所形成扇形的周长．
两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

有必要声明，位似图形的标准定义应是：如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点连线的交点是位似中心。

【变式1】（2023·河南商丘·校考一模）如图，AOB 的顶点O 在原点上，顶点A 的坐标为()31
-，，90BAO AB OA ∠=︒=，，点P 为OB 上一点，且3OP BP =，将AOB 向右平移，当点P 的对应点P '落在反
比例函数4y x =0x >（）上时，则点P ′的坐标为（）
A ．23（，）
B ．32（，）
C ．4(3,)3
D ．4(,3)3
【变式2】（2022·浙江温州·瑞安市安阳镇滨江中学校考三模）如图，已知ABCD Y 的面积为24，以B 为位似中心，作ABCD Y 的位似图形EBFG Y ，位似图形与原图形的位似比为23
，连接AG 、DG ．则ADG △的面积为________．
【变式3】（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形（每个小方格都是边长为1的正方形）．图中ABC 是格点三角形，点A ，B ，C 的坐标分别是()3,1--，()2,3--，()0,2-．
(1)画出ABC 绕原点O 逆时针旋转90︒得到的111A B C △；
(2)以点O 为位似中心，在第一象限内将ABC 放大为原来的2倍，得到222A B C △，画出222A B C △；
(3)ABC 内有一点(),P a b ，直接写出经过（2）位似变换后点P 的对应点2P 的坐标．
【新题速递】
1．
（2022·广东揭阳·校考模拟预测）如图，把ABC 按逆时针转动一定的角度至''AB C ，其中属于旋转角的是（）
A ．BAC ∠
B ．''
C AB ∠C ．'BAB ∠
D ．'
BAC ∠2．
（2023·广东广州·执信中学校考一模）如图，等腰Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，BA BC =，将BC 绕点B 顺时针旋转()090θθ<<︒，得到BP ，连结CP ，过点A 作AH CP ⊥交CP 的延长线于点H ，连结AP ，则PAH ∠的度数（）
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．随若θ的变化而变化
3．
（2023·天津南开·南开翔宇学校校考一模）如图，ODC 是由OAB 绕点O 顺时针旋转30°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且102AOC ∠=︒，则B ∠的大小是（）
A ．28°
B ．30°
C ．33°
D ．42°
4．（2023·河南南阳·校联考一模）如图，菱形OACB 的边OB 在x 轴上，点A 的坐标为(，若菱形OACB 绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45︒，则第60秒时，点C 的对应点60C 的坐标为（）
A ．()3-
B ．(3,-
C ．()2
D ．(2,
5．
（2022·浙江杭州·统考二模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点()1,A m ，(),4B n -是关于x 的“黄金函
数”()20y ax bx c a =++≠上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，有结论
①0a c +=；②4b =；③11042a b c ++<；④10a -<<．则下列结论正确的是（）
A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④
D ．②③④
6．
（2023·河南周口·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，OAB 为等腰三角形，5OA AB ==，点B 到x 轴的距离为4．若将OAB 绕点O 逆时针旋转得到△OA B ''，当点B '恰好落在y 轴正半轴上时，点A '的坐标为（）
A ．
B ．1033⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，
C ．(2,4)
D ．(3,5)
7．
（2023·广东深圳·统考一模）如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，点D 为EF 的中点，若AB =
BF ，则BF 的长为（）
A ．
B ．
C ．
D ．8．
（2022·广东深圳·深圳市福田区实验教育集团侨香学校校考一模）如图，在正方形ABCD 中，AEF 的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，下列说法：
①45EAF ∠=︒；
②连接MG ，NG ，则MGN 为直角三角形；
③AMN AFE ∽；
④若2BE =，3FD =，则MN ()
A ．4
B ．3
C ．2
D ．19．（2023·广东深圳·统考一模）如图，反比例函数1
y x =的图象经过点A ，将线段OA 沿x 轴向右平移至O A ''，反比例函数()0k y k x
=>的图象经过点A '．若线段OA 扫过的面积为2，则k 的值为__________
10．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考三模）如图，已知在平面直角坐标系中，点B 的坐标是()0,4，60OBA ∠=︒，点A 在x 轴正半轴上．将Rt ABO △中沿着直线AB 平移得到Rt A B O ''' ，当OB OA '+'最小时，Rt ABO △和Rt A B O ''' 的重叠部分面积是___________．
11．（2023·山西临汾·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点()0,3A ，()10B ,
，将线段AB 先沿x 轴正方向平移，然后沿y 轴正方向平移，得到线段DC ，连接点B 及其对应点C ，若90ABC ∠=︒，2BC AB =，则点D 的坐标是______．
12．
（2023·山西临汾·统考一模）如图，在ABC 中，45B ∠=︒，60C ∠=︒，D 为线段AB 的中点，点E ，F
分别在AC ，BC 上，3BF FC =，且EF AB ∥，沿DE 将ADE V 折叠得到GDE △，若AE =AG 的长是______．
13．
（2023·安徽·校联考一模）如图．已知正方形纸片ABCD 的边4AB =，点P 在AD 边上，将A ∠沿BP 折叠，点A 的应点为A '．
（1）若A D BP '∥时，PA 的长为______﹔
（2）若点A '到边AD 或BC 的距离为1，则线段PA 的长为______．
14．
（2023·河南周口·校考一模）如图，在矩形ABCD 中9AB AD ==，，E 为射线BA 上一点，将BEC 沿
CE 翻折，使点B 落在点F 处，若
DCF S = ，则BE ＝_____．
15．
（2023·山东菏泽·校考一模）如图，在Rt AOB 中，直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将AOB 绕点B 逆时针旋转90︒后，得到A O B '' ，且反比例函数k y x
=
的图象恰好经过斜边A B '的中点C ，若=4ABO S ，tan =2BAO ∠，则=k _____．
16．（2023·河南南阳·校联考一模）在ABC 中，90ACB ∠=︒，5AB =，1tan 2
BAC ∠=，把ABC 绕点C 逆时针旋转得到A B C ''△，点A 的对应点为A '，若AA C '△为直角三角形，连接AB '，则线段AB '的长为_____．
17．
（2023·四川泸州·泸县五中校考一模）如图方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC 的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为()0,3A ，()3,4B ，()2,2C ．
(1)画出ABC 关于原点O 的中心对称图形A B C ''' ，并写出点B 的对应点B '的坐标．
(2)画出将ABC 绕原点O 逆时针方向旋转90︒后的图形A B C ''''''△．
18．
（2023·江西上饶·校联考一模）“垃圾入桶，保护环境从我做起”，如图所示的是某款垃圾桶侧面展示图，40cm,30cm,20cm AD DC GD GF ====，90A GDC DGF ∠=∠=∠=︒，桶盖GFEC 可以绕点G 逆时针方向旋转，当旋转角为40︒时，桶盖GFEC 落在GF E C '''的位置．
(1)求在桶盖旋转过程中，点C 运动轨迹的长度．
(2)求点F '到地面AB 的距离．（参考数据：sin 400.64,cos400.77,tan 400.84≈≈≈ ）
19．
（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，将对角线AC 绕点A 顺时针方向旋转90︒得到线段AE ，连接CE ，设边AB x =cm （16x ≤≤），AEC △的面积为2cm y ．
(1)求y 与x 的函数关系式：
(2)下表列出了部分点，先直接写出m 的值为_______，并在图2中利用描点法画出此函数图象；x
123456y 4134292625m
(3)结合图象，指出在x 的变化过程中，y 的最小值为_______；并写出在整个变化过程中，点E 到直线AD 的最小距离为_______cm ．
20．
（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把ABC 沿着AD 方向平移，得到A B C ''' ．设平移的距离为()cm x ，两个三角形重叠部分(阴影四边形)的面积为()
2cm S (1)当1x =时，求S 的值．
(2)试写出S 与x 间的函数关系式，并求S 的最大值．
(3)是否存在x
的值，使重叠部分的四边形的相邻两边之比为1？如果存在，请求出此时的平移距离x ；如果不存在，请说明理由．
21．（2023·河北秦皇岛·统考一模）定义：如果二次函数2111y a x b x c =++，（10a ≠，1a 、1b 、1c 是常数）与
2222y a x b x c =++20a ≠，2a 、2b 、2c 是常数）满足120a a +=，12b b =，120c c +=，则这两个函致互为“旋转函数”．例如：求函数2231y x x =-+的“旋转函数”，由函数2231y x x =-+可知，12a =，13b =，11c =．根据120a a +=，12b b =，120c c +=求出2a 、2b 、2c 就能确定这个函数的“旋转函数”．请思考并解决下面问题：
(1)写出函数243y x x =-+的“旋转函数”；
(2)若函数()251y x m x n =+-+与253y x nx =---互为“旋转函数”，求()2023m n +的值；
(3)已知函数()()213y x x =-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、B 、C 关于原点的对称点分别是1A 、1B 、1C ，试求证：经过点1A 、1B 、1C 的二次函数与()()213y x x =-+互为“旋转函数”．
22．
（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）如图1，矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，对角线AC 、BD 相交于E ，过点E 的直线与直线AD 、BC 分别相交于点H 、G ．
(1)直线GH 在旋转过程中，①AEH △与CEG 的位置关系是：______，②线段AH 与CG 的大小关系是：______；
(2)如图2，以AB 为直径作O ，若直线GH 在旋转过程中与O 相切时，求线段AH 的长度；
(3)在（2）的结论下，判断以GH 为直径的圆与直线AB 的位置关系．请直接写出结论．
23．
（2022·北京海淀·校考三模）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1.对于点A 和线段BC ，给出如下定义：将线段BC 关于点A 中心对称可以得到O 的弦''(','B C B C 分别是B ，C 的对应点)，则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“中心关联线段”．
(1)如图，点()0,1A ，1B ，1C ，2B ，2C ，3B ，3C 的横、纵坐标都是整数．在线段11B C ，22B C ，33B C 中，O 的以点A 为中心的“中心关联线段”是______；
(2)ABC (),A t t
，其中0.t ≠若BC 是O 的以点A 为中心的“中心关联线段”，求t 的值；
(3)在ABC 中，1AB =， 2.AC =是否存在点A ，使得BC 是O 的以点A 为中心的“中心关联线段”，并且'90COC ∠=︒，若存在，画出此时的示意图，写出此时OB 的长，BC 的长，若不存在说明理由．。