推荐高中数学第2章圆锥曲线2.3参数方程化成普通方程学案北师大版选修4_1

§3 参数方程化成普通方程
1.了解参数方程化成普通方程的意义.
2.掌握参数方程化成普通方程的基本方法.(重点)
3.能够利用参数方程化成普通方程解决有关问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理 参数方程化为普通方程
参数方程和普通方程是曲线方程的两种不同形式，普通方程用代数式直接表示点的坐标之间的关系；参数方程是借助于参数间接地反映点的坐标之间的关系.两者之间可以互化，将参数方程化成普通方程的常用方法有：
(1)代数法消去参数
①代入法：从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.
②代数运算法：通过乘、除、乘方等运算把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算，消去参数，得到曲线的普通方程.
(2)利用三角恒等式消去参数
如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，得到曲线的普通方程.
填空：
(1)将参数方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝t ，
y ＝2t (t 为参数)化为普通方程是________.
(2)将参数方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)化为普通方程是________.
(3)将参数方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2t 2
，
y ＝t ＋1(t 为参数)化为普通方程是________.
【解析】 (1)把t ＝x 代入②得y ＝2x 即普通方程为y ＝2x . (2)由sin 2
θ＋cos 2
θ＝1得x 2
＋y 2
＝1.
(3)由②得t ＝y －1，代入①得x ＝2(y －1)2
.
【答案】 (1)y ＝2x (2)x 2
＋y 2
＝1 (3)x ＝2(y －1)2
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
[小组合作型]
(1)
x －
2
3
＋
y －
2
5
＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)
(2)x 2
－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数) 【精彩点拨】 根据题目要求代入可求解. 【自主解答】 (1)将x ＝3cos θ＋1代入
x －
2
3
＋
y －
2
5
＝1得y ＝2＋5sin θ.
∴⎩⎨
⎧
x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2
(θ为参数).
这就是所求的参数方程.
(2)将x ＝t ＋1代入x 2
－y ＋x －1＝0得
y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋1，y ＝t 2
＋3t ＋1(t 为参数).
这就是所求的参数方程.
普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价.②参数的选取不同，得到的参数方程是不同的.如本例(2)，若令x。