第3节利用导数研究函数的极值、最值--2025湘教版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)

( D )
A.a<b
B.a>b
b<a2
D.ab>a2
解析 因为 f(x)=a(x-a)2(x-b),所以 f'(x)=2a(x-a)(x-b)+a(x-a)2
=a(x-a)[(2x-2b)+(x-a)]
+2
=a(x-a)[3x-(a+2b)]=3a(x-a)(x- 3 ).
由 f'(x)=0,解得 x=a 或
递减,当 x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以函数 f(x)在区间
最小值为 f(1)=1;当 0<x≤
则函数 f(x)在区间
1
0,
2
1
2
时,f'(x)=-2<0,则函数
f(x)在区间
2

上的最小值为 f
1
2
1
,+∞
2
1
0, 2
内的
上单调递减,
=2ln 2>1.综上,f(x)min=f(1)=1.
是 最大值
,最小者是 最小值
.
微点拨对函数最值的理解
(1)函数在其定义域上或在某给定区间上若存在最大(小)值,则其具有唯一
性,即只能有一个最大(小)值;
(2)函数的最值可以在区间端点处取得,但极值不能在区间端点处取得;
(3)函数有最值时,不一定有极值;有极值时,不一定有最值;
(4)若f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a),f(b)分别是f(x)在[a,b]上的最小值、最大
值;若f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a),f(b)分别是f(x)在[a,b]上的最大值、最小
值.
常用结论
1.有极值的函数一定不是单调函数.
2.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其导数f'(x)=3ax2+2bx+c,方程
3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac,有以下结论:
极大值又有极小值.
微思考若函数f(x)可导,则当f'(x0)=0时,f(x)一定在x=x0处取得极值吗?
提示 不一定.f'(x0)=0是f(x)在x=x0处取得极值的必要而不充分条件,例如
f(x)=x3,满足f'(0)=0,但f(x)=x3在x=0处不取得极值.
2.函数的最值与导数
反映的是函数整体的性质
1.函数的极值与导数
函数极值反映的是函数局部的性质
取得极值的条件 y=f(x)的图象
极值
前提
设函数y=f(x)在区
间(a,b)内有定义
,x0是区间(a,b)内
f'(x)在x0
的一个点,点x0附
两侧的符
f'(x0)=0
近的函数值都
号为
左负右正
大于 或______
等于
f(x0)(即
f(x)≥f(x0))
函数f(x)在R上存在极值(既有极大值又有极小值)
Δ>0
函数f(x)在R上不是单调函数
函数f(x)在R上不存在极值
Δ≤0
函数f(x)在R上是单调函数(单调递增或单调递减)
自主诊断
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
1.一个函数的极大值一定比极小值大.( × )
2.函数在闭区间上的最值一定在端点处取得.( × )
2
− 3
=
2 --2
.
3
因为函数 f(x)既有极大值也有极小值,所以 g(x)=ax2-bx-2c 在区间(0,+∞)上有
两个不同的零点,即一元二次方程 ax2-bx-2c=0 有两个不同的正实数根,设为
= 2 + 8 > 0,
x1,x2,所以

1 + 2 = > 0,
x<-3或x>-1,令f'(x)<0,得-3<x<-1,所以f(x)在(-∞,-3)和(-1,+∞)上单调递增,在
(-3,-1)内单调递减,所以f(x)在x=-1处取得极小值,符合题意.综上所
述,a+b=11,故选D.
(2)(2024·湖南长沙模拟)已知函数f(x)的导函数g(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是
,令


f'(x)=0,解得 x=1.当 x>1
时,f'(x)<0,当0<x<1时,f'(x)>0,故f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递
减,故x=1是极大值点,故选B.
(2)已知函数

f(x)= +x4-4x,则
A.e-3
B.5-e
2
C. +8
2
解析
f(x)的极小值为( A )
(1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条 连续不断
的曲
线,那么该函数在[a,b]上必有最大值和最小值.
(2)一般地,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的 极值 ;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b) 比较,其中最大者
f'(x)<0,得

0<x<;由
f'(x)>0,得

x>,所以函数
f(x)在区间

0,
上单调递减,在
区间

,
+
∞

上单调递增,f(x)在区间(0,+∞)上不存在最大值,不符合题意.当
a<0 时,若 b≥0,则 x>0 时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,当 x→+∞
时,f(x)→-∞,当 x→0+时,f(x)→+∞,无最大值,不符合题意.当 b<0 时,易知函数 f(x)
1
C.2
D.1

x+ 取得最大值-2,则
f'(2)=( B )
解析 函数 f(x)的定义域是(0,+∞).


f'(x)= − 2


=
-
,分析易知,当
2
a=0 时,不满足题意.当 a>0 时,若 b≤0,则 x>0
时,f'(x)>0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,无最大值,不符合题意.当 b>0 时,由
8.(2021·新高考Ⅰ,15)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为
解析 f(x)=
2-1-2ln, >
1
,
2
1-2-2ln,0 < ≤
1
2
当 x> 时,f'(x)=22

=
1
.
1
.
2
2(-1)
1
,令 f'(x)=0,则 x=1,所以当 x∈ ,1

2
时,f'(x)<0,f(x)单调
3.函数在开区间上的最值一定是相应的极值.( √ )
题组二回源教材
4.(湘教版选择性必修第二册1.3.2节练习第2题改编)已知函数
f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1处有极值0,则m+n= 11
.
'(-1) = 3-6 + = 0,
= 1,
解析 f'(x)=3x +6mx+n,由题意
在区间

0,


上单调递增,在区间
= 1,

,+∞

上单调递减,所以当

x=时,f(x)存在
= -2,
2- 1
最大值,即
解得
所以 f'(2)= 4 =-2,故选 B.
= -2.
(1) = = -2,
7.(2021·全国乙,文12)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则
2
1 2 = - > 0,
确,B,C,D 正确.故选 BCD.
所以 b2+8ac>0,且 ab>0,ac<0,bc<0,所以 A 不正
若 a>0,则由 x=a 为函数的极大值点可得
+2
a< 3 ,化简得
+2
此时在区间(-∞,a)和(
,+∞)内,f'(x)>0,函数
3
+2
f(x)单调递增;在区间(a,
)
3
内,f'(x)<0,函数 f(x)单调递减.此时 a(a-b)<0,即 a2<ab.
综上可得 a2<ab.故选 D.
a<b.
解得
或
2
= 3,
(-1) = -1 + 3- + = 0,
= 2,
= 9.
当m=1,n=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0恒成立,函数f(x)在R上单调递增,
2
无极值,与题意不符,舍去.当m=2,n=9时,符合题意.所以m+n=2+9=11.
1 3
f(x)= x -4x+4
函数f(x)取得极小值,且极小值f(1)=e-3,故选A.
考向2已知极值(极值点)求参数值(范围)
例2(1)(2024·安徽合肥模拟)函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极小值0,则
a+b=( D )
A.7
B.6
C.5
D.11
解析 因为f(x)=x3+3ax2+bx+a2,所以f'(x)=3x2+6ax+b,由题意可知
+2
x= 3 .
若 a<0,则由 x=a 为函数
+2
<a,化简得
f(x)的极大值点,可得
3
b<a.
+2
此时在区间(-∞,
)和(a,+∞)内,f'(x)<0,函数
3
+2
f(x)单调递减;在区间(
,a)
3
内,f'(x)>0,函数 f(x)单调递增.
此时 a(a-b)<0,即 a2<ab.
1 3
时,f(x)= x -4x+4
3
取得极小值,且极小值为
4
f(2)=- .
3
又 f(0)=4,f(3)=1,
所以函数
1 3
f(x)=3x -4x+4
在区间[0,3]上的最大值是
4
4,最小值是-3.
在
题组三连线高考
6.(2022·全国甲,理 6)当 x=1 时,函数 f(x)=aln
A.-1
1
B.-2
2 研考点 精准突破
考点一 利用导数研究函数的极值(多考向探究预测)
考向1求函数的极值(极值点)
例1(1)设函数f(x)=2ln x-x2,则( B )
A.x=e为极大值点 B.x=1为极大值点
C.x=1为极小值点
解析
D.无极值点
2
2(1-)(1+)
函数定义域为(0,+∞),f'(x)= -2x=
点,1不是极值点,所以a=2满足题意,故选D.

c
(3)(多选题)(2023·新高考Ⅱ,11)若函数f(x)=aln x+ + 2 (a≠0)既有极大值
也有极小值,则( BCD )
A.bc>0
B.ab>0
C.b2+8ac>0
D.ac<0
解析 函数


f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= − 2
点,点x0附近的
为 左正右负
个 极大值 个极大值点
小于
函数值都_____
或 等于 f(x0)
(即f(x)≤f(x0))
微点拨对函数极值的理解
(1)函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数的
极值点.
(2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;
函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有
2025
高考总复习
第3节 利用导数研究函数的极值、最值
课标解读
1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三
次的多项式函数的最大值、最小值.
3.体会导数与极值、最大(小)值的关系.
目录索引
1 强基础 固本增分
知识梳理
极值点
f(x0)为函数 x0为函数
y=f(x)的一 y=f(x)的一
个极小值 个 极小值点
前提
取得极值的条件 y=f(x)的图象
极值
极值点
设函数y=f(x)在
区间(a,b)内有
定义,x0是区间
f'(x)在x0两
f(x0)为函数 x0为函数
(a,b)内的一个
f'(x0)=0 侧的符号
y=f(x)的一 y=f(x)的一
3
5.(湘教版选择性必修第二册1.3.3节练习第2题改编)函数
4
4
3
区间[0,3]上的最大值是
,最小值是
.
解析 f'(x)=x2-4,令f'(x)=0,解得x=2或x=-2(舍去).
当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(2,3)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
所以当 x=2
3-6 + = 0,
'(-1) = 0,
= 1,
= 2,
即
解得
或
= 3,
(-1) = 0,
-1 + 3- + 2 = 0,
= 9.
当a=1,b=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,函数f(x)为R上的增函数,此时f(x)
无极值,不合题意;当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),令f'(x)>0,得
D.2√
31
−
16
e (-1)
e
3
函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)= 2 +4x -4=(x-1)[ 2+4(x2+x+1)],


因为∀x∈R 且
e
x≠0,有 2>0,x2+x+1>0,因此当

x<0 时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当
0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以当x=1时,