人教备战中考数学 圆的综合 培优易错试卷练习(含答案)及答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；
（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据
AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB 中，利用已知条件求得答案．
试题解析：（1）证明：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴AE⊥DE；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠CBA=60°，
∴∠BAC=∠EAC=30°，
∵△AEC为直角三角形，AE=3，
∴AC=2，
连接OF，
∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，
∴△OAF为等边三角形，
∴AF=OA=AB，
在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，
∴BC=2，
∴AB=4，
∴AF=2．
考点：切线的性质．
2．如图AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，过点C作⊙O的切线CM，延长BC到点D，使CD=BC，连接AD交CM于点E，若⊙OD半径为3，AE=5，
（1）求证：CM⊥AD；
（2）求线段CE的长.
【答案】（1）见解析；（2）5
【解析】
分析：（1）连接OC，根据切线的性质和圆周角定理证得AC垂直平分BD，然后根据平行线的判定与性质证得结论；
（2）根据相似三角形的判定与性质证明求解即可.
详解：证明：（1）连接OC
∵CM切⊙O于点C，
∴∠OCE=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD=BC，
∴AC垂直平分BD，
∴AB=AD，
∴∠B=∠D
∵∠B=∠OCB
∴∠D=∠OCB
∴OC∥AD
∴∠CED=∠OCE=90°
∴CM⊥AD.
（2）∵OA=OB，BC=CD
∴OC=1
AD
2
∴AD=6
∴DE=AD-AE=1
易证△CDE～△ACE
∴CE DE
AE CE
∴CE2=AE×DE
∴
点睛：此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质的应用，灵活判断边角之间的关系是解题关键，是中档题.
3．如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.
（1）求证：AE=BF；
（2）连接EF，求证：∠FEB=∠GDA；
（3）连接GF,若AE=2，EB=4，求ΔGFD的面积.
【答案】（1）（2）见解析；（3）9
【解析】
分析：（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB 为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=1
2
AC，进而确定出∠A=∠FBD，再利用同角的
余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行，再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，即可得出结论；
（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长，根据三角形的面积公式计算即可．
详解：（1）连接BD．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，∴∠A=∠C=45°．
∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，∴AD=DC=BD=1
2
AC，∠CBD=∠C=45°，
∴∠A=∠FBD．
∵DF⊥DG，∴∠FDG=90°，∴∠FDB+∠BDG=90°．
∵∠EDA+∠BDG=90°，∴∠EDA=∠FDB．在△AED和△BFD中，
A FBD
AD BD
EDA FDB
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△AED≌△BFD（ASA），∴AE=BF；
（2）连接EF，BG．
∵△AED≌△BFD，∴DE=DF．
∵∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°．
∵∠G=∠A=45°，∴∠G=∠DEF，∴GB∥EF，∴∠FEB=∠GBA．
∵∠GBA=∠GDA，∴∠FEB=∠GDA；
（3）∵AE=BF，AE=2，∴BF=2．在Rt△EBF中，∠EBF=90°，∴根据勾股定理得：
EF 2=EB 2+BF 2．
∵EB =4，BF =2，∴EF =2242+=25． ∵△DEF 为等腰直角三角形，∠EDF =90°，∴cos ∠DEF =
DE EF ． ∵EF =25，∴DE =25×22
=10． ∵∠G =∠A ，∠GEB =∠AED ，∴△GEB ∽△AED ，∴
GE AE =EB ED ，即GE •ED =AE •EB ，∴10•GE =8，即GE =4105，则GD =GE +ED =9105
． ∴1191011092252
S GD DF GD DE =⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=．
点睛：本题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答本题的关键．
4．如图1
O ，的直径12AB P =，是弦BC 上一动点(与点B C ，不重合)30ABC ，∠=，过点P 作PD OP ⊥交O 于点D ．
()1如图2，当//PD AB 时，求PD 的长；
()2如图3，当DC AC =时，延长AB 至点E ，使12
BE AB =，连接DE ． ①求证：DE 是O 的切线；
②求PC 的长．
【答案】（1）262）333①见解析，②．
【解析】
分析：()1根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出OP PD ，的长； ()2①首先得出OBD 是等边三角形，进而得出ODE OFB 90∠∠==，求出答案即
可； ②首先求出CF 的长，进而利用直角三角形的性质得出PF 的长，进而得出答案． 详解：()1如图2，连接OD ，
//OP PD PD AB ⊥，，
90POB ∴∠=， O 的直径12AB =，
6OB OD ∴==，
在Rt POB 中，30ABC ∠=， 3tan30623OP OB ∴=⋅=⨯
=， 在Rt POD 中， 22226(23)26PD OD OP =-=-=；
()2①证明：如图3，连接OD ，交CB 于点F ，连接BD ，
DC AC =，
30DBC ABC ∴∠=∠=，
60ABD ∴∠=，
OB OD =，
OBD ∴是等边三角形，
OD FB ∴⊥，
12
BE AB =，
OB BE ∴=，
//BF ED ∴，
90ODE OFB ∴∠=∠=，
DE ∴是O 的切线；
②由①知，OD BC ⊥， 3cos306332
CF FB OB ∴==⋅=⨯
=， 在Rt POD 中，OF DF =， 13(2
PF DO ∴==直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半)， 333CP CF PF ∴=-=-．
点睛：此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系，正确得出OBD 是等边三角形是解题关键．
5．如图所示，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作圆O ，与斜边交于点D ，E 为BC 边上的中点，连接DE ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）连接OE ，AE ，当∠CAB 为何值时，四边形AOED 是平行四边形？并在此条件下求sin ∠CAE 的值．
【答案】(1)见解析;(2)
10. 【解析】 分析：（1）要证DE 是⊙O 的切线，必须证ED ⊥OD ，即∠EDB+∠ODB=90°
（2）要证AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又BD ⊥AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再由正弦的概念求解即可．
详解：（1）证明：连接O 、D 与B 、D 两点，
∵△BDC 是Rt △，且E 为BC 中点，
∴∠EDB=∠EBD ．（2分）
又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°．
∴DE 是⊙O 的切线．
（2）解：∵∠EDO=∠B=90°，
若要四边形AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，
又∵BD ⊥AC ，
∴△ABC 为等腰直角三角形．
∴∠C AB=45°．
过E 作EH ⊥AC 于H ，
设BC=2k ，则EH=22k ，AE=5k ， ∴sin ∠CAE=1010
EH AE ．
点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
6．如图，A 是以BC 为直径的⊙O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．
（1）求证：BF =EF ：
（2）求证：PA 是⊙O 的切线；
（3）若FG =BF ，且⊙O 的半径长为32，求BD 的长度.
【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）2
【解析】
分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC ∽△DGC 且△FEC ∽△GAC ，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF =EF ；
（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO =∠EBO ，结合BE 是圆的切线，得到PA ⊥OA ，从而得到PA 是圆O 的切线；
（3）点F 作FH ⊥AD 于点H ，根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD 的长度．
详解：证明：(1)∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC.
又∵AD⊥BC，
∴AD∥BE.
∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，
∴BF
DG
=
CF
CG
，
EF
AG
=
CF
CG
，
∴BF
DG
=
EF
AG
，
∵G是AD的中点，
∴DG=AG，
∴BF=EF；
(2)连接AO，AB.
∵BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°，
由(1)得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB，
又∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO，
∵BE是圆O的切线，
∴∠EBO=90°，
∴∠FBA+∠ABO=90°，
∴∠FAB+∠BAO=90°，
即∠FAO=90°，
∴PA⊥OA，
∴PA是圆O的切线；
（3）过点F作FH⊥AD于点H，
∵BD ⊥AD ，FH ⊥AD ，
∴FH ∥BC ，
由(2)，知∠FBA =∠BAF ，
∴BF =AF .
∵BF =FG ，
∴AF =FG ，
∴△AFG 是等腰三角形.
∵FH ⊥AD ，
∴AH =GH ，
∵DG =AG ，
∴DG =2HG . 即12
HG DG =， ∵FH ∥BD ，BF ∥AD ，∠FBD =90°，
∴四边形BDHF 是矩形，
∴BD =FH ，
∵FH ∥BC
∴△HFG ∽△DCG ， ∴
12FH HG CD DG ==， 即
12BD CD =， ∴23 2.15≈， ∵O 的半径长为2，
∴BC 2，
∴BD =13
BC ＝2. 点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.
7．如图，AB 是半圆⊙O 的直径，点C 是半圆⊙O 上的点，连接AC ，BC ，点E 是AC 的中
点，点F是射线OE上一点．
（1）如图1，连接FA，FC，若∠AFC＝2∠BAC，求证：FA⊥AB；
（2）如图2，过点C作CD⊥AB于点D，点G是线段CD上一点（不与点C重合），连接FA，FG，FG与AC相交于点P，且AF＝FG．
①试猜想∠AFG和∠B的数量关系，并证明；
②连接OG，若OE＝BD，∠GOE＝90°，⊙O的半径为2，求EP的长．
【答案】（1）见解析；（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．理由见解析；②PE＝3
．
【解析】
【分析】
（1）证明∠OFA＝∠BAC，由∠EAO+∠EOA＝90°，推出∠OFA+∠AOE＝90°，推出∠FAO＝90°即可解决问题．
（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．连接FC．由FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作
⊙F．因为AG AG
，推出∠GFA＝2∠ACG，再证明∠ACG＝∠ABC．
②图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．想办法证明∠GFA＝120°，求出EF，OF，OG即可解决问题．
【详解】
（1）证明：连接OC．
∵OA＝OC，EC＝EA，
∴OF⊥AC，
∴FC＝FA，
∴∠OFA＝∠OFC，
∵∠CFA＝2∠BAC，
∴∠OFA＝∠BAC，
∵∠OEA＝90°，
∴∠OFA+∠AOE＝90°，
∴∠FAO＝90°，
∴AF⊥AB．
（2）①解：结论：∠GFA＝2∠ABC．
理由：连接FC．
∵OF垂直平分线段AC，
∴FG＝FA，
∵FG＝FA，
∴FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．∵AG AG
，
∴∠GFA＝2∠ACG，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ABC+∠BCA＝90°，
∵∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠ABC＝∠ACG，
∴∠GFA＝2∠ABC．
②如图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．
∵BD＝OE，∠CDB＝∠AEO＝90°，∠B＝∠AOE，∴△CDB≌△AEO（AAS），
∴CD＝AE，
∵EC＝EA，
∴AC＝2CD．
∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠GFA＝120°，
∵OA＝OB＝2，
∴OE＝1，AE＝，BA＝4，BD＝OD＝1，
∴OG ∥AC ，
,33
DG OG ∴==,
3AG ∴==
， ∵FG ＝FA ，FH ⊥AG ，
∴AH ＝HG
∠AFH ＝60°， ∴AF
＝sin 60AH ︒=， 在Rt △AEF 中，EF
13=， ∴OF ＝OE +EF ＝
43 ， ∵PE ∥OG ， ∴PE EF OG 0F
=，
∴1
34
3=， ∴PE
． 【点睛】
圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
8．如图，AB 是O 的直径，DF 切O 于点D ，BF DF ⊥于F ，过点A 作AC //BF 交BD 的延长线于点C .
（1）求证：ABC C ∠∠=；
（2）设CA 的延长线交O 于E BF ，交O 于G ，若DG 的度数等于60，试简要说明点D 和点E 关于直线AB 对称的理由.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）作辅助线，连接OD，由DF为⊙O的切线，可得OD⊥DF，又BF⊥DF，AC∥BF，所以OD∥AC，∠ODB=∠C，由OB=OD得∠ABD=∠ODB，从而可证∠ABC=∠C；
（2）连接OG，OD，AD，由BF∥OD，GD=60°，可求证BG=GD AD
==60°，由平行线的性质及三角形的内角和定理可求出∠OHD=90°，由垂径定理便可得出结论．
【详解】
（1）连接OD，
∵DF为⊙O的切线，
∴OD⊥DF．
∵BF⊥DF，AC∥BF，
∴OD∥AC∥BF．
∴∠ODB=∠C．
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB．
∴∠ABC=∠C．
（2）连接OG，OD，AD，DE，DE交AB于H，
∵BF∥OD，
∴∠OBG=∠AOD，∠OGB=∠DOG，
∴GD AD
==BG．
∵GD=60°，
∴BG=GD AD
==60°，
∴∠ABC=∠C=∠E=30°，
∵OD//CE
∴∠ODE=∠E=30°．
在△ODH中，∠ODE=30°，∠AOD=60°，
∴∠OHD=90°，
∴AB⊥DE．
∴点D和点E关于直线AB对称．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理及垂径定理，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答．
9．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C．
（1）求证：AE与⊙O相切于点A；
（2）若AE∥BC，BC＝23，AC＝2，求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）23
【解析】
【分析】
（1）根据题目中已出现切点可确定用“连半径，证垂直”的方法证明切线，连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，则AF为直径，∠ABF＝90°，根据同弧所对的圆周角相等，则可得到∠BAE＝∠F，既而得到AE与⊙O相切于点A．
（2））连接OC，先由平行和已知可得∠ACB＝∠ABC，所以AC＝AB，则∠AOC＝∠AOB，从而利用垂径定理可得AH＝1，在Rt△OBH中，设OB＝r，利用勾股定理解得r＝2，在Rt△ABD中，即可求得AD的长为3
【详解】
解：（1）连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，
则AF为直径，∠ABF＝90°，
∵AB AB
=，
∴∠ACB＝∠F，
∵∠BAE＝∠ACB，
∴∠BAE＝∠F，
∵∠FAB+∠F＝90°，
∴∠FAB+∠BAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∴AE与⊙O相切于点A．
（2）连接OC，
∵AE∥BC，
∴∠BAE＝∠ABC，
∵∠BAE＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AC＝AB＝2，
∴∠AOC＝∠AOB，
∵OC＝OB，
∴OA⊥BC，
∴CH＝BH＝1
BC＝3，
2
在Rt△ABH中，
AH＝22
-＝1，
AB BH
在Rt△OBH中，设OB＝r，
∵OH2+BH2＝OB2，
∴（r﹣1）2+（3）2＝r2，
解得：r＝2，
∴DB＝2r＝4，
在Rt△ABD中，AD＝22
-＝22
BD AB
-＝23，
42
∴AD的长为23．
【点睛】
本题考查了圆的综合问题，恰当的添加辅助线是解题关键.
10．结果如此巧合!
下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，求△ABC的面积．解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．
根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．
根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．
整理，得x2+7x=12．
所以S△ABC=1
2 AC•BC
=1
2
（x+3）（x+4）
=1
2
（x2+7x+12）
=1
2
×（12+12）
=12．
小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．
可以一般化吗？
（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．
倒过来思考呢？
（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．
改变一下条件……
（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△ABC=3mn；
【解析】
【分析】
（1）设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，仿照例题利用勾股定理得（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，再根据S△ABC＝AC×BC，即可证明S△ABC＝mn.
（2）由AC•BC＝2mn，得x2＋（m＋n）x＝mn，因此AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝AB2，利用勾股定理逆定理可得∠C＝90°.（3）过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，根据条件求出AG、CG，又根据BG＝BC－CG得到BG .在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2＋（m＋n）x＝3mn，由此S△ABC＝BC•AG＝mn.
【详解】
设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，
根据切线长定理，得：AE＝AD＝m、BF＝BD＝n、CF＝CE＝x，
（1）如图1，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，
整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，
所以S△ABC＝AC•BC
＝（x＋m）（x＋n）
＝[x2＋（m＋n）x＋mn]
＝（mn＋mn）
＝mn;
（2）由AC•BC＝2mn，得：（x＋m）（x＋n）＝2mn，
整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，
∴AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2
＝2[x2＋（m＋n）x]＋m2＋n2
＝2mn＋m2＋n2
＝（m＋n）2
＝AB2，
根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°；
（3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，
在Rt△ACG中，AG＝AC•sin60°＝（x＋m），CG＝AC•cos60°＝（x＋m），
∴BG＝BC﹣CG＝（x＋n）﹣（x＋m），
在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[（x＋m）]2＋[（x＋n）﹣（x＋m）]2＝（m＋n）2，
整理，得：x2＋（m＋n）x＝3mn，
∴S△ABC＝BC•AG
＝×（x＋n）•（x＋m）
＝
3
4
[x2＋（m＋n）x＋mn]
＝
3
4
×（3mn＋mn）3．
【点睛】
本题考查了圆中的计算问题、与圆有关的位置关系以及直角三角形，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.。