递归回溯与剪枝

再看搜索树
7 7+6 7+6+2 7+62 76+2 762+9 76 762
7+6+2+9
7+6+29
7+62+9
7+629
76+2+9
76+29
7629
我们可以看到红色结点的子节点不可能有 最优解
最优性剪枝结果
7
7+6 7+6+2 7+62
76
7+6+2+9
7+6+29
结点数大大减少。
可行性剪枝
搜索策略
题目要求的就是在每个数字之间： 或者填加号，或者什么都不填。根 据这个要求，我们可以从头开始扫 描整个数字串，逐个考察是否要填 加号，然后检查下一个数字间的位 置，直到最后一个数字。 下面是一个例子和它的状态树
7和6之间 和 之间 添加一个 加号
7和6之间 和 之间 不添加加 号 7
7+6 7+6+2 7+62 76+2
7629
对于图中蓝色结点。后面能够插入’+’的位置 已经少于未用完’+’的数量，肯定不可能有解。 对于这种结点，其子节点不可能有解，可以 回溯。
迷宫问题
最优性剪枝 我们可以将每一次搜索出的路径长度与上 界比较（初始上界＝∞），不断降低上界， 一旦出现路径长超出上界而仍未到达目标 点，则放弃该搜索进程。 因为就算继续搜 索下去，这一条路径也必然比其他路径长 ，不是最优解。
76 762 762+9
7+6+2+9
7+6+29
7+62+9
7+629
76+2+9
76+29
7629
数字7629需要插入2个加号 这是一棵完整的搜索树。 结点内表示当前处理的状态，每向后处理一个空位即 深入一层。 我们可以看到，在最后的所有叶子结点中，有三个黄 色的结点是满足条件的。
迷宫问题
给出一个迷宫的地图，有一些格子中有障 碍，问从起点到终点的最短路径，并输出 所有的最短路径。 回溯法解题思路 1、 这个方向有路可走，我没走过， 往 这个方向前进 2、 是死胡同,往回走,回到上一个路口 3、 重复第一步，直到找着出口
但是
回溯法的缺点暴露无遗： 搜索耗时极巨，无法忍受。 那么 我们可否提前判断我们前进的方向是 否可能得到最优解呢？如果可以的话 ，搜索效率岂不是能够提高了吗 答案就是： 剪枝！
关于剪枝
剪枝的概念，其实就跟走迷宫避开死胡同差不 多.。若我们把搜索的过程看成是对一棵树的遍 历，那么剪枝顾名思义,就是将树中的一些“死 胡同”，不能到达我们需要的解的枝条“剪” 掉，以减少搜索的时间。 搜索算法，绝大部分需要用到剪枝。 然而，不 是所有的枝条都可以剪掉，这就需要通过设计 出合理的判断方法，以决定某一分支的取舍。 在设计判断剪枝条件的时候，就需要有一定的 方法。
“和最小”题目描述 和最小”
设有一个长度为N的数字串，要求使用K个 加号将它分成K+1个部分，找出一种分法， 使得这K+1个部分的和能够为最小。 有一个数字串：312， 当N=3，K=1时会有 以下两种分法： 1) 3+12=15 2) 31+2=33 这时，符合题目要求的结果是：3+12=15
递归回溯法算法框架[一 递归回溯法算法框架 一] procedure Search(k:integer); begin for i:=1 to 算符种数 Do if 满足条件 then begin 保存结果 if 到目的地 then 输出解 else Search(k+1); 恢复：保存结果之前的状态{回溯一步 回溯一步} 恢复：保存结果之前的状态 回溯一步 end; end;Fra bibliotek剪枝的原则
正确性 准确性 高效性
总结
在搜索算法中，几乎都需要采用程序优化, 以减少时间复杂度。 而这里所说的两种剪 枝方法，是最常见的优化方法之一。 然而，尽管可以采用众多优化算法使得程 序的效率有所提高，搜索算法本身的时间 复杂度不能从本质上减少是不可改变的事 实。 不妨在使用搜索算法之前先仔细想想，有 没有其他更好的算法。
除最优性剪枝外，另一种重要的搜 索剪枝策略 判断继续搜索能否得出答案，如果 不能直接回溯
再看搜索树
7 7+6 7+6+2 7+62 76+2
这个节点的 加号不可能 有解,可以进 有解 可以进 行可行性剪 枝 76 762 762+9
7+6+2+9
7+6+29
7+62+9
7+629
76+2+9
76+29
最优性剪枝
又称为上下界剪枝 一种重要的搜索剪枝策略 记录当前得到的最优值 如果当前结点已经无法产生比当前 最优解更优的解时，可以提前回溯
回到加号题
儿子结点的数一定比父亲大 即搜索树深度越深得到的解越大 满足最优性剪枝的条件 我们可以记录当前得到的解的最小值 如果当前得到的和值已经超过保存的 最小解，即不必再继续深入搜索，回 溯。
递归、 递归、回溯与剪枝
递归与回溯
我们有时会碰到一些题目，它们既不能通 过建立数学模型解决，又没有现成算法可 以套用，或者必须遍历所有状况才可以得 出正确结果。 这时，我们就必须采用搜索 算法来解决问题。 搜索算法按搜索的方式分有两类，一类是 深度优先搜索，一类是广度优先搜索。而 对于深度优先搜索来说，我们需要使用到 的一个技术就是递归与回溯。
总结
深度优先搜索的程序简洁易懂，空间需求 也比较低，但是这种方法的时间复杂度往 往是指数级的，倘若不加优化，其时间效 率简直无法忍受；所以，如何用正确的方 法对程序进行优化，就成为搜索算法编程 中最关键的一环。那么，剪枝就是搜索优 化中最基本的方法之一。
总结
两种常用的剪枝方法： 最优性剪枝 适用范围：子结点的代价全部高于或 低于父结点 又之称为多米诺性质。 可行性剪枝 根据题意作出判断是否继续搜索还有 可能得到解
递归回溯法算法框架[ 递归回溯法算法框架[二] procedure Search(k:integer); begin if 到目的地 then 输出解 else for i:=1 to 算符种数 Do if 满足条件 then begin 保存结果 Search(k+1,参数表 参数表); 参数表 end; end;