2016二模难题汇编-圆锥曲线-教师版

1、（2016年上海高考） 有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1,0）
，如图
（1）求菜地内的分界线C 的方程
（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为
3
8。

设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的经验值
解析：（1）因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等，所以C 是以F 为焦点、以 EH 为准线的抛物线在正方形FG E H 内的部分，其方程为24y x =（02y <<）． （2）依题意，点M 的坐标为1,14⎛⎫
⎪⎝⎭
． 所求的矩形面积为
52，而所求的五边形面积为11
4
． 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为
581
236
-=，而五边形面积与“经验值”之差 的绝对值为1181
4312
-=，所以五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”．
2、（2016年上海高考）双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交
于A B 、两点。

（1）若l 的倾斜角为
2
π
，1F AB ∆是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2
）设b =l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r
，求l 的斜率.
3、（2015年上海高考）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．
（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．
4、（2014年上海高考）在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ，记1122()()ax by c ax by c η=++++. 若0η<，则称点12,P P 被直线l 分割. 若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分割，则称直线l 为曲线C 的一条分割线. (1) 求证：点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分割；
(2) 若直线y kx =是曲线2241x y -=的分割线，求实数k 的取值范围；
(3) 动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E . 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.
5、（虹口区2016届高三三模）设椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>，定义椭圆C的“相关圆”E
为:
22
22
22
a b
x y
a b
+=
+
.若抛物线24
y x
=的焦点与椭圆C的右焦点重合，且椭圆C的短轴长与焦距相等. （1）求椭圆C及其“相关圆”E的方程；
（2）过“相关圆”E上任意一点P作其切线l，若l与椭圆C交于,
A B两点，求证:AOB
∠为定
值（O为坐标原点）；
(3) 在（2）的条件下，求OAB
∆面积的取值范围.
6、（浦东新区2016届高三三模）设椭圆1E 的长半轴长为1a ，短半轴长为1b ，椭圆2E 的长半轴长为2a ，
短半轴长为2b ，若1122a b a b =，则称椭圆1E 与椭圆2E 是相似椭圆。

已知椭圆22:12
x E y +=，其左顶点为A ，
右顶点为B 。

（1）设椭圆E 与椭圆22
:12
x y F s +=是“相似椭圆”，求常数s 的值；
（2）设椭圆()2
2:012
x G y λλ+=<<，过A 作斜率为1k 的直线1l 与椭圆G 仅有一个公共点，过椭圆E 的
上顶点D 作斜率为2k 的直线2l 与椭圆G 只有一个公共点，当λ为何值时，12k k +取得最小值，并求出最小值；
（3）已知椭圆E 与椭圆()22
:122x y H t t
+=>是相似椭圆，椭圆H 上异于A B 、的任意一点()00,C x y ，求
证：ABC ∆的垂心M 在椭圆E 上。

7、（奉贤区2016届高三二模）已知椭圆:
C ()0122
22>>=+b a b
y a x 的长轴长是短轴长的两倍，焦距为32．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）不过原点O 的直线与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，问：直线是否定向的，请说明理由．
7、解：（1）由已知得 222222223a b
c a b c =⨯⎧⎪
=⎨⎪=+⎩
3分
解得2,1a b == ∴椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=． （2）(理)由题意可设直线的方程为：()0y kx m km =+≠，
联立22
14
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得：()()
222144410k x kmx m +++-=
计算()
2216410k m ∆=-+>
此时设()()1122,,,M x y N x y ，则122814km
x x k +=+，()
2122
4114m x x k
-=+ 于是()()()22
12121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ 10分 又直线,,OM MN ON 的斜率依次成等比数列，
∴()22
12122
121212
k x x km x x m y y k x x x x +++⋅== ∴22222810,0,144k m m m k k -
+=≠∴=+Q 所以是不定向的， 方向向量()2,1d =±u r
8、（虹口区2016届高三二模）已知直线2y x =是双曲线22
22:1x y C a b
-=的一条渐近线，
(1,0)(,)A M m n 、(0)n ≠都在双曲线C 上，直线AM 与y 轴相交于点P ，设坐标原点为O ．
(1) 求双曲线C 的方程，并求出点P 的坐标（用m 、n 表示）；
(2) 设点M 关于y 轴的对称点为N ，直线AN 与y 轴相交于点Q ．问：在x 轴上是否存在定点T ， 使得TP TQ ⊥？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 若过点(0,2)D 的直线l 与双曲线C 交于R S 、两点，且OR OS RS +=u u u r u u u r u u u r
，试求直线l 的方程．
9、（黄浦区2016届高三二模）对于双曲线22
(,)22:1a b x y C a b -=(,0)a b >，若点00(,)P x y 满足2200221x y a b -<，
则称P 在的(,)a b C 外部；若点00(,)P x y 满足22
00221x y a b
->，则称P 在(,)a b C 的内部；
（1）若直线1y kx =+上的点都在(1,1)C 的外部，求k 的取值范围；
（2）若(,)a b C 过点(2,1)，圆222
x y r +=(0)r >在(,)a b C 内部及(,)a b C 上的点构成的圆弧长 等于该圆周长的一半，求b 、r 满足的关系式及r 的取值范围；
（3）若曲线2
||1xy mx =+(0)m >上的点都在(,)a b C 的外部，求m 的取值范围；
10、（静安区2016届高三二模）已知12,F F 分别是椭圆22
22:1x y C a b
+=（其中0a b >>）的左、右焦点，
椭圆C
过点()且与抛物线28y x =-有一个公共的焦点． （1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的右焦点且斜率为1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，求线段AB 的长度．
11、（嘉定区2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 内，动点P 到定点)0,1(-F 的距离与P 到定直线4-=x 的距离之比为
2
1
． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）若轨迹C 上的动点N 到定点)0,(m M （20<<m ）的距离的最小值为1，求m 的值． （3）设点A 、B 是轨迹C 上两个动点，直线OA 、OB 与轨迹C 的另一交点分别为1A 、1B ，且直线OA 、OB 的斜率之积等于4
3
-，问四边形11B ABA 的面积S 是否为定值？请说明理由．
13、（静安区2016届高三上学期期末）设P 1和P 2是双曲线22
221x y a b
-=上的两点，线段P 1P 2的中点为M ，
直线P 1P 2不经过坐标原点O .
(1)若直线P 1P 2和直线OM 的斜率都存在且分别为k 1和k 2，求证:k 1k 2=22
a
b ；
(2)
若双曲线的焦点分别为1(F
、2F ，点P 1的坐标为(2，1) ，直线OM 的斜率为3
2
， 求由四点P 1、 F 1、P 2、F 2所围成四边形P 1 F 1P 2F 2的面积.
14、（闵行区2016届高三上学期期末） 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点3
(1,)2
，它的一个焦点与抛物线2
:4y x E =的焦点重合． （1）求椭圆Γ的方程；
（2）斜率为k 的直线l 过点()1,0F ，且与抛物线E 交于A B 、两点，设点(1,)P k -，PAB △
的面积为
k 的值；
（3）若直线l 过点()0,M m （0m ≠），且与椭圆Γ交于C D 、两点，点C 关于y 轴的对称点为Q ，直线QD 的纵截距为n ，证明：mn 为定值.
15、（青浦区2016届高三上学期期末）已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，且抛物线2
4y x =的焦点F 是椭圆M 的一个焦点，以F 为圆心，以椭圆M
的短半轴长为半径的圆与直线20l x -+=：相切． （1）求椭圆M 的方程；
（2）已知直线y x m =+与椭圆M 交于A B 、两点，且椭圆M 上存在点P 满足OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r
，求m 的
值．。