关于江泽坚等著《实变函数论》的一个小瑕疵

关于江泽坚等著《实变函数论》的一个小瑕疵
董新汉;何岳辉
【摘要】指出江泽坚等合编教材《实变函数论》[2-3]中的一处瑕疵.这个瑕疵起始于第二版,在第三版时又没更正,时间已有22年(1994-2016).鉴于此教材影响大,使用面广,我们特写此注记将此瑕疵指出,与作者和读者商榷.%This paper points out a flaw in \"Real Variable Function Theory\" (Second edition and Third edition) written by Jiang Ze-jian et al.This flaw started in the second edition, and did not correct in the third edition, which lasted for more than 20 years(1994-2016).In view of the fact that this textbook has great influence and is widely used, we write this note to point out the flaw, and discuss with the author and the reader.
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】2017(033)003
【总页数】2页(P118-119)
【关键词】Lebesgue积分;收敛;发散
【作者】董新汉;何岳辉
【作者单位】湖南师范大学数学与计算机科学学院,长沙 410081;湖南师范大学数学与计算机科学学院,长沙 410081
【正文语种】中文
【中图分类】G420;O174.1
江泽坚，吴智泉合编的《实变函数论》教材[1]于1961年出版.本教材广获师生好评，在1987年荣获第一届全国高等学校优秀教材优秀奖.本教材的第二版[2]于1994年出版，第三版[3]于2007年出版，在第三版时增加了一位作者纪友清.第二、三版较第一版处理更详实，也更好读，在内容方面有扩充.我们在使用该教材第二
版[2]时，发现此教材中(p.278)有一处小瑕疵.在使用第三版时发现此瑕疵还没有更正.鉴于此教材影响大，使用面广，而此瑕疵已存在22年(1994-2016)，我们特写此注记指出这一瑕疵，与作者和读者商榷.像文献[4-6]一样，我们借《大学数学》
杂志提供的这种数学教学研讨和交流的平台，发表我们的观点与读者交流.
文献[3]的第264页倒数第1-2行([2]的第278页倒数第7-8行)断定在[δ,∞)上可积，因此对任给的ε>0，有l>0，使
此处断言是不对的，因为在[δ,∞)上是不可积的更有∞.其理由如下
在此断言的前文中已假设φ(t)=f(x+t)+f(x-t)-2A，这里f∈L1(1)和A是一个常数.这隐含着，对δ>0，积分
收敛，但dt发散(若A≠0)，所以在[δ,∞)上不可积，进一步，对l>0，有
修正注意到此处仅需要对任意的ε>0，存在l>0满足
对一切大λ成立.
(1)中第一个不等式放得太大(事实上是放大至+∞).必须细致处理(1)中左手边的第
一个积分设l>1，因为
又由Dirichlet判别法知dt关于λ∈[2,∞)一致收敛，得到只要l足够大，就有
对一切λ∈[2,∞)成立.
【相关文献】
[1] 江泽坚，吴智泉. 实变函数论[M]. 北京:人民教育出版社，1961.
[2] 江泽坚，吴智泉. 实变函数论[M]. 2版. 北京:高等教育出版社，1994.
[3] 江泽坚，吴智泉，纪友清. 实变函数论[M]. 3版. 北京:高等教育出版社，2007.
[4] 董新汉，伍海华. 关于多值解析函数的教学研究[J]. 大学数学,2013,29(1):99-105.
[5] 孙敏. 矩阵多项式可逆的充要条件——兼与吴华安先生商榷[J]. 大学数学,2006,22(6):163-164.
[6] 谢骊玲. 关于《数值分析》教材中一道习题的商榷[J]. 大学数学,2011,27(2):203-206. author_info_translate: This paper points out a flaw in “Real Variable Function Theory” (Second edition and Third edition) written by Jiang Ze-jian et al. This flaw started in the second edition, and did not correct in the third edition, which lasted for more than 20 years(1994-2016). In view of the fact that this textbook has great influence and is widely used, we write this note to point out the flaw, and discuss with the author and the reader.。