北师版八上数学第四章 一次函数 回顾与思考(课件)
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所以 k ＝－2.
所以 AB 的函数表达式为 y ＝－2 x ＋14（0≤ x ≤7）.
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（3）解：设 ED 的函数表达式为 y ＝ mx ＋ n （ m ≠0）.
将点（0，4），（4，16）代入，得 n ＝4，4 m ＋ n ＝16.
所以 m ＝3.
所以 ED 的函数表达式为 y ＝3 x ＋4（0≤ x ≤4）.
根据题意，得－2 x ＋14＝3 x ＋4，解得 x ＝2.
故注水2 min，甲、乙两个水槽中水的深度相同.
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要点四 一次函数在几何图形中的应用
如图，在平面直角坐标系中，已知直线 m 经过点（－1，
2），交 x 轴于点 A （－2，0），交 y 轴于点 B ，直线 n 与直线 m
9. 一元一次方程与一次函数的联系.
一般地，当一次函数 y ＝ kx ＋ b 的函数值为0时，相应的自变量
的值就是方程 kx ＋ b ＝0的解.从图象上看，一次函数 y ＝ kx ＋ b
的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 kx ＋ b ＝0的解.
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0 2
典例讲练
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1. 下列函数中，自变量 x 的取值范围为 x ≥3的是（ B ）
A. y ＝ + 3
B. y ＝ − 3
1
C. y ＝
+3
1
D. y ＝
−3
2.
1
下列式子：① y ＝3 x －5；② y ＝ ；③ y ＝
− 1 ；④ y2＝
x ；⑤ y ＝｜ x ｜.其中 y 是 x 的函数的有 ①②③⑤ （填序
所以当两人相遇时，他们离图书馆路程为300×8＝2 400（m）.
故当两人相遇时，他们离图书馆2 400 m.
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【点拨】此类问题一般先观察图象特征，根据变量之间的关
系，判断函数的类型，当确定是一次函数关系时，用待定系数
法确定函数表达式，最后运用一次函数的图象和性质进一步求
所以4＋2 m ＜0，解得 m ＜－2.
所以当 m ＜－2时， y 的值随着 x 值的增大而减小.
（2）因为该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方，
所以 m －4＜0且4＋2 m ≠0，
解得 m ＜4且 m ≠－2.
所以当 m ＜4且 m ≠－2时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x
轴下方.
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得所需结果.
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甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图如图1所示，乙槽中有一
圆柱形实心铁块（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面
上）.现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深
度 y （cm）与注水时间 x （min）之间的关系如图2所示.根据图
象解答下列问题：
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m （ x ＋4）＝ y ＋2.
因为不论 m 取何实数这个函数的图象都过定点，
所以 x ＋4＝0， y ＋2＝0，
解得 x ＝－4， y ＝－2.
则不论 m 取何实数，这个函数的图象都过定点（－4，－2）.
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要点三 一次函数在实际问题中的应用
小玲和小东姐弟俩分别从家和图书馆同时出发，沿同一条
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当 k ＞0时，图象过第 一、三 象限；当 k ＜0时，图象过
第
二、四 象限.
注：当 k ＝1时，该函数图象平分第一、三象限，这条直线上的
任何一点的横坐标都等于它的纵坐标；当 k ＝－1时，该函数图
象平分第二、四象限，这条直线上的任何一点的横坐标都等于
它的纵坐标的相反数.
增加，当水位达到铁块顶端时，高度变化情况又同前面不同，
所以折线 EDC 表示的是乙槽的水深 y 与注水时间 x 的关系.折线
EDC 中，点 D 表示乙槽水深16 cm，也就是铁块的高度为16 cm.
故答案为乙，16.
（2）解：设 AB 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
将点（0，14），（7，0）代入，得 b ＝14，7 k ＋ b ＝0.
2. 函数的三种表示方式.
列表法 、
图象法 、
关系式法 .
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3. 一次函数的表达式为
y ＝ kx ＋ b （ k ， b 为常数， k
≠0） .当 b ＝0时，该一次函数的表达式为
y ＝ kx （ k
≠0） ，它是正比例函数.
4. 正比例函数 y ＝ kx （ k ≠0）的性质.
要点一 函数的定义
（1）下列表示两个变量间的关系的图象中， y 不是 x 的函
数的是（ D ）
A
B
C
D
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【思路导航】由函数的定义判断即可.
【解析】A，B，C三个选项中，对于 x 的每一个值， y 都有唯一
的值与它对应，不符合题意；选项D中， y 轴右侧一个 x 值对应
号）.
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要点二 一次函数的图象和性质
已知一次函数 y ＝（4＋2 m ） x ＋ m －4.
（1）当 m 为何值时， y 的值随着 x 值的增大而减小？
（2）当 m 为何值时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方？
（3）若 m ＝－1，求该函数的图象与两坐标轴的交点坐标.
【思路导航】（1）根据 y 的值随着 x 值的增大而减小，列出不
等式，解答即可；（2）根据函数图象与 y 轴的交点在 x 轴下方
时，列出两个不等式，解答即可；（3）根据函数图象与两坐标
轴的交点坐标特征列方程，解答即可.
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解：（1）因为 y 的值随着 x 值的增大而减小，
解即可；（3）先根据两人的速度求出相遇时间，再求到图
书馆的路程即可.
（1）【解析】由图象，得家与图书馆之间的路程为4 000 m，
小玲步行的速度为（4 000－2 000）÷（30－10）＝100
（m/min）.故答案为4 000，100.
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（2）解：因为4
40
000÷300＝ （min），
5
，0
2
，
与 y 轴的交点坐标为（0，－5）.
【点拨】解答这类题目时，一定要注意隐含条件 k ≠0.
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已知关于 x 的一次函数 y ＝ mx ＋4 m －2.
（1）若这个函数的图象经过原点，求 m 的值；
（2）若这个函数的图象不过第四象限，求 m 的取值范围；
（3）不论 m 取何实数，这个函数的图象都过一个定点，试求这
−5
x ≥2且 x ≠5 .
【思路导航】根据二次根式、分式有意义的条件列出不等式，
解不等式即可得到答案.
【解析】由题意，得 x －2≥0且 x －5≠0.解得 x ≥2且 x ≠5.故
答案为 x ≥2且 x ≠5.
【点拨】解答这类题目时要注意二次根式 中， a ≥0，分式
中分母不能为0.
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路相向而行.小玲开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用
30 min.小东骑自行车以300 m/min的速度直接回家，两人离家的
路程 y （m）与各自离开出发地的时间 x （min）之间的函数图象
如图所示.
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请解答下列问题：
（1）家与图书馆之间的路程为 4 000 m，小玲步行的速度
3
40
所以点 D 的横坐标为 .
3
所以点 D 的坐标为
40
，0
3
.
设小东离家的路程 y 与时间 x 之间的函数关系式为 y ＝ kx ＋ b （ k
≠0）.
因为点 C （0，4 000）， D
所以 b ＝4
40
，0
3
在该函数图象上，
40
000， k ＋ b ＝0.所以 k ＝－300.
3
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两个 y 值，所以 y 不是 x 的函数，符合题意.故选D.
【点拨】判断一个关系是函数关系的方法：（1）存在一个变化
过程；（2）变化过程中有两个变量；（3）对于自变量每取一
个确定的值，因变量都有唯一确定的值与之对应.三者必须同时
满足.
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（2）函数 y ＝
−2
中自变量 x 的取值范围是
个点的坐标 就可以求出它的表达式.
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8. 一次函数图象的位置关系.
因为一次函数的图象是一条直线，所以两个一次函数的图象的
位置关系有两种：平行和相交.
设两条直线分别为 y ＝ k1 x ＋ b1， y ＝ k2 x ＋ b2.当 k1＝ k2， b1≠ b2
时，两条直线平行；当 k1≠ k2时，两条直线相交.
交于点 P ，分别与 x 轴、 y 轴交于点 C ， D （0，－2）.连接
BC ，点 P 的横坐标为－4.
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（1）求直线 m 的函数表达式和点 P 的坐标.
（2）试说明：△ BOC 是等腰直角三角形.
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（3）直线 m 上是否存在点 E ，使得 S△ ACE ＝ S△ BOC ？若存在，
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第四章
一次函数
回顾与思考
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目录
CONTENTS
要点回顾
典例讲练
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1. 函数的定义.
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y ，并且对于变
量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称y
是 x 的 函数 ，其中 x 是自变量.
故小东离家的路程 y 与时间 x 之间的函数关系式为 y ＝－300 x ＋
4 000 0 ≤ ≤
40
3
.
（3）解：当两人相遇时，设他们走的时间为 m min.
由点 A （10，2 000），易得
OA 的函数表达式为 y ＝200 x （0≤ x ≤10）.
由图象，得300 m ＋200 m ＝4 000，解得 m ＝8.
Hale Waihona Puke 个定点的坐标.解：（1）因为这个函数的图象经过原点，
所以当 x ＝0时， y ＝0，即4 m －2＝0，
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1
解得 m ＝ .
2
（2）因为这个函数的图象不经过第四象限，
所以 m ＞0且4 m －2≥0，
1
解得 m ≥ .
2
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（3）将一次函数 y ＝ mx ＋4 m －2变形为
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（3）若 m ＝－1，则一次函数的表达式为 y ＝2 x －5.
当该函数的图象与 x 轴相交时，交点的纵坐标为0，
5
所以0＝2 x －5，解得 x ＝ .
2
当该函数的图象与 y 轴相交时，交点的横坐标为0，
所以 y ＝2×0－5，即 y ＝－5.
所以此函数图象与 x 轴的交点坐标为
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图1
图2
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（1）图2中折线 EDC 表示 乙 槽中水的深度 y 与注水时间 x 之
间的关系，铁块的高度为 16 cm；
（2）求 AB 的函数表达式；
（3）求当甲、乙两个水槽中水的深度相同时的注水时间.
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（1）【解析】由题意，知乙槽在注水的过程中，水的高度不断
＜0且 b ＜0时，函数的图象过第 二、三、四 象限.
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7. 确定函数的表达式.
（1）一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）中有两个未知系数，所以需
要两个点，通过将两个点的坐标的代入，就可以求出一次函数
的表达式；
（2）正比例函数 y ＝ kx 只有一个未知系数，所以只要知道 一
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5. 一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的图象.
当 x ＝0时，图象与 y 轴的交点坐标为 （0， b ） ；当 y ＝0
时，图象与 x 轴的交点坐标为
− ，0
.
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6. 一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的性质.
为
100 m/min；
（2）求小东离家的路程y 与时间 x 之间的函数关系式，并写出
自变量的取值范围；
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（3）当两人相遇时，他们离图书馆多远？
【思路导航】（1）根据图中的数据，可以得到家与图书馆
之间的路程，再根据小玲步行的时间和路程，可以计算出小
玲步行的速度；（2）先求点 D 的坐标，再由待定系数法求
（1）当 k ＞0时， y 的值随着 x 值的
增大 而 增大
＜0时， y 的值随着 x 值的 增大 而 减小
；当 k
；
（2）当 k ＞0且 b ＞0时，函数的图象过第 一、二、三 象
限；当 k ＞0且 b ＜0时，函数的图象过第 一、三、四 象限；
当 k ＜0且 b ＞0时，函数的图象过第 一、二、四 象限；当 k
所以 AB 的函数表达式为 y ＝－2 x ＋14（0≤ x ≤7）.
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（3）解：设 ED 的函数表达式为 y ＝ mx ＋ n （ m ≠0）.
将点（0，4），（4，16）代入，得 n ＝4，4 m ＋ n ＝16.
所以 m ＝3.
所以 ED 的函数表达式为 y ＝3 x ＋4（0≤ x ≤4）.
根据题意，得－2 x ＋14＝3 x ＋4，解得 x ＝2.
故注水2 min，甲、乙两个水槽中水的深度相同.
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要点四 一次函数在几何图形中的应用
如图，在平面直角坐标系中，已知直线 m 经过点（－1，
2），交 x 轴于点 A （－2，0），交 y 轴于点 B ，直线 n 与直线 m
9. 一元一次方程与一次函数的联系.
一般地，当一次函数 y ＝ kx ＋ b 的函数值为0时，相应的自变量
的值就是方程 kx ＋ b ＝0的解.从图象上看，一次函数 y ＝ kx ＋ b
的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 kx ＋ b ＝0的解.
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0 2
典例讲练
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1. 下列函数中，自变量 x 的取值范围为 x ≥3的是（ B ）
A. y ＝ + 3
B. y ＝ − 3
1
C. y ＝
+3
1
D. y ＝
−3
2.
1
下列式子：① y ＝3 x －5；② y ＝ ；③ y ＝
− 1 ；④ y2＝
x ；⑤ y ＝｜ x ｜.其中 y 是 x 的函数的有 ①②③⑤ （填序
所以当两人相遇时，他们离图书馆路程为300×8＝2 400（m）.
故当两人相遇时，他们离图书馆2 400 m.
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【点拨】此类问题一般先观察图象特征，根据变量之间的关
系，判断函数的类型，当确定是一次函数关系时，用待定系数
法确定函数表达式，最后运用一次函数的图象和性质进一步求
所以4＋2 m ＜0，解得 m ＜－2.
所以当 m ＜－2时， y 的值随着 x 值的增大而减小.
（2）因为该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方，
所以 m －4＜0且4＋2 m ≠0，
解得 m ＜4且 m ≠－2.
所以当 m ＜4且 m ≠－2时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x
轴下方.
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得所需结果.
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甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图如图1所示，乙槽中有一
圆柱形实心铁块（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面
上）.现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深
度 y （cm）与注水时间 x （min）之间的关系如图2所示.根据图
象解答下列问题：
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m （ x ＋4）＝ y ＋2.
因为不论 m 取何实数这个函数的图象都过定点，
所以 x ＋4＝0， y ＋2＝0，
解得 x ＝－4， y ＝－2.
则不论 m 取何实数，这个函数的图象都过定点（－4，－2）.
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要点三 一次函数在实际问题中的应用
小玲和小东姐弟俩分别从家和图书馆同时出发，沿同一条
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当 k ＞0时，图象过第 一、三 象限；当 k ＜0时，图象过
第
二、四 象限.
注：当 k ＝1时，该函数图象平分第一、三象限，这条直线上的
任何一点的横坐标都等于它的纵坐标；当 k ＝－1时，该函数图
象平分第二、四象限，这条直线上的任何一点的横坐标都等于
它的纵坐标的相反数.
增加，当水位达到铁块顶端时，高度变化情况又同前面不同，
所以折线 EDC 表示的是乙槽的水深 y 与注水时间 x 的关系.折线
EDC 中，点 D 表示乙槽水深16 cm，也就是铁块的高度为16 cm.
故答案为乙，16.
（2）解：设 AB 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
将点（0，14），（7，0）代入，得 b ＝14，7 k ＋ b ＝0.
2. 函数的三种表示方式.
列表法 、
图象法 、
关系式法 .
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3. 一次函数的表达式为
y ＝ kx ＋ b （ k ， b 为常数， k
≠0） .当 b ＝0时，该一次函数的表达式为
y ＝ kx （ k
≠0） ，它是正比例函数.
4. 正比例函数 y ＝ kx （ k ≠0）的性质.
要点一 函数的定义
（1）下列表示两个变量间的关系的图象中， y 不是 x 的函
数的是（ D ）
A
B
C
D
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【思路导航】由函数的定义判断即可.
【解析】A，B，C三个选项中，对于 x 的每一个值， y 都有唯一
的值与它对应，不符合题意；选项D中， y 轴右侧一个 x 值对应
号）.
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要点二 一次函数的图象和性质
已知一次函数 y ＝（4＋2 m ） x ＋ m －4.
（1）当 m 为何值时， y 的值随着 x 值的增大而减小？
（2）当 m 为何值时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方？
（3）若 m ＝－1，求该函数的图象与两坐标轴的交点坐标.
【思路导航】（1）根据 y 的值随着 x 值的增大而减小，列出不
等式，解答即可；（2）根据函数图象与 y 轴的交点在 x 轴下方
时，列出两个不等式，解答即可；（3）根据函数图象与两坐标
轴的交点坐标特征列方程，解答即可.
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解：（1）因为 y 的值随着 x 值的增大而减小，
解即可；（3）先根据两人的速度求出相遇时间，再求到图
书馆的路程即可.
（1）【解析】由图象，得家与图书馆之间的路程为4 000 m，
小玲步行的速度为（4 000－2 000）÷（30－10）＝100
（m/min）.故答案为4 000，100.
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（2）解：因为4
40
000÷300＝ （min），
5
，0
2
，
与 y 轴的交点坐标为（0，－5）.
【点拨】解答这类题目时，一定要注意隐含条件 k ≠0.
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已知关于 x 的一次函数 y ＝ mx ＋4 m －2.
（1）若这个函数的图象经过原点，求 m 的值；
（2）若这个函数的图象不过第四象限，求 m 的取值范围；
（3）不论 m 取何实数，这个函数的图象都过一个定点，试求这
−5
x ≥2且 x ≠5 .
【思路导航】根据二次根式、分式有意义的条件列出不等式，
解不等式即可得到答案.
【解析】由题意，得 x －2≥0且 x －5≠0.解得 x ≥2且 x ≠5.故
答案为 x ≥2且 x ≠5.
【点拨】解答这类题目时要注意二次根式 中， a ≥0，分式
中分母不能为0.
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路相向而行.小玲开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用
30 min.小东骑自行车以300 m/min的速度直接回家，两人离家的
路程 y （m）与各自离开出发地的时间 x （min）之间的函数图象
如图所示.
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请解答下列问题：
（1）家与图书馆之间的路程为 4 000 m，小玲步行的速度
3
40
所以点 D 的横坐标为 .
3
所以点 D 的坐标为
40
，0
3
.
设小东离家的路程 y 与时间 x 之间的函数关系式为 y ＝ kx ＋ b （ k
≠0）.
因为点 C （0，4 000）， D
所以 b ＝4
40
，0
3
在该函数图象上，
40
000， k ＋ b ＝0.所以 k ＝－300.
3
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两个 y 值，所以 y 不是 x 的函数，符合题意.故选D.
【点拨】判断一个关系是函数关系的方法：（1）存在一个变化
过程；（2）变化过程中有两个变量；（3）对于自变量每取一
个确定的值，因变量都有唯一确定的值与之对应.三者必须同时
满足.
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（2）函数 y ＝
−2
中自变量 x 的取值范围是
个点的坐标 就可以求出它的表达式.
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8. 一次函数图象的位置关系.
因为一次函数的图象是一条直线，所以两个一次函数的图象的
位置关系有两种：平行和相交.
设两条直线分别为 y ＝ k1 x ＋ b1， y ＝ k2 x ＋ b2.当 k1＝ k2， b1≠ b2
时，两条直线平行；当 k1≠ k2时，两条直线相交.
交于点 P ，分别与 x 轴、 y 轴交于点 C ， D （0，－2）.连接
BC ，点 P 的横坐标为－4.
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（1）求直线 m 的函数表达式和点 P 的坐标.
（2）试说明：△ BOC 是等腰直角三角形.
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（3）直线 m 上是否存在点 E ，使得 S△ ACE ＝ S△ BOC ？若存在，
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第四章
一次函数
回顾与思考
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CONTENTS
要点回顾
典例讲练
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1. 函数的定义.
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y ，并且对于变
量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称y
是 x 的 函数 ，其中 x 是自变量.
故小东离家的路程 y 与时间 x 之间的函数关系式为 y ＝－300 x ＋
4 000 0 ≤ ≤
40
3
.
（3）解：当两人相遇时，设他们走的时间为 m min.
由点 A （10，2 000），易得
OA 的函数表达式为 y ＝200 x （0≤ x ≤10）.
由图象，得300 m ＋200 m ＝4 000，解得 m ＝8.
Hale Waihona Puke 个定点的坐标.解：（1）因为这个函数的图象经过原点，
所以当 x ＝0时， y ＝0，即4 m －2＝0，
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1
解得 m ＝ .
2
（2）因为这个函数的图象不经过第四象限，
所以 m ＞0且4 m －2≥0，
1
解得 m ≥ .
2
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（3）将一次函数 y ＝ mx ＋4 m －2变形为
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（3）若 m ＝－1，则一次函数的表达式为 y ＝2 x －5.
当该函数的图象与 x 轴相交时，交点的纵坐标为0，
5
所以0＝2 x －5，解得 x ＝ .
2
当该函数的图象与 y 轴相交时，交点的横坐标为0，
所以 y ＝2×0－5，即 y ＝－5.
所以此函数图象与 x 轴的交点坐标为
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图1
图2
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（1）图2中折线 EDC 表示 乙 槽中水的深度 y 与注水时间 x 之
间的关系，铁块的高度为 16 cm；
（2）求 AB 的函数表达式；
（3）求当甲、乙两个水槽中水的深度相同时的注水时间.
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（1）【解析】由题意，知乙槽在注水的过程中，水的高度不断
＜0且 b ＜0时，函数的图象过第 二、三、四 象限.
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数学 八年级上册 BS版
7. 确定函数的表达式.
（1）一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）中有两个未知系数，所以需
要两个点，通过将两个点的坐标的代入，就可以求出一次函数
的表达式；
（2）正比例函数 y ＝ kx 只有一个未知系数，所以只要知道 一
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5. 一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的图象.
当 x ＝0时，图象与 y 轴的交点坐标为 （0， b ） ；当 y ＝0
时，图象与 x 轴的交点坐标为
− ，0
.
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6. 一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的性质.
为
100 m/min；
（2）求小东离家的路程y 与时间 x 之间的函数关系式，并写出
自变量的取值范围；
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（3）当两人相遇时，他们离图书馆多远？
【思路导航】（1）根据图中的数据，可以得到家与图书馆
之间的路程，再根据小玲步行的时间和路程，可以计算出小
玲步行的速度；（2）先求点 D 的坐标，再由待定系数法求
（1）当 k ＞0时， y 的值随着 x 值的
增大 而 增大
＜0时， y 的值随着 x 值的 增大 而 减小
；当 k
；
（2）当 k ＞0且 b ＞0时，函数的图象过第 一、二、三 象
限；当 k ＞0且 b ＜0时，函数的图象过第 一、三、四 象限；
当 k ＜0且 b ＞0时，函数的图象过第 一、二、四 象限；当 k