第一中学高二数学下学期期初考试试题文(2021年整理)

福建省永春县第一中学2017-2018学年高二数学下学期期初考试试题文编辑整理：
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永春一中2017-2018学年度下学期期初考试试卷
高二文科数学
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
本试卷分第I 卷和第II 卷两部分
第I 卷(选择题、填空题)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列抛物线中,准线方程为1=x 的是（ ）
A ．x y 22-=
B ．x y 42-=
C ． x y 22=
D ．x y 42= 2.若b a ,是实数，则"2">a 是"4"2>a 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3.若等差数列{}n a 中，,262=+a a 则=4a （ )
A ．2
B ．1
C ．2
D ．2或2- 4.下列关于命题的说法正确的是（ ）
A ．若q p ∨是真命题，则q p ∧也是真命题
B ．若q p ∧是真命题,则q p ∨也是真命题
C 。

“若,022=--x x 则2=x ”的否命题是“,022≠--x x 则2=x ”
D ．“2
00
,0x x ∃∈≤R ”的否定是“0,2≤∈∀x x R ” 5。

若双曲线的中心在原点，离心率3
5
=e ,左焦点是()0,5-F ，则F 到渐近线的距离是（ ）
A ．2
B ．3
C 。

4
D ．5
6.设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≥-+,,3,0623x y x y x 则y x z +=2的取值范围是（ ）
A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡9,29
B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-9,29
C 。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡29,518
D ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡9,518
7。

在ABC ∆中,内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若C B A ,,成等差数列，且满足A a B c C b cos 2cos cos =+，则ABC ∆的形状为( )
A ．等腰直角三角形
B ．直角非等腰三角形 C.等边三角形 D ．等腰钝角三角形 8。

若函数()x f 的导函数()x f '的图像如图所示，则下列说法正确的是( )
A ．1x 是()x f 的一个极值点
B ．1x 和3x 都是()x f 的极值点 C.2x 和3x 都是()x f 的极值点 D ．1x ，2x ，3x 都不是()x f 的极值点 9.若命题“02,2≥++∈∀mx x x R ”为真命题，则m 的取值范围是（ )
A ．()+∞,22
B ．()22,22- C. []
22,22- D ．),22[]22,(+∞⋃--∞
10.过椭圆205422=+y x 内一点)1,1(P 引一条恰好被P 点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是( ）
A ．0954=-+y x
B ．0945=-+y x
C 。

0154=+-y x
D ．0145=--y x
11.《张丘建算经》中载有如下叙述：“今有马行转迟，次日减半，疾七日,行七百里，问末日行几何．”其大意为：“现有一匹马行走速度越来越慢,每天行走的距离是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里,问最后一天行走的距离是多少？”依据上述记载，计算第7天行走距离大约是(结果采用四舍五入，保留整数）．（ ） A ． 10里 B ．8里 C 。

6里 D ．4里
12。

若定义在()+∞,0的函数()x f 的导数()x f '满足()10xf x '+>，且()11=f ,则下列结论一定成立
的是( ）
A ．()1>e f
B ．01<⎪⎭
⎫
⎝⎛e f C. ()()0,,1>∈∀x f e x D ．()()021,,1<+⎪⎭
⎫
⎝⎛-
∈∃x f x f e x 第Ⅱ卷(共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上）
13。

若0>x ，则2
8x x
+的最小值为 ．
14.若数列{}n a 的前n 项和,22n n S n +=则=4a ．
15。

已知抛物线24y x =的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 长等于 ．
16。

据气象部门报道，台风“天秤"此时中心位于C 地，并以25千米每小时的速度向北偏西 30的方向移动，假设距中心r 千米以内的区域都将受到台风影响。

已知B 地在C 地的正西方向，A 地在B 地的正西方向，若2小时后A ，B 两地均恰好受台风影响,则r 的取值范围是 ． 三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在△ABC 中，3,7==AB BC ，且5
3
sin sin =B C . (Ⅰ）求AC ;
(Ⅱ）求△ABC 的面积ABC S ∆ 。

18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，且
442251,,25,1b S b S S a ====.
（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ)求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-141n S 的前n 项和.
19. 如图,在梯形ABCD 中,AB
，对角线72=AC , 120=∠ADC ,7
7
2cos =
∠CAB . （I ）求AD 的长；
（Ⅱ）若32=BC ,求梯形ABCD 的面积。

20.已知函数().13
223
-++=
x x ax x f （I ）当2
1
-=a 时，求()x f 的单调区间；
(Ⅱ）若函数()x f 在[]3,1上单调递增，试求出a 的取值范围.
21。

已知椭圆的两焦点为)0,3(1-F ，)0,3(2F ,离心率2
3=e 。

（I ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线m x y l +=:与椭圆相交于P 、Q 两点，且PQ 等于椭圆的短轴长，求m 的值。

22.已知函数()()
()()().1ln ,12
12
R ∈+=-=
k x k x g x x f （I ）若1=k ，求()x g 在x e =处的切线方程；
（II ）证明：对任意正数k ，函数()x f 和()x g 的图象总有两个公共点。

永春一中高二年期初考试数学(文科）参考答案
一、选择题
1—5：BABBC 6-10: DCACA 11、12：CC 二、填空题
13。

8 14. 9 15。

4 16。

50325<<r 三、解答题
17. 解：(Ⅰ）由正弦定理，得
sin sin AC AB
B C =
-——-——-———-—-----2分 ∴sin 3sin 5
AB C AC B ==
∴53
53
AC ⨯== ———---—-—-————--—5
分
（Ⅱ）由余弦定理，得
222925491
cos 22352
AB AC BC A AB AC +-+-===-⋅⨯⨯，
∴120A =︒。

--——-----——--———-8分 ∴1
sin 2
ABC S AB AC A ∆=
⋅
=13522
⨯⨯⨯
—-—-—--————----—-10分
注:用海伦公式法,同样给分。

18。

（I)由⎩⎨⎧=+==,
251051
151d a S a 解得,2=d
所以
………………………………4分 因为,16,442==S S 所以,16,442==b b 因为{}n b 是各项均为正数的等比数列,所以,22
4
===b b q 所以
.222n n n q b b ==-…………………………………………………………………………………………
…………………………7分 (Ⅱ）
(),2
1212n n n S n =-+=
…………………………………………………………………………………
…………8分 所以()()
()(),1211212112121
1
411
412⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--=
+-=
-=
-n n n n n S n …………………………………………9分 所以
2
11
411
411
4121=-+
⋅⋅⋅+-+
-n S S S ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⋅⋅⋅+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-121121
5131311n n .12121121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n ……………………………………………………………………………………………………12分 19。

（I ）因为CD AB ,所以,CAB DCA ∠=∠
所以,7
3
sin ,772cos =∠=
∠DCA DCA 由
,sin sin DCA AD ADC AC ∠=∠得：,7
3
2372AD =
解得：
………………………5分 （Ⅱ）法一:
由余弦定理，得,120cos 42162822 ⋅⋅⋅-+==CD CD AC 即,01242=-+CD CD 解得：2=CD 或6-=CD （舍去）.
在ABC ∆中，由余弦定理，得,cos 722281222CAB AB AB BC ∠⋅⋅-+== 即：,01682=+-AB AB 解得4=AB , 又梯形的高,3260sin =⋅= AD h 所以
().3632242
1
=⋅+=
∆ABCD S …………………………………………………………………………………12分
法二：同法一求得2=CD ，,32=h
又,32h BC ==故,4,22=-=∴⊥BC AC AB AB BC 故
().3632242
1
=⋅+=
∆ABCD S ………………………………………………………………………………………12分
20.（I)当21-=a 时,函数().131
23-++-=x x x x f
(),122++-='x x x f
令(),0>'x f 即,0122<--x x 解得;2121+<<-x 令(),0<'x f 解得21+>x 或.21-<x
所以当2
1
-=a 时，函数()x f 的单调递增区间是()
21,21+-，
单调递减区间是()21,-∞-和()
+∞+,21.
……………………………………………………………………5分
(Ⅱ）法一:(),1222++='x ax x f 函数()x f 在[]3,1上单调递增, 等价于()01222≥++='x ax x f 在区间[]3,1∈x 恒成立， 等价于2212x x a --≥在区间[]3,1∈x 恒成立.等价于[]3,1,212max
2
∈⎪⎭⎫
⎝⎛--≥x x x a 令(),211
21222⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=--=
x x x x x g 因为(),011441
3232>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛---='x x x x
x g
所以函数()2
21
2x x x g --=在区间[]3,1∈x 上单调递增， 故()()18
7
3max
-==g x g
所以a 的取值范围是
.,187⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞-…………………………………………………………………………………………12分 法二:(),1222++='x ax x f 函数()x f 在[]3,1上单调递增, 等价于()01222≥++='x ax x f 在区间[]3,1∈x 恒成立，
令().1222++=x ax x h 则命题等价于()0min ≥x h 在区间[]3,1∈x 恒成立。

（1）当0≤a 时,由()()⎩⎨
⎧≥+=≥+=,
07183.0321a h a h 解得;0187
≤≤-a
（2）当0>a 时因为函数图像的对称轴,1021
<<-
=a
x 此时只有满足()⎩
⎨⎧≥+=>03210
a h a ,解得0>a 。

综上所述a 的取值范围是
.,187⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞-…………………………………………………………………………………12分 21.解：（I ）设椭圆方程为12222=+b
y a x )0(>>b a ，
则3=c ，2
3=a c ,∴1,2222=-==c a b a ∴所求椭圆方程为14
22
=+y x 。

……6分 (Ⅱ）由⎩⎨⎧=++=4
422y x m x y ，消去y,得0)1(48522=-++m mx x ， 则0)1(806422>--=∆m m 得52<m (*）
设),(),,(2211y x Q y x P ，则5
821m x x -=+，5)1(4221-=m x x ， 2]5)1(16)58[(2)()(22221221=---=-+-=m m y y x x PQ 解得：215,8
m =满足(*）430±=∴m ……12分 22.（I ）1=k 时，则()(),1,1ln x
x g x x g ='+= ()x g 在e x =处的切线的斜率(),1e
e g k ='= 又e x =时,(),1ln +=e e g 即切点()2,e ，
所以()e g 在e x =处的切线方程为:
()e x e y -=
-12,即.11+=x e
y ……………………………………………………………………………………………5分
(Ⅱ）法一：
记()()(),21ln 212k x k x x g x f x F ---=-= 则()x k x x F -='（已知0>k ）。

因为()x g 有意义，,0>x
所以()(),00,0k x x F k x x F <<⇔<'>⇔>'
所以()x F 在(]k ,0单调递减，在
[)+∞,k 单调递增， 故()().21ln 212121ln 21min
---=---==k k k k k k k k F x F
记(),21ln 2121---=k k k k G ().ln 2
11)1(ln 2121k k k G --=+--=' 因为(),00.ln 2
112-<<⇔>--='e k k k G 所以()k G 在(]2,0-e 单调递增，在[)+∞-,2e 单调递减，
故()()()012
121ln 212122222max <-=---==-----e e e e e G k G 故()0<k G 恒成立,即()().0min <=k F x F
又0→x 时，()+∞→+∞→x x F ,时,()+∞→x F ,
故()x F 在(]k ,0和[)
+∞,k 各有一个零点， 即()x f 和()x g 的图像在(]k ,0和[)
+∞,k 各有且只有一个公共点。

……………………………12分
法二：函数()x f 和()x g 的图像总有两个公共点,等价于()=x f ()x g 总有两个实数根。

()=x f ()(),1ln 21212+=-⇔k k x x g 显示e
x 1=不是该方程的根。

当e x 1≠时,()().1
ln 21212+-=⇔=x x k x g x f 记().1ln 212
12+-=x x x H 则().2121ln )1(ln )1(ln 2121ln 222⎪⎭⎫ ⎝
⎛+++=+++='x x x x x x x x x x H 再记()(),02121ln 2>++=x x
x x K 因为(),10111323>⇔>-=-='x x
x x x x K 所以()x K 在(]1,0单调递增,在[)+∞,1单调递减
所以()()(),011min >==≥K x K x K
即(),0>'x H
从而()x H 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0和⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,1e 均单调递增，
又⎪⎭⎫
⎝⎛∈e x 1,0时，0→x 时,()e x x H 1
,0→→时，()+∞→x H ，
又⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,1
e x 时，e x 1
→时,()+∞→-∞→x x H ,时,()+∞→x H ，
()x H 的草图如图：
故对任意的正数k ,直线k y =与()x H 的图像总有两个公共点,
即方程1ln 2
1
212+-=x x k 总有两个根，
即函数()x f 和()x g 的图像总有两个公共点，命题得
证。

…………………………………………………12分。