2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2课件：第1章 1.5 1.5.3 微积分基本定理

[精解详析] (1)取 F(x)＝x33＋x2＋3x，
则 F′(x)＝x2＋2x＋3，
从而12(x2＋2x＋3)dx＝12F′(x)dx＝F(2)－F(1)＝235.
(2)取 F(x)＝－cos x－sin x，
则 F′(x)＝sin x－cos x，
π
π
从而0(sin x－cos x)dx＝0F′(x)dx＝F(π)－F(0)＝2.
问题 4：你得出什么结论？ 提示：20f(x)dx＝F(2)－F(0)，且 F′(x)＝f(x)． 问题 5：已知 f(x)＝x3，F(x)＝14x4，试探究10f(x)dx 与 F(1)－F(0)的关系． 提示：因10f(x)dx＝10x3dx＝14.F(1)－F(0)＝14，有10f(x) ＝F(1)－F(0)且 F′(x)＝f(x)．
(2)要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个 概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，也可 为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此 当 f(x)≤0 时要通过绝对值处理为正，一般情况下是借助定 积分求出两个曲边梯形的面积，然后相加起来．
一、填空题 1．1e1xdx＝________.
解析：所围成的图形如图阴影部分所示， 点 A(0，－2)， 由yy＝＝x－x，2， 得xy＝＝24，， 所以 B(4,2)，因此所围成的图形的面积为∫40 x－x＋2dx ＝ 23x32－12x2＋2x40＝136. 答案：136
7．设 a>0，若曲线 y＝ x与直线 x＝a，y＝0 所围成封闭图 形的面积为 a2，则 a＝________.
(2)由
x2＝
x，x≥0， －x，x<0，
得a－a
x2dx＝ 0 a xdx＋0－a
(－x)dx＝12x2|0a－12x2|－0 a＝a2. [一点通] (1)分段函数在区间[a，b]上的积分可分成几段
积分的和的形式．
(2)分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原
函数分段的情况分即可，无需分得过细．
1.5
1.5.3
第
微
1
积
章
分 基
本
定
理
理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
考点一 考点二 考点三
1.5
定积分
1.5.3 微积分基本定理
已知函数 f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x. 问题 1：f(x) 和 F(x)有何关系？ 提示：F′(x)＝f(x)． 问题 2：利用定积分的几何意义求20(2x＋1)dx 的值． 提示：20(2x＋1)dx＝6. 问题 3：求 F(2)－F(0)的值． 提示：F(2)－F(0)＝4＋2＝6.
5．设
f(x)＝lxg＋x∫，a0
x＞0， 3t2dt，x≤0，
若 f(f(1))＝1，则 a＝
________.
解析：显然 f(1)＝lg 1＝0， 故 f(0)＝0＋∫a0 3t2dt＝t3|a0＝1， 得 a＝1.
答案：1
求图形的面积
[例 3] 求由曲线 y＝x2－2x＋3 与直线 y＝x＋3 所围 成的图形的面积．
4．3－4|x＋2|dx＝________.
解析：∵|x＋2|＝x－＋x2－，2，－2－<4x≤≤x3≤ －2 ∴3－4|x＋2|dx＝3－2(x＋2)dx＋－－42(－x－2)dx ＝12x2＋2x|3－2＋－12x2－2x|－ －24＝229. 答案：229
∴ff′－－2＝2＝1，－2.
∵f′(x)＝2ax＋b， ∴a2·a·－－222＋＋bb·＝－－22＋. 1＝1， ∴a＝1，b＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1. (2)依题意，f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形如图中 阴影部分所示， 故所求面积S＝∫－0 1(x2＋2x＋1)dx＝ 13x3＋x2＋x0－1＝13.
求分段函数的定积分
[例 2] (1)设 f(x)＝xco2，s xx－≤10，，x>0. 求1－1f(x)dx； (2)求a－a x2dx(a>0)． [思路点拨] 按照函数 f(x)的分段标准，求出每一段上 的积分，然后求和．
[精解详析] (1)1－1f(x)dx＝0－1x2dx＋01(cos x－1)dx ＝13x3|0－1＋(sin x－x)|10＝sin 1－23.
解析：因为函数 y＝ex 与函数 y＝ln x 互为反函数，其图
象关于直线 y＝x 对称，又因为函数 y＝ex 与直线 y＝e 的
交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为
1
2(e×1－0exdx)＝2e－2ex|10＝2e－(2e－2)＝2，
由几何概型的概率计算公式，
得所求的概率 P＝SS正阴方影形＝e22.
4．设 f(x)＝x22－，xx，∈x[∈0，11，]，2]，
2
则0f(x)dx＝________.
2
1
2
解析：0f(x)dx＝0x2dx＋1(2－x)dx
＝13x3|10＋(2x－12x2)|21＝56.
答案：56
5．(福建高考)如ห้องสมุดไป่ตู้，在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______．
微积分基本定理 对于被积函数 f(x)，如果 F′(x)＝f(x)，那么ba f(x)dx＝ F(b)－F(a) ，即baF′(x)dx＝ F(b)－F(a) ．
b
1．微积分基本定理表明，计算定积分af(x)dx 的 关键是找到满足 F′(x)＝f(x)的函数 F(x)．通常，我们 可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算 法则从反方向上求出 F(x)．
在坐标系中 [ 思 路 点 拨 ] 作出图象 → 求曲线与直线的交点 → 利用定积分求面积 .
[精解详析] 画出草图，如图所示．
解方程组yy＝＝xx＋2－32，x＋3， 得 A(0,3)，B(3,6)．
所以 S＝30(x＋3)dx－30(x2－2x＋3)dx， 取 F(x)＝12x2＋3x，则 F′(x)＝x＋3， 取 H(x)＝13x3－x2＋3x，则 H′(x)＝x2－2x＋3， 从而 S＝F(3)－F(0)－[H(3)－H(0)] ＝12×32＋3×3－0－13×33－32＋3×3－0 ＝92.
0
0
＝13ax3＋12bx2|10＝13a＋12b＝167，
所以由1213aa＋＋b12＝b＝5，167，
解得 a＝4，b＝3，故 f(x)＝4x＋3.
7．求由曲线 y＝x2 与直线 x＋y＝2 围成的面积．
解：如图，先求出抛物线与直线的交点，解方程组 y＝x2， x＋y＝2， 得xy11＝＝11， 或xy22＝＝4－，2，
而12x－12sin x′＝12－12cos x，
所以∫π20sin2x2dx＝∫π2012－12cos

xdx

＝12x－12sin x|π20＝π4－12＝π－4 2.
(2)原式＝32(6－2x－3x2＋x3)dx ＝6x－x2－x3＋14x4|32 ＝6×3－32－33＋14×34－6×2－22－23＋14×24 ＝－74.
2
S3＝1exdx，则 S1，S2，S3 的大小关系为________． 解析：S1＝13x321 ＝83－13＝73，S2＝ln x21 ＝ln 2<ln e
＝
1
，
S3
＝
ex
2 1
＝ e2 － e≈2.72 － 2.7 ＝ 4.59 ， 所 以
S2<S1<S3.
答案：S2<S1<S3
即两个交点为(1,1)，(－2,4)．直线为 y＝2－x，则所 求面积 S 为： S＝1－2[(2－x)－x2]dx ＝2x－x22－x33|－1 2＝92.
8．设 f(x)是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f(－ 2))处的切线方程为 2x＋y＋3＝0. (1)求 f(x)的表达式； (2)求 f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积； (3)若直线 x＝－t(0＜t＜1)把 f(x)的图象与两坐标轴所围 成图形的面积二等分，求 t 的值． 解：(1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c， ∵其图象过点(0,1)，∴c＝1， 又∵在点(－2，f(－2))处的切线方程为 2x＋y＋3＝0，
2．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内 在联系，最重要的是它也提供了计算定积分的一种有 效方法．
求简单函数的定积分
[例 1] 求下列定积分： (1)21(x2＋2x＋3)dx； (2)π0(sin x－cos x)dx； (3)0－π(cos x－ex)dx. [思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分 基本定理求解．
a
解析：由已知得 S＝0
xdx＝23x32|a0＝23a32＝a2，所以 a12
＝23，所以 a＝49.
答案：49
1．求定积分的一些常用技巧 (1)对被积函数，要先化简，再求积分． (2)求被积函数是分段函数的定积分，应分段求定积分 再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符 号后才能积分． 2．利用定积分求曲边梯形的面积 (1)在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出 它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的 上、下限．
1
1．(江西高考改编)若 f(x)＝x2＋2 f(x)dx，则 0
1

f(x)dx＝____________.
0
1
解析：∵f(x)＝x2＋20f(x)dx，
∴01f(x)dx＝13x3＋2x01fxdx01＝13＋201f(x)dx.
∴01f(x)dx＝－13.
答案：＝－13
π
2．0(cos x＋1)dx＝________.
解析：∵(sin x＋x)′＝cos x＋1， ∴π0(cos x＋1)dx＝(sin x＋x)|π0 ＝(sin π＋π)－(sin 0＋0)＝π. 答案：π
3．求下列定积分：
(1)∫π20sin2x2dx；(2)23(2－x2)(3－x)dx. 解：(1)sin2x2＝12－co2s x，
解析：1e1xdx＝ln x|e1＝ln e－ln 1＝1.
答案：1
π
2． (2sin x－3ex＋2)dx＝________. 0
π
解
析
：
(2sin
x－3ex＋2)dx＝(－2cos
x－3ex＋
0
2x)|0π＝7＋2π－3eπ.
答案：7＋2π－3eπ
3．(江西高考改编)若 S1＝12x2dx，S2＝121xdx，
(3)取 F(x)＝sin x－ex，则 F′(x)＝cos x－ex，
从而0－π(cos x－ex)dx＝0－πF′(x)dx＝F(0)－F(－π)＝ e1π－1.
[一点通] 求简单的定积分关键注意两点： (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确 求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积 函数适当变形后再求解； (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
[一点通] 利用定积分求曲线所围成的平面图形的面 积的步骤：
(1)根据题意画出图形； (2)找出范围，定出积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)写出相应的定积分表达式，即把曲边梯形面积表示 成若干个定积分的和或差； (5)用微积分基本定理及其运算性质计算定积分，求出 结果．
6．曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积 为________．
答案：e22
二、解答题
6．f(x)是一次函数，且∫ 10f(x)dx＝5，∫ 10xf(x)dx＝167，
求 f(x)的解析式． 解：设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则01(ax＋b)dx＝12ax2＋bx|01＝12a＋b＝5.
1
1

x(ax＋b)dx＝
(ax2＋bx)dx