1.1.1 两个基本原理

字 母
A
图1.1 1是解决计数间题常用的 " 树形 图".请你用树形图列出所有 可能号码 .
9 6 54
数 得到的 字 号码 A1 1 A2 2 A3 3 A4 4 A5 5 A6 6 A7 7 A8 8 A9 9
例 2 设某班有男生 30名, 女生 24 名.现要从中选出男、
女生各一名代表班级参加比赛, 共有多少种不同的选法 ?
※对同学说，你有什么提示？ ※对老师说，你有什么疑惑？
2018年5月31日星期
分类计数原理（加法原理）
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法， 在第 2 类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同 的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+ ……+mn种不同的方法。
2018年5月31日星期四
1.填空：
①一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4 人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法 的种数是
5 4 9
.
②从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B 村去C村，不同的路线有
3 2 6 条.
边城高级中学 张秀洲
1、掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理；
2、理解两个原理的区别与联系.
3、会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.
自学教材 P2—P5 解决下列问题
一、掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 二、《教材》 P6 练习.
狐狸总共有多少种方法逃到安全地？ 情境1:
B大学 数学 会计学 信息技术学 法学
那么, 这名同学可能的专业选择共有多少种?
分析 由于这名同学在A, B两所大学中只能选择一所, 而且只能选择一个专业 , 又由于两所大学没有共同的 强 项专业 ,因此符合分类加法计数原理的条件.
解 这名同学可以选择A, B两所大学中的一所. 在 A 大学有 5 种专业选择方法, 在B大学中有4 种专业选择方法. 又由于没有一个强 项专业是两所大学共有的 , 因此根据分类加法计数原理 , 这名同学可能的专业选择共有 5 4 9 种 .
根据分类加法计数原理, 不同取法的种数是 N m1 m2 m3 4 3 2 9.
2 从书架的第1,2,3层各取1本书, 可以分成3个步骤完成 :
第1步从第1层取1本计算机书, 有 4 种方法;
第2步从第2层取1本文艺书, 有3种方法; 第3步从第3层取1本体育书, 有2种方法.
1 从书架中任取1本书, 有多少种不同取法 ? 2 从书架的第1,2,3层各取1本书, 有多少种不同取法 ?
解
1 从书架上任取一本书 , 有 3 类方法 :
第1类方法是从第1层取1本计算机书, 有 4 种方法;
第2类方法是从第2层取1本文艺书, 有3种方法; 第3类方法是从第3层取1本体育书, 有2种方法.
共同点 都是要解决完成一件事情的方法种数的问题。 区别一 完成一件事情共有 n类方案。
每类中的任一种方法都 能独立完成这件事情.
完成一件事情,共分n个 步骤。
每步要而且只要拿出一种方 法就可以完成一件事情。
区别二
【思考】用前6个大写英文字母 和1 ~ 9九个阿拉伯数字 ,以 A1 , A2 , , B1 , B2 , 的方式给教室里 的座位编号, 总共能编出多少个 不同的号码 ?
2. 现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三 年级的学生4名.
①从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
3 5 4 12
②从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同 的选法？
3 5 4 60
3.从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从 甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不 同的走法共有 3 2 4 11 种. 4.甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选 两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会， 共有 3 5 5 2 3 2 31 种不同的推选方法. 5、集合A {1,2, 3}， B {1, 2,3,4} .从 A、B 中各取1个元 素作为点 P( x, y) 的坐标． （1）可以得到多少个不同的点？ 3×4＋4×3＝24 （2）这些点中，位于第一象限的有几个？ 2× 2＋ 2× 2＝ 8
第 2 步, 从剩下的 2 幅画中选 1 幅画挂在右边墙上, 有 2 种方法.
根据分步乘法计数原理, 不同挂法种数是 N 3 2 6.
6种挂法可以表示如下 :
左边 右边 乙
丙
得到的挂法 左甲右乙 左甲右丙 左乙右甲
左乙右丙
甲
乙
甲
丙
丙
甲
乙
左丙右甲
左丙右乙
小结: 我们可以把加法原理看成“并联电路”;乘法原理
草地
情境2:
如果狐狸还有4辆自行车可以选择呢? 2种 N=2+3=5 3种 安全地 N=2+3+4=9
4种 如果狐狸还要多一步到达安全地呢?
3 种 方 法
草地
小岛
2 种 方 法
房子
4 种 方 法
安 全 地
N=3×2=6
N=3×2×4=24
对两个情境的分析： 情境1:
2种
草地
问题剖析
3种
4种
安全地
狐狸要做的一件事情是什么 完成这个事情的方法有几类方案
6、一个三位密码锁各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8, 9十个数 字组成,
（1）可以设置多少种三位数的密码(各位上数字允许重复)？ （2）首位数字不为0的密码数是多少？ （3）首位数字是0的密码数又是多少？
分析: 按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位, 需 分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m2 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码.
答:首位数字不为0的密码数是:N =9×10×10 = 9×102 种, 首位数字是0的密码数是:N = 1×10×10 = 102 种。 由此可以看出, 首位数字不为0的密码数与首位数字是0的密 码数之和等于密码总数。 可以设置多少种三位数的密码(各位上数字不允许重复)？
你学会了吗?
※对自己说，你有什么收获？
草地到安全地 3步 不能 3种 2种 4种
每步方法中分别有几种不同的方法
完成这件事情共有多少种不同的方法
3×2×4=24种
【分类计数原理】 完成一件事，有n类方式，
在第1类方式中有m1种不同的方法，
在第2类方式中有m2种不同的方法， …， 在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共 有：N m1 m2 mn 种不同的方法。
看成“串联电路”。如图:
m1
A m2 B
分类加法计数原理针对的是 “分类”问题，其中各种方 法相互独立，用其中任何一 种方法都可以完成这件事.
……
mn
分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方 法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.
A
m1 m2 …... mn
B
二、《教材》 P6 练习.
根据分步乘法计数原理, 不同取法的种数是 N m1 m2 m3 4 3 2 24.
要 从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出2 幅分别挂在 左、右两边墙的指定位置,问共有多少种不同的挂法 ?
解 从 3 幅画中选取 2 幅分别挂在左、右两边墙上, 可以分两步完成 :
第 1 步, 从3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上, 有 3 种方法;
3、乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多 少项？
4、将4封信投入3个邮筒，有多少种不同投法？
P12 第2题 从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条 路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路，问： 从甲地到丁地有多少种走法？
解:从总体上看,由甲到丙有两类 不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙,又需分 两步, 所以 m1 =2×3 = 6种不同 的走法; 第二类, 由甲经丁去丙,也需分 两步, 所以m2 = 4×2 = 8 种不同 的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14种不同的走法。
分步计数原理又称为乘法原理。
注:⑴把完成一件事的方法分成 n 个步聚来进行,. (注意必须且只需完成 n 步才完成这件事) ⑵分步──步步相乘.
例1 在填写高考志愿表时, 一名高中毕业生了解到, A, B两所大学各有自己感兴趣的强项专业, 具体情况 如下 :
A大学 生物学 化学 医学 物理学 工程学
【分析】选出一组参赛代表, 可分两个步骤. 第1步选男生, 第2步选女生.
解:第1步, 从30名男生中选出1人, 有30种不同选法; 第2步, 从24名女生中选出1人, 有24种不同选择;
根据分步乘法计数原理, 共有 30 24 720种 不同的选取法.
书架的第1层放有4本不同的计算机书, 第2层放 有3本不同的文艺书, 第 3 层放有2 本不同的体育书.
分类计数原理又称为加法原理。
注:⑴把完成一件事的所有方法分类. (注意不重不漏) ⑵分类──类类相加. (每类中的每一种方法都独立完成这件事)
【分步计数原理】完成一件事,需要分成n个步骤，
做第1步有m1种不同的方法，
做第2步有n种不同的方法。
那么完成这件事共有 N m1 m2 mn种不同的方法。
若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人 力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？
A大学 B大学 数学 会计学 信息技术学 法学 C大学 新闻学
生物学
化学 医学
金融学
人力资源学
物理学
工程学
注意：分类加法计数做到不重，不漏！
分类加法与分步乘法计数原理的区别和联系：
分类加法 分步乘法
甲 乙
丙
丁
每类方案中的任一种方法能否独立完成这件事情
草地到安全地 3类
能
2种 3种 4种
每类方案中分别有几种不同的方法 完成这件事情共有多少种不同的方法
2+3+4=9种
情境2:
草地
3 种 方 法
小岛
2 种 方 法
房子
4 种 方 法
安 全 地
问题剖析
狐狸要做的一件事情是什么 完成这个事情需要分几步 每步中的任一方法能否独立完成这件事情
4、将4封信投入3个邮筒，有多少种不同投法？
1、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、 右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？
3×2=6种
2、设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩
画，从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有几种
不同的选法？
59 3×3×5=45 3×3×3×3=81
注：每一类办法都能直接完成任务，每一种方法相互独立。
分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法， 做第 2 步有m2 种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法，那 么完成这件事共有N=m1×m2×……×mn种不同的方法。 注：各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这 件事。
2018年5月31日 1次
必做题:《教材》 P12 A组 第1、2、4、5题 选做题:《备选题》 见课件
【预习】课本P6-P10《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》
1、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、 右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？ 2、设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩 画，从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有几种 不同的选法？ 3、乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多 少项？