广州市培正中学2019届高三第一学期期中考试(理)

广州市培正中学2019届高三第一学期期中考试（理）
数学（理科）试题
一．（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．若集合{}7,5,3,1=U ，{}|5|,1-=a B ，{}7,5=B C u 则实数a 的值为 A ．2或—8.
B ．—8，或—2
C ．—2或8.
D ．2或8
2．若复数i a a )1(12+++是纯虚数（R a ∈），则||z =
A B ．2 C ．0 D ．4
3．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则下列能确定的是 ( ) A ．8S B ．9S C ．4S D ．5S
4．若方程
1522
2=--+k
y k x 表示双曲线，k 取值范围为 A ．)2,(--∞ B ．)5,2(- C ．),5()2,(+∞--∞ D ．),5(+∞
5．在△ABC 中，||＝5，||＝3，||＝6，则⋅＝（ ） A ．13 B ．26 C ．
5
78
D ．24 6．设a ，b ，c 是空间三条直线,α,β是空间两个不重合平面,则下列命题中,不成立的是 A ．当c ⊥α时，若c ⊥β，则α∥β B ．当α⊂b 时，若b ⊥β，则βα⊥
C ．当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若b ⊥c ，则a ⊥b
D ．当α⊂b ，且α⊄c 时，若c ∥α，则b ∥c 7．定义运算“*”如下：])2,2[)(*2()*1()(,,,*2
-∈-⋅=⎩⎨
⎧<≥=x x x x x f b
a b b
a a
b a 则函数的
最大值等于
A ．6
B ．1-
C ．0
D ．
8
9 8．已知函数()f x 同时具有下列三个性质 ①. 最小正周期是π；② 图象关于直线3
π
=x 对称；
③ 在区间]3,6[π
π-上是增函数，则)(x f 的解析式是
A
．
)62sin(π+=x y B ．)
3
2cos(π
+=x y C
)6
2sin(π
-
=x y
D ．)6
2cos(π
-
=x y
二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，其中9—13为必做题，14—15为选做题，
14—15题只需选做1小题，共30分。

）
9．中心在坐标原点,一个顶点为(4,0),且以直线y =
±x 为渐近线的双曲线方程为
_________． 10
．若cos 2πsin 4α
α=⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭cos sin αα+的值为_______．
11．在直角ABC ∆中，已知32=AB ，3=AC ， 90=∠ACB ，点M 是ABC ∆内任意一
点，则3<AM 的概率是______．
12．函数11
log ,)3()(≥<⎩⎨⎧--=x x x a x a x f a 是R 上的增函数，则a 的取值范围是__________
13．若x 满足821>⎪⎭
⎫
⎝⎛x
，则x 的取值范围是____________
14.将极坐标方程)4
cos(θπ
ρ-=化成直角坐标方程是_____________
15．如图，圆 O 的割线 PBA 过圆心 O ，弦 CD 交 PA 于点F ，且△COF ∽△PDF ，PB = OA = 2，则PF = 。

三、解答题：
16．（本题满分12分） 已知向量3(sin ,),(cos ,1).2
a x
b x ==-
（1）当//a b 时，求2
2c o s s i n 2x x -的值； （2）求
b b a x f
⋅+=)()(在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的值域．
17（本题满分12分） 设数列{}n a 的前n 项的和为n S ,已知n n n S b ba )1(2-=-，
（1）求证：当b=2时，{}
12-⋅-n n n a 是等比数列；（2）求{}n a 的通项公式
18．（本题满分14分） 已知A(0,-1) ，B(0,1) 直线AM,BM 相交于点M,且它们的斜率之积
为3-，
（1）求动点M 的轨迹方程 (2)设过点(0,-2)的直线L 与动点M 的轨迹交于C 、D 两点,且0=⋅
求直线L 的方程
19．（本小题满分12分）
学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5 人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且10
7)0(P =>ξ． (I) 求文娱队的人数； (II) 写出ξ的概率分布列并计算E ξ． 20．（本题满分14分）
如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2F 为CE 上的点， 且BF ⊥平面ACE ．
（1）求证：AE ⊥BE ；
（2）求三棱锥D －AEC 的体积；
（3）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，
试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .
A C
O
F B
D P
21．（本题满分14分）
某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元（x >6），年销量为u 万件，若已知u
-8
585与
2)4
21(-
x 成正比，且售价为10元时，年销量为28万件. （1）求年销售利润y 关于x 的函数关系式；
（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润.
培正中学-学年第一学期期中考试高三数学（理科）参考答案
1．C 2．C 3．B 4．B 5．B 6．D 7．A 8．B
9．2211612x y -= 10．
12 11
12．⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡3,23 13．()3,-∞- 14．022222
2=--+y x y x 15．3
16．解: （1）||a b ，∴3cos sin 02x x +=，∴3
tan 2
x =- …………2分
.13
20
tan 1tan 22cos sin cos sin 2cos 22sin cos 222222
=+-=+-=-x x x x x x x x x …………6分
（2）
1(sin cos ,)2a b x x +=+,2()()sin(2)24
f x a b b x π
=+⋅=+ ………9分
∵02
x π
-
≤≤
，∴32444x πππ-
≤+≤，∴
1sin(2)4x π-≤+≤ …11分 ∴1()22f x -≤≤ ∴函数 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
21,22)(的值域为x f …………12分 17
(1) {}
12-⋅-n n n a 是首项为1，公比为2的等比数列。

(2) ⎪⎩⎪
⎨⎧≥-+-==-2
])22(2[21
12
1n b b b
n a n n n
18
(1) )0(1322≠=+x y x (2) 215-±=x y
19．解：设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有（7-x ）人，那么只会一项的人数是（7-2 x ）人．
(I)∵107)0(P 1)1(P )0(P =
=-=≥=>ξξξ，∴10
3)0(P ==ξ．………3分 即10
3
C C 2x
722x
7=-- ∴
103)x 6)(x 7()2x 6)(2x 7(=----． ∴x=2．……………5分 故文娱队共有5人．……………………………………6分
(II) 54C C C )1(P 251
412=⋅==ξ 10
1C C )2(P 2
522
===ξ， ξ的概率分布列为
∴10
251100E ⨯+⨯+⨯=ξ =1． …………………………12分
20.（1）证明： ABE AD 平面⊥，BC AD //
∴ABE BC 平面⊥，则BC AE ⊥
又ACE BF 平面⊥，则BF AE ⊥∴BCE AE 平面⊥
又BCE BE 平面⊂ ∴BE AE ⊥ ………4分 (2)31==--ADC
E AEC D V V ×22×3
4
2= ………8分 （3）在三角形ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点,在三角形BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点,连MN ,则由比例关系易得CN ＝CE 3
1
MG ∥AE MG ⊄平面ADE , AE ⊂平面ADE ∴MG ∥平面ADE 同理, GN ∥平面ADE ∴平面MGN ∥平面ADE ………… 12分 又MN ⊂平面MGN ∴MN ∥平面ADE
∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点 …………14分
21．解：（1）设
,)4
21
(85852-=-x k u ∵售价为10元时，年销量为28万件； ∴.2,)4
21
10(2885852=-=-k k 解得 …………3分 ∴.182128585
)421(222++-=+
--=x x x u ∴.108108332)6)(18212(2
32--+-=-++-=x x x x x x y …………7分
（2）)9)(2(6)911(61086662
2---=+--=-+-='x x x x x x y …………9分
令9),6(20=>=='x x x y 或舍去得
显然，当)9,6(∈x 时，),9(0+∞∈>'x y 当时，0<'y
∴函数)9,6(10810833223在--+-=x x x y 上是关于x 的增函数； 在),9(+∞上是关于x 的减函数. …………11分 ∴当x =9时，y 取最大值，且.135max =y …………13分 ∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元。

…………14分 A
B
C D
C 1。