13.1.2 定理与证明 课件 2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

2、下列命题可以作为定理的有（ C ）
①两直线平行，同旁内角互补
②相等的角是对顶角
③等角的补角相等
④垂线段最短
A.1个
B.2个 C.3个 D.4个
新知讲解
（1）一位同学在钻研数学题时发现:
2 + 1 =3， 2×3 + 1 = 7， 2×3×5 + 1 = 31， 2×3×5×7 + 1 = 211
解: （1）如果同旁内角互补，那么两条直线平行． 条件是“同旁内角互补”，结论是“两条直线平行”． 已知: 如图，直线 AB、CD 和直线 EF 交于点G、H ，∠BGH ＋ ∠GHD ＝ 180°，求证: AB∥CD ． 证明: ∵ ∠BGH＋∠GHD ＝180°，∠1＋ ∠BGH ＝180°, ∴∠1＝∠GHD (等角的补角相等)， ∴AB ∥CD (同位角相等，两直线平行)
13.1.2 定理与证明
华师大版数学八年级上册
教学目标
• 1、正确理解公理和定理的含义以及它们与命题之间的相 互联系与区别。
• 2、会区分公理和定理的题设和结论，把一个命题写成 “如果......那么......
• 3、体会命题证明的必要性，了解证明的步骤和格式。
复习回顾
问题1：什么是命题？命题的结构是什么？ 定义：判断一件事情的语句. 构成：每个命题都是由题设、结论两部分组成. 命题常写成“如果……那么……”的形式.
问题2：命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？ 真命题和假命题 举反例
判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举 一个反例加以说明:
（1）两个锐角的和等于直角; （2）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.
解: （1）假命题，例: 50°和20°是两锐角，
但50°＋20°＝70°≠ 90°．
典例讲解
例2、求证: 平行线的内错角的平分线互相平行．
解:已知:如图，AB ∥CD ，EF 交 AB 于点 E，交
CD 于点 F，EM 平分∠BEF，FN 平分∠EFC．
求证: EM ∥FN ．
证明:∵AB∥CD (已知)，
∴∠BEF＝∠CFE (两直线平行，内错角相等)．
∵EM 平分∠BEF，FN 平分∠EFC (已知)，
课堂总结
ห้องสมุดไป่ตู้
定理与 证明
基本事实
定义 常见的几条基本事实
定义 定理 与基本事实的区别
证明 定义 证明的一般步骤
随堂练习
把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式，指出它们 的条件和结论，并用演绎推理证明题（1）所示的定理:
（1）同旁内角互补，两直线平行； （2）三角形的外角和等于 360°.
（1）同旁内角互补，两直线平行；
求证:∠A+∠B= 90°.
A
证明:∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角
和等于180°) ,
又∵∠C=90°(已知)，
∴∠A+∠B=180°-∠C =90°(等式的性质).
B
C
新知讲解
证明的一般步骤是： ①审清题意，找出命题中的条件和结论; ②根据题意画出图形，图形要正确且具有一般性，不能画特殊图形; ③用数学语言写出“已知”“求证”; ④找出证明思路; ⑤写出证明过程，每一步都要有理有据; ⑥检查表达过程是否正确、完整．
证明： 根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来 判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．
证明的依据：
证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据， 它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、 已经学过的定理，以及等式的性质、等量代换等．
典例讲解
例1、已知:如图，在△ABC中，∠C= 90°.
命题
从基本事实 或其他真命
题出发
可以作为进一 步判断其他命 真命题 题真假的依据
定理
基本事实与定理的联系与区别： 定理与基本事实都是真命题，都是我们解决问题的依据， 它们的区别是:基本事实是公认的真命题，不需要推理论证； 定理是由基本事实直接或间接推理论证得到的.
巩固练习
1、下列关于基本事实和定理的联系的说法，不正确的是 （B） A.基本事实和定理都是真命题 B.基本事实就是定理，定理就是基本事实 C.基本事实和定理都可以作为推理的依据 D.基本事实的正确性不需要证明，定理的正确性需要证明
（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形 等的内角和，得到一个结论: n 边形的内角和等于 ( n -2) ×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满 足这一规律？
实际上，这是一个正确的结论.
上面几个例子说明: 通过特殊的事例得到的结论可能正 确，也可能不正确.因此，通过这种方式得到的结论，还需 进一步加以证实.
∴∠2＝ 1 ∠BEF，∠1＝ 1∠CFE(角平分线的定义)．
2
2
∴∠1＝∠2(等量代换)．
∴EM ∥FN (内错角相等，两直线平行)．
巩固练习
3.如图，已知 AB⊥MN，CD⊥MN ，垂足分别为点 E、F， 直线 PQ 分别交 AB、CD 于点 S、T. 求证: ∠AST = ∠STD. 对于上述问题，请将下列证明过程补充完整.证明 AB ⊥ MN，CD ⊥ MN (已知)， ∴AB∥CD (在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直 线平行)， __∵__A_B__和__C__D__被__P_Q__所__截__,___________________________ __∴__∠__A_S_T__＝__∠__S_T_D__(_两__直__线__平__行__,_内__错__角__相__等__)．_________
（2）三角形的外角和等于 360°. 已知:如图，△ABC 中，∠DAC，∠EBA ，∠BCF 为△ABC 的外角． 求证:∠DAC ＋ ∠EBA ＋∠BCF＝360°． 证明:由题意，可得 ∠BAC＋∠CAD ＝180°， ∠ABC＋∠EBA ＝180°，∠BCA ＋∠BCF＝180°， ∴∠BAC ＋ ∠CAD ＋ ∠ABC ＋ ∠EBA ＋ ∠BCA ＋ ∠BCF＝540°． 由三角形内角和定理知∠BAC ＋ ∠ABC ＋∠ACB＝180°， ∴∠DAC＋∠EBA ＋∠FCB＝ 540°－180°＝ 360°． 即三角形外角和等于 360°．
课程结束
这些都是公认的真命题，我们把它视为基本事实.
基本事实： 公认的真命题视为基本事实. 它们是用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点．
定理：
数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出 发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作 为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做 定理．
基本事实、定理、真命题之间的联系与区别：
计算一下2×3×5×7×11+1与 2×3×5×7×11×13+1，你发现
了什么？
于是，他根据上面的结果并利用质数表得 出结论:从质数 2 开始，排在前面的任意多个 质数的乘积加 1 一定也是质数. 他的结论正确 吗？
（2）如图所示，一位同学在画图时发现: 三角形三条边的垂 直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出结论:任何一 个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他 的结论正确吗？
（2）假命题，例:如图，直线 AB、CD 被 EF
所截，但 AB 不平行于 CD ，此时，
∠EMB≠∠END ．
新知讲解
回忆一下，我们学过哪些真命题？
（1）两点确定一条直线； （2）两点之间，线段最短； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条 直线平行.