安徽省滁州市九年级数学上学期期中试卷(含解析) 新人

2016-2017学年安徽省滁州市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：每小题4分，共40分
1．二次函数y=3x2﹣4的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（）A．抛物线开口向下B．抛物线经过点（3，4）
C．抛物线的对称轴是直线x=1 D．抛物线与x轴有两个交点
2．一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x之间的关系为y=ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第3.3s B．第4.3s C．第5.2s D．第4.6s
3．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）
A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷
C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人
D．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例
4．如图，在平面直角坐标中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数
y=的图象上，则k的值为（）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
5．如果x：y=2：3，则下列各式不成立的是（）
A．B．C．D．
6．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长是（）
A．3 B．4 C．4 D．2
7．下列命题错误的是（）
A．相似三角形周长之比等于对应高之比
B．两个等腰直角三角形一定相似
C．各有一个角等于91°的两个等腰三角形相似
D．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
8．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则反比例函数与一次函数y=bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（）
A．B．C．D．
10．如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）
A．B．
C．D．
二、填空题：每小题5分，共20分
11．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地，当他按照原路返回时，汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系式是．
12．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，
OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，
再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形A n OC n B n的对角线交点的坐标为．
14．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x 轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是．
三、每小题8分，共16分
15．如果二次函数y=x2﹣x+c的图象过点（1，2），求这个二次函数的解析式，并求出该函数图象的顶点坐标．
16．如图，在△PAB中，∠APB=120°，M，N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，求证：BM•PA=PN•BP．
四、每小题8分，共16分
17．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，AD⊥BC，BC=3cm，AD=2cm，EF=EH，求EH的长．
18．下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值：
（1）请在表内的空格中填入适当的数；
（2）设y=x2+bx+c，则当x取何值时，y＞0；
（3）请说明经过怎样平移函数y=x2+bx+c的图象得到函数y=x2的图象？
五、20分
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）若∠ABD=45°，AC=3时，求BF的长．
20．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm，花园的面积为S．（1）求S与x之间的函数表达式；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．
六、12分
21．如图，已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B （m，﹣2）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
（3）连接OA、OB，求△AOB的面积．
七、12分
22．如图，矩形ABCD中AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从D以1cm/秒的速度移动，若P、Q同时出发，用t表示移动时间（0≤t≤6），求当t何值时，△APQ与△ABC相似？
八、14分
23．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C （0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．
（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B 和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．
2016-2017学年安徽省滁州市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题4分，共40分
1．二次函数y=3x2﹣4的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（）A．抛物线开口向下B．抛物线经过点（3，4）
C．抛物线的对称轴是直线x=1 D．抛物线与x轴有两个交点
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断；利用方程2x2﹣3=0解的情况对D进行判断．
【解答】解：A、a=3，则抛物线y=3x2﹣4的开口向上，所以A选项错误；
B、当x=3时，y=3×9﹣4=23，则抛物线不经过点（3，4），所以B选项错误；
C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；
D、当y=0时，3x2﹣4=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确．
故选D．
2．一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x之间的关系为y=ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第3.3s B．第4.3s C．第5.2s D．第4.6s
【考点】二次函数的应用．
【分析】由炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等可知这两点关于对称轴对称，故此可求得求得抛物线的对称轴．
【解答】解：∵炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴方程为x=4.5．
∵4.6s最接近4.5s，
∴当4.6s时，炮弹的高度最高．
故选：D．
3．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：
人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）
A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷
C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人
D．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例
【考点】反比例函数的应用．
【分析】人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，根据反比例函数的性质可推出A，D错误，
再根据函数解析式求出自变量的值与函数值，有可判定C，B．
【解答】解：如图所示，人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，
∴y随x的增大而减小，
∴A，D错误，
设y=（k＞0，x＞0），把x=50时，y=1代入得：k=50，
∴y=，
把y=2代入上式得：x=25，
∴C错误，
把x=50代入上式得：y=1，
∴B正确，
故答案为：B．
4．如图，在平面直角坐标中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数
y=的图象上，则k的值为（）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
【考点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质．
【分析】连接AC交OB于点D，根据菱形的性质可得出S OCD=×12=3，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出k值，由点C在第二象限，即可确定k的值．
【解答】解：连接AC交OB于点D，如图所示．
∵四边形OABC为菱形，
∴AC⊥OB，
∵菱形OABC的面积为12，
∴S OCD=×12=3．
∵点C在反比例函数y=的图象上，CD⊥y轴，
∴S OCD=|k|=3，
解得：k=±6．
∵点C在第二象限，
∴k=﹣6．
故选D．
5．如果x：y=2：3，则下列各式不成立的是（）
A．B．C．D．
【考点】比例的性质．
【分析】根据比例的基本性质，可分别设出x和y，分别代入各选项进行计算即可得出结果．【解答】解：可设x=2k，y=3k．通过代入计算，
进行约分，A，B，C都正确；
D不能实现约分，故错误．
故选D．
6．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长是（）
A．3 B．4 C．4 D．2
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ACD∽△BCA，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵AD是中线，BC=8，
∴CD=BC=4，
∵∠B=∠DAC，∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴=，即=，
解得，AC=4，
故选：B．
7．下列命题错误的是（）
A．相似三角形周长之比等于对应高之比
B．两个等腰直角三角形一定相似
C．各有一个角等于91°的两个等腰三角形相似
D．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
【考点】命题与定理．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答
案．
【解答】A．相似三角形周长之比等于对应高之比，正确，
B．两个等腰直角三角形一定相似，正确，
C．各有一个角等于91°的两个等腰三角形相似，正确，
D．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故原命题错误；
故选：D．
8．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到
=， ==，结合图形得到=，得到答案．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，
∴=，
∵DE∥AC，
∴==，
∴=，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
故选：B．
9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则反比例函数与一次函数y=bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（）
A．B．C．D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象．
【分析】根据二次函数的图象找出a、b、c的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论．
【解答】解：观察二次函数图象可知：
开口向上，a＞0；对称轴大于0，﹣＞0，b＜0；二次函数图象与y轴交点在y轴的正半轴，c＞0．
∵反比例函数中k=﹣a＜0，
∴反比例函数图象在第二、四象限内；
∵一次函数y=bx﹣c中，b＜0，﹣c＜0，
∴一次函数图象经过第二、三、四象限．
故选C．
10．如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）
A．B．
C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可证得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC是正三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP，∠APD=60°，
∴∠BPD=∠CAP，
∴△BPD∽△CAP，
∴BP：AC=BD：PC，
∵正△ABC的边长为4，BP=x，BD=y，
∴x：4=y：（4﹣x），
∴y=﹣x2+x．
故选C．
二、填空题：每小题5分，共20分
11．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地，当
他按照原路返回时，汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系式是v=．【考点】待定系数法求反比例函数解析式．
【分析】先求得路程，再由等量关系“速度=路程÷时间”列出关系式即可．
【解答】解：∵一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了4小时到达乙地，那么路程为80×4=320千米，
∴汽车的速度v（千米/小时）与时间t（小时）的函数关系为v=．
故答案为v=．
12．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】利用平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴===．
故答案为．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，
OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，
再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩
形A n OC n B n的对角线交点的坐标为（﹣，）．
【考点】位似变换；坐标与图形性质；矩形的性质．
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得B n的坐标，然后根据矩形的性质即可求得对角线交点的坐标．
【解答】解：∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，
∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，
∵OA=2，OC=1．
∵点B的坐标为（﹣2，1），
∴点B1的坐标为（﹣2×，1×），
∵将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，
∴B2（﹣2××，1××），
∴B n（﹣2×，1×），
∵矩形A n OC n B n的对角线交点（﹣2××，1××），即（﹣，），
故答案为：（﹣，）．
14．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x 轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是①③⑤．
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【分析】利用对称轴是直线x=1判定①；利用开口方向，对称轴与y轴的交点判定a、b、c 得出②；利用顶点坐标和平移的规律判定③；利用对称轴和二次函数的对称性判定④；利用图象直接判定⑤即可．
【解答】解：∵对称轴x=﹣=1，
∴2a+b=0，①正确；
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，②错误；
∵把抛物线y=ax2+bx+c向下平移3个单位，得到y=ax2+bx+c﹣3，
∴顶点坐标A（1，3）变为（1，0），抛物线与x轴相切，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，③正确；
∵对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点是（4，0），
∴与x轴的另一个交点是（﹣2，0），④错误；
∵当1＜x＜4时，由图象可知y2＜y1，
∴⑤正确．
正确的有①③⑤．
故答案为：①③⑤．
三、每小题8分，共16分
15．如果二次函数y=x2﹣x+c的图象过点（1，2），求这个二次函数的解析式，并求出该函数图象的顶点坐标．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】将已知点坐标代入二次函数解析式求出c的值可求出这个二次函数的解析式；将解析式利用配方法写成顶点式，即可确定出顶点坐标．
【解答】解：将x=1，y=2代入y=x2﹣x+c得：2=1﹣1+c，即c=2，
则二次函数解析式为y=x2﹣x+2；
∵y=x2﹣x+2=（x﹣）2+，
∴抛物线顶点坐标为（，）．
16．如图，在△PAB中，∠APB=120°，M，N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，求证：BM•PA=PN•BP．
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】根据所证的条件分析，本题需要证明△BMP∽△PNA求解；通过证明∠B=∠APN，∠BPM=∠A，即可得出△BMP和△PNA相似．解题时要注意选择适宜的判定定理．
【解答】证明：∵△PMN为等边三角形，
∴∠PMN=∠PNM=∠MPN=60°，
∴∠BMP=∠PNA=120°．
∵∠BPA=120°，
∴∠BPM+∠APN=60°．
在△BMP中，∠B+∠BPM=60°，
∴∠B=∠NPA，
∴△BMP∽△PNA，
∴，
∴BM•PA=PN•BP．
四、每小题8分，共16分
17．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，AD⊥BC，BC=3cm，AD=2cm，EF=EH，求EH的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】根据矩形的性质得到EH∥BC，得到△AEH∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC，AM⊥EH，
∴=，即=，
解得，EH=cm．
18．下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值：
（1）请在表内的空格中填入适当的数；
（2）设y=x2+bx+c，则当x取何值时，y＞0；
（3）请说明经过怎样平移函数y=x2+bx+c的图象得到函数y=x2的图象？
【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）．【分析】根据与x轴的交点坐标得到什么时候y＞0．讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．
【解答】解：（1）这个代数式属于二次函数．当x=0，y=3；x=4时，y=3．
说明此函数的对称轴为x=（0+4）÷2=2．那么﹣=﹣=2，b=﹣4，经过（0，3），
∴c=3，二次函数解析式为y=x2﹣4x+3，
当x=1时，y=0；
当x=3时，y=0．（每空2分）
（2）由（1）可得二次函数与x轴的交点坐标，由于本函数开口向上，
可根据与x轴的交点来判断什么时候y＞0．
当x＜1或x＞3时，y＞0．
（3）由（1）得y=x2﹣4x+3，即y=（x﹣2）2﹣1．
将抛物线y=x2﹣4x+3先向左平移2个单位，再向上平移1个单位即得抛物线y=x2．
五、20分
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）若∠ABD=45°，AC=3时，求BF的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）只要证明∠DBF=∠DAC，即可判断．
（2）利用相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，∵AD⊥BC，BE⊥AC
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°
∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°
∴∠DBF=∠DAC
∴△ACD∽△BFD；
（2）解：如图，∵∠ABD=45°，∠ADB=90°，
∴AD=BD，
∴=1，
∵△ACD∽△BFD，AC=3，
∴=1，
∴BF=AC=3．
20．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm，花园的面积为S．（1）求S与x之间的函数表达式；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据长方形的面积公式可得S关于x的函数解析式；
（2）由树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m求出x的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）∵AB=xm，
∴BC=（28﹣x）m．
则S=AB•BC=x（28﹣x）=﹣x2+28x．
即S=﹣x2+28x（0＜x＜28）．
（2）由题意可知，，
解得6≤x≤13．
由（1）知，S=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196．
∵当6≤x≤13时，S随x的增大而增大，
∴当x=13时，S最大值=195，
即花园面积的最大值为195m2．
六、12分
21．如图，已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B （m，﹣2）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
（3）连接OA、OB，求△AOB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式，把B的坐标代入反比例函数解析式求得B的坐标，然后利用待定系数求得一次函数解析式；
（2）利用函数图象，求y1＞y2时自变量x的取值范围，就是求反比例函数图象在上边时对应的x的范围；
（3）求得AB与y轴的交点，然后利用三角形的面积公式求解．
【解答】解：（1）把（1，4）代入y1=，得k=4，
则反比例函数的解析式是y1=；
把y=﹣2代入y=得x=﹣2，则B的坐标是（﹣2，﹣2）．
根据题意得，
解得，
则一次函数的解析式是y=2x+2；
（2）y1＞y2时自变量x的取值范围是x＜﹣2或x＞1；
（3）在y=2x+2中，令x=0，解得y=2，
则AB与y轴的交点C的坐标是（0，2），
则S△AOB=×2×1+×2×2=3．
七、12分
22．如图，矩形ABCD中AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从D以1cm/秒的速度移动，若P、Q同时出发，用t表示移动时间（0≤t≤6），求当t何值时，△APQ与△ABC相似？
【考点】相似三角形的判定；矩形的性质．
【分析】由矩形的性质和SAS证出△ABD≌△BAC，若△APQ与△ABC相似，则△APQ与△ABD
相似；分两种情况：①当时；②当时；分别得出t的方程，解方程即可．【解答】解：由题意得：AP=2tcm，DQ=tcm，则AQ=（6﹣t）cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，
在△ABD和△BAC中，
，
∴△ABD≌△BAC（SAS），
若△APQ与△ABC相似，则△APQ与△ABD相似；
分两种情况：
①当时，
即，
解得：t=3；
②当时，
即，
解得：t=．
综上所述：当t=3或t=时，△APQ与△ABC相似．
八、14分
23．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C （0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．
（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B 和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）连接BC，则△ABC的面积是不变的，过P作PM∥y轴，交BC于点M，设出P点坐标，可表示出PM的长，可知当PM取最大值时△PBC的面积最大，利用二次函数的性质可求得P 点的坐标及四边形ABPC的最大面积；
（3）设直线m与y轴交于点N，交直线l于点G，由于∠AGP=∠GNC+∠GCN，所以当△AGB 和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB=90°，则可证得△AOC≌△NOB，可求得ON的长，可求出N点坐标，利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式．
【解答】解：
（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，连接BC，过P作y轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，
在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，
∴A点坐标为（﹣1，0），
∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，
∴S△ABC=AB•OC=×4×3=6，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC解析式为y=x﹣3，
设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则M点坐标为（x，x﹣3），
∵P点在第四限，
∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，
∴S△PBC=PM•OH+PM•HB=PM•（OH+HB）=PM•OB=PM，
∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，
∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，
∴当x=时，PM max=，则S△PBC=×=，
此时P点坐标为（，﹣），S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=，
即当P点坐标为（，﹣）时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为；（3）①当点Q在x轴下方时，如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，
则∠AGB=∠GNC+∠GCN，
当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB，
又∠AGB+∠CGB=180°，
∴∠AGB=∠CGB=90°，
∴∠ACO=∠OBN，
在Rt△AOC和Rt△NOB中
∴Rt△AOC≌Rt△NOB（ASA），
∴ON=OA=1，
∴N点坐标为（0，﹣1），
设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得，解得，∴直线m解析式为y=x﹣1；
②当点Q在x轴上方时，此时直线m与①中的直线m关于x轴对称，
∴解析式为y=﹣x+1；
综上可知存在满足条件的直线m，其解析式为y=x﹣1或y=﹣x+1．。