二项式定理的推导课件2

【例 1】
(1)求3
x＋ 1x4的展开式；
(2)求值 C1n＋3C2n＋9C3n＋…＋3n－1Cnn．
[思路点拨] (1)直接利用二项式定理展开，也可以先化简再展 开；(2)先化成二项展开式的形式，然后逆用二项式定理求解．
[解]
(1)法一：3
x＋ 1x4＝(3
x)4＋C14(3
x)3 1x＋C24(3
【例 2】 (1)求 n；
3 已知在
x－ 1 3
2
n
的展开式中，第 x
6
项为常数项．
(2)求含 x2 的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
[思路点拨] 利用展开式中的通项公式求出当 x 的次数为 0 时 n 的值，再求解(2)(3)问．
[解] (1)由通项公式知，展开式中第 k＋1 项为
2．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
[解] 原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x －1)＋C55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1．
类型 2 利用通项公式求二项展开式中的特定项
求二项展开式中的特定项
2．相关概念 (1)公式右边的多项式叫作(a＋b)n 的二项展开式； (2)各项的系数 Ckn(k∈{0，1，2，…，n})叫作二项式系数； (3)展开式中的__C__kna_n_－_kb_k___叫作二项式通项，记作_T_k_＋_1__，它表 示展开式的第_k_＋__1项； (4)在二项式定理中，如果设 a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝ _C__0n＋__C__1nx_＋__C_2n_x_2_＋_…__＋__C__knx_k_＋__…__＋__C_nn_x_n ____．
1．求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和 的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项， 最后进行合并即可．
2．求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特 定项，再合并，通常要用到方程或不等式的知识求解．
3．三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式， 然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解； (2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类 考虑特定项产生的所有可能情形．
求二项展开式中特定项的系数
【例 3】 (1)(多项式是积的形式)(1＋2x2)(1＋x)4 的展开式中 x3
的系数为( )
A．12
B．16
C．20
D．24
(2)(多项式是和的形式)已知(1＋ax)3＋(1－x)5 的展开式中含 x3 的
系数为－2，则 a 等于( )
A．2 3
B．2
C．－2
D．－1
1．我们知道(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝ a2＋2ab＋b2．如何用组合知识来解释 a2，ab，b2 的系数．
2．仿照上述过程，你认为(a＋b)3，(a＋b)4 的展开式是什么？
1．二项式定理 公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)叫 作二项式定理．
Tk
＋
1
＝
C
k n
3
·(
x
)n
－
k·－231
x
k
＝
C
k n
1
·x3
n－k
·－12·x－31
k
＝
－12
k
·C
k n
n－2k
x3．
∵第 6 项为常数项，∴k＝5，且 n－5×2＝0，
∴n＝10．
(2)由(1)知 Tk＋1＝－12k·Ck10·x10－3 2k．令10－3 2k＝2，则 k＝2． ∴x2 的系数为－122·C210＝14 ×45＝445．
(3)法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含 y2 的项为 T3＝C25(x2＋x)3·y2．其中(x2＋x)3 中含 x5 的项为 C13x4·x ＝C13x5． 所以 x5y2 的系数为 C25C13＝30． 法二：(x2＋x＋y)5 表示 5 个 x2＋x＋y 之积． ∴x5y2 可从其中 5 个因式中，两个取因式中 x2，剩余的 3 个因式 中 1 个取 x，其余因式取 y，因此 x5y2 的系数为 C25C13C22＝30．]
(1＋2x)n 的二项展开式是什么？其第 5 项的二项式系数和 第 5 项的系数各是什么？
[提示] (1＋2x)n＝C0n＋C1n2x＋C2n(2x)2＋C3n(2x)3＋…＋Cnn(2x)n． 其第 5 项的二项式系数为 C4n，第 5 项的系数为 C4n·24＝16C4n．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(3)(三项展开式问题)(x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 的系数为( )
A．10
B．20
C．30
D．60
(1)A (2)B (3)C [(1)展开式中含 x3 的项可以由“1 与 x3”和 “2x2 与 x”的乘积组成，则 x3 的系数为 1×C34＋2C14＝12．
(2)(1＋ax)3＋(1－x)5 的展开式中 x3 的系数为 C33a3＋C35(－1)3＝a3 －10＝－2，则 a3＝8，解得 a＝2．
(3)当 Tk＋1 为有理项时，10－3 2k为整数，0≤k≤10，且 k∈N*． 令10－3 2k＝z，则 k＝5－32z，因为 z 为偶数，从而求得当 z＝2，0， －2 时，k＝2，5，8 符合条件． ∴有理项为 T3＝C210·－122x2＝445x2，T6＝C510－125＝－683，T9＝C810 －128x－2＝24556x－2．
整除性问题或求余数的处理方法 (1)构造一个与题目条件有关的二项式； (2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数(或与除 数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开， 只需考虑后面(或者是前面)一、两项就可以了；
(3)要注意余数的范围，若 a＝cr＋b，其中 b 为余数，b∈[0，r)， r 是除数．利用二项式定理展开、变形后，若剩余部分是负数，则要 注意转化．
(2)由二项式定理可得，展开式中含 x3y3 的项为 x·C35(2x)2(－y)3＋
y·C25(2x)3(－y)2＝40x3y3，则 x3y3 的系数为 40．
(3)(1－3
x)7＋
x＋ ax6的展开式中 x2 的系数为 C67(－3 x)6＋C16
(
x)5
ax1＝C67x2＋C16x2a，则
第五章 计数原理
§4 二项式定理 4.1 二项式定理的推导
学习任务
核心素养
1．能用计数原理证明二项式定 1． 借助二项式定理的证明，
理．(难点) 培养逻辑推理素养．
2．会用二项式定理解决与二项展 2．通过二项式定理的应用，
开式有关的简单问题．(重点、难 提升数学运算素养．
点)
情境导学·探新知
新知初探 初试身手
法二：2x－23x25＝4x332－x130 5 ＝321x10[C05(4x3)5＋C15(4x3)4(－3)＋C25(4x3)3(－3)2＋C35(4x3)2(－3)3＋ C45(4x3)(－3)4＋C55(－3)5] ＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310．
aC16＋C67＝19，解得
a＝2．]
类型 3 利用二项式定理解决整除问题 【例 4】 求证：32n＋2－8n－9(n∈N＋)能被 64 整除． [思路点拨] 可将 32n＋2 写成(8＋1)n＋1，然后利用二项式定理展 开．
[解] 32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9 ＝C0n＋18n＋1＋C1n＋18n＋…＋Cnn－＋11·82＋Cnn＋1·8＋Cnn＋ ＋11－8n－9 ＝C0n＋18n＋1＋C1n＋18n＋…＋Cnn－＋11·82＋8(n＋1)＋1－8n－9 ＝C0n＋18n＋1＋C1n＋18n＋…＋Cnn－＋1182， 该式每一项都含因式 82，故能被 64 整除．
[跟进训练]
4． (1)已知(1＋x)x＋x12n (n∈N＋，n＜10)的展开式中没有常数
项，则 n 的最大值是( )
A．6
B5 的展开式中 x3y3 的系数为________．
(3)在(1－3
x)7＋
x＋ ax6的展开式中，若 x2 的系数为 19，则 a
求二项展开式的特定项问题，一般需要建立方程求 k，再将 k 的 值代回通项求解，注意 k 的取值范围k＝0，1，2，…，n.
1第 m 项：此时 k＋1＝m，直接代入通项； 2常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指 数为 0 建立方程； 3有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.,特定项 的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.
(2)原式＝13(3C1n＋32C2n＋33C3n＋…＋3nCnn) ＝13(C0n ×1n＋C1n ×1n－1×31＋C2n ×1n－2×32＋…＋Cnn3n－1) ＝13[(1＋3)n－1]＝4n－3 1．
1．(a＋b)n 的二项展开式有 n＋1 项，是和的形式，各项的幂指 数规律是：
(1)各项的次数都等于 n； (2)字母 a 按降幂排列，从第一项起，次数由 n 逐项减 1 直到 0； 字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由 0 逐项加 1 直到 n． 2．逆用二项式定理，可以化简多项式，体现的是整体思想．注 意分析已知多项式的特点，向二项展开式的特点靠拢．
＝________．
(1)B (2)40 (3)2 [(1)∵(1＋x)x＋x12n (n∈N＋，n＜10)的展开 式中没有常数项，∴x＋x12n的展开式中没有 x－1 项和常数项．∵x＋x12 n 的展开式的通项为 Tr＋1＝Cnr·xn－3r，故 n－3r≠0，且 n－3r≠－1，即 n≠3r，且 n≠3r－1，∴n≠3，6，9，且 n≠2，5，8，故 n 的最大值 为 7，故选 B．
x)2
1 2 x
＋C34(3
x)
1x3＋C44
1x4＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12．
法二：3
x＋ 1x4＝3x＋x 14＝x12(1＋3x)4
＝x12[1＋C143x＋C24(3x)2＋C34(3x)3＋C44(3x)4]
＝x12(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)
＝x12＋1x2＋54＋108x＋81x2．
(1)Cknan－kbk 是二项展开式的第 k 项．
()
(2)(a＋b)n 的展开式中任一项的二项式系数与 a，b 均无关．
(3)(a＋b)n 的展开式中共 n 项．
() ()
(4)(2a－3b)n 某项的系数是该项的数字因数，与该项的二项式系
数不同． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
()
1234
2．二项式(a＋b)2n 的展开式的项数是( )
A．2n
B．2n＋1
C．2n－1
D．2(n＋1)
B [展开式的项数比二项式的指数大 1，故选 B．]
1234
3．代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1 可化简为 ________．
x4 [(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C04(x＋1)4＋C14(x ＋1)3(－1)1＋C24(x＋1)2(－1)2＋C34(x＋1)·(－1)3＋C44(－1)4＝[(x＋1)－ 1]4＝x4．]
[跟进训练]
3．求二项式x2＋2
1
x10的展开式中的常数项．
[解] 设第 r＋1 项为常数项，则
Tr＋1＝Cr10·(x2)10－r2
1
xr＝C1r0·x20－52r·12r
(r＝0，1，2，…，10)．
令 20－52r＝0，得 r＝8．所以 T9＝C810·128＝24556．
故第 9 项为常数项，其值为24556．
1234
4．求2x－81x38的展开式中的常数项．
[解] 2x－81x38的通项为 Tr＋1＝Cr8(2x)8－r·－81x3r＝Cr828－r－18r·x8－4r． 令 8－4r＝0，得 r＝2， ∴常数项为 T3＝C2826－182＝28．
1234
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 二项式定理的正用与逆用
[跟进训练]
1．求2x－23x25的展开式．
[解] 法一：2x－23x25＝C05(2x)5＋C15(2x)4－23x2＋C25(2x)3－23x22
＋
C35
(2x)2
－23x2
3
＋C
4 5
(2x)
－23x2
4
＋
C55
－23x2
5
＝32x5－
120x2＋18x0
－
1x345＋480x57 －3224x310．