数学学习与解决问题 汪纯中

数学学习与解决问题 汪纯中一、解决问题概述二、解决问题的基本过程 三、课改为解决问题搭建平台一、解决问题概述1、备受关注的解决问题“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题” 具体要求包括：（1）逐步学会从数学的角度提出问题，理解问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题； （2）形成解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神； （3）“高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展‘数学建模’的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程。

高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力”“根据以学生发展为本的观念，新的课程体系必须正确处理教材、老师、学生三者关系，要坚持加强基础，要特别重视发挥学生主体在认识活动中的主动和能动作用，重视由此导致地从问题出发、设计以解决问题的活动为基础的数学认识过程。

” 2、问题的含义问题就是日常的练习，解决问题就是算法的操练。

问题是非常规的问题，要求学生通过探索，解决问题。

问题是一种状态，这种状态要求人们去完成一个任务，而对于这个任务，由他们的经验，没有一个现成的可供使用的完成任务的策略。

因此，解决问题中的问题，主要指非常规问题。

比较教材中的问题，主要是常规的问题，所以我们把其称之为练习。

大部分是一种模仿、操练为主。

练习与解决问题的特征比较一个问题是不是问题，要看对象及其背景。

3、问题应具备的基本条件——接受性、障碍性、探究性接受性：学生愿意接受这个问题，并且具备了解决这个问题所必须具备的知识、技能与能力。

（学生要感兴趣）障碍性：学生对解答问题的最初尝试往往以失败而告终。

探索性：学生需要对失败的尝试进行反思，重新进行探索，并排除思维定势，寻找新的解决问题的方案。

例1：某工程由甲、乙两队承包，522天可以完成，需支付1800元；由乙、丙两队承包，433天可以完成，需支付1500元；由甲、丙两队承包，天762可以完成，需支付1600元，在保证一个星期内完成这项工程的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？例2、有关买盐问题：甲每次买1元，乙每次买1斤，哪个更合算？ 解：设每次价格分别为a 元/斤，b 元/斤，c 元/斤则甲：cb a 1113++，而乙：3cb a ++即比较)111)((cb ac b a ++++与9之间的大小关系 方法一：基本不等式（两个） 方法二：基本不等式（三个） 方法三：柯西不等式（先平方）例3：有关电动洗衣机每次漂洗的水量相同的问题解：设洗涤并甩干后衣服中残留脏物（不含水分）量为0y ，设第),2,1( =i i 次漂洗时用水量为i x ，漂洗并甩干后衣服上的残留脏物（不含水分）量为i y ，再设洗衣漂洗时总用水量为a （常数） 另设每次漂洗并甩干后衣服中的残留水分（含残留脏物）的重量为m （常数） 由百分比浓度mx y x m m y y m yx m y 101011101+=+=⇒=+ 同理：)1)(1(210212221mx m x y x m m y y m y x m y ++=+=⇒=+……)1()1)(1(210mx m xm x y y n n+++=n n n mna n m an mx m xm x )1()()1()1)(1(21+=+≤+++常数，当且仅当nx x x === 21取等号当n 增大时，n y 减小，即证nmna n f )1()(+=单调增 11))1(1()11()1()1)(1(1)1(++++=+++<+++⋅=+n n n n m a n m n nan m nam n a m n a m n a即)1()(+<n f n f例4、平面上的n 个圆最多能将平面分成多少个区域？ 解：1=n 时，21=a2=n 时，要分情况有相离、相切、相交、内含，最多有42=a 3=n 时，同样分情况，最多是三个圆两两相交且没有共点，83=a猜想：n n a 2=检验：当4=n 时，得144=a 不符合，从而说明猜想错误，这时就要寻求新的途径找递推关系：添上第1+n 个圆，与前n 个圆相交，且没有公共点，被分割成n 2段弧，即增加了n 2个部分，即n a a n n 21+=+，由累加法，得22+-=n n a n例5、已知抛物线)2(2p x p y +=，圆O ：)0(222，且为常数>=+p p y x ，ABC ∆三个顶点在抛物线上，求证：若直线AC AB ，与圆O 相切，则直线BC 与圆O 也相切此题为83年的高考题，解略例6、有一个6×6的方格中，去掉左上角和右下角的各一个方格，用17个21⨯的方格能把其盖住吗？17个黑色，而实际要用到18个黑色，所以不可能二、解决问题的基本过程 1、几种模式奥苏贝尔——四阶段模式 第一阶段：呈现问题情景命题第二阶段：明确问题最终目标与已知条件（最好能建立联系，缩小差距） 第三阶段：填补空隙过程 第四阶段：解答之后的检验杜威——五步模式 第一步：产生困惑第二步：尝试从情景中识别出问题第三步：将问题情景中命题与已有的认知结构联系起来 第四步：将假设作检验第五步：将成功的答案组合到认知结构中 波利亚——“怎样解决问题”表求物体的重心？一维空间：一条线段的重心即线段的中点（物理上的重心：线段上的质点有质量，如天平） 两维空间：三角形的重心即三中线的交点（物理上的重心？）（ABC ∆的边BC 的重心为其中点D ，是2个单位质量，而A 是1个单位质量，所以重心在线段AD 的三等分点，12=DG AG ）数学上证明其三线共点 由此推广到三维空间：四面体的重心，先找到底面BCD ∆的重心G ，是3个单位质量，而A 是1个单位质量，所以四面体的重心为线段AG 的四等分点，13=EG AE ）2、解决问题与数学思考 （1）特殊化与一般化特殊化——考虑特殊情况，取特殊值，简化问题、作图作表格等（即一种技巧）小学：三角形的内角和为180度。

可以任意画一个三角形，并量其角度，得结论。

当然也可以剪开，拼成一个平角。

例1、证明：长为l 4的封闭曲线L ，一定可以用一个半径为l 的圆把它覆盖住，并且该圆是所有能覆盖曲线的圆中的最小一个圆。

特殊：曲线本身是圆，则由l r 42=π，得l l r <=π2，当然能盖住。

曲线是平行四边形，其对称中心为对角线的交点，l AD AB BD 2=+<只需证：l AC l A O <⇒<212 对于任意的曲线呢？找到曲线上最远的两点B A ,，则l AB 2≤，找到其的中点O ，再找曲线上的点C ，D ，无法得到所要证明的结论 另找其他方法：将曲线分成两相等长度的两段曲弧l BDA ACB 2~~~~~~~~~~~==O 为线段AB 的中点，M 为曲线上的任意一点，则l AMB MB ACM MB MA OM ==+≤+≤~~~~~~~~~~~~~~~~~~21)(21)(21例2、函数f 定义在整数集上，且满足⎩⎨⎧<+≥-=)1000()]5([)1000(3)(n n f f n n n f ， 求)100()2()1(f f f +++解：997)1000(=f ； 998)1001()]1004([)999(===f f f f ； 997)1000()]1003([)998(===f f f f ； 998)999()]1002([)997(===f f f f ；猜想：当*,10001N n n ∈≤≤时，⎩⎨⎧=是奇数是偶数n n n f 998997)(证明（用数学归纳法证明）①当997,998,999,1000=n 时，命题成立 ②假设当k n =与1+=k n 时，命题成立12-=-=⇒k n k n 与时命题成立A DCB P15S1 ABCD E F 2030 S2 20 例3、设d c b a ,,,是四个正实数，且其中有两个小于1 求证：d c b a d c b a ---->----1)1)(1)(1)(1( （1）1,0<<b a 时，需证b a b a -->--1)1)(1( 证：)0,(11)1)(1(>-->+--=--b a b a ab b a b a（2）0,,>c b a 且1,<c b0,>b a ∴由（1）知b a b a -->--1)1)(1( 又1<c ，则01>-c)0,,(1)(1)1)(1()1)(1)(1(>--->++---=--->---∴c b a c b a b a c c b a c b a c b a （3）原命题1,<d c由（2）得c b a c b a --->---∴1)1)(1)(1(又1<dd c b a c b a d d c b a d c b a d c b a ---->+++----=---->----1)(1)1)(1()1)(1)(1)(1(例4、任意一圆和x y sin =的图象相交的交点（A ）至多2点 （B ）至多4点 （C ）至多6点 （D ）可以多于6答案：D （圆心离x 轴远点，半径无限大）一般化——建立模型、符号化、逆推、反证、推广等模型：在一个边长为a 的正方形中剪出两个尽量大的两圆（可用函数的观点）)(),(22r R r R f +=π而)(r g R =例：在1990×1990的方格棋盘中，对每一个1×1方格染上红、白两种颜色中的一种，使得方格棋盘中心对称的两个1×1方格染上不同的颜色。

问：是否存在一种染法，能使方格棋盘中的每一行，每一列中红、白颜色的格子数相等。

符号法：记红色格为1，白色格为－1的数字之和记为1A ，右上方的数将方格棋盘分成四等分，每一个方格为995×995，在左上方的每个小方格字之和记为2A ，左下方为3A ，右下方为4A ， 由题意知03241=+=+A A A A995为奇数，01≠∴A ，0,,432≠A A A 不妨设01>A 时，（1）00212>+⇒>A A A ，不合题意（2）0003132>+⇒>⇒<A A A A ，不合题意结论：不可能存在这样的染法 （2）猜测与验证四色猜想用计算机来解决 费马大定理也彻底解决了 书上有的，不属于探究的范畴例：矩形ABCD 中，P 是其内部或其边界上的点，则PD PC PB PA ,,,有何关系？特例：点P 与A 重合时，发现222PD PB PC +=（其中0=PA ）点P 与点B 重合时，发现222PC PA PD +=（其中0=PB ）猜想：2222PD PB PC PA +=+并加以证明（可用解析法）3、解决问题的教学模式对数学课堂教学改革的启示公交车的座位设计问题：一边是一座，一边是两座，你会站在哪一边？站在两座旁边。