宁夏平罗中学2022-2023学年高二下学期第三次月考数学(理)试题(含解析)

nm
即 a2 1 ，b2 1 ， c 2 ，
n
m
1 所以
1
4，
nm
又离心率为 2
，即
4 1
4 ，
n
解得： n 1 ， m 1 ， 3
双曲线方程为： y2 x2 1， 3
渐近线方程为： y 1 x ，即 x 3y 0 ， 3
23
所以抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 d
故选 B．
点睛：本题考查回归直线过样本中心这一结论和平均数的计算，考查学生的运算能力，属容
易题．
6．D
【分析】根据独立重复试验的概率公式即可得解.
【详解】抽奖一次中奖的概率是 90%，
根据独立重复试验概率公式可得：
5 个人各抽奖一次恰有 3 人中奖的概率为 C35 0.93 0.12 . 故选：D. 7．A
x2 y2 ，二是利用性质
2 a
a
，
结合向量数量积求解. 5．B
答案第 1 页，共 12 页
【详解】分析：根据表中数据求得样本中心 (x, y) ，代入回归方程 yˆ 7x aˆ 后求得 aˆ ，然后
再求当 x 10 的函数值即可．
详解：由题意得 x 1 (2 4 5 6 8) 5, y 1 (30 40 50 60 70) 50 ，
能打后卫（出场阵容为 3 名前锋，2 名后卫），则出场阵容共有
种.
三、解答题
试卷第 2 页，共 4 页
17．在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，且满足 cos A 2 5 ， 25
AB AC 3 ． （Ⅰ）求 ABC 的面积； （Ⅱ）若 b c 6 ，求 a 的值．
知识竞答活动,要求每位参赛选手从 4 道“生态环保题”和 2 道“智慧生活题”中任选 3 道作 答 ( 每道题被选中的概率相等 ) ,设随机变量 X 表示某选手所选 3 道题中“智慧生活题”的
个数．
(1)求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率；
(2)求随机变量 X 的分布列及方差 D X ．
20．如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD ，底面 ABCD 是正方形， 且 PA PD ， APD 90 .
2
3，
1 3
故选：D. 11．A
答案第 3 页，共 12 页
【分析】根据函数的奇偶性求出 a 1，再根据导数的几何意义可求出结果.
【详解】因为 f (x) 是偶函数，所以 f (x) f (x) ，
即 ex
ae x
ex
ae( x)
，即 (a
1)(ex
1 ex
)
0
对任意实数都成立，
所以 a 1，
y
ax03
3x02
1
有三个
零点，则
y
2 a
0
即
a2
4
，解得
2
a
0
；
所以实数 a 的取值范围是 2, 0 0, 2
故选 A.
答案第 4 页，共 12 页
【点睛】本题考查方程的根与函数的零点，以及利用导函数研究函数的单调性，属于综合
体．
13． 2
【分析】先对函数求导，然后将 x π 代入 f x 中求解即可
宁夏平罗中学 2022-2023 学年高二下学期第三次月考数学 （理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 P x | x2 2x 3 ， Q x | 2 x 4，则 P Q
A．3, 4
B． 2,3
C．(- 1, 2)
D． 1,3
2．若复数
z
a
2i 2
在复平面内对应的点在直线
y
x
上，则
z
z
（
）
A．1
B． 2
C． 1
D． 2
3．若 x, y R ,则“ x 0 ”是“ xy 0 ”的（ ）
A．充分条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知向量
a
1,
12
【详解】由 f (x) cos(2x π ) ，得 f (x) 2sin(2x π ) ，
3
3
所以
f
π 12
2 sin
2 π 12
π 3
2 sin
π 2
2
，
故答案为： 2
14． 2x y 1 0
【详解】设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，弦 AB 所在直线方程为 y k(x 1) 1 ，则 x1 x2 2 ，
个“次不动点”，也称 f x 在区间 I 上存在“次不动点”.若函数 f x ax3 3x2 x 1 在 R
上存在三个“次不动点 x0 ”，则实数 a 的取值范围是
A． 2,0 0, 2 B． 2, 2
C． 1,0 0,1
D． 1,1
二、填空题
13．若
f
(x)
cos(2x
π) 3
，则
故选：C.
4．B
【分析】由向量垂直可得
a
b
0
，求得
x，及向量
b
的坐标表示，再利用向量加法的坐标
运算和向量模的坐标运算可求得模.
【详解】由
a
b
，可得
a
b
0
，代入坐标运算可得
x-4=0，解得
x=4,所以
a
b
5,0 ，
得
a
b
=5，选
B.
【点睛】求向量的模的方法：一是利用坐标 a x, y a
【分析】先分别将将“礼､义”捆绑一起，“智﹑信”捆绑一起，然后与“仁”一起全排，最后结
合分步计数原理即可求出结果. 【详解】先将“礼､义”捆绑一起全排有 A22 种，再将“智﹑信”捆绑一起全排有 A22 种，然后与“仁”
一起全排有 A33 种，结合分步计数原理可得共有 A22 A22 A33 24 种. 故选：A. 8．A 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设事件 A 为“王华拿到的两个青团子为同一种馅”，事件 AB 为“两个青团子都为肉
【详解】由题意得， P x | x 3 或 x 1 ，所以 P Q [3, 4) ，
故选：A.
2．B
【分析】根据复数的几何意义可得 a 2 ，进而可得 z 1 i ， z 1 i ，根据复数的乘法运算
求解即可.
【详解】因为
z
a
2i 2
a 2
i
，可知其在复平面内对应的点为
a 2
,
1 A．
4
3 B．
4
1 C．
10
3 D．
10
9．离散型随机变量 X 服从二项分布 X B n, p ，且 E X 4 ， D X 3，则 p 的值
为（ ）
A．
1 2
3 B．
4
1 C．
4
1 D．
8
10．设双曲线 mx2 ny2 1的一个焦点与抛物线 y 1 x2 的焦点相同，离心率为 2 .则抛物 8
额的预报值为 A．75 万元
B．85 万元
C．99 万元
D．105 万元
6．抽奖一次中奖的概率是 90% ，5 个人各抽奖一次恰有 3 人中奖的概率为（ ）
A． C35 0.92 0.13
B． 1 0.93 0.12
C．1 C35 0.93 0.12
D． C35 0.93 0.12
7．“仁､义，礼﹑智﹑信”为儒家“五常”，由孔子提出.现将“仁､义､礼､智､信”五个字排成
22．已知函数 f (x) x ln x ax 1 在 x e2 处取得极值．
(1)求 f (x) 的单调区间；
试卷第 3 页，共 4 页
(2)若 f (x) 2c2 c 在 x 1, e3 上恒成立，求实数 c 的取值范围． 试卷第 4 页，共 4 页
1．A
参考答案：
【分析】一元二次不等式的解法得到集合 P，再求交集即可
2
，
b
x,
2
，且
a
b
，则
a
b
等于（
）．
A． 5
B． 5
C． 4 2
D． 31
5．已知某种商品的广告费支出 x（单位：万元）与销售额 y（单位：万元）之间有如下
对应数据：
x2 4 5 6 8
y 30 40 50 60 70
根据上表可得回归方程 $y $bx $a ，计算得 b 7 ，则当投入 10 万元广告费时，销售
所以
E D
X X
np np
4
1
P
3
，解得
p
1 4
.
故选：C
10．D
【分析】根据焦点相同可整理得出双曲线方程及渐近线方程，进而得解.
【详解】由抛物线 y 1 x2 ，得 x2 8y ，焦点为 0, 2 ，在 y 轴上，
8
所以 mx2 ny2
y2 1，即 1
x2 1
1 ，焦点为 0, 2 ，
所以 f (x) ex ex ，
所以 f (x) ex ex ，
设切点的横坐标为 x0 ，
所以
f
(x0 )
e x0
e x0
3 2
，
设 ex0 t 0 ，
所以 t 1 3 ，解得 t 2 ， t 1 （舍），
t2
2
即 ex0 2 ，所以 x0 ln 2 .
故选：A 12．A
（Ⅰ）证明：平面 PAB 平面 PCD ； （Ⅱ）求二面角 A PB C 的余弦值.
21．已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左､右焦点分别为
F1 ，
F2 ，点 P 1,
2 2 在椭圆上，
且有 PF1 PF2 2 2 . （1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）过 F2 的直线 l 与椭圆交于 A､B 两点，求 AOB 面积的最大值.
5
5
∴样本中心为 (5,50) ．
∵回归直线 yˆ 7x aˆ 过样本中心 (5,50) ，
∴ 50 7 5 aˆ ，解得 aˆ 15 ， ∴回归直线方程为 yˆ 7x 15 ． 当 x 10 时， yˆ 7 10 15 85 ，
故当投入 10 万元广告费时，销售额的预报值为 85 万元．

π 12
的值为
．
14．已知抛物线 y2 4x 的一条弦 AB 恰好以 P 1,1 为中点，则弦 AB 所在直线方程
是
．
15．若
x
a x
2x
1 x
5
的展开式中各项系数的和为
2，则该展开式的常数项为
.
16．某篮球队友 12 名队员，有 6 名只打前锋，4 名只打后卫，甲､乙两人既能打前锋又
18．等比数列an 的各项均为正数，且 2a1 3a2 1, a32 9a2a6 .
（1）求数列an 的通项公式；
（2）设
bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列
1 bn
的前
n
项和
Tn
.
19．每年 9 月第三个公休日是全国科普日．某校为迎接 2023年全国科普日,组织了科普
答案第 2 页，共 12 页
馅”，则事件 A 包含的基本事件的个数为 n A =1 C32 =4 ，事件 AB 包含的基本事件的个数为
n AB
1，所以 P B
A
n AB n A
1 4
,
故选：A 9．C 【分析】利用二项分布的数学期望和方差公式求解即可.
【详解】因为二项分布 X B n, p ，
设
y
ax03
3x02
1 ，则
y
3ax2
6x
，由已知
a
0
，令
y
0
得
3ax2
6x
0 ，即
x
0
或
x
2 a
当
a
0
时，
x
,
0
2 a
,
，
y
0
；
x
0,
2 a
，
y
0
，要使
y
ax03
3x02
1
有三
个零点，则
y
2 a
0
即
a2
4
，解得 0
a
2
；
当
a<0
时，
x
,
2 a
0,
，
y
0
；
x
2 a
,
0
，
y
0
，要使
1
，
由题意可得
a 2
,
1
在直线
y
x
上，则
a 2
1
，即
a
2
，
则 z 1 i ， z 1 i ，所以 z z (1 i)(1 i) 2 .
故选：B．
3．C
【分析】根据充分不必要条件的定义判断即可．
【详解】当 x 0 时， xy 0 ，
当 xy 0 时， x 0 或 y 0 ，
所以“ x 0 ”是“ xy 0 ”的充分不必要条件.
线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．2
B． 2
C．3
D． 3
11．已知函数 f (x) ex aex 为偶函数，若曲线 y f (x) 的一条切线的斜率为 3 ，则切 2
点的横坐标等于
A． ln 2
B． 2 ln 2
C． 2
D． 2
12．设 I 是函数 y f x 的定义域，若存在 x0 I ，使 f x0 x0 ，则称 x0 是 f x 的一
一排﹐则“礼､义”相邻﹐且“智﹑信”相邻的排法种数为（ ）
A． 24
B． 32
C． 36
D． 48
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8．2023 年 4 月 5 日是我国的传统节日“清明节”.这天，王华的妈妈煮了五个青团子，其
中两个肉馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个青团子，若已知王华拿到的两个青团子为
同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为（ ）
【分析】由已知得 ax03 3x02 x0 1 x0 在 R 上有三个解．即函数 y ax03 3x02 1有三个零
点，求出 y 3ax2 6x ，利用导函数性质求解．
【详解】因为函数 f x ax3 3x2 x 1 在 R 上存在三个“次不动点 x0 ”，
所以 ax03 3x02 x0 1 x0 在 R 上有三个解，即 ax03 3x02 1 0 在 R 上有三个解，