2020-2021武汉市南湖中学初三数学上期中试卷带答案

2020-2021武汉市南湖中学初三数学上期中试卷带答案
一、选择题
1．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A ．随时打开电视机，正在播新闻
B ．优秀射击运动员射击一次，命中靶心
C ．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上
D ．长度分别是3cm ，5cm ，6cm 的三根木条首尾相接，组成一个三角形
2．若x 1是方程ax 2+2x+c ＝0(a≠0)的一个根，设M ＝(ax 1+1)2，N ＝2﹣ac ，则M 与N 的大小关系为( )
A ．M ＞N
B ．M ＝N
C ．M ＜N
D ．不能确定
3．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的一点，过点C 作⊙O 的切线，交直径AB 的延长线于点D ，若∠A =25°，则∠D 的度数是（ ）
A ．25°
B ．40°
C ．50°
D ．65° 4．抛物线y=﹣（x +2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是
（ ） A ．（﹣5，﹣3） B ．（﹣2，0） C ．（﹣1，﹣3） D ．（1，﹣3）
5．下列交通标志是中心对称图形的为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣10＝0时，下列变形正确的为( )
A ．(x+3)2＝1
B ．(x ﹣3)2＝1
C ．(x+3)2＝19
D ．(x ﹣3)2＝19 7．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ） A ．5x >
B ．5x <-
C ．3x ≥-
D ．3x ≤- 8．已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（ ）
A ．﹣1或3
B ．﹣3或1
C ．3
D ．1 9．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点．则k 的取值范围是( ) A ．k<4 B ．k≤4
C ．k<4且k≠3
D ．k≤4且k≠3 10．若关于x 的一元二次方程2(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范
围是（ ）
A ．12k >且k ≠1
B ．12k >
C ．12k ≥且k ≠1
D ．12
k < 11．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，60B ∠=，1BC =，''A B C 由ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点'A 与点A 、点'B 与点B 是对应点，连接'AB ，且A 、'B 、'A 在同一条直线上，则'AA 的长为（ ）
A ．3
B ．23
C ．4
D ． 43
12．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
二、填空题
13．如图，若以平行四边形一边AB 为直径的圆恰好与对边CD 相切于点D ，则∠C=_______度．
14．如图，五边形ABCD 内接于⊙O ，若AC=AD ，∠B+∠E=230°，则∠ACD 的度数是__________．
15．已知1x =是关于x 的方程2230ax x -+=的一个根，则a =__________．
16．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，
∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．
17．如图，从一个直径为1m 的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为_____m ．
18．如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于H ，30,23A CD ︒∠==，则⊙O 的
半径是_______．
19．如图，O 是ABC 的外接圆，30C ∠=，2AB cm =，则O 的半径为________cm ．
20．如图所示过原点的抛物线是二次函数22
31y ax ax a =-+-的图象，那么a 的值是_____．
三、解答题
21．已知关于x 的一元二次方程22
2(1)20x a x a a --+--=有两个不相等的实数根1x ，2x .
（1）若a 为正整数，求a 的值；
（2）若1x ，2x 满足221212-16x x x x +=，求a 的值.
22．如图，点C 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，且有BO=BD=BC ．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若半径OB=2，求AD的长．
23．甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．
（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；
（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．
24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝mx2+2mx+m﹣1（m≠0）与y轴交于点C，抛物线G的顶点为D，直线：y＝mx+m﹣1（m≠0）．
（1）当m＝1时，画出直线和抛物线G，并直接写出直线被抛物线G截得的线段长．（2）随着m取值的变化，判断点C，D是否都在直线上并说明理由．
（3）若直线被抛物线G截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
25．如图，在中，，是的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且．
求证：PA是的切线；
若，求图中阴影部分的面积结果保留和根号
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
分析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
详解：A．是随机事件，故A不符合题意；
B．是随机事件，故B不符合题意；
C．是随机事件，故C不符合题意；
D．是必然事件，故D符合题意．
故选D．
点睛：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
把x1代入方程ax2+2x+c=0得ax12+2x1=-c，作差法比较可得．
【详解】
∵x1是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，
∴ax12+2x1+c=0，即ax12+2x1=-c，
则M-N=（ax1+1）2-（2-ac）
=a2x12+2ax1+1-2+ac
=a（ax12+2x1）+ac-1
=-ac+ac-1
=-1，
∵-1＜0，
∴M-N＜0，
∴M＜N．
故选C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．
3．B
解析：B
【解析】
连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，
∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC=25°，∴∠COD=∠ACO+∠BAC=50°，
∴∠D=90°-∠COD=40°，
故选B.
4．D
解析：D
【解析】试题分析：原抛物线的顶点坐标为(-2,-3)，向右平移三个单位后顶点纵坐标不变，横坐标加3，所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，-3）。

故选D
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的定义即可解答．
【详解】
解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；
B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；
C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；
D、不是中心对称的图形，不合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．6．D
解析：D
【解析】
【分析】
方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
【详解】
方程移项得：2610x x -=，
配方得：26919x x -+=，
即2
(3)19x -=，
故选D ． 7．D
解析：D
【解析】
【分析】
由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．
【详解】
∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a 取何值，x ≤﹣3．
故选D ．
【点睛】
本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
设x 2﹣2x +1＝a ，则（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0化为a 2+2a ﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．
【详解】
解：设x 2﹣2x +1＝a ，
∵（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，
∴a 2+2a ﹣3＝0，
解得：a ＝﹣3或1，
当a ＝﹣3时，x 2﹣2x +1＝﹣3，
即（x ﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；
当a ＝1时，x 2﹣2x +1＝1，此时方程有解，
故选：D ．
【点睛】
此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.
9．B
解析：B
【解析】
试题分析：若此函数与x 轴有交点，则2
(3)21=0k x x -++，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.
考点：函数图像与x 轴交点的特点.
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
由根的判别式求出k 的取值范围，再结合一元二次方程的定义，即可得到答案．
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程2(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根， ∴224(1)(2)0k ∆=-⨯-⨯->， 解得：12
k >， ∵10k -≠，则1k ≠， ∴k 的取值范围是12k >
且k≠1； 故选：A ．
【点睛】
本题考查了利用根的判别式求参数的取值范围，以及一元二次方程的定义，解题的关键是正确求出k 的取值范围．
11．A
解析：A
【解析】
【分析】
先利用互余计算出∠BAC=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=2，接着根据旋转的性质得A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC ，∠A ′=∠BAC=30°，∠A ′B ′C=∠B=60°，于是可判断△CAA ′为等腰三角形，所以∠CAA′=∠A ′=30°，再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°，可得B′A=B′C=1，然后利用AA′=AB′+A′B ′进行计算．
【详解】
∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×
1=2， ∵△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C′，
∴A ′B ′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC ，∠A ′=∠BAC=30°，∠A ′B ′C=∠B=60°， ∴△CAA ′为等腰三角形，
∴∠CAA ′=∠A ′=30°，
∵A 、B′、A ′在同一条直线上，
∴∠A ′B ′C=∠B ′AC+∠B ′CA ，
∴∠B ′CA=60°-30°=30°，
∴B′A=B′C=1，
∴AA′=AB′+A′B′=2+1=3．
故选：A．
【点睛】
考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
12．B
解析：B
【解析】
分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．
解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；
②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；
③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．
故选B．
二、填空题
13．【解析】试题分析：解：连接OD∵CD是⊙O切线∴OD⊥CD∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD∴AB⊥OD∴∠AOD=90°∵OA=OD∴∠A=∠ADO=45°∴∠C=∠A=45°故答案为45考
解析：【解析】
试题分析：解：连接OD．∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB⊥OD，∴∠AOD=90°，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=45°，∴∠C=∠
A=45°．故答案为45．
考点：1．切线的性质；2．平行四边形的性质．
14．65°【解析】【分析】连接OAOCOD利用同弧所对的圆心角等于圆周角得2倍求出所求的角即可【详解】解：如图解:连接OAOCOD在圆的内接五边形ABCDE中∠B+∠E=230°∠B=(∠AOD+∠CO
解析：65°
【解析】
【分析】
连接OA,OC,OD,利用同弧所对的圆心角等于圆周角得2倍求出所求的角即可.
【详解】 解：如图
解:连接OA,OC,OD,
在圆的内接五边形ABCDE 中, ∠B+∠E=230°
, ∠B=12(∠AOD+∠COD), ∠E=12
(∠AOC+∠COD),（圆周角定理） ∴12(∠AOD+∠COD)+ 12
(∠AOC+∠COD)= 230°, 即:
12（∠AOD+∠COD+∠AOC+∠COD ）= 230°， 可得：∠C0D=o o 2230360⨯-=0100，
可得：∠CAD=050,
在△ACD 中，AC=AD ，∠CAD=050，
可得∠ACD=065,
故答案：065.
【点睛】
此题考查了圆心角、弧、弦的关系,以及圆周角定理,熟练掌握定 理及法则是解本题的关键.
15．-1【解析】试题解析：把代入得解得：故答案为
解析：-1
【解析】
试题解析：把1x =代入2230ax x -+=，
得，230.a -+=
解得： 1.a =-
故答案为 1.-
16．40°【解析】：在△QOC 中OC=OQ∴∠OQC=∠OCQ 在△OPQ 中
QP=QO∴∠QOP=∠QPO 又
∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC∠AOC=30°∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°∴3∠OCP 解析：40°
【解析】
：在△QOC 中，OC=OQ ，
∴∠OQC=∠OCQ ，
在△OPQ 中，QP=QO ，
∴∠QOP=∠QPO ，
又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，
∴3∠OCP=120°，
∴∠OCP=40°
17．m 【解析】【分析】利用勾股定理易得扇形的半径那么就能求得扇形的弧长除以2π即为圆锥的底面半径【详解】解：易得扇形的圆心角所对的弦是直径∴扇形的半径为：m ∴扇形的弧长为：＝πm ∴圆锥的底面半径为：π÷
m ． 【解析】
【分析】
利用勾股定理易得扇形的半径，那么就能求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【详解】
解：易得扇形的圆心角所对的弦是直径，
∴扇形的半径为：2
m ，
∴扇形的弧长为：
902180
π⨯
＝4πm ，
∴圆锥的底面半径为：
4
π÷2π
＝8m ． 【点睛】 本题考查：90度的圆周角所对的弦是直径；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，解题关键是弧长公式．
18．2【解析】【分析】连接BC 由圆周角定理和垂径定理得出由直角三角形的性质得出得出求出即可【详解】解：连接BC 如图所示：∵AB 是⊙O 的直径弦于H 在中即⊙O 的半径是2；故答案为：2【点睛】考查的是垂径定理
解析：2
【解析】
【分析】
连接BC
，由圆周角定理和垂径定理得出190,2
ACB CH DH CD ︒∠====
角三角形的性质得出22AC CH AC AB BC =====，得出2,4BC AB ==，求出2OA =即可．
【详解】
解：连接BC ，如图所示：
∵AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于H ，
19032ACB CH DH CD ∴∠︒＝，＝＝＝ 30A ∠︒＝，
223AC CH ∴＝＝，
在Rt ABC ∆中，30A ∠︒＝，
3232AC BC AB BC ∴＝＝，＝，
24BC AB ∴＝，＝，
2OA ∴＝，
即⊙O 的半径是2；
故答案为：2
【点睛】
考查的是垂径定理、圆周角定理、含30角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
19．2【解析】【分析】作直径AD 连接BD 得∠ABD=90°∠D=∠C=30°则AD=4即圆的半径是2（或连接OAOB 发现等边△AOB）【详解】作直径AD 连接BD 得：∠ABD=90°∠D=∠C=30°∴A
解析：2
【解析】
【分析】
作直径AD ，连接BD ，得∠ABD =90°，∠D =∠C =30°，则AD =4．即圆的半径是2．（或连接OA ，OB ，发现等边△AOB ．）
【详解】
作直径AD ，连接BD ，得：∠ABD =90°，∠D =∠C =30°，∴AD =4，即圆的半径是2．
【点睛】
本题考查了圆周角定理．能够根据圆周角定理发现等边三角形或直角三角形是解题的关键．
20．-1【解析】∵抛物线过原点∴解得又∵抛物线开口向下∴
解析：-1
【解析】
∵抛物线22
31y ax ax a =-+-过原点，
∴210a -=，解得1a =±，
又∵抛物线开口向下，
∴1a =-. 三、解答题
21．（1）1a =，2；（2）1a =-
【解析】
【分析】
(1)根据关于x 的一元二次方程222(1)20x a x a a --+--=有两个不相等的实数根，得到()22[2(1)]420a a a ∆=----->，于是得到结论；
(2)由根与系数的关系可得122(1)x x a +=-，2122x x a a =--，代入
22121216x x x x +-=，解方程即可得到结论．
【详解】
(1)∵关于x 的一元二次方程222(1)20x a x a a --+--=有两个不相等的实数根， ∴()
22[2(1)]420a a a ∆=----->，
解得：3a <，
∵a 为正整数，
∴1a =，2；
(2)∵122(1)x x a +=-，2122x x a a =--，
∵22121216x x x x +-=， ∴()2121216x x x x +-=，
∴()
22[2(1)]2163a a a -----=，
解得：11a =-，26a =，
∵3a <，
∴1a =-．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a 的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键．
22．（1）见解析；（2）【解析】
【分析】
（1）由于BO=BD=BC，根据等边三角形的判定和性质，三角形外角性质可得∠
ODC=90°，从而根据切线的判定方法即可得到结论．
（2）由AB为⊙O的直径得∠BDA=90°，而BO=BD=2， AB=2BO=4，根据勾股定理可求出AD．
【详解】
解：（1）证明：如图，连接OD，
∵BO=BD=DO，∴△OBD是等边三角形．∴∠OBD=∠ODB=60°．
∵BD=BC，∴∠BDC=1
2
∠OBD=30°．
∴∠ODC=90°．
∴OD⊥CD．
∵OD为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=90°．∵BO=BD=2，∴AB=2BO=4．
∴2223
AD AB BD
=-=．
23．(1) 1
2
；（2）公平，理由见解析
【解析】
【分析】
本题考查了概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．
【详解】
方法一画树状图：
由上图可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结
果有6种．∴P（和为奇数）= 1
2
．
方法二列表如下：
由上表可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结
果有6种．∴P（和为奇数）= 1
2
；
（2）∵P（和为奇数）= 1
2
，∴P（和为偶数）=
1
2
，∴这个游戏规则对双方是公平的．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．（1）见解析；（2）无论m取何值，点C，D都在直线上，见解析；（3）m的取值范围是m≤﹣3或m≥3．
【解析】
【分析】
（1）当m＝1时，抛物线G的函数表达式为y＝x2+2x，直线的函数表达式为y＝x，求出直线被抛物线G截得的线段，再画出两个函数的图象即可；
（2）先求出C、D两点的坐标，再代入直线的解析式进行检验即可；
（3）先联立直线与抛物线的解析式，求出它们的交点坐标，再根据这两个交点之间的距离不小于2列出不等式，求解即可．
【详解】
（1）当m=1时，抛物线G的函数表达式为y=x2+2x，直线的函数表达式为y=x，
直线被抛物线G截得的线段长为2，
画出的两个函数的图象如图所示：
（2）无论m取何值，点C，D都在直线上．理由如下：
∵抛物线G：y=mx2+2mx+m-1（m≠0）与y轴交于点C，∴点C的坐标为C（0，m-1），
∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，
∴抛物线G的顶点D的坐标为（-1，-1），
对于直线：y=mx+m-1（m≠0），
当x=0时，y=m-1，
当x=-1时，y=m×（-1）+m-1=-1，
∴无论m取何值，点C，D都在直线上；
（3）解方程组
221
1
y mx mx m
y mx m
⎧++-
⎨
+-
⎩
＝
＝
，
得
1
x
y m
⎧
⎨
-
⎩
＝
＝
，或
1
1
x
y
-
⎧
⎨
-
⎩
＝
＝
，
∴直线与抛物线G的交点为（0，m-1），（-1，-1）．
∵直线被抛物线G截得的线段长不小于2，
∴22
()(
0111)
m
++-+≥2，
∴1+m2≥4，m2≥3，
∴m≤-3或m≥3
，
∴m的取值范围是m≤-3或m≥3．
【点睛】
此题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于掌握两函数交点坐标的求法，函数的图象．
25．（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）如图，连接OA；证明∠OAP=90°，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；求出OM=1，OA=2；求出△AOB、扇形AOB的面积，即可解决问题．
【详解】
如图，连接OA；
，
；而，
；而，
；
，
，
是的切线．
如图，过点O作，则，
，，
，；
，
，
图中阴影部分的面积．
【点睛】
本题考查了切线的判定与扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握切线的判定与扇形面积公式.。