中考数学高频考点《函数思想题型》专项测试卷-附答案

中考数学高频考点《函数思想题型》专项测试卷-附答案
学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________
一选择题：本题共4小题每小题3分共12分。

1.在△ABC中已知D为直线BC上一点若∠ABC=x∘,∠BAD=y∘且CD=CA=AB则y与x之间不可能存在的关系式是( )
A. y=90−3
2x B. y=3
2
x−90 C. y=180−3
2
x D. y=120−3
2
x
2.如图在直角梯形ABCD中AB//CD,∠BAD=90°对角线的交点为点O.如果梯形
ABCD的两底边长不变而腰长发生变化那么下列量中不变的是( )
A. 点O到边AB的距离
B. 点O到边BC的距离
C. 点O到边CD的距离
D. 点O到边DA的距离
3.从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1)然后将剩余部分剪拼成一个长方形(如图2)上述操作能验证的等式是( )
A. (a−b)2=a2−2ab+b2
B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. a2−b2=(a+b)(a−b)
D. a2+ab=a(a+b)
4.对于代数式ax2+bx+c(a≠0,x可取任意实数)下列说法正确的是( )
①存在实数p、q(p≠q)有ap2+bp+c=aq2+bq+c则ax2+bx+c=a(x−p)(x−q)；
②存在实数m、n、s(m、n、s互不相等)使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c；
③如果ac>0则一定存在两个实数m<n使am2+bm+c<0<an2+bn+c；
④如果ac<0则一定存在两个实数m<n使am2+bm+c<0<an2+bn+c．
A. ①④
B. ②③
C. ③④
D. ④
二填空题：本题共5小题每小题3分共15分。

5.如图正方形ABCD的边长为4，E，F，G H分别是边AB，BC，CD，DA上的动点且AE=BF=
CG=DH则四边形EFGH面积的最小值为．
6.如图点G是边长为1的正方形ABCD的边BC上的动点以BG为边长作正方形BEFG其中A B E三点在同一条直线上连结A G延长AG交CE的连线于点H则AG·GH的最大值为__________．
7.如图矩形ABCD中AB=6AD=8点E在边AD上CE与BD相交于点F.设DE=x BF=y当
0≤x≤8时y关于x的函数解析式为____．
8.如图在ΔABC∠BAC=45∘∠ACB=60∘BC=4√ 3−4D是BC边上异于点B C的一动点将▵ABD沿AB翻折得到▵ABE将▵ACD沿AC翻折得到▵ACF连接EF则四边形EBCF面积的最大值是
____________．
9.如图边长为4的正方形ABCD中P是BC边上一动点(不含B C点)。

将△ABP沿直线AP翻折点B落在点E处；在CD上有一点M使得将△CMP沿直线MP翻折后点C落在直线PE上的点F处直线PE交CD于
点N连接MA NA。

则以下结论中正确的有____(写出所有正确结论的序号)。

①∠NAP=45°；②当P为BC中点时AE为线段NP的中垂线；③四边形AMCB的面积最大值为10；
④线段AM的最小值为2√ 5；⑤当△ABP≌△ADN时BP=4√ 2−4。

三解答题：本题共6小题共48分。

解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。

10.(本小题8分)如图在一块边长为2米的正方形ABCD木板上粘贴两种不同的墙纸用来做展示板三个阴影正方形均贴A型墙纸其余部分贴B型墙纸.正方形AMKN和正方形CEFG是全等的正方形点A K F C在同一直线上.已知A B型两种墙纸的单价分别为每平方米30元和12元.设CE长为x米总费用为W元．
(1)用含x的代数式表示三个阴影正方形的面积之和为平方米 (2)当x=0.5时总费用W为多少？
(3)当x为何值时总费用最少最少费用为多少？
11.(本小题8分)如图已知抛物线与x轴交于点A(−1,0)B(3,0)与y轴交于点C直线y=−2x+3经过点C与x轴交于点D．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)点P是(1)中的抛物线上的一个动点设点P的横坐标为t(0<t<3)．
①求▵PCD 的面积的最大值．
②是否存在点P 使得▵PCD 是以CD 为直角边的直角三角形?若存在 求点P 的坐标；若不存在 请说明理由．
12.(本小题8分)如图1 AB 为半圆O 的直径 C 为BA 延长线上的一点 CD 切半圆于点D BE ⊥CD 交CD 的延长线于点E 交半圆于点F 已知BC =5 BE =3 点P Q 分别在线段AB BE 上(不与端点重合) 且满足AP BQ =5
4.设BQ =x CP =y ．
(1)求半圆O 的半径．
(2)求y 关于x 的函数表达式．
(3)如图2 过点P 作PR ⊥CE 于点R 连结PQ RQ ．
 ①当△PQR 为直角三角形时 求x 的值．
 ②作点F 关于QR 的对称点F′ 当点F′落在BC 上时 求
CF ′BF ′的值．
13.(本小题8分)综合与实践【材料阅读】我们知道 (√ a −√ b)2≥0(a >0,b >0) 展开移项得a +b ≥2√ ab 当a =b 时 取到等号;我们可以利用它解决形如“x +n x (x >0,n 为常数且n >0)的最小值”问题．例如：求式子x +4x (x >0)的最小值．解：x +4x ≥2√ x ⋅4x =4 当x =4x 时 即x =2时 式子有最小值 最小值为4．【学以致用】在一次踏青活动中 某数学兴趣小组围绕着一个有一面靠墙(墙的长度为
12m)的矩形篱笆花园(如图1所示)的面积S和篱笆总长l与AB的长度a之间的关系进行了研究分析．
(1)当该矩形花园的面积S为32m2篱笆总长l为20m时求a的值;
(2)当篱笆总长l为20m时
 ①写出S关于a的函数关系式并写出a的取值范围;
 ②当a取何值时S有最大值?最大值是多少?
(3)当面积S为32m2时l关于a的函数解析式为l=2a+32
数学兴趣小组的小李同学利用数学软件作出了
a
其函数图象如图2所示点P为图象的最低点观察图象并结合【材料阅读】当自变量a的取值范围为多少时l随a的增大而减小?(直接写出a的取值范围)
14.(本小题8分)如图已知抛物线与x轴交于A(−1,0)B(3,0)两点与y轴交于点C直线y=−2x+3经过点C与x轴交于点D．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)点P是(1)中的抛物线上的一个动点设点P的横坐标为t(0<t<3).求△PCD的面积的最大值；
(3)在(2)的条件下是否存在点P使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在求点P的坐标；若不存在请说明理由．
15.(本小题8分)
如图OA=OB=50cm OC是一条射线OC⊥AB甲小虫由点A以2cm/s的速度向点B爬行同时乙小虫由点O以3cm/s的速度沿OC爬行当甲小虫到达点B时两只小虫同时停止爬行．
(1)设小虫运动的时间为xs两小虫所在位置与点O组成的三角形的面积为ycm2(不妨设甲小虫到达点O时y=0)求y与x之间的函数关系式．
(2)当小虫运动的时间为多少时两小虫所在位置与点O组成的三角形的面积等于450cm2?
(3)请直接说明y随x的变化而变化的情况．
参考答案和解析
1.【答案】D
【解析】当点D在线段BC上时
∵∠ABC=x∘CA=AB∴∠C=∠ABC=x∘．
∵CD=CA∴∠ADC=∠CAD=180∘−∠C
2
=90∘−1
2
x∘．
∵∠ADC=∠B+∠BAD∴90−1
2
x=x+y
即y=90−3
2
x;
当点D在线段BC的延长线上时
同理可得y=180−3
2
x;
当点D在线段CB的延长线上时
同理可得y=3
2
x−90.故选D．
2.【答案】D
【解析】解：如图以AB所在直线为x轴AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系
∵梯形ABCD的两底边长不变腰长发生变化
∴设AB=3DC=2AD=b
∴A(0,0)B(3,0)D(0,b)C(2,b)
∴直线AC解析式为：y AC=b
2
x
直线BD解析式为：y BD=−b
3
x+b
∴{y=b
2
x
y=−b
3
x+b
解得{ x =65y =35b ∴点O 到边DA 的距离为65
所以点O 到边DA 的距离不变．
故选：D ．
以AB 所在直线为x 轴 AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系 根据梯形ABCD 的两底边长不变 腰长发生变化 可以设AB =3 DC =2 AD =b 得A(0,0) B(3,0) D(0,b) C(2,b) 可得直线AC 和BD 解析式 然后求出交点O 的坐标 进而可得结论．
本题考查了直角梯形 解决本题的关键是掌握直角梯形的性质． 3.【答案】C
【解析】解：∵从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形 剩余部分的面积是：a 2−b 2 图2拼成的是长为a +b 宽为a −b 的矩形 因此面积为(a +b)(a −b)
∴根据剩余部分的面积相等得：a 2−b 2=(a +b)(a −b)
故选：C ．
分别求出从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积 根据剩余部分的面积相等即可得出算式 即可选出选项
本题考查了平方差公式的运用 解此题的关键是用算式表示图形的面积 用的数学思想是转化思想 即把实际问题转化成用数学式子表示出来．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查代数式；将问题转化为函数思想求解是本题的解题关键．
p q 不一定是以y =ax 2+bx +c 为函数与x 轴的两个交点 故①错误；令y =ax 2+bx +c 根据二次函数的对称性 故②错误；若ac >0 当a >0 c >0时 且△≤0 故③错误．
【解答】
解：存在实数p q(p ≠q)有ap 2+bp +c =aq 2+bq +c 但是p q 不一定是以y =ax 2+bx +c 为函数与x 轴的两个交点 故①错误；
令y =ax 2+bx +c 根据二次函数的对称性 只存在两个实数m n 使am 2+bm +c =an 2+bn +c ；故②错误；
若ac >0 当a >0 c >0时 且△≤0 不存在两个实数m <n 使am 2+bm +c <0<an 2+bn +c
故③错误；
故选：D ．
5.【答案】8
【解析】略
6.【答案】14
【解析】【分析】
本题考查正方形的性质 全等三角形的判定和性质 相似三角形的判定和性质 二次函数的最值 函数方程思想.掌握相似三角形的判定和性质得二次函数是解本题的关键．
先根据正方形的性质和SAS 证明△EBC ≌△GBA 得∠BCE =∠BAG 再证明△BGA ∽△HGC 设BG =x 则CG =CB −x =1−x 根据相似三角形的对应边成比例得AG ·GH 的函数解析式 最后根据二次函数的最值即可解答．
【解答】
解：∵四边形ABCD 和四边形BEFG 都是正方形 A B E 三点在同一条直线上
∴BE =BG ∠EBG =∠GBA =90° BC =BA
∴△EBC ≌△GBA
∴∠BCE =∠BAG
∵∠BGA +∠BAG =90° ∠BGA =∠HGC
∴∠HGC +∠BCH =90°
∴∠GHC =90°
∴∠GHC =∠GBA =90°
又∠BGA =∠HGC
∴△BGA ∽△HGC
∴BG HG =AG CG
设BG =x 则CG =CB −x =1−x
∴AG ·GH =BG ·CG =x(1−x)=−x 2+x =−(x −12)2+14
∵a =−1<0
∴当x =12时 AG ·GH 有最大值 最大值为14． 7.【答案】y =80x+8
【解析】解：在矩形中AD//BC ∴△DEF∽△BCF
∴DE BC =DF
BF
∵BD=√ BC2+CD2=10BF=y DE=x ∴DF=10−y
∴x 8=10−y
y
化简得：y=80
x+8
∴y关于x的函数解析式为：y=80
x+8
故答案为：y=80
x+8
．
根据题干条件可证得△DEF∽△BCF从而得到DE
BC =DF
BF
由线段比例关系即可求出函数解析式．
本题主要考查的是相似三角形的判定与性质定理难度不大熟练掌握性质和判定定理是解得本题的关键注意掌握数形结合思想与函数思想的应用．
8.【答案】18−8√ 3
【解析】【分析】
本题主要考查翻折的性质全等三角形的性质三角形内角和定理邻补角的定义二次函数的综合应用根据题意列出函数关系式是解题的关键；解题时设CD=x则BD=4√ 3−4−x由将△ABD沿AB翻折得到▵ABE将▵ACD沿AC翻折得到▵ACF可知▵ABE≌▵ABD▵ACF≌▵ACD由此可得BE=BD CF=CD然后分别过点E F做EN⊥BC于点N FM⊥BC于点M由三角形内角和定理邻补角的定义易得∠EBN=30°∠FCM=60°进而可得EN BN CM FM的大小最后由四边形EBCF面积等于梯形ENMF的面积减去ΔEBN再减去ΔCFM的面积得出关于x的函数由二次函数函数的性质求解即可；
【解答】
解设CD=x则BD=4√ 3−4−x
∵将△ABD沿AB翻折得到△ABE将△ACD沿AC翻折得到△ACF
∴△ABE≌△ABD△ACF≌△ACD
∴∠ABE=∠ABD∠ACF=∠ACD=60°
BE=BD=4√ 3−4−x CF=CD=x
如图分别过点E F做EN⊥BC于点N FM⊥BC于点M
∵∠BAC=45 ∘∠ACB=60 ∘
∴∠ABC=75°∠EBN=30°∠FCM=60°
∴EN=1
2BE,BN=
√ 3
2BE,
CM=1
2CF,MF=
√ 3
2CF,
∵NM=NB+BC+CM
∴NM=√ 3
2BE+BC+
1
2CF
∴S
四边形EBCF =S
梯形ENMF
−S△EBN−S△CMF
=1
2(EN+FM)·NM−
1
2BN·EN−
1
2CM·FM
=1
2[
1
2(4√ 3−4−x)+
√ 3
2x]·[
√ 3
2(4√ 3−4−x)+4√ 3−4+
1
2x]−
√ 3
8(4√ 3−4−x)
2
−
√ 3
8x2
=−1
2x2+2x+16−8√ 3
=−1
2(x−2)2+18−8√ 3
∴当x=2时四边形EBCF的面积最大为18−8√ 3
故答案为18−8√ 3．
9.【答案】①③⑤
【解析】【分析】
①正确先判断出Rt△APE≌Rt△APB即可得出结论；
②错误设ND=NE=y在Rt△PCN中利用勾股定理求出y即可解决问题；
③正确设PB=x构建二次函数利用二次函数性质解决问题即可；
④错误作MG⊥AB于G因为AM=√ MG2+AG2=√ 16+AG2所以AG最小时AM最小构建二次函数求得AG的最小值为3AM的最小值为5；
⑤正确 在AB 上取一点K 使得AK =PK 列出关于PB 的方程即可解决问题。

【解答】
解：∵四边形ABCD 是正方形
∴∠D =∠B =∠BAD =90° AD =AB
由折叠知 ∠AEN =∠B =90° AE =AB
∴AD =AB =AE ∠D =∠AEN =90°
在Rt △ADN 和Rt △AEN 中 {AN =AN AD =AE
∴Rt △ADN ≌Rt △AEN
∴∠DAN =∠EAN
在Rt △APE 和Rt △APB 中
∴Rt △APE ≌Rt △APB
∴∠EAP =∠BAP
∵∠DAN =∠EAN ∠BAD =90°
∴∠PAN =45°
故①正确；
当PB =PC =PE =2时
由折叠知 ND =NE
设ND =NE =y
在Rt △PCN 中 (y +2)2=(4−y)2+22
解得y =43
∴NE ≠EP 故②错误；
设PB =x 则CP =4−x
∵△CMP ∽△BPA ∴
PB CM =AB PC
∴CM =14
x(4−x) ∴S 四边形AMCB =12[4+14x(4−x)]×4=−12x 2+2x +8=−12(x −2)2+10 ∴x =2时 四边形AMCB 面积最大值为10 故③正确；
作MG ⊥AB 于G
∵AM=√ MG2+AG2=√ 16+AG2∴AG最小时AM最小
∵AG=AB−BG=AB−CM=4−1
4x(4−x)=
1
4(x−2)2+3
∴x=2时AG最小值=3
∴AM的最小值=√ 16+9=5故④错误；
∵△ABP≌△ADN时
∴∠PAB=∠DAN=22.5°在AB上取一点K使得AK=PK
∴∠KPA=∠KAP=22.5°
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°
∴∠BPK=∠BKP=45°
∴PB=BK AK=PK=√ 2PB
∴PB+√ 2PB=4
∴PB=4√ 2−4故⑤正确。

故答案为①③⑤。

10.【答案】解(1)6x2−8x+4；
(2)当x=0.5时W=30×(6×0.52−8×0.5+4)+12[22−(6×0.52−8×0.5+4)] =30×(1.5−4+4)+12[4−(1.5+4−4)]
=30×1.5+12×2.5
=75(元)
答：当x=0.5时总费用W为75元；
(3)由题知W=30(6x2−8x+4)+12[22−(6x2−8x+4)]
=108x2−144x+120
∵108>0
∴当x=−b
2a =−−144
2×108
=2
3
时W取最小值W min=4ac−b
2
4a
=4×108×120−144
2
4×108
=72
即当x=2
3
时总费用最少为72元．
【解析】本题考查用代数式表示图形面积代入求值以及二次函数最值问题；
(1)设CE长为x米则NK=CE=x米LF=(2−2x)米则三个阴影正方形的面积之和为S
正方形ANKM
+
S
正方形KLFH +S
正方形CEFG
=x2+(2−2x)2+x2=6x2−8x+4;
(2)总费用为阴影部分与空白部分的费用之和结合条件“三个阴影正方形均贴A型墙纸其余部分贴B型墙纸”及“已知A B型两种墙纸的单价分别为每平方米30元和12元”列式求值即可；
(3)结合(2)的分析易用x表示W由二次函数的性质求解即可．
11.【答案】解：(1)直线y=−2x+3与x轴y轴的交点坐标分别为：C(0,3)D(3
2
,0)
∵抛物线与x轴交于A(−1,0)B(3,0)两点
∴设所求抛物线的函数关系式为：y=a(x+1)(x−3)
把点C(0,3)代入得：3=a(0+1)(0−3)
解得a=−1∴所求抛物线的函数关系式为：y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3；
(2)①过点P作PE⊥y轴于点F交DC于点E
由题意设点P的坐标为(t,−t2+2t+3)则点E的纵坐标为−t2+2t+3．
以y=−t2+2t+3代入y=−2x+3得x=t2−2t
2
∴点E的坐标为(t2−2t
2
,−t2+2t+3)
∴PE=t−t2−2t
2=
−t2+4t
2
∴S△PCD=1
2PE⋅CO
=1
2×
−t2+4t
2×3
=−3
4(t−2)2+3
∵a=−3
4
<0且0<t<3
∴当t=2时△PCD的面积最大值为3；
②△PCD是以CD为直角边的直角三角形分两种情况：(Ⅰ)若∠PCD=90°如图2过点P作PG⊥y轴于点G
则△PGC∽△COD
∴PG CO =CG
DO
即t
3
=−t2+2t
1.5
整理得2t²−3t=0解得t1=3
2
t2=0(舍去)
∴点P的坐标为(3
2,15 4
)
(Ⅱ)若∠PDC=90°如图3过点P作PH⊥x轴于点H 则△PHD∽△DOC
∴PH DO =DH
CO
即−t
2+2t+3
1.5
=t−1.5
3
整理得4t2−6t−15=0解得t1=3+√ 69
4t2=3−√ 69
4
(舍去)．
∴点P的坐标为(3+√ 69
4,−3+√ 69
8
).
综上所述当△PCD是以CD为直角边的直角三角形时点P的坐标为(3
2,15
4
)或(3+√ 69
4
,−3+√ 69
8
).
【解析】本题考查了二次函数的综合题待定系数法求一次函数解析式一次函数图象上点的坐标特征三角形相似的性质和判定以及直角三角形的性质解题的关键是熟练掌握三角形相似的性质和判定善于用方程的思想求点的坐标．
(1)利用待定系数法求抛物线所对应的函数关系式；
(2)①如图1作辅助线PF设点P的坐标为(t,−t2+2t+3)则点E的纵坐标为−t2+2t+3表示PE的长根据三角形面积公式可得S与t的关系式配方后可得最值；
②根据等腰三角形的性质和点的坐标勾股定理得出关于t的方程解方程即可确定点的坐标．
12.【答案】解：(1)如图1连结OD设半径为r
∵CD切半圆于点D∴OD⊥CD．
∵BE⊥CD∴OD//BE
∴△COD∽△CBE∴OD
BE =CO
CB
∴r 3=5−r
5
解得r=15
8
∴半圆O的半径为15
8
．
(2)由(1)得CA=CB−AB=5−2×15
8=5
4
．
∵AP BQ =5
4
BQ=x∴AP=5
4
x∴CP=AP+AC
∴y=5
4x+5
4
．
(3) ①显然∠PRQ<90∘所以分两种情形
当∠RPQ=90∘时四边形RPQE是矩形∴PR=QE．
∵PR=PC×sinC=3
5y=3
4
x+3
4
∴3
4
x+3
4
=3−x
∴x=
9
7;
当∠PQR=90∘时过点P作PH⊥BE于点H如图2则四边形PHER是矩形
∴PH=RE EH=PR．
∵CR =CP ⋅cosC =45
y =x +1 ∴PH =RE =3−x =EQ
∴∠EQR =∠ERQ =45∘
∴∠PQH =45∘=∠QPH ∴HQ =HP =3−x
由EH =PR 得(3−x)+(3−x)=34x +34 ∴x =2111
综上 x 的值为97或2111．
 ②如图3 连结AF QF′ 由对称可知QF =QF′
∵CP =54+54x ∴CR =x +1
∴ER =3−x ．
∵BQ =x ∴EQ =3−x ∴ER =EQ
∴∠F′QR =∠EQR =45∘
∴∠BQF′=90∘
∴QF =QF′=BQ ⋅tanB =
43x. ∵AB 是半圆O 的直径 ∴∠AFB =90∘
∴BF =AB ⋅cosB =94 ∴43x +x =94 ∴x =2728
∴CF′
BF′=BC−BF ′
BF′=BC BF′−1=3
x −1=199
．
【解析】略
13.【答案】解：(1)依题可知32=a(20−2a)
即：a 2−10a +16=0
解得：a 1=2 a 2=8
当a =2时 20−2a =16>12 不符合题意 舍去
∴a =8；
(2) ①S =a(20−2a) 其中4⩽a <10；
 ②S =a(20−2a)=−2(a −5)2+50
∵−2<0∴当a =5m 时 S 有最大值 最大值为50m 2；
(3)l =2a +32a ⩾2√ 2a ·32a =16 且当2a =32a 时 即a =4时取得最小值16
依题意可知：BC =
32a ⩽12
解得：a ⩾83
结合图象可知当83≤a ≤4时 l 随a 的增大而减小．
【解析】本题考查二次函数得应用 由材料可得当两式的积一定时 可以利用完全平方公式推导出它们的和有最小值 并且当且仅当两个加数相等时取得最小值；
(1)根据等量关系列方程求出边长 要注意BC 边不能超过墙的长度12m ；
(2)BC =20−2a ⩾0 S =AB ·BC =a(20−2a) 其中4⩽a <10；
S =a(20−2a)=−2(a −5)2+50 可知当a =5m 时 S 有最大值 最大值为50m 2；
(3)根据材料信息 先确定当a =4时l 取得最小值16 再由BC =32a ⩽12 解得a ⩾83 最后结合图象可确定符合要求的a 的取值范围． 14.【答案】解：(1)直线y =−2x +3与x 轴 y 轴的交点坐标分别为：C(0,3) D(32,0)
∵抛物线与x 轴交于A(−1,0) B(3,0)两点
∴设所求抛物线的函数关系式为： y =a(x +1)(x −3)
把点C(0,3)代入 得：3=a(0+1)(0−3)
解得a =−1 ∴所求抛物线的函数关系式为：y =−(x +1)(x −3)=−x 2+2x +3；
(2)过点P 作PE ⊥y 轴于点F 交DC 于点E
由题意 设点P 的坐标为(t,−t 2+2t +3) 则点E 的纵坐标为−t 2+2t +3．
以y =−t 2+2t +3代入y =−2x +3 得x =t 2−2t 2
∴点E 的坐标为(t 2−2t 2,−t 2+2t +3) ∴PE =t −t 2−2t 2=−t 2+4t 2
∴S △PCD =12
PE ⋅CO =12×−t 2+4t 2
×3 =−34
(t −2)2+3 ∵a =−34<0 且0<t <3
∴当t =2时 △PCD 的面积最大值为3．
(3)△PCD 是以CD 为直角边的直角三角形分两种情况：
(Ⅰ)若∠PCD =90° 如图2 过点P 作PG ⊥y 轴于点G
则△PGC ∽△COD
∴
PG CO =CG DO 即t 3=−t 2+2t 1.5 整理得2t²−3t =0 解得t 1=
3
2
t 2=0(舍去)
∴点P 的坐标为(
3
2
15
4
)
(Ⅱ)若∠PDC =90° 如图3 过点P 作PH ⊥x 轴于点H
则△PHD ∽△DOC
∴
PH
DO
=
DH
CO
即
−t2+2t+3
1.5
=
t−1.5
3
整理得4t2−6t−15=0解得t1= 3+
√ 69
4
t2=3−√ 69
4
(舍去)．
∴点P的坐标为(3+√ 69
4,−3+√ 69
8
).
综上所述当△PCD是以CD为直角边的直角三角形时点P的坐标为( 3
2
15
4
)或(3+√ 69
4,−3+√ 69
8
)
【解析】本题考查了二次函数的综合题待定系数法求一次函数解析式一次函数图象上点的坐标特征三角形相似的性质和判定以及直角三角形的性质解题的关键是熟练掌握三角形相似的性质和判定善于用方程的思想求点的坐标．
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页 (1)利用待定系数法求抛物线所对应的函数关系式；
(2)如图1 作辅助线PF 设点P 的坐标为(t,−t 2+2t +3) 则点E 的纵坐标为−t 2+2t +3 表示PE 的长 根据三角形面积公式可得S 与t 的关系式 配方后可得最值；
(3)根据等腰三角形的性质和点的坐标 勾股定理得出关于t 的方程 解方程即可确定点的坐标．
15.【答案】解：(1)当甲小虫位于点O 左侧 即0≤x <25时 y =12(50−2x)⋅3x =−3x 2+75x ；当甲小虫位于点O 右侧 即25<x ≤50时 y =12(2x −50)⋅3x =3x 2−75x
综上 y 与x 之间的函数关系式为y ={3x 2+75x(0⩽x <5)
0(x =25)3x 2−75x(25<x ⩽50)
；
(2)当0≤x <25时 令−3x 2+75x =450
解得x =10或15
当25<x ≤50时 令3x 2−75x =450
解得x =30或−5(不合题意 舍去)
故当小虫运动的时间为10s 15s 或30s 时 两小虫所在位置与点O 组成的三角形的面积等于450cm 2；
(3)当0≤x <12.5时 y 随x 的增大而增大；当12.5≤x ≤25时 随x 的增大而减小；当25<x ≤50时 y 随x 的增大而增大．
【解析】本题主要考查二次函数的综合题 一元二次方程的应用 注意分类讨论．
(1)可分三种情况列函数关系式：当甲小虫位于点O 左侧；当甲小虫位于点O 右侧；当甲小虫位于点O 时；
(2)可分两种情况：当0≤x <25时；当25<x ≤50时 列方程 解方程即可求解；
(3)可分三段讨论当0≤x <12.5时；当12.5≤x ≤25时；当25<x ≤50时 判断其增减性．。