电磁场与电磁波：练习题参考答案

一、填空题
1、电荷守恒定律的微分形式是
，其物理意义是[任何一点电流密度矢量的散度等于该点电荷
体密度随时间的减少率]；
2、麦克斯韦第一方程=⨯∇H
D
J t ∂+
∂，它的物理意义是[电流与时变电场产生磁场]；对于静态场，
=⨯∇H
[J ]]；
3、麦克斯韦第二方程E
⨯∇B ∂，它表明[时变磁场产生电场]；
对于静态场,E
⨯∇=[0],它表明静态场是[无旋场]；
4、坡印廷矢量S 是描述时变电磁场中电磁功率传输的一个重要的物理量,S
=[E H ⨯],它表示[通过垂直于功
率传输方向单位面积]的电磁功率；
5、在两种不同物质的分界面上,[电场强度，（或E ）]矢量的切向分量总是连续的, [磁感应强度，（或B ）]矢量的法向分量总是连续的；
6、平面波在非导电媒质中传播时,相速度仅与[媒质参数，（或μ、ε）]有关,但在导电媒质中传播时,相速度还与[频率，（或f ，或ω）],这种现象称为色散；
7、两个同频率,同方向传播,极化方向互相垂直的线极化波合成为圆极化波时,它们的振幅[相等],相位差为[2π，（或－2π，或90）]；
8.均匀平面波在良导体中传播时,电场振幅从表面值E 0下降到E 0/e 时 所传播的距离称为[趋肤深度],它的值与[频率以及媒质参数]有关。

二、选择题
1、能激发时变电磁场的源是[c]
a.随时间变化的电荷与电流 b 随时间变化的电场与磁场
c.同时选a 和b
2、在介电常数为ε的均匀媒质中,电荷体密度为ρ的电荷产生的电场为),,(z y x E E =,若E D
ε=成立,下面
的表达式中正确的是[a]
a. ρ=⋅∇D
b. 0/ερ=⋅∇E
c. 0=⋅∇D
3、已知矢量)()23(3mz y e z y e x e B z y x +--+=
,要用矢量B 描述磁感应强度,式中 必须取[c(0=⋅∇B )] a. 2 b. 4 c. 6
4、导电媒质中,位移电流密度d J 的相位与传导电流密度J
的相位[a]
a.相差2π
b.相同或相反
c.相差4
π
5、某均匀平面波在空气中传播时,波长m 30=λ,当它进入介电常数为04ε=ε的介质中传播时,波长[b] a.仍为3m b.缩短为1.5m c. 增长为6m
6、空气的本征阻抗π=η1200,则相对介电常数4=εr ,相对磁导率1=μr ,电导率0=σ的媒质的本征阻抗为[c].
a.仍为)(120Ωπ
b. )(30Ωπ
c. )(60Ωπ 7、z j y z j x e j e e e E π-π-+=2242
,表示的平面波是 [b] a.圆极化波 b.椭圆极化波 c.直线极化波
8、区域1(参数为0,,10101===σμμεε)和区域2(参数为0,20,520202===σμμεε)的分界面为0=z 的平
面。

已知区域1中的电场)]5cos(20)5cos(60[z t z t e E x +ω+-ω=
V/m ，若区域2中的
电场)50cos(z t A e E x -ω=
V/m ,则式中的A 值必须取[b]
a.60
b.80
c.20
9、无源的非导电媒质(参数为με、)中, 亥姆霍兹方程为022=+∇E k E
,式中的波数k 应为[b]
a. ωμε
b. μεω
c. μεω2
10、 已知02
260η=z av e S ,则穿过0=z 平面上一个半径R=2m 的圆面积的平均功率为[c （2r S av π⋅ ）]
a.180W
b.90W
c.60W
三、计算题
1、相对介电常数18=εr 的均匀电介质中, )102cos(109x t e E y β+⨯π=
V/m ,已知电场强度,试计算该电介质的位移电流密度。

解：9010sin(210)d r y D E J e t x t t
εεπβ∂∂=
==-⨯+∂∂ 2
A m 2、两种不同媒质分界面上存在面电流密度m A e J x S /2
=,若已知分界面上媒质1一侧的磁场强度m A e e e H z y x /321
++=，试求分界面上媒质2一侧的磁场强2H 。

解：根据边界条件，在分界面0y =处，应有
12()S y e H H J ⨯-=，得
222[(23)()]y x y z x x y y z z e e e e e H e H e H ⨯++-++2x e = 即 22(3)(1)2x z z x x e H e H e ---=
则 232z H -=， 210x H -= 故 21x H =，21z H = 又由 12()0y e B B -=，有
12222[(23)()]0y x y z x x y y z z e e e e e H e H e H μμ++-++=则 12220y H μμ-=，
故得 1
22
2y H μμ=
所以 1
22
2x y
z H e e e μμ=++ A m
3、已知在空气中传播的均匀平面波的磁场强度为
)2106cos(410
)(8z t e e H y x π-⨯ππ
+= ，试求:
(1)平面波的频率f 、相速p v 、波长λ、相位常数k 以及波的传播方向；
(2)与),(t z H
相伴的电场强度),(t z E ； (3)平面波的极化状态；
(4)瞬时坡印廷矢量S
和平均坡印廷矢量av S 。

解：（1） 83102f ω
π
=
=⨯Hz ，2k π= rad m ，8310p v k ω==⨯m s ，
21k
π
λ=
= m ，传播方向为z 方向；
（2）80(,)(,)()300cos(6102)z x y E z t H z t e e e t z ηππ=⨯=-⨯- V m （3）直线极化波； （4）281500
(,)(,)cos (6102)z
S E z t H z t e t z πππ
=⨯=⨯- 2W m
01750d T
av z S S t e T π
=
=⎰ 2
W m 4、已知某导电媒质在频率z MH f 30=时的衰减常数m N P /9.82=α、相位常数m rad /9.82=β本征阻抗的模Ω=η2c 。

在此导电媒质中, z MH f 30=的正弦均匀平面波沿x 方向传播,电场沿y 轴取向,电场强度振幅m V E m /30
=。

试写出电场强度和磁场强度的表示式。

解：由82.9αβ==可知，该导电媒质在频率30MHz f =时为良导体，故
82.97(,)30cos(61082.9)x y E x t e e t x π-=⨯- V m
82.9730(,)cos(61082.9)4
x x y c H x t e e e t x π
πη-=⨯⨯--
82.9730cos(61082.9)24
x z
e e t x ππ-=⨯-- A m 一、 填空
1．静电场的两个基本方程的微分形式为0E ∇⨯=、 ρ=⋅∇D
；在完纯介质与理想导体的分界面上电场
的两个基本物理量满足的边界条件为 0⨯=n E 、 σ=⋅D n。

2、电位满足的泊松方程为 2/ϕρε∇=- ；在两种完纯介质分界面上电位满足的边界条件为 12ϕϕ= 、
212
1n n
ϕϕ
εε∂∂=∂∂ 。

3、恒定电场的两个基本方程的积分形式为 0=⋅⎰s
S d J
、
⎰
=⋅C
l d E 0。

相应的边界条件为
0)(21=-⋅J J n
、 ()210⨯-=n E E 。

4、应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理论依据是 惟一性定理 。

5、电流连续性方程的微分形式为
0=∂ρ∂+⋅∇t
J 。

6、一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力的作用。

二、选择
1、为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（b ）
3
A/m a 、 2A/m b 、 A/m c 、
2、均匀密度的无限长直线电荷的电场随距离变化的规律为（a ）。

1
r
a 、
21r b 、
1
ln r
c 、
3、应用高斯定理求解静电场要求电场具有（b ）分布。

a 、 线性
b 、 对称性
c 、 任意
4、如果某一点的电位为零，则该点的电场强度（b ）。

a 、 一定为零
b 、 不一定为零
c 、 为无穷大
5、如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（b ）。

a 、 一定为零
b 、 不一定为零
c 、 为无穷大
6、已知两种完纯介质的介电常数分别为12εε、，其中的电场强度分别为12、E E 则在其平面分界面上的极化电荷面密度为（c ）。

()21201εεε---⎡⎤
⎣⎦
n E E a 、 ()21102εεε---⎡⎤⎣⎦
n E E b 、
()()202101εεεε⎡⎤----⎣⎦
n E E c 、 7、真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度d B 随该点到电流元距离变化的规律为（b ）。

1R
a 、
2
1R b 、
1ln
R
c 、 8、N 个导体组成的系统的能量∑==N
i i i q W 1
21φ，其中i φ是（a ）产生的电位。

a ．所有导体
b ．除i 个导体外的其他导体
c ．第i 个导体。

三、计算题
1、一个长度为l 的圆柱形电容器，由半径为a 和b （a<b ）的同轴导体面组成。

两导体柱面间填充有一段长度为d (d <l )、介电常数为ε的均匀电介质。

如图所示。

内外导体间的电压为V ，忽略边缘效应。

试求：内外导体间的E 和D 及储存的静电场能量。

()0ln(/)
r
V a r b r b a ==<<E E e 解：
00εε==D E
D E
()()()2
2
02d 2
2ln /2ln /b
b
a a V
V
W rd r r l d r b a r b a εε
ππ⎡⎤⎡⎤=+-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎰⎰()()
20ln /d l d V b a πεε+-⎡⎤⎣⎦=
2、半径分别为a 和b 的无限长同轴线内外导体单位长度所带电荷量分别为l l ρρ-、
，如图所示。

圆柱面电极间在图示1θ角部分充满介电常数为ε的介质，其余部分为空气，求介质和空气中的电场强度和单位长度上的电容量。

解：由高斯定理 ()1012l Dr D r θπθρ+-= 由边界条件 0
E E =0
D D
ε
ε=
即 解得
()(
)00
01001022l
l
D D r r ερερεεθπεεεθπε==-+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦
⎣⎦
则 ()00102l
D
E E r ρεεεθπε===-+⎡⎤⎣
⎦ 两圆柱导体面间的电位差
()()0010010d d ln 22b
b
l l a
a
b
V E r r a r ρρεεθπεεεθπε===-+-+⎡⎤⎣
⎦⎰⎰
单位长度的电容量为
()01002ln()
l
C V
b a εεθπερ-+=
=
3、两块无限大接地导体板分别置于x =0和x =a 处，其间在x =x 0处有一面密度为σ2
C/m 的均匀电荷分布，如图所示。

求两导体板间的电场和电位。

（20分）
解： ()21
02d 0
0;d x x x
ϕ=<<
()22
02
d 0d x x a x
ϕ=<<
得 ()()11100;x C x D x x ϕ=+<<
()()
2220x C x D x x a ϕ=+<<()()()()()()()()0
122112102000,0;,
x x x x x x a x x x x ϕϕϕϕσ
ϕϕϕϕε
=∂∂⎡⎤
===-=-
⎢⎥∂∂⎣⎦
和满足得边界条件为
()010,x a C a
σε-=-
解得
10,D = 020,x C a σε=- 020x
D σε=
()()
()01000,a x x x
x x a σϕε-=所以
≤≤ ()
2x ϕ=
()()
()
(10110d 0d x x
x a x x x a ϕσϕε-=-∇=-=-<E e e ()()()20
2200d d x
x x x
x x x a x a
ϕσϕε=-∇=-=<<E e e 4、半径为a 的长直导线架载离地面为h 的高空(h>>a)。

若将地面视为理想导体，求此导线与地面 之间每单位长度的电容。

解：设导线单位长度电荷为l ρ,则像电荷为l ρ-导线表面上的电位为
'00112ln ln ln 222l l l l h a h a ρρϕϕϕπεπε⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=
-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 故导线与地面之间每电位长度的电容为
()
2ln 2l C h a ρπεϕ=
= 一、填空题
1、时变电磁场基本方程的微分形式是D
H J t
∂∇⨯=+
∂、 B E t ∂∇⨯=-∂、 0B ∇=、 D ρ∇=；对于静电场，
基本方程为0E ∇⨯=、 D ρ∇=；对于恒定磁场，基本方程则为H J ∇⨯=、 0B ∇=。

2、均匀平面波在有损耗媒质（或导电媒质）中传播时，电场和磁场的振幅将随传播距离的增加而按指数规律
衰减、 ，且磁场强度的相位与电场强度的相位不同。

3、两个频率相等、传播方向相同、振幅相等，且极化方向相互正交的线极化波合成新的线极化波，则这两个
线极化波的相位同相或反相。

4、当入射角i θ等于（或大于）临界角c θ时，均匀平面波在分界面上将产生全反射； 而当入射角i θ等于布儒
斯特角B θ时，平行极化的入射波在分界面上将产生全透射。

5距离r 成反比关系。

二、选择题
1、空气（介电常数10εε=）与电介质（介电常数204εε=）的分界面是0z =的平面。

若已知空气中的电场强度
124x z E e e =+，则电介质中的电场强度应为（c ）。

a . 2216x z E e e =+； b . 284x z E e e =+； c . 22x z E e e =+
2、某均匀导电媒质（电导率为σ、介电常数为ε）中的电场强度为E ，则该导电媒质中的传导电流c J 与位移
电流d J 的相位（c ）。

a . 相同；
b . 相反；
c . 相差90
3、引入矢量磁位A ，则磁感应强度B 与A 的关系为（b ）。

a . B A =∇；
b . B A =∇⨯；
c . 2B A =∇
4、用镜像法求解静电场边值问题时，判断镜像电荷设置是否正确的依据是（c ）。

a . 镜像电荷的位置是否与原电荷对称； b . 镜像电荷是否与原电荷等值异号；
c . 待求区域内的电位函数所满足的方程与边界条件是否保持不变。

5、以下三个矢量函数中，只有矢量函数（a ）才可能表示磁感应强度。

a . x y B e y e x =+； b . x y B e x e y =+； c . 22x y B e x e y =+
6、利用电场强度和磁场强度的复数形式计算平均坡印廷矢量S 平均的公式是（a ）。

a . 1Re[]2S E H *=
⨯平均； b . 1Re[]2S E H =⨯平均； c . 1
Re[]2
S E H **=⨯平均 7、均匀平面波在良导体（或强导电媒质）中传播时，衰减常数α与相位常数β的大小满足（c ）。

a . αβ>>； b . αβ<<； c . αβ≈
8、穿透深度（或趋肤深度）δ与频率f 及媒质参数（电导率为σ、磁导率为μ）的关系是（c ）。

a . f δπμσ=； b
. δ； c
. δ=
9、频率50MHz f =的均匀平面波在某理想介质（介电常数04εε=、磁导率0μμ=、电导率0σ=）中传播时，波速（b ）。

a . 等于光速c ；
b . 等于2
c ； c . 等于4c 10．矩形波导中可以传输（c ）。

a . TEM 、TE 和TM 波；
b . TEM 波；
c . TE 和TM 波 11、横截面尺寸为a b ⨯
的矩形波导管，内部填充理想介质时的截止频率c f =，工作
频率为f 的电磁波在该波导中传播的条件是（b ）。

a . c f f =； b . c f f >； c . c f f <
12、矩形波导的截止波长与波导内填充的媒质（a ）。

a . 无关；
b . 有关；
c . 关系不确定，还需看传播什么波型 13、矩形波导的横截面尺寸为a b ⨯，设a b >，则此波导中传播的主 模的截止波长为（b ）。

a . a
b +； b . 2a ；
c . 2b 。

14．电偶极子的远区辐射场是有方向性的，其方向性因子为（ b ）。

a . cos θ； b . sin θ； c . cos[(2)cos ]sin πθθ 15、在电偶极子的远区，电磁波是（b ）。

a . 非均匀平面波；
b . 非均匀球面波；
c . 均匀平面波
三、计算题
1、图1表示同轴线的横截面，内导体半径为a ，外导体半径为b ，内外导体之间填充介电常数为ε的电介质。

同轴线的内外导体上加直流电压0U ，设同轴线的轴向长度远大于横截面尺寸。

试求：
（1）电介质内任一点处的电场强度；（2）电介质内任一点处的电位；（3）验证所求的电位满足边界条件。

解法一：
图1
（1）设同轴线单位长度的电荷为l ρ，则2l r
D e r ρπ= ⇒ 2l r
E e r
ρπε= 由 0d ln 2b l a b
U E r a ρπε==⎰ ⇒ 02ln()l U b a περ=
故 0
ln()
r
U E e r b a = ()a r b ≤≤
（2）0()d ln ln()b r U b
r E r b a r
ϕ==
⎰ ()a r b ≤≤ （3）在r a =处，0()a U ϕ=；在r b =处，()0b ϕ=。

解法二：
由
1d d ()0d d r r r r
ϕ
= ⇒ ()ln r A r B ϕ=+ ()a r b ≤≤ 在r b =处，()0b ϕ= ⇒ ln 0A b B +=；
在r a =处，0()a U ϕ= ⇒ 0ln A a B U +=
解得 0ln()U A b a =-，0
ln ln()
U B b b a =
而 0
ln()
r U E e r b a ϕ=-∇= ()a r b ≤≤
2、如图2所示，无限长直线电流I 沿z 轴流动，0z <的半空间充满磁导率为μ
的均匀磁介质，0z >的半空间
为空气。

试求上、下半空间的磁场强度和磁感应强度。

解: 由 e H e H φφ=上下⇒ 2I H H e r
φ
π=上下=
则 002I B H e r φ
μμπ=上上=，（0z >）； 2I
B H e r
φμμπ=下下=，(0z <) 3、已知空气（介电常数为0ε、磁导率为0μ）中传播的均匀平面波的磁场强度表示式为(,)()4cos()y z H x t e e t x ωπ=+- A m 试根据此表示式确定：（1）波的传播方向；（2）波长和频率；（3）与(,)H x t 相伴的电场强度(,)E x t ；（4）平均坡印廷矢量。

解:（1）沿x +方向传播；
（2）22λπβ==m ，81.510f c λ==⨯Hz ；
（3）0(,)(,)()4120cos()x y z E x t H x t e e e t x ηπωπ=⨯=-⨯- V m （4） 由 2(,)(,)16120cos ()x S E x t H x t e t x πωπ=⨯=⨯-
⇒ 0
1d 8120T
x S S t e T π==⨯⎰平均2W m
或由 ()()4120j x y z E x e e e ππ-=-⨯、()()4j x y z H x e e e π-=+
⇒ 1
Re[]81202
x S E H e π*=⨯=⨯平均2W m =1920π
4、（15分）电场强度为0()()j z x y m E z e je E e β-=+V m 的均匀平面波从空气中垂直入射到0z =处的理想介质（相
对介电常数4r ε=、相对磁导率1r μ=）平面上，式中的0β和m E 均为已知。

（1）说明入射波的极化状态；（2）求反射波的电场强度，并说明反射波的极化状态；（3）求透射波的电场强度，并说明透射波的极化状态。

解: [-1=180°，1=0°，j=90°，-j=-90°]
（1）左旋圆极化波（x 方向滞后90°）；
（2）10120ηηπ== Ω、20260ηηηπ=== Ω
0μ
μ
I
x
z 图2
⇒ 21211
3ηηηη-Γ=
=-+⇒ 0()()3
j z m x y E E z e je e β-=-+V m ，
这是沿z -方向传播的右旋圆极化波（x 方向滞后90°）；
（3）2
13
τ=+Γ= ，2002ββ==
⇒ 0222()()3
j z m x y E
E z e je e β-=+V m ，
这是沿z +方向传播的左旋圆极化波（x 方向滞后90°）。

5、在充满均匀、线性和各向同性理想电介质（介电常数为ε、磁导率为μ）的无界空间，假定可用矢量函数
(,)cos()x m E z t e E t z ωβ=-表示电场强度。

（1）试推证：在什么条件下，这个假定才是正确的？（2）在这个假定得到确认后，求出与(,)E z t 相伴的其余三个场矢量(,)D z t 、(,)H z t 和(,)B z t 。

（1）解法一:
(,)E z t 应满足波动方程 22
2
(,)
(,)0E z t E z t t
με∂∇-=∂ 而 22(,)cos()x m E z t e E t z βωβ∇=--
222
(,)cos()x m E z t e E t z t
μεωμεωβ∂=--∂ ⇒ 22βωμε=
（1）解法二：
()j z x m E z e E e β-=⇒ 1()()j z y m H z E z e E e j ββωμωμ
-=-∇⨯= ⇒ 2
21
()()j z x m E z H z e E e j ββωεωμε
-=∇⨯= ⇒ 22βωμε=
（2）(,)(,)cos()x m D z t E z t e E t z εεωβ==-
(,)cos()y m
H z t e E t z β
ωβωμ=-
(,)(,)cos()y
m B z t H z t e E t z β
μωβω
==-。

一、填空
1．静电场的两个基本方程的积分形式为：⎰=⋅C
l d E 0 、⎰=⋅S
q S d D
；
在两种完介质的分界面上，电场的两个基本物理量满足的边界条件为 t t E E 21=、n n D D 21=。

2、电位满足的泊松方程为 0
2ερ
-
=ϕ∇；在两种完纯介质分界面上电位满足的边界条件为21ϕ=ϕ 、n
n ∂ϕ∂ε=∂ϕ∂ε2
211。

3、恒定电场的两个基本方程的微分形式为)(0ϕ-∇==⨯∇E E
、0=⋅∇J 。

相应的边界条件为 t t E E 21=、n n J J 21=。

4、在均匀各向同性媒质中，静电场的两个基本场量满足的本构关系为 ε=D E ；恒定电场的两个基本场量满足的本构关系为σ=J E 。

5、电流连续性方程的微分形式为0=∂ρ
∂+⋅∇t
J 。

6、电容是导体系统的一种属性，它的大小只与导体的 尺寸 、 形状 及 周围介质 有关，而与导体所带 电荷 及导体间的 电压 无关。

二、选择填空
1、静电场中，引入电位函数的依据是方程（a ）
P
ρρρ
ε+∇⨯=∇=∇=
a E
b D
c E 、、、 2、点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（b ）。

2111
ln r r r
a b c 、
、、 3、在计算有限长线电荷产生的电场强度E 时，高斯定理有效吗？（b ）。

a 、 有效 b 、 无效 c 、 不能确定 4、两种不同媒质的分界面为0z =的xy 平面，若已知点P(0,0,1)处电场强度的切向分量和法向分量，利用边界条件（ c ）
a 、可确定点P ’(0,0,-1)处电场的切向分量
b 、可确定点P(0,0,-1)处电位移矢量的法向分量
c 、都不能确定
5、半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （b ）。

a 、 电荷分布不为零的区域 b 、 整个空间 c 、 电荷分布为零的区域
三、计算题
1、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。

试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。

解：由高斯定理 ⎰=⋅S
q S d D
得 24q D r π=，2
4r r q
D r π==D e e 空间的电场分布 2004r q
r επε==D E e
导体球的电位 20044r a a a q
U d d d r a πεπε∞
∞∞
====⎰⎰⎰E l E r e r
导体球的电容 04q
C a U
πε==
2、两块很大的平行导体板，板间距离为d ，且d 比极板的长和宽都小得多。

两板接上直流电压为U 的电源充电后又断开电源，然后在板间放入一块均匀介质板，它的相对介电常数为9r ε= ，厚度比d 略小一点，留下一小空气隙，如图所示。

试求放入介质板前后，平行导体板间各处的电场强度。

解：（1）建立坐标系如图。

加入介质板前，因两极板已充电，板间电压 为U ，间距d 远小于平板尺寸，可以认为极板间电场均匀，方向与极板
垂直。

所以板间电场为 0z U
d
=-E e
设两极板上所带自由电荷面密度分别为s ρ和s ρ-，根据高斯定理
s s
s d d Q S ερ=
==∆⎰
⎰D S E
S
即 000s D E S S ερ=∆=∆
得 0000s U
D E d
ερε===
（放入介质后，电荷不变，但由于电源断开，电压要变；电压是电场 的积分，电场变了，电压当然要变）
（2）加入介质板后，因充电后电源断开，所以极板上的自由电荷面密度保持不变。

应用高斯定理，可求得极板间任一点的电位移矢量
9
r ε=d z
z z s z U
D d
ρε=-=-=-D e e e （U 为电源断开前的值） （由于板极上自由电荷面密度不变，故空气中的场与插入介质之前一样：
n n D D 21=→200210E d
U
E E r n n εε=ε→ε=ε）
根据ε=D E 的关系得空气隙中的电场强度为 10z U
d
ε==-D E e
电介质中的电场强度 2019z
z r D U
d
εεε==-=-⋅D E e e 可见空气隙中的电场强度与未加介质板前相同，而介质板中的电场强度却只有未加介质板前场强的
1/9。

3、 同轴电缆的内导体半径为a ，外导体半径为c ；内、外导体之间填充两层有损耗介质，其介电常数分别为1ε和2ε，电导率分别为和1,2γγ，两层介质的分界面为同轴圆柱面，分界面半径为b 。

当外加电压0U 时，试求：（1）介质中的电流密度和电场强度分布； （2）介质分界面上的自由电荷面密度。

解：（1）设单位长度同电缆的径向电流为I ， 则由 s
d I =⎰J S
得
()
()
22
211
122r
r r
r J I E a r b r J I E b r c r
γπγγπγ=
=<<=
=
<<
由于 02121ln
2b
c
r r a b I
U E dr E dr πγ=+=
⎰⎰由此可得 120
122ln ln
U I b c a b
πγγγγ=+
由 12n n J J =
故得两种介质中得J 和E 为
120
121210
22
122011122ln ln ln ln ln ln r r
r
r
r
U I J b c r
r a b U b c r a b U b c r a b γγπγγγγγγγγγγ=====⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭=
=⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭==⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭J J J e e e J
E e J
E e
（2）介质分界面上的面电荷密度
由
()()()12112212210
12ln ln s r b
r r b U b c b a b ρεεεγεγγγ===-=--=
⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭n D D e E E
4、电场中有一半径为a 的圆柱体，已知圆柱体内外的电位函数分别为
1220cos r a
a A r r a r ϕϕφ=≤⎛⎫=-≥ ⎪⎝
⎭ （1）求圆柱体内、外的电场强度；
（2）这个圆柱体是什么材料制成的？其表面上有电荷分布吗？试求之。

（圆柱坐标系中
r z r r z
φϕϕϕϕφ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e ） 解：(1) 由ϕ=-∇E ，得 ()110r a ϕ=-∇=≤E
()
2222222221cos 1sin r z r r r z
a a A A r a r r φφϕϕϕϕφφφ∂∂∂=-∇=++∂∂∂⎛⎫⎛⎫=-++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
E e e e e e （2）圆柱体由导体制成。

其表面上有电荷分布。

由边界条件()21s r a ρ==-n D D 得 ()()21221120201cos 2cos s r a
r r a
r a a A r A ρεεεφεφ
====-=-⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭=-n D D e E E
一，填空题
1，麦克斯韦方程组的微分形式是（0D B H J E B D t t
ρ-∂∂∇⨯=+∇⨯=∇=∇=∂∂、、、 ）；对于静电场和恒定磁场，方程组则认为（0D E ρ∇=∇⨯=、）和（0B H J ∇=∇⨯=、 ）；
2，在两种不同媒质的分界面上，（E （或电场强度））矢量的切向分量总是连续的；（B （或磁感应强度））矢量的法向分量总是连续的。

3，在线性和各向同性的导电媒质中，电流密度，电导率σ和电场强度之间的关系是（J E σ=），此关系式称为欧姆定律的微分形式。

4，用电场矢量，表示电场能量密度的公式为ωe =（12
D E ⋅），用磁场矢量，表示磁场能量密度的公式为ωm =（12
B H ⋅）。

5，平均坡印廷矢量S av =（*1Re[]2
E H ⨯），其物理意义是（通过垂直于波传播方向的单位面积的平均功率）。

6，空气中的电场强度E =e x 5sin （2βπ-t z ）V/m ，则位移电流密度J d =（2010cos(2)A m x e t z πεπβ-）。

7，磁场强度=y e H m cos （ωt －)z β，其复数形式为（j z y m H e H e
β-=）。

8，平面电磁波在空气中传播速度1030⨯==c ν８m/s ，在04εε=的电介质中传播时，传播速度则为ν=
（81.510m ⨯）。

9．平面电磁波在导电媒质中传播时，H 的相位与E 的相位将出现（相位差（或H 的相位落后于E 的相位））。

10，矩形波导内可传输（TE ）波和（TM ）波，但不能传输（TEM ）波。

11，判断电偶极子的电磁场属于近区，远区的条件分别是：（kr<<1）时，为近区；（kr>>1）时，为远区。

二，选择题
1，自由空间的电位函数x 2=ϕ2y －5z ，则点P （－４，３，６）处的电场强度E =（a ）。

A ，m V e e e z y x /53248+-
B ，m V e x /48
C ，m V e z /30
2，在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A ，并令A B ⨯∇=的依据是（ c ）。

A ，0=⨯∇
B B ，J B μ=⨯∇
C ，无法判断；
C ，0=•∇B
3，如图1所示，两块交角为︒120的半无限大接
地导体平面，试判断 能否用“镜像法”求解点电
荷q 所在的区域的电位（ a ）
A ，不能；
B ，能；
C ，无法确定；
4，频率f=1MHz 的均匀平面波在电导率m S /4=σ，磁导率m H /10470-⨯==πμμ的良导体中传播时，驱肤深度（或穿透深度）=δ（ a ）。

A ，m f 2501
⋅≈μσπ
B ，m f 4≈μσπ
C ，m f <≈0625.01μσ
π 5，平面电磁波从介电常数为1ε，磁导率01μμ=，电导率01=σ的媒质1斜入射介电常数为2ε，磁导率02μμ=，电导率02=σ的媒质2中时，设入射角为i θ，临界角为c θ，则产生全反射的条件是（ b ）。

A ，21εε>，且c i θθ<
B ，21εε>，且c i θθ≥
C ，21εε< ，且c i θθ≥
6，平行极化波在不同媒质分界面上无反射的条件是（ a ）。

A ，
B i θθ=
B ，B i θθ> （注：i θ为入射角，B θ为布儒斯特角）
C ，B i θθ<
7，设矩形波导的截止频率为f c ，工作频率为f 的电磁波在该波导中传播的条件是（ b ）。

A ， f =f c
B ， f >f c
C ， f <f c
8，电偶极子的远区场（辐射场）的电场强度E 与观察点到电偶极子中心的距离r 的关系是（ c ）。

A ，31r
E ∝
B ，21r
E ∝ C ，r E 1∝ 三，计算题
1，如图2所示同轴圆柱形电容器的横截面，其内导体半径为a ，外导体的内半径为b ，内外导体之间一半填充介电常数为1ε的电介质，另一半填充介电常数为2ε的电介质，若已知内导体单位长度的电荷量为q ，外导体的内表面上单位长度的电荷量为q -，试求：
（1），电容器中的电场强度
（2），电容器的单位长度电容和能量
解：
（1）由 d S
D S q =⎰ 得 12()r D D q π+=
而 111D E ε=，222D E ε=，且12E E =
则 1212()q E E r πεε==
+ （2） 12d ln ()b
a q
b U E r a πεε==
+⎰ 12()ln()
q C U b a πεε+== 2121ln 22()e q b W qU a
πεε==+
2．如图3所示，自由空间中两平行细导线中通过的电流为2A ，设细导线沿z 轴方向为无限长，试求以下各点的磁场强度：
（1）点P 1（0，0，0）；
（2）点P 2（2，0，0）；
（3）点P 3（0，0。

1）。

解：
（1）据安培定律得
11()A m L y H P e π
=- 11()A m R y H P e π=-
1112()()()A m L R y H P H P H P e π=+=- （2） 21()A m 3L y
H P e π=- 21()A m R y H P e π=
2222
()()()A m 3L R y
H P H P H P e π=+= （3） 312()()A m y H P H P e π==-
说明： 未写单位，扣1分；未写矢量符号，扣1分。

3．如图4所示，沿Z 轴放置的矩形截面导体槽，其上有一块与槽体相绝缘的盖板。

设槽体沿Z 轴方向为无限长，若已知槽体的电位为零，盖板的电位U 0，试写出槽内电位函数ϕ满足的方程与边界条件；
解：
22220x y
ϕϕ∂∂+=∂∂ 或 2222220x y z ϕϕϕ∂∂∂++=∂∂∂ (0,)0y ϕ=，(,)0a y ϕ=；(,0)0x ϕ=，0(,)x b U ϕ=
4．均匀平面波从空气中垂直入射到位于Z=0处的理想导体平面上，已知入射波电场强度为m V e E j e e z E z j m y x i /)()(0β--=，试求：
（1）入射波的极化状态，
（2）反射波的电场强度的瞬时表示式),(t z E r 和复数表示式)(z E r ，并说明反射波的极化状态；
（3）反射波的磁场强度的瞬时表示式),(t z H r 和复数表示式)(z H r 。

解：
（1）右旋圆极化波；
（2） 反射系数1R =-
00()()()j z j z r m x y m x y E z E e e j e E e e j e ββ=--=-+
00(,)Re[()][cos()sin()]j t r r m x y E z t E z e E e t z e t z ωωβωβ==-+++
这是（沿一z 方向传播的）左旋圆极化波
说明：园极化波，扣1分。

（3）0001
1()()()()j z r z r m y x H z e E z E e e j e βηη=-⨯=+
000(,)Re[()][sin()cos()]j t m
r r x y E H z t H z e e t z e t z ωωβωβη==-+++
5．频率f=10MHz 的均匀平面波沿+z 方向从媒质1（介电常数90110361-⨯==π
εεF/m 、磁导率701104-⨯==πμμH/m 、电导率01=σ）入射到媒质2（介电常数024μμ=、磁导率02μμ=、电导率02=σ），两种媒质的分界面为Z=0平面。

设入射波是x 方向的线极化波、电场振幅为2V/m 、初相位为零。

试求：
（1） 入射波的电场强度i E 的瞬时表示式、磁场强度i H 的瞬时表示式和平均坡印廷矢量iav S
（2） 反射波的电场强度r 的瞬时表示式和磁场强度r 的瞬时表示式
（3） 透射波的电场强度t 的瞬时表示式和磁场强度t 的瞬时表示式
（1）
1rad/m 15π
β==
110120ηπεε===Ω 故 7(,)2cos(210)V/m 15
i x E z t e t z ππ=⨯- 711(,)cos(210)A/m 6015
i i z y
E H z t e e t z ππηπ=⨯=⨯- 2721(,)(,)(,)cos (210)W/m 3015
i i i z S z t E z t H z t e t z πππ=⨯=⨯- 2201(,)d W/m 260iav z S S z t t e πωωππ==⎰
__________________________________________________________________
或 *211Re[]W/m 260iav z S E H e π
=⨯= _________________________________________________________________
（2） 21
1602ηηπ===Ω 反射系数1121211111213
2
R ηηηηηηηη--===-++， 故 72cos(210)V/m 315r x E e t z ππ=-⨯+ 711cos(210)A/m 18015
r r z y E H e e t z ππηπ=-⨯=⨯
+ （3） 透射系数221223
T ηηη==+ 又 22rad/m 15
πβ== 故 742cos(210)V/m 315
t x E e t z ππ=⨯- 7212cos(210)A/m 4515t t z y E H e e t z ππηπ=⨯=⨯-。