精品-2019版高考数学二轮复习限时检测提速练16直线与圆锥曲线的位置关系及证明问题

限时检测提速练(十六) 直线与圆锥曲线的位置关系及证明问题
A 组
1．(2018·永州二模)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为2
2
． (1)求椭圆C 的方程；
(2)已知直线l 经过点P (0，－1)，且与椭圆交于A ，B 两点，若AP →＝2PB →
，求直线l 的方程．
解：(1)依题意可设椭圆方程为x2a2＋y2
b2＝1，
∵2c ＝4，e ＝c a ＝2
2，∴a ＝22，
∴b 2
＝a 2
－c 2
＝4，
∴椭圆C 的方程为x28＋y2
4
＝1．
(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设l 的方程为：y ＝kx －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx －1，x28＋y2
4＝1得(2k 2＋1)x 2
－4kx －6＝0，且A ＞0，
则x 1＋x 2＝
4k 2k2＋1，x 1·x 2＝－6
2k2＋1
， ∵AP →＝2PB →
，即(－x 1，－1－y 1)＝2(x 2，y 2＋1)， ∴x 1
＝－2x 2
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
－x2＝4k
2k2＋1
，－2x22＝－6
2k2＋1
消去x 2并解关于k 的方程得：k ＝±3010
， ∴l 的方程为：y ＝±
30
10
x －1． 2．(2018·江淮联考)已知抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ． (1)若斜率为－1的直线l 过点F 与抛物线C 交于A 、B 两点， 求|AF |＋|BF |的值；
(2)过点M (m,0)(m ＞0)作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，且FA →·FB →
＜0，求m 的取值范围．
解：(1)依题意，F (1,0)；设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则直线l ：y ＝－x ＋1；联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
y2＝4x ，
y ＝－x ＋1则(－x ＋1)2
＝4x ，
则x 2
－6x ＋1＝0，则x A ＋x B ＝6；
由抛物线定义可知，|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋2＝8．
(2)直线l 的方程为x ＝ty ＋m ，l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＝1
4
y 21，
x 2＝14
y 2．
将l 的方程代入抛物线的方程，化简得y 2
－4ty －4m ＝0， 判别式Δ＝16(t 2
＋m )＞0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m ． ∵FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →
＝(x 2－1，y 2)， ∴FA →·FB →
＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2 ＝116(y 1y 2)2
＋y 1y 2－14
(y 21＋y 2)＋1 ＝116(y 1y 2)2＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2
－2y 1y 2]＋1． 又∵FA →·FB →＜0，∴m 2－6m ＋1－4t 2
＜0恒成立， ∴m 2
－6m ＋1＜4t 2恒成立．
∵4t 2
＞0，∴m 2
－6m ＋1＜0只需即可， 解得3－22＜m ＜3＋22．
∴所求m 的取值范围为(3－22，3＋22)．
3．(2018·三湘教育联盟联考)动点P 到定点F (0,1)的距离比它到直线y ＝－2的距离小1，设动点P 的轨迹为曲线C ，过点F 的直线交曲线C 于A 、B 两个不同的点，过点A 、B 分别作曲线C 的切线，且二者相交于点M ．
(1)求曲线C 的方程； (2)求证：AB →·MF →
＝0．
(1)解：由已知，动点P 在直线y ＝－2上方，条件可转化为动点P 到定点F (0,1)的距离等于它到直线y ＝－1距离．
∴动点P 的轨迹是以F (0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线故其方程为x 2
＝4y ． (2)证明：设直线AB 的方程为：y ＝kx ＋1，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x2＝4y ，y ＝kx ＋1得：x 2
－4kx －4＝0，
设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4，
由x 2
＝4y 得：y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，
∴直线AM 的方程为：y －14x 2A ＝1
2x A (x －x A )①
直线BM 的方程为：y －14x 2B ＝1
2x B (x －x B )②
①－②得：14(x 2B －x 2A )＝1
2(x 2B －x 2A ＋x A x －x B x )，
即x ＝xA ＋xB 2＝2k ，将x ＝xA ＋xB
2
代入①得：
y －14x 2A ＝12x A
xB －xA 2＝14x A x B －1
4
x 2A ，
∴y ＝1
4
x A x B ＝－1，故M (2k ，－1)，
∴MF →＝(－2k,2)，AB →
＝(x B －x A ，k (x B －x A ))， ∴AB →·MF →
＝－2k (x B －x A )＋2k (x B －x A )＝0．
4．(2018·云南联考)已知椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为1
2，点A ，B 分别为
椭圆E 的左、右顶点， 点C 在椭圆E 上，且△ABC 面积的最大值为23．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设F 为E 的左焦点，点D 在直线x ＝－4上，过F 作DF 的垂线交椭圆E 于M ，N 两点．证明：直线OD 平分线段MN ．
(1)解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
e ＝c a ＝1
2
，ab ＝23，
a2＝b2＋c2，解得⎩⎨
⎧
a ＝2，
b ＝3，
故椭圆E 的方程为x24＋y2
3
＝1．
(2)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (－4，n )， 线段MN 的中点P (x 0，y 0)，
则2x 0＝x 1＋x 2,2y 0＝y 1＋y 2，由(1)可得F (－1,0)， 则直线DF 的斜率为k DF ＝
n －0
－4－－＝－n 3
，
当n ＝0时，直线MN 的斜率不存在， 根据椭圆的对称性可知OD 平分线段MN ．
当n ≠0时，直线MN 的斜率k MN ＝3n ＝y1－y2
x1－x2．
∵点M ，N 在椭圆E 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x214＋y21
3
＝1，x224＋y22
3＝1，
整理得：
＋
－
4
＋
＋－
3
＝0，
又2x 0＝x 1＋x 2,2y 0＝y 1＋y 2，
∴y0x0＝－n 4，直线OP 的斜率为k OP ＝－n
4， ∵直线OD 的斜率为k OD ＝－n 4，
∴直线OD 平分线段MN ．
B 组
1．(2018·成都一检)已知椭圆C ：x2a2＋y2
b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴
与短半轴的比值为2．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．
解：(1)由题可知c ＝3，a b ＝2，a 2＝b 2＋c 2
，
∴a ＝2，b ＝1．
∴椭圆C 的方程为x24
＋y 2
＝1．
(2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意． 当直线l 的斜率存在且不为0时，
设直线l 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
联立，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝my ＋1，
x2＋4y2＝4，
消去x 可得(4＋m 2
)y 2
＋2my －3＝0． Δ＝16m 2
＋48＞0，y 1＋y 2＝
－2m 4＋m2，y 1y 2＝－3
4＋m2
． ∵点B 在以MN 为直径的圆上，∴BM →·BN →
＝0． ∵BM →·BN →
＝(my 1＋1，y 1－1)·(my 2＋1，y 2－1)
＝(m 2
＋1)y 1y 2＋(m －1)(y 1＋y 2)＋2＝0， ∴(m 2
＋1)－34＋m2＋(m －1)－2m 4＋m2＋2＝0，
整理，得3m 2
－2m －5＝0，解得m ＝－1或m ＝53．
∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x －5y －3＝0．
2．已知点M 是椭圆C ：x2a2＋y2
b2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且
|F 1F 2|＝4，∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为43
3
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．
(1)解：在△F 1MF 2中，
由12|MF 1||MF 2|sin 60°＝433， 得|MF 1||MF 2|＝163．
由余弦定理，得
|F 1F 2|2
＝|MF 1|2
＋|MF 2|2
－2|MF 1|·|MF 2|cos 60°＝(|MF 1|＋|MF 2|)2
－3|MF 1||MF 2|＝16， 解得|MF 1|＋|MF 2|＝42．
从而2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝42，即a ＝22． 由|F 1F 2|＝4得c ＝2，从而b ＝2， 故椭圆C 的方程为x28＋y2
4
＝1．
(2)证明：当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ， 则其方程为y ＋2＝k (x ＋1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧
x28＋y24＝1，
y ＋2＝
＋，
消去y ，得
(1＋2k 2
)x 2
＋4k (k －2)x ＋2k 2
－8k ＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－
－1＋2k2，x 1x 2＝2k2－8k
1＋2k2
．
从而k 1＋k 2＝y1－2x1＋y2－2
x2
＝
2kx1x2＋
－＋
x1x2
＝2k －(k －4)·
－
2k2－8k
＝4．
当直线l 的斜率不存在时， 可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，
142，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，－142，得k 1＋k 2＝4． 综上，k 1＋k 2为定值．
3．(2018·洛阳一模)已知抛物线E ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(1,0)，过点P (2,0)的直线l 1与抛物线E 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，直线l 2过点P 且与抛物线E 交于C ，D 两点(A ，C 在x 轴的同一侧)，过点P 作x 轴的垂线与线段AC 和BD 分别交于M ，N 两点．
(1)已知a ＝(1，y 1)，b ＝(8，y 2)，求a ·b 的值；
(2)求证：当直线l 1，l 2的斜率存在时，点P 始终为线段MN 的中点． (1)解：由抛物线E ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(1,0)知p ＝2，即y 2
＝4x ． 由题意知l 1，l 2的斜率均不为0， 设直线AB 的方程为x ＝my ＋2，
联立x ＝my ＋2与y 2
＝4x ，消去x 得y 2
－4my －8＝0， Δ＝16m 2
＋32＞0，y 1y 2＝－8，∴a ·b ＝8＋y 1y 2＝0． (2)证明：设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 由(1)知y 1y 2＝－8，同理可得y 3y 4＝－8． 直线AC 的斜率为y1－y3x1－x3＝4
y1＋y3，
则直线AC 的方程为y －y 1＝
4y1＋y3⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －y214． 当x ＝2时，点M 的纵坐标y M ＝y1y3＋8
y1＋y3．
同理可得，点N 的纵坐标y N ＝y2y4＋8
y2＋y4，
∴y M ＋y N ＝y1y3＋8y1＋y3＋y2y4＋8
y2＋y4
＝0．
故当直线l 1，l 2的斜率存在时，点P 始终为线段MN 的中点．
4．(2018·齐齐哈尔二模)设抛物线的顶点为坐标原点，焦点F 在y 轴的正半轴上，点
A 是抛物线上的一点，以A 为圆心，2为半径的圆与y 轴相切，切点为F ．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设直线m 在y 轴上的截距为6，且与抛物线交于P ，Q 两点，连接QF 并延长交抛物线的准线于点R ，当直线PR 恰与抛物线相切时，求直线m 的方程．
解：(1)设抛物线方程为x 2
＝2py (p ＞0)，
∵以A 为圆心，2为半径的圆与y 轴相切，切点为F ， ∴p ＝2，∴该抛物线的标准方程为x 2
＝4y ．
(2)由题知直线m 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋6，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋6，x2＝4y
消去y 整理得x 2
－4kx －24＝0，
显然，Δ＝16k 2
＋96＞0．
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
x1＋x2＝4k ，x1·x2＝－24.
抛物线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x1，x214处的切线方程为y －x214＝x12(x －x 1)，
令y ＝－1，得x ＝x21－42x1，可得点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫x21－42x1，－1， 由Q ，F ，R 三点共线得k QF ＝k FR ，∴x22
4－1x2＝－1－1
x21－4
2x1
，
即(x 21－4)(x 2－4)＋16x 1x 2＝0，整理得(x 1x 2)2
－4[(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2]＋16＋16x 1x 2＝0， ∴(－24)2
－4[(4k )2
－2×(－24)]＋16＋16×(－24)＝0． 解得k 2
＝14，即k ＝±12
，
∴所求直线m 的方程为y ＝12x ＋6或y ＝－1
2x ＋6．。