华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第十五章)第三讲：几何概型及随机模拟-推荐下载

第三讲 几何概型及随机模拟
2
积.
例如做 1 000 次试验,即 N=1 000,模拟得到 N1=698,所以 S≈ 2N1 =1.396.（N 代表落在矩形中的点 N
（a,b）的个数）.
例 6 （事件区域的体积）
在线段[0，1]上任意投三个点，问由 0 至三点的三线段，能构成三角形与不能构成三角形这两个事件
32
2
p V (G) /V (T ) 1 ，由此得，能与不能构成三角形两事件的概率一样大。 2
【综合题典例解析】 1
例 1 利用随机模拟方法计算曲线 y= ,x=1,x=2 和 y=0 所围成的图形的面积.
x
分析：在直角坐标系中画出正方形（x=1,x=2,y=0,y=1 所围成的部分）,用随机模拟的方法可以得到 它的面积的近似值.
中哪一个事件的概率大。 解：设 0 到三点的三线段长分别为 x,y,z，即相应的
右端点坐标为 x,y,z，显然 0 x, y, z 1这三条线段构
成三角形的充要条件是：
x y z, x z y, y z x 。
在线段[0，1]上任意投三点 x,y,z。与立方体
0 x 1 ， 0 y 1， 0 z 1中的点 (x, y, z) 一一对应，
，取到的点到
O
的距离大于
1
的概率为1
2
4
4
例 4 （事件区域的面积）
两人相约 8 点到 9 点在某地会面,先到者等候另一人 20 分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率. 解：因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数（甲、乙两人各自到达的时刻）组成.以 8
点钟作为计算时间的起点,设甲、乙各在第 x 分钟和第 y 分钟到达,则样本空间为 Ω：{(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60},画成图为一正方形.以 x,y 分别表示两人的到达时刻,则 两人能会面的充要条件为|x-y|≤20.


x


或
x


∴ 1
x2或2

x 1，区间长度为 2
x ，由几何概型知 cos
的
22 3322
33
3
2
2
1
值介于 0 到
之间的概率为
3

1
.
2
23
例 2 （事件区域的长度）
假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？
解：以两班车出发间隔 ( 0，10 ) 区间作为
几何概型的基本特点： 试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；每个基本事件出现的可能性相等. 知识点 3 几何概型的概率公式：
构成事件A的区域长度（面积或体积）
P（A）=
。
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
指出：（1）几种常见的几何概型： ① 设线段 l 是线段 L 的一部分,向线段 L 上任投一点.若落在线段 l 上的点数与线段 L 的长度成正比, 而与线段 l 在线段 l 上的相对位置无关,则点落在线段 l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度 ② 设平面区域 g 是平面区域 G 的一部分,向区域 G 上任投一点,若落在区域 g 上的点数与区域 g 的面 积成正比,而与区域 g 在区域 G 上的相对位置无关,则点落在区域 g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积 ③ 设空间区域上 v 是空间区域 V 的一部分,向区域 V 上任投一点.若落在区域 v 上的点数与区域 v 的 体积成正比,而与区域 v 在区域 v 上的相对位置无关,则点落在区域 V 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积 （2）几何概率是考研大纲上要求的基本内容，也是近年来新增考察内容之一；有关几何概率的题目 难度不大，但需要准确理解题意，利用图形分析问题。 （3）学好几何概率对于解决后续均匀分布的问题有很大帮助。 （4）我们是就平面的情形给出几何概型的，同样的方法显然也适用于直线或空间的情形，只需将“面 积”相应地改变为“长度”、“体积”； 几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结 果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域 Ω，这时， 与试验有关的问题即可利用几何概型来解决
【基础题典例解析】
例 1 （事件区域的长度）
在区间1,1上随机取一个数 x ,求 cos x 的值介于 0 到 1 之间的概率。
2
2
第三讲 几何概型及随机模拟
1
解：在区间[-1，1]上随机取一个数 x,即 x [1,1] 时,要使 cos x 的值介于 0 到 1 之间,需使
2
2
这是一个几何概率问题,可能的结果全体是边长为 60 的正方形里的点,能会 面的点的区域用阴影标出（如下图）.所求概率为 P=
面积

60 2
402

5
.
G的面积
60 2
9
例 5 利用随机模拟方法计算下图中阴影部分（y=1 和 y=x2 所围成的部分）的面积.
分析：师生共同讨论,在坐标系中画出矩形（x=1,x=-1,y=1 和 y=-1 所围成的
样本空间 S，乘客随机地到达，即在这个长度是
10 的区间里任何一个点都是等可能地发生，因此
是几何概率问题。
0←
S
→10
要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的时
a的长度 3
刻应该是图中 A 包含的样本点，p=
= = 0.3 。
S的长度 10
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术0艺料不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试22下卷，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看2度并22工且22作尽22下可22都能2可地护1以缩关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编5试要写、卷求重电保技要气护术设设装交备备4置底高调、动。中试电作管资高气，线料中课并3敷试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点. 这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几 何概率模型（geometric models of probability）,简称几何概型.
例 3 （事件区域的面积）
ABCD 为长方形，AB＝2，BC＝1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，求取到的点
到 O 的距离大于 1 的概率。

解：长方形面积为 2,以 O 为圆心,1 为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为 ，因此取到的点到 2
O
的距离小于
1

的概率为

÷2＝
部分）,利用模拟的方法根据落在阴影部分的“豆子”数和落在矩形的“豆子”数的比值,等
于阴影面积与矩形面积的比值.
解：（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数 a1=RAND（）, b=RAND（）.
（2）进行平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2.
（3）数出落在阴影内（即满足 0<b<1 且 b-a2>0）的样本点数 N1,用几何概型公式计算阴影部分的面
【知识概要】
知识点 1 随机数的概念 随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。 指出：随机数的产生方法 （1）利用函数计算器可以得到 0~1 之间的随机数； （2）在 Scilab 语言中，应用不同的函数可产生 0~1 或 a~b 之间的随机数。
知识点 2 几何概型的概念 对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每
解：（1）利用计算器或计算机产生两组 0 到 1 区间上的随机数,a1=RAND,b=RAND； （2）进行平移变换：a=a1+1；（其中 a,b 分别为随机点的横坐标和纵坐标） （3）数出落在阴影内的点数 N1,用几何概型公式计算阴影部分的面积.
第三讲 几何概型及随机模拟
教学目的：了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步
体会几何概型的意义；
教学重点：几何概型的计算 教学难点：将实际问题转化为概率模型处理
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术0艺料不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试22下卷，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看2度并22工且22作尽22下可22都能2可地护1以缩关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编5试要写、卷求重电保技要气护术设设装交备备4置底高调、动。中试电作管资高气，线料中课并3敷试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
可见所求“构成三角形”的概率，等价于边长为 1 的立方体 T 中均匀地掷点，而点落在
x y z, x z y, y z x 区域中的概率；这也就是落在图中由
ΔADC，ΔADB，ΔBDC，ΔAOC，ΔAOB，ΔBOC 所围成的区域 G 中的概率。由于V (T ) 1,
V (G) 13 3 1 1 13 1 ，