四川省成都外国语学校2020-2021学年高二下学期第三次(6月)月考数学(理)试题含答案

成都外国语学校2020—2021学年度下期第三次月考考试
高二数学试卷（理科）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2．本堂考试120分钟，满分150分。

3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并用2B 铅笔填涂。

4．考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．）
1．设集合{}
2
60A x x x =--≥，集合{}01
234B =，，，，，则A B =（ ）
A ．{}4
B ．{}34，
C ．{}234，，
D ．{}0,1
234，，， 2．已知复数11z i =-+，22z =，在复平面内1z 和2z 所对应的两点之间的距离是（ ） A
B ．2
C
D ．4
3．用反证法证明命题“已知,a b 为实数，若,4a b ≤，则,a b 不都大于2”时，应假设（ ） A ．,a b 都不大于2
B ．,a b 都不小于2
C ．,a b 都大于2
D ．,a b 不都小于2
4．南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ） A ．164石
B ．178石
C ．189石
D ．196石
5．公比不为1的等比数列{}n a 满足56478a a a a +=，若24m a a =，则m 的值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10
D ．11
6．在同一坐标系中，将曲线2sin 3y x =变为曲线sin y x ''=的伸缩变换是（ ）
A ．312x x y y '
'=⎧⎪⎨=⎪⎩
B ．312x x
y y ='='⎧⎪⎨⎪⎩
C ．32x x y y =⎧⎨='
'⎩
D ．32x x
y y ''=⎧⎨=⎩
7．若曲线()()sin 32y x ϕϕπ=+<关于直线12
x π
=
对称，则ϕ的最大值为（ ）
A ．4
π B ．
54
π C ．
23
π D ．
53
π
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，图示为某三棱锥的三视图，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．
1717
π B ．
6817
π
C ．17π
D ．68π
9．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为75
，则判断框中应填入（ ） A ．5i ≤？ B ．6i ≤？ C ．7i ≤？ D ．8i ≤？
10．设双曲线22
22:1(0,0)x y G a b a b
-=>>的右焦点为(c,0)F ，圆
22:()4F x c y -+=与双曲线G 的两条渐近线相切于A ，B 两点，||1OA =，其中O
为坐标原点，延长FA 交双曲线G 的另一条渐近线于点C ，过点C 作圆F 的另一条切线，设切点为D ，则||BD =（ ） A ．
16
5
B ．85
C ．3
D ．23
11．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且()f x 在(1,0)-上递减.若1
2(5)a f -=，
(ln2)b f =-，3(log 18)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a c b <<
B ． c b a <<
C ．a b c <<
D ．b a c << 12．已知函数()x
f x e =，()2m
g x m x
=-
+，若方程()()f x g x =有两个不相等的正实根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()0,e B ．()0,2e
C ．(),e +∞
D ．()2,e +∞
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）
13．若变量x ，y 满足20
204x y x y y +-≥⎧⎪
-+≤⎨⎪≤⎩
，则目标函数2z x y =-的最小值为________．
14．已知函数23()22x f x x e =-，则02()2(0)lim x f x f x
∆→∆-=∆________.
15．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)
49 26
39
54
根据上表可得回归方程ˆy bx a =+中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为______万元.
16．已知()3,0A ，若点P 是抛物线28y x =上的任意一点，点Q 是圆()2
2
21x y -+=上任意一点，则
2
PA
PQ
最小值是_________.
三、解答题（本大题共6小题，第22题10分，其它每题12分，共70分．解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤．）
17．已知函数()()3
2
391f x x x x x R =--+∈．
（1）求函数()f x 的单调区间．
（2）若()210f x a -+≥对[]
2,4x ∀∈-恒成立，求实数a 的取值范围.
18．近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“33+”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目．选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后得分．假定某省规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、13%和2%划定A 、B 、C 、D 、E 五个等级，并分别赋分为90分、80分、70分、60分和50分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，该省某高中高一（1）班（共40人）举行了一次摸底考试（选考科目全考，单科全班排名），已知这次摸底考试中的历史成绩（满分100分）频率分布直方图，地理成绩（满分100分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中历史82分，地理70多分．
（1）采用赋分制后，求小明历史成绩的最后得分；
（2）若小明的地理成绩最后得分为80分，求小明的原始成绩的可能值；
（3）若小明必选历史，其它两科从地理、政治、物理、化学、生物五科中任选，求小明考试选考科目包括地理的概率．
19．如图，在圆锥PO 中，AC 为O 的直径，点B 在AC 上，//OD BC ，π6
CAB ∠=． （1）证明：平面PAB ⊥平面POD ； （2）若直线PA 与底面所成角的大小为π
4
，E 是PD 上一点，且OE PD ⊥，求二面角E AC B --的余弦值．
20．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到右焦点F 距离的最大值为3，最小值为1.
（1）求椭圆C 的标准方程：
（2）设MN 和PQ 是通过椭圆C 的右焦点F 的两条弦，且PQ MN ⊥.问是否存在常数λ，使得
PQ MN PQ MN λ+=⋅恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
21．已知函数()2e x
a f x x
=（a ∈R ，且0a ≠）
（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()()2
ln g x x f x x
=+-在区间()0,2内有两个极值点，求实数a 的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线12:33x t l y t ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
4sin()3
π
ρθ=+．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为(0,3)，直线l与曲线C的交点为,A B，求AB的值．
成都外国语学校2020—2021学年度第三次月考
高二数学试题参考答案（理科）
一．选择题
1—5 BCCCB6—10 BBCCA11．A12．D 二．填空题
13．10-14．4-15．65.516．4． 三．解答题
17．试题解析：（1）令
，解得
或
，
令，解得：
. 故函数的单调增区间为
，单调减区间为.
（2）由（1）知
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
，
∴， ∵对恒成立，
∴
，即
，∴
18．（1）90分；（2）76，77，78；（3）
2
5
． （2）40名学生中，地理赋分为90分有4015%6⨯=人，这六人的原始成绩分别为96，93，93，92，91，89；赋分为80分有4035%14⨯=人，其中包含原始成绩为80多分的共10
人，70多分的有4人，分别为76，76，77，78； ∵小明的地理成绩最后得分为80分，且原始成绩为70多分， ∴小明的原始成绩的可能值为76，77，78．
（3）记地理、政治、物理、化学、生物依次为A 、a 、b 、c 、d ，
∴小明从这五科中任选两科的所有可能选法有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),A d ，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共10种，而其中包括地理的有(),A a ，(),A b ，
(),A c ，(),A d 共4种，∴小明选考科目包括地理的概率为：42
105
P =
=． 19．（1）在圆锥PO 中，PO ⊥平面ABC ，则PO AB ⊥，
又AC 为O 的直径且点B 在AC 上，则AB BC ⊥，因//OD BC ，则有AB OD ⊥而
PO OD O =，所以AB ⊥平面POD ，又AB ⊂平面PAB ，从而有平面PAB ⊥平面POD
（2）令4AC =，因为直线PA 与底面所成角的大小为
π4，即4
PAO π
∠=，则2PO AO ==，
Rt ABC 中，π
6
CAB ∠=
，则2BC =，23AB =， 在平面PDO 内，过点D 作Dz//PO ，则Dz ⊥平面ABC ，以射线DO ，DA ，Dz 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：
则()0,0,0D ，(
)0,3,0A ，
()
2,3,0C -，()1,0,2P ，(1,0,0)O ， 又E 是PD 上一点，即(,0,2)DE DP λλλ==，点(,0,2)E λλ，
(1,0,2)OE λλ=-，(1,0,2)DP =，
而OE PD ⊥，即(1)122510OE DP λλλ⋅=-⋅+⋅=-=，15λ=
，则12,0,55E ⎛⎫
⎪⎝⎭
， ()
2,23,0AC =-，1
2,3,5
5EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，
设平面EAC 的法向量(),,m x y z =，则00m AC m EA ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即223012
30
5
5x y x y z ⎧-=⎪
⎨-+-=⎪⎩， 令y =1，则3x =，23z =，即(
)
3,1,23m =，又平面ABC 的法向量()001n ,,=，
∴222
233
cos ,(3)1(23)m n m n m n
⋅=
=
=
++，显然二面角E AC B --的平面角是锐角，所以二面角E AC B --的余弦值为
3. 20．（131a c a c +=⎧⎨-=⎩
，解得：2, 1.a c ==所以222
3b a c =-=，椭圆C 的方程为22
1.43x y +=
（2）当MN 和PQ 一个斜率不存在另一个为0时，不妨令MN 斜率不存在，
则2223=3,242
b MN PQ a a ⨯====，11117.3412MN PQ MN PQ MN PQ λ+=
=+=+=⋅ 当MN 和PQ 斜率都存在时，
设直线MN 的方程为1122(1),(,),(,)y k x M x y N x y =-，直线PQ 的方程为1
(1)y x k
=--.
联立方程22
143
(1)x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
得：2222(34)84120.k x k x k +-+-= 22222
(8)4(34)(412)1441440k k k k ∆=--+-=+>，21222
12283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，
则212212(1).43
k MN x k +=-==+
同理可得22
2
21
()112(1)12.1344()3k k PQ k k
-++=⨯=+-+ 则22221143347.12(1)12(1)12
MN PQ
k k MN PQ MN PQ k k λ+++=
=+=+=⋅++ 综上可知存在常数7
12
λ=
，使得PQ MN PQ MN λ+=⋅恒成立. 21．（1）()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()()'4
2x
ax x e f x x
-=， 当0a <时，()f x 在区间(),0-∞和()2,+∞上()'
0f
x <，()f x 递减，在区间()0,2上
()'0f x >，()f x 递增.
当0a >时，()f x 在区间(),0-∞和()2,+∞上()'
0f
x >，()f x 递增，在区间()0,2上
()'0f x <，()f x 递减.
（2）()()22ln 0x ae g x x x x x =+->，()()'
24
212x
ax x e g x x x x
-=-- ()32422x x x ax x e x ---=()()
4
2x
x x x ae x
--=.当()0,2x ∈时，()420x x x -<. 构造函数()()02,0x
h x x ae
x a =-<<≠，依题意可知()h x 在区间()0,2上有两个零点，
且零点两侧函数值符号相反.
()'1x h x ae =-，
当0a <时，()'
0h
x >，()h x 在区间()0,2上递增，至多有一个零点，不符合题意.
当0a >时，令()'
10x
h x ae =-=，解得1ln x a
=. （i ）若1
ln 0a
≤即1a ≥，则()h x 在区间()0,2上递减，至多有一个零点，不符合题意. （ii ）若1ln 2a
≥即21
0a e <≤，则()h x 在区间()0,2上递增，至多有一个零点，不符合题
意.
（iii ）若10ln 2a <<，即211a e <<，则()h x 在区间10,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在区间1ln ,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上
递减.
当0x =时，000a e a -⨯=-<；当2x =时，2222a e ae -⨯=-；
1
ln 11111ln ln ln ln 1a h a e a a a a a a ⎛⎫
=-⨯=-⨯=- ⎪⎝⎭
.
要使()h x 在区间()0,2上有两个零点，且零点两侧函数值符号相反，则需
22
1
11ln 1020a e a ae ⎧<<⎪⎪
⎪->⎨⎪-<⎪⎪⎩
，解得221a e e <<.综上所述，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫
⎪⎝⎭.
22．（1
）30l y +-=
；2220x y y +--=；（2
（2
）将1232x t y ⎧
=-⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩
代入②
式，得230t ++=，
点M 的直角坐标为(0,3)．设这个方程的两个实数根分别为12,t t ，
则12120,30t t t t +=-<⋅=>，∴120,0t t <<， 由参数t
的几何意义即得12AB t t =-=
=。