最新精选高中数学单元测试试题-空间向量与立体几何专题完整题库(含参考答案)

2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何
专题（含答案）
学校：__________
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题
1．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a ，且长为a 的棱异面，则a 的取值范围是
（A ） （B ） （C ） （D ）
2．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则P 到矩形对角线BD 的距离( ) (A )5
13 (B )
5
17 (C )
292
1
(D )
1295
1
3．
距离(选学)
一、选择题
1．已知a ⊂α ，A ∉α ，点A 到平面α 的距离为m ，点A 到直线a 的距离为n ，则( ) (A )m ≥n (B )m ＞n
(C )m ≤n
(D )m ＜n
4．已知空间中三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)，若向量a 分别与
,都垂直，且3||=a ，则a ＝( )
(A )(1，1，1)
(B )(1，－1，1)
(C )(－1，1，1) (D )(－1，－1，－1)或(1，1，1)
5．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，则1AC ⋅ ( ) (A )1 (B )0
(C )3
(D )－3
6．下列各组向量中不平行的是( ) (A )a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4) (B )c ＝(1，0，0)，d ＝(－3，0，0) (C )e ＝(2，3，0)，f ＝(0，0，0) (D )g ＝(－2，3，5)，h ＝(16，24，40)
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
7．已知空间点），，（和点432)2,1,(B x A ,且62=AB ,则点A 到的平面yoz 的距
是 . 【答案】6或2 【解析】
试题分析：由62=AB
=6x =或2x =-，所以点A 到的平面yoz 的距离是6或2.
8．点(2,1,2)P -关于坐标原点的对称点的坐标为____________．
9．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是→a =（1，0，1），→b =（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是 .
10．
空间直角坐标系中，点4sin ,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则A 、B 两点间距离的最大值为 ▲ ．
11．如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足
11B Q D P ⊥,
且PQ =
(1)试确定P 、Q 两点的位置.
D
B 11
第22题
(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.
12．二面角α －l －β 为60°，点A ∈α ，且点A 到平面β 的距离为3，则点A 到棱l 的距离为
13．棱长为4的正方体内一点P ，它到共顶点的三个面的距离分别为1，1，3，则点P 到正方体中心O 的距离为______.
14．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，所有棱长均为1，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，AB ⊥AD ，则AC 1的长度为______.
15．若A (0，2，1)，B (1，1，0)，C (－2，1，2)是平面α 内的三点，设平面α 的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝______．
三、解答题
16．（本小题满分10分）
如图，在空间直角坐标系A - xyz 中，已知斜四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的底面是边长为3的正方形，点B ，D ，B 1分别在x ，y ，z 轴上，B 1A = 3，P 是侧棱B 1B 上的一点，BP = 2PB 1 ．
（1）写出点C 1，P ，D 1的坐标；
（2）设直线C 1E ⊥平面D 1PC ，E 在平面ABCD 内， 求点E 的坐标．
17．(本小题满分10分)如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.
(Ⅰ)求二面角B AC M --的的余弦值； （Ⅱ）求点C 到面MAB 的距离.
18．在长方体1111ABCD A B C D -中，11,AA AD E ==为线段CD 中点． (1) 求直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值； （2）若2AB =,求二面角11A B E A --的大小；
（3） 在棱1AA 上是否存在一点P ,使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存
在,
19．（10分）如图，四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD=AD=3，E 为线段SD 上的一点． （1）求证：AC ⊥BE ；
（2）若DE=1，求直线SC 与平面ACE 所成角的正弦值．
1
D 1
B 1
20．如图，在四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1. （Ⅰ）证明PC ⊥AD ；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D 的正弦值；
（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长. 【2012高考真题天津理17】（本小题满分13分）
D
C
B
A
P
21．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AD =，12D D =，点P 在棱1CC 上，且1A PB π∠=2
．
（1）求PC 的长；
（2）求钝二面角1A A B P --的大小．
22．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =，E ，F 分别是
P
A B C
D 1A
1B
1C
1D
（第22题图）
棱AB ，BC 上的点，且1EB FB ==．
（1）求异面直线1EC 与1FD 所成角的余弦值；
（2）试在面1111A B C D 上确定一点G ，使DG ⊥平面EF D 1．(江苏省苏北四市2011届高三第一次调研)（本小题满分10分）
23．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1，且60BAD ∠=︒的菱形，侧棱长为2，P 是侧棱1CC 上的一点，
.CP m =
（1）试确定m ，使直线AP 与平面11BDD B 所成角为60;︒ （2）在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，
1D Q AP ⊥，并证明你的结论.
24．
2．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PB ⊥BC ，PD ⊥CD ，且P A ＝2，E 为PD 中点．
(1)求证：P A ⊥平面ABCD ； (2)求二面角E －AC －D 的余弦值；
(3)在线段BC 上是否存在点F ，使得点E 到平面P AF 的距离为
55
2？若存在，确定点F
A
D
E
C B
D 1
C 1
B 1
A 1
F
G
（第22题图）
的位置；若不存在，请说明理由．
25．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝BB 1＝1，点D 是A 1C 的中点．
(1)求A 1B 1与AC 所成的角的大小； (2)求证：BD ⊥平面AB 1C ； (3)求二面角C －AB 1－B 的余弦值．
26．已知向量a ＝(1，－1，2)，b ＝(－2，1，－1)，c ＝(2，－2，1)，求 (1)(a ＋c )·a ； (2)｜a －2b ＋c ｜； (3)cos 〈a ＋b ，c 〉．
27． 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90o
BAC ∠=，AB =AC =a ，1AA b =，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且113B E B B =
，1113C F CC =．设b
a
λ=． （1）当λ=3时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小；
（2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值．
F
E
C 1 B 1
A 1
C
B
A
（第22题图）
28．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直
,1AB AF =
= ．
(1）求二面角A-DF-B 的大小；
(2）在线段AC 上找一点P,使PF 与AD 所成的角为600
试确定点P 的位置． 4．
29．如图所示，已知四面体O ABC -中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，Q 为OB 的中点，P 为OA 的中点，若AB OC =，试用向量方法证明：PM QN ⊥
30．如图，边长为2的正方形11A ACC 绕直线1CC 旋转90°得到正方形11B BCC ，D 为1CC 的中点，E 为1A B 的中点，G 为△ADB 的重心． (Ⅰ）求直线EG 与直线BD 所成的角；
(Ⅱ）求直线1A B 与平面ADB 所成的角的正弦值．
B
E
A
F
D
C
A
B
C。