机械制图相对位置

V
M B K
P
A L
F N m C c PH f n k a l
b
X
2、直线为特殊位置
b a
k' 1' (2' )
e
分析 ： 作图 ：
c
f a
2
① 求交点 ② 判别可见 性 点Ⅰ位于EF上， 在前；点Ⅱ位于平 面上，在后。故k 1为可见。
ek f
1
c
b
二、平面与平面相交
两平面相交其交线为直线，交线是两平 面的共有线，同时交线上的点都是两平面的 共有点。
空间分析及步骤：
A
P
C
X
d
2' k' b'
1 b k a e
O
K B
2
c
1、作DE的垂面； 2、求垂面与BC的交点； 3、连接AK,既为所求。
例：作一平面与两已知平面垂直。
2′ 1′ 5′ 3′
7′
c′ 11
6′
4′
b′ a′ a b 7
12
9′
8′
2
1
5
6
11
3
8
4
c
10
9
直线与平面相交
P A
二、平面与平面平行 两面平行的作图问题有：判 别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与 已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平 面的所缺投影。
一、直线与平面平行
若一直线 平行于属于定平 面的一直线，则 该直线与平面平 行。
D P
C
A
B
立体
例：过M点作直线MN平行于平面ABC。
b 1 c
立体
例：试判断两平面是否平行
a' f'
r
b'
m
s
n
e'
c' c
m
d' e
n
a
d
r
s
b
结论：两平面平行
f
为作图方便， 通常取投影面 的平行线。
例：判断平面ABDC与平面EFHM是否平行, 已知AB∥CD∥EF∥MH m
a
c
e
k
h f
O
X
b
b
d
d
a c e
f k m
h
例：试过点K作一平面平行于已知平面 。
1′ a′ 2′ 3′ X c′ 2 a 1 c 3 k b d′ k′ b′ O
d
例: 试过定点A作直线与已知直线EF正交。
若求点到直线的距离？
k 1 PV e e 2 a T.L 2 f
a
k
f 1
例：过已知点A作一直线使它与已知直 线BC相交，且与已知直线DE垂直。
e' c' a' d' 1' D E RV
机械制图A1
主讲：伍 英
直线与平面及两平面的相对位置
直线与平面及两平面的 相对位置
§1直线与平面、两平面平行 §2 直线与平面、两平面相交 §3 直线与平面、 两平面 垂直
§1 直线与平面平行 • 两平面平行
一、直线与平面平行 有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面 是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作 平面与另一已知直线平行。
2
k 1
c
e
b
f
( 2 ) 1
c
4 利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
b
k
3
e
f
a
a
2
b
k
1
（3） 4
c
e
立体
例：试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直 线EF相交 。
c
PV m
k
f1
2 n h
1．过点K作平面 KMN// ABC平面。 2．求直线EF与平面 KMN的交点H 。
K
B
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平 面的共有点。 返回
平面与平面相交
M
K F
N
L
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面 所共有线。 返回
1 (2)
Ⅱ Ⅰ Ⅲ
利 用 重 影 点。 判 别 可 见 性
Ⅳ
3 (4) 返回
平面与平面相交
M M
K
K
F
F
N
L
L
全交
N
互交
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面 所共有线。 返回
n
k
B k
n
例：过点K做平面的法线。
l
1 2 a c 2 a 1 b l b k
c
k
例：求点G到□ABCD的距离。
g c (b)
空间及投影分析：
k´
a (d) d g k c
G

g

P
g

a
b
例：试作直线AB的垂直平分面。
m′ b′ 若题目改为 求距AB 两点 等距的轨迹 如何作？
（作正垂面）
例： 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否 垂直。
h c
g k
f b
a
c
X
g
O
f k b
结论：两平面不垂直
例：判断两平面是否垂直。
b′
d′
a′ 1′ c′
e′
X a
f′
O e
c f 1 d
b
两平面不垂直。
例：已知AB、CD为正交两线段，作线段 的正面投影。
b' a' d'
b'
e' d' a'
k'
b d
e'
k' b d
a k 无数解
e
a k e
b'
例：过点K作 一水平线平行 与已知平面 △ABC。
k'
1' a' c'
c
k T.D a 1 b
二、两平面平行
P E D F C B A S
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于 另一平面的相交两直线，则此两平面平行。
特殊情况：
例： 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。 h f′ c a d′ f a d c b h k g b′ g k′
若题目改为 求作正垂面？
无数解
例： 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。 h f′ c a d′ f a d c b h g k b′ k′ g′
M M
K
K F
L
F
N
L
N
全交
互交
1、 一般位置平面与特殊位置平面相交
例：求两平面的交线
m
c f n b k l
作图
① 求交线 ② 判别可见性
可否直接判 别？ l
a
k b
m
f c n
a
能!
例：求两平面的交线，MN并判别可见性。
a
b
●
e
m(n)
f c
作 图
① 求交线 ② 判别可见性
直线与平面相交，其交点是直线与平 面的共有点。 立体
二、平面与平面相交
两平面相交其交线为直线，交线是两平 面的共有线，同时交线上的点都是两平面的 共有点。 立体
一、 直线与平面相交
1 、平面为特殊位置平面
例：求直线与 平面的交点， 并判断可见性。
b
n
a
k m c a k b c n
m
如何判别？
d e
● ●
a
n n
c
d
● ● m m
可通过正面投影 直观地进行判别。
b
f
例：求两平面的交线MN并判别可见性。
b
f
a
m d m ● ●
k ●
●
●
n c
e
f
b m● e
●
互交
a
d
k
●n
c
2、两一般位置平面相交求交线的方法
B
M
利用求一般位 置线面交点的方法 找出交线上的两个 点，将其连线即为 两平面的交线。KΒιβλιοθήκη A LFNC
求两平面的交线
b
2 k
PV n l 两一般 位置平面相 交，求交线 步骤：
c

1
m
QV
e
a
b
m
e k
2
a
l
c
1
1．用求直线 与平面交点 的方法，作 出两平面的 两个共有点K、 E。 2．连接两个 共有点，画 出交线KE。
n
两平面相交，判别可见性
3 1 (2 ) 利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
4
2
3
(4 )
1
3、求一般位置直线与一般位置平面的交点。 三步曲：
A R
M
1、包含已知直线作 一平面Q。 2、求Q平面与已知平 C 面的交线。
S
K
B
N
3、求交线与已知直 线的交点， 交点既 为所求。
QV
f
c
1
b

k
步骤： 1．过EF作正 垂平面Q。
2
e
f
a
a
2．求Q平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ。 3．求交点 ⅠⅡ与EF的交 点K。
a b a b
f
e
h n
e
3．连接KH，KH即 为所求。
2
c
m 1
k
§3 垂 直
一、 直线与平面垂直
二、两平面垂直
如果一直线垂直平面，则它垂直平 面上得每一条直线。
一、 直线与平面垂直
V L
A C
K
B D
H
定理 若一直线垂直于 一平面、则直线的水平投 V 影必垂直于属于该平面的 水平线的水平投影；直线 C A 的正面投影必垂直于属于 E 该平面的正平线的正面投 影。逆定理成立。 D
a b 有多少解？ a c 1
●
有无数解
n m
●
n m
例：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
b n
正平线
a
c m
●
c a m
●
n
唯一解
b
例:试判断直线AB是否平行于定平面
c g
b
d
f a e e a
f d
g 结论：直线AB不平行于定平面
c
b
例：过已知点 K作一平面，与已知直线平行。 （作正垂面）
a' d' m b'
s
n f △ k e
△
c' c
r
r n △ a d f △ k s e
b m
例： 试判断两平面是否平行。
s' e' f' r' SH d' b' a'
c'
e
s f r PH
d
a
c
T.D
b
结论：因为PH平行SH，所以两平面平行
§2 直线与平面、两平面相交
一、 直线与平面相交
k′ a′ X
n′
O n a m k b
二、两平面垂直
定理：
若直线 垂直与平面， 则包含此直 线的一切平 面均和该平 面垂直。
A
D
同理，若平面Q和平面P垂直，则由平面Q上 任意一点向平面P所作垂线AB一定在平面Q上。
Q
Ⅰ Ⅱ
Q
Ⅰ
Ⅱ
P
P
以上定理是解决两平面垂直的依据。不难看出， 它的投影作图是以直线与平面垂直的作图为基础的。