河北省石家庄市第一中学2013-2014学年高二上学期开学考试 数学文试题 含答案

石家庄一中2012级高二级部第一学期开学考试数学试卷
试卷Ⅰ(共 60 分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后,请填涂在答题卡上．
1．已知集合{}{}1,0,1,0,1,2M N =-=,则如图所示韦恩图中的阴
影部分所表示的集合为（ C ）
A ．{}0,1
B ．{}1,0,1-
C ．{}1,2-
D ．{}1,0,1,2-
2．在下列命题中，不是公理．．的是（ A ）
A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B ．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（ D ）
A ．||
2x y = B ．2lg(1)y x x =+
+ C ．2
2x
x y -=+ D ．1
lg
1
y x =+ 4．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是（ D )
A ．210x y +-=
B ．210x y -+=
C ．220x y +-=
D ．210x y --=
5．设l ,m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ B ）
A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥
B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥
C ．若l α//，m α⊂，则l m //
D ．若l α//,m α//，则l m //
6．为了得到函数sin(2)3
y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6
y x π=+的图像
( B ）
A ．向左平移4
π个长度单位 B ．向右平移4
π个长度单位
C ．向左平移2
π个长度单位 D ．向右平移2
π个长度单位
7．等比数列x ，33x +，66x +，的第四项等于（ A ）
A ．24-
B ．0
C ．99x +
D ．24
8．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos sin b C c B a A +=,则ABC ∆的形状为( B ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
9．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径为2,则该几何体的体积为( C ）
A ．243π-
B ．242π-
C ．3242
π- D ．24π- 10．已知点()1,1A -、()1,2B 、()2,1C --、()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ A ） A ．322
B ．3
15
2
C ．322-
D ．3
152
- 11．设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，满足条件)1(+=x f y 是偶函数，
且当1≥x 时，1)21()(-=x
x f ,则)32(f 、)23(f 、)3
1
(f 的大小关系是（
D ）
A ．)3
2
()2
3()31(f f >>
B ．)2
3()31()32(f f f >>
C ．)3
1()32()23(f f f >>
D ．)31
()23()3
2(f f f >>
12．设函数()2x
f x e
x a =+-（a ∈R ，e 为自然对数的底数)．
若存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立，则a 的取值范围是（
B ）
A ．[1,]e
B ．[1,1]e +
C ．[,1]e e +
D ．[0,1]
试卷II （90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分．答案填在答题纸相
应的空内． 13．已知函数
3log ,0
()2,0
x
x x f x x >⎧=⎨≤⎩,则1(())9f f = *＊* ．14
14．设变量x 、y 满足52180
20 30 x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩
，若直线20kx y -+=经过该可行域，则
k 的最大值为
．1
15．已知三棱柱111
ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，，
AB AC ⊥,112AA =，则球O 的体积为3132197
66
ππ
=．
16．已知1
()1f x x
=
+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是 ．
【解析】由题意得，21
3
=
a ,325=a ，…，13
811=a ， ∵20122010
a a
=,且.n a ＞0,∴2
5
12010+-=
a ，易得2010a =2008a =…=24a =22a =24a =.20a , ∴.
20a +11
a =2
5
1+
-+13
8=26
5133+．
三、解答题:本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，
并写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） (Ⅰ）l 的方程为62)12()32(22
-=-++--m y m m x m m ,根据下列条件分别确定m
的值．
①x 轴上的截距是3-; ②l 的倾斜角为4
π；
（Ⅱ)求经过直线01:1
=++y x l
，015:2=--y x l 的交点，并且与直线
0123=++y x 垂直的直线方程．
17解：(Ⅰ）①把0,3=-=y x 代入方程整理得：015432
=--m m ,
解得：33
5=-=m m 或（舍去）
所以，3
5-=m ．………………………………………
3分
（2)②由已知得：4tan 1
2322
2π
=-+---m m m m , 整理得：0432
=--m m
，解得：13
4
-==
m m 或（舍去)
所以,3
4=m ．………………………………………………6分
(Ⅱ)设所求直线为l ，斜率为k ，设1
l ,2
l 交点为M ．
由已知⎩⎨⎧=--=++0
1501y x y x ，解得⎩⎨
⎧-==1
y x ，∴ M
点坐标为)10(-，
． 设直线0123=++y x 斜率为k '，则2
3-='k ，
∵ 它与所求直线垂直，∴ 1-='⋅k k ，解得：3
2
=
k ．
代入直线方程的点斜式得:x y 3
2)1(=--………………10分
18．（本小题满分12分) 已知函数
()12f x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝⎭
，x ∈R ．
(Ⅰ）求6f π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值；
（Ⅱ)若3cos 5
θ=，3,22
πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
．
18解:（Ⅰ）
1661244f πππππ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
-=
--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
……………4分
(Ⅱ）
222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
(6)
分
因为
3
cos 5
θ=
，
3,22πθπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，所以4sin 5θ=-,…………8分
所
以24
sin 22sin cos 25θθθ==-
,227cos 2cos sin 25
θθθ=-=- …10分
所
以
23f πθ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭． (12)
分
19．（本小题满分12分）
如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点，
AD AE =，F 是BC 的中点，AF
与DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到
如图5所示的三棱锥A BCF -,
其中2
BC =
. (1) 证明:DE //平面BCF ;(2) 证明：CF ⊥平面ABF ; （3) 当23
AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG
V -。

【答案】(1)在等边三角形ABC 中，AD AE =
AD AE
DB EC
∴
=，在折叠后的三棱锥A BCF -中
也成立，//DE BC ∴ ，
DE ⊄平面BCF ,
BC ⊂平面BCF ,//DE ∴平面BCF ; …………………………………3分
（2)在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥①，12BF CF ==
.
在三棱锥A BCF -中，
BC =
2
22BC
BF CF CF BF
∴=+∴⊥②
BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥平面; …………………………………6分
（3)由（1）可知//GE CF ，结合（2)可得GE DFG ⊥平面.
11111113232333F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭10
分
20．（本小题满分12分）
设n
S 为数列｛n
a ｝的前项和，已知01
≠a
，2n n S S a a ⋅=-11,∈n N *
图 4
（Ⅰ)求1
a ，并求数列{n
a }的通项公式；(Ⅱ)求数列{n
na ｝的前n 项和。

【答案】解: (Ⅰ) 111111
21.S S a a n a S
⋅=-=∴=时，当
.1,011=≠⇒a a
…………………2分
1
11
1
1111222221----=⇒-=---=
-=>n n n n n n n n n a a a a S a a S a a s s a n 时，当.*,221}{11N n a q a a n n n ∈===⇒-的等比数列，公比为时首项为
………………………………5分 （Ⅱ)n n n n
qa n qa qa qa qT a n a a a T
⋅++⋅+⋅+⋅=⇒⋅++⋅+⋅+⋅= 321321321321设
1432321+⋅++⋅+⋅+⋅=⇒n n a n a a a qT …………………7分
上式左右错位相减：
n
n n n
n n n n na q
q a na a a a a T q 21211)1(111
321⋅--=---=-++++=-++
*,12)1(N n n T n n ∈+⋅-=⇒.
…………………10分
21．（本小题满分12分）19。

（本小题满分12分) 已知向量a (cos ,sin )θθ=，b (cos ,sin )ββ=，且a 与b 满足||3||kb a b ka -=+,其中
实数0k >．
（Ⅰ）试用k 表示b a ⋅；
（Ⅱ）求b a ⋅的最小值，并求此时a 与b 的夹角α的值．
解：(I ）因为||3||b k a b a k
-=+，所以22||3||b k a b a k -=+,
2222223632b k b a k a b b a k a k
+-=++⋅⋅, (3)
分
22)3(8a k b a k -=⋅22
)13(b k -+，
k k k b a 81)13(1)3(22⋅⋅⋅-+-= k
k k k 4182222+=
+=． …………6分
(Ⅱ)由（1)b a ⋅2
1
4142414412=≥+=+=⋅k k k k k k ，…………9分
当且仅当k
k 41
4=
，即1=k 时取等号． (10)
分
此时，b a ⋅21cos ||||==⋅⋅θb a
,21cos =θ,3
πθ=，
所以b a
⋅的最小值为21，此时a 与b 的夹角α为3
π
…………12分
22．（本小题满分12分)
已知函数()y f x =，若存在0
x ∈R ，使0
()f x x =,则称0
x 是函数()y f x =的一个
不动点．设二次函数2
()(1)(1)f x ax b x b =+++-．
（Ⅰ）对任意实数b ,函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；
（Ⅱ）在(Ⅰ）的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是
()f x 的不动点，且,A B 两点关于直线21
21
y kx a =++对称，求b 的最小值．
解：（Ⅰ）∵函数()f x 恒有两个相异的不动点，
∴2
()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实
根,2
2
4(1)440b a b b ab a ∆=--=-+>对b R ∈恒成立，
∴ 2
(4)160a a -<，得a 的取值范围为(0,1)．……………4分 (Ⅱ）由2
(1)0ax bx b ++-=得1
2
22x x b a
+=-，
由题知1k =-，2121
y x a =-++，……………6分
设,A B 中点为E ，则E 的横坐标为21
(,)2221
b b a a a -
++，……………10分
∴
212221
b b a a a -
=++， ∴
211212a b a a a
=-=-≥++
12(01)a a a =<<，即
a =
时等号成立，∴ b
的最小值为12分。