高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量的线性运算学案新人教B版选修2-1(2021学年)

２018版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1 空间向量的线性运算学案新人教B版选修２-1
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3。

1．１空间向量的线性运算
学习目标 1。

了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等的概念。

２。

会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律。

3.掌握数乘向量运算的意义及运算律．
知识点一空间向量的概念
思考类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．
梳理(1)在空间，把具有__＿_＿___和______＿_的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的__＿＿＿_＿_或＿＿＿___．
空间向量也用有向线段表示,有向线段的_____＿__表示向量的模,向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可记作错误!,其模记为_______＿．
(2)几类特殊的空间向量
名称定义及表示
零向量起点与终点重合的向量叫做___＿_____＿,记为0
单位向量_____＿__的向量称为单位向量
相反向量与向量a长度＿__＿_＿＿_而方向____＿___的向量,称为a的相
反向量，记为-ａ
相等向量方向＿______＿且模＿_＿_____的向量称为相等向量，___＿___＿且________的有向线段表示同一向量或相等向量
共线向量
或
平行向量有向线段所在的直线叫做向量的基线．如果空间中一些向量的基线_＿__＿__＿_＿__，则这些向量叫做____＿___或________
知识点二空间向量的加减运算及运算律
思考1 下面给出了两个空间向量a、b,作出b＋ａ，b－a。

思考２由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量
的和与差?下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则?
梳理（1）类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.
错误!=错误!＋错误!=ａ＋b,
错误!＝错误!-错误!＝ａ－b。

(2）空间向量加法交换律
a＋b=___＿____,
空间向量加法结合律
（a+b)＋c=ａ+（ｂ＋c)．
知识点三数乘向量运算
思考实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律?
梳理 (１)实数与向量的积
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量,称为向量的数乘运算,记作λa，其长度和方向规定如下:
①|λa|＝____＿＿＿_.
②当λ＞0时,λa与向量a方向相同;当λ〈0时，λａ与向量ａ方向___＿____;当λ＝0时，
λa＝0．
（2)空间向量数乘运算满足以下运算律
①λ(μa)=________;
②λ（a+ｂ）=_____＿___＿__.
类型一有关空间向量的概念的理解
例1 给出以下结论:
①两个空间向量相等,则它们的起点和终点分别相同;②若空间向量ａ,b满足|a｜＝|b|，则a ＝b；③在正方体ABＣＤ-Ａ1Ｂ1C1D1中，必有错误!＝错误!;④若空间向量m,n，p满足m＝n,n=p，则m＝p．其中不正确的个数是( ）
A．1 Ｂ．２
C.３ﻩ
D.4
反思与感悟在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致,两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
跟踪训练1 (1）在平行六面体ＡBCDA1B1Ｃ1D1中，下列四对向量:①＼ｏ（AB，→）与错误!;②错误!与错误!;③错误!与错误!;④错误!与错误!。

其中互为相反向量的有n对，则n等于( ）
A.1
B.２
C．３D．4
(2）如图,在长方体ABCD-Ａ′Ｂ′C′D′中，AB=3，AD＝2，AＡ′＝1,则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中:
①单位向量共有多少个?
②试写出模为＼r(5)的所有向量．
③试写出与向量＼ｏ（AＢ,＼ｓ＼up6(→)）相等的所有向量.
④试写出向量错误!的所有相反向量.
类型二空间向量的加减运算
例2 如图,已知长方体ABCDA′B′C′D′,化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1）错误!-错误!;
（2）错误!+错误!＋错误!．
引申探究
利用例2题图，化简错误!+错误!+错误!＋错误!.
反思与感悟(1）首尾顺次相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即错误!+错误!+错误!＋…＋Aｎ－1A n=错误!．
(２）首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为0.如图,错误!＋错误!+错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!=0。

(３)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即ａ-b=a＋(-ｂ）．
（4)由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内,成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律．
（５)空间向量加法结合律的证明：如图，(a＋b）+c＝（错误!+错误!)+错误!＝错误!+错误!=错误!,ａ＋(ｂ+c)＝错误!＋(错误!＋错误!)=错误!＋错误!＝错误!,
所以(a+b）＋ｃ=ａ＋（ｂ＋c）.
跟踪训练２在如图所示的平行六面体中，求证:错误!+错误!+错误!=２错误!.
类型三数乘向量运算
例 3 如图所示，在平行六面体AＢＣD－A１B1Ｃ１Ｄ１中，设错误!=a,错误!=b，错误!=ｃ，M,N,P 分别是ＡA1,BC,Ｃ1Ｄ1的中点,试用ａ，b，c表示以下各向量:
（1）错误!;（２）错误!;(3)错误!+错误!。

引申探究
若把本例中“P是Ｃ1D1的中点”改为“P在线段C1D1上,且错误!=错误!”,其他条件不变,如何表示错误!?
反思与感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧
(１)数形结合:利用数乘运算解题时,要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量.
(2）明确目标:在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
跟踪训练3 如图,在空间四边形ＯABＣ中,M，Ｎ分别是对边OA，BＣ的中点,点Ｇ在ＭＮ上,且ＭG=２GN,如图所示,记错误!=a,错误!＝ｂ，错误!=c，试用向量a，b，c表示向量错误!。

1．下列命题中，假命题是（）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量，若起点相同,则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D.空间中任意两个单位向量必相等
2.在平行六面体ABCＤ-A１B１Ｃ1D1中,与向量错误!相等的向量共有（ )
A.１个B．2个 C．3个 D.4个
3．向量a,ｂ互为相反向量,已知|b|=3,则下列结论正确的是( )
A．a＝bﻩ B.ａ+b为实数0
C.a与b方向相同ﻩ
D.｜a|＝3
4.在正方体ABCDＡ１B1C1D１中,已知下列各式:
①(错误!+错误!)+错误!;②(错误!+错误!)+错误!;③（错误!＋错误!)+B1C1;④(错误!+错误!)+错误!。

其中运算的结果为错误!的有____＿___个.
5．化简2错误!+2错误!+3错误!+3错误!＋错误!=_＿_＿＿___.
1.一些特殊向量的特性
(1)零向量不是没有方向,而是它的方向是任意的.
(2)单位向量方向虽然不一定相同,但它们的长度都是1。

(3)两个向量模相等,不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等,方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．
２.空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量:向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向
量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
提醒:完成作业第三章3。

1.１
答案精析
问题导学
知识点一
思考在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．
梳理（1)大小方向长度模长度
|a|或|错误!| （2）零向量模为１相等
相反相同相等同向等长互相平行或重合共线向量平行向量
知识点二
思考1 如图，空间中的两个向量a,b相加时，我们可以先把向量a，ｂ平移到同一个平面α内,以任意点O为起点作错误!＝a，错误!＝b，则错误!=错误!＋错误!=a+b,错误!＝错误!－错误!＝b －a。

思考2 先将两个向量平移到同一个平面,然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可;图１是三角形法则,图2是平行四边形法则.
梳理 (2)b+a
知识点三
思考λ＞0时，λa和a方向相同；λ<0时,λa和a方向相反;λa的长度是a的长度的|λ｜倍．
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律:
①分配律：λ（ａ＋ｂ)=λａ+λb,
②结合律：λ(μa)=(λμ）a.
梳理（１)①｜λ||a| ②相反
（２)①(λμ）a②λa＋λｂ
题型探究
例１B
跟踪训练１（1）B
(2)解①由于长方体的高为1,所以长方体的四条高所对应的向量AＡ′，＼s＼ｕp6（→）,错误!,错误!,错误!,错误!，错误!,错误!,错误!，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为１，故单位向量共有8个．
②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为错误!，故模为错误!的向量有错误!，错误!，错误!，错误!,错误!，错误!,错误!,错误!.
③与向量错误!相等的所有向量(除它自身之外)有错误!,错误!及错误!。

④向量错误!的相反向量有错误!,错误!，错误!，错误!。

例2 解 (１）错误!-错误!＝错误!－错误!=错误!+错误!＝错误!。

(2)错误!+错误!＋错误!＝（错误!+错误!)＋错误!=错误!+错误!＝错误!。

向量错误!、错误!如图所示.
引申探究
解结合加法运算
＼o（ＡＡ′,―→）+错误!=错误!,错误!+错误!＝错误!，错误!＋错误!=0。

故错误!＋错误!+错误!+错误!＝0．
跟踪训练2 证明∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴错误!＝错误!+错误!，错误!=错误!+错误!,错误!=错误!+错误!,
∴错误!+错误!+错误!
=（错误!＋错误!)＋(错误!+错误!)+（错误!＋错误!）=2（错误!＋错误!+错误!）．
又∵错误!=错误!,错误!=错误!，
∴＼o（ＡB，
)＋错误!+错误!＝错误!+错误!＋错误!=错误!＋错误!＝错误!。

→
∴错误!+错误!+错误!＝２错误!.
例３解(1）错误!=错误!＋错误!
=（错误!＋错误!)＋错误!错误!
=a＋ｃ+错误!b.
(2)错误!=错误!+错误!
=-＼o（AＡ１,→）＋错误!+错误!错误!
＝-a+b＋错误!ｃ.
(３)错误!+错误!＝(错误!+错误!＋错误!）＋(错误!+错误!）
=错误!错误!＋错误!＋错误!错误!+错误!错误!＋错误!
=＼f(3，2)错误!＋错误!错误!+错误!错误!
=＼f(3,2)a+＼f（1,２）b＋错误!c。

引申探究
解错误!＝错误!＋错误!
=错误!+错误!＋错误!错误!＝a+c＋错误!b.
跟踪训练３解ＯG，→=错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!(错误!+错误!＋错误!）=错误!ａ＋错误![-错误!a+c+错误!（b－c)]
＝＼f(１,6）a+错误!b＋错误!c。

当堂训练
1.D
2.C 3。

Ｄ 4．4 5.0。